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Full text of "Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik"

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Jahrbuch 


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über  die 


Fortschritte  der  Mathematiji 


jCf. 


begründet 


von 


Carl  Ohrtmann. 


Im  Verein  mit  anderen  Mathematikern 
und  unter  besonderer  Mitwirkung  der  Herren 

Felix  Mttller  und  Albert  Wangerin 


herausgegeben 


von 


Emil  Lampe. 


Band  XX. 

Jahrgang  188  8. 


Berlin. 

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Drnck  und  Verlag  Veu'OeitTg  R^im.et. 

1891r.'  .,  .",'     :    - 


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Erklärung  der  Citate. 


Eine  eingeklammerte  (arabische)  Zahl  vor  der  (römischen)  Bandeahl 
bezeichnet  die  Reihe  (Serie),  zu  der  der  Band  gehört.  Einige  periodische 
Schriften,  in  welchen  nur  zuweilen  eine  vereinzelte  mathematische  Arbeit 
erschienen  ist,  sind  in  dieses  Verzeichnis  nicht  aufgenommen  worden;  das 
bezugliche  Citat  im  Texte  ist  dann  in  hinreichender  Ausführlichkeit  gegeben. 


Acta  Math.:  Acta  Mathematica.  Zeitschrift  herausgegeben  von  G.  Mittag- 
Leffler.    Stockholm.  4^.  XI,  XII. 

Almeida  J.:  Journal  de  physique  th^orique  et  appliqu^e.  Fondä  par  J.  Ch. 
d'Almeida  et  publik  par  MM.  £.  Bouty,  A.  Cornu,  E.  Mascart,  A.  Po- 
tier.  Paris.    Au  Bureau  du  Journal  de  Physique.  8^.  (2)  VII. 

American  J.:  American  Journal  of  Mathematics.  Editor  S.  Newcomb,  Asso- 
ciate  Editor  Th.  Graig.  Published  nnder  the  auspices  of  the  Johns 
Hopkins  University.    Baltimore.  4^.  X,  XL 

Amst.  Veril.  en  Meded.:  Verslagen  en  Mededeelingen  der  Koninklijke 
Akademie  van  Wetenschappen.  Afdeeling  Natuurkunde.  Amsterdam. 
(3)  V. 

AnnaU  dt  MaL:  Annali  dl  matematica  pura  ed  applicata  diretti  dal  prof. 
Francesco  Brioschi  coUa  cooperazione  dei  professori:  L.  Gremona,  E.  Bel- 
trami,  E.  Betti,  F.  Gasorati.    Milano.  4*.  (2)  XV,  XVI. 

Annais  of  Math.:  Annals  of  Mathematics.  Ormond  Stone,  editor.  William 
M.  Thomton,  associate  editor.  Office  of  publication:  University  of  Vir- 
ginia. B.  Westermann  and  Go.  New- York.  4^.  IV. 

Ann.  d.  Chim,  et  Phys.:  Annales  de  Ghimie  et  de  Physique  par  MM.  Ghe- 
vrenl,  Bertbelot  etc.  Paris.  Gauthier- Villars  et  Fils.  8^.  (6)  XIII,  XIV,  XV. 

Ann.  de  V£c.  Norm. :    Annales  scientifiques  de  l'ficole  Normale  Sup^rieure, 

Sublimes  etc.  par  un  comit^  de  r^daction  composd  de  MM.  les  maitres 
e  Conferences  de  Tficole.    Paris.  Gauthier-Villars  et  Fils.  4*.  (3)  V. 

Arch. /.  Art.:  Archiv  für  die  Artillerie-  und  Ingenieur- Offictere  des  Deut- 
schen Beichsheeres.  Redaction:  Schröder,  Meinardus.  Berlin.  Mittler 
u.  Sohn.  80.  XGV. 

Arch.  Nierl:  Archives  N^erlandaises  des  sciences  exaotes  et  naturelles, 
publikes  par  la  Society  HoUandaise  des  sciences  a  Harlem  et  r^dig^es 
par  J.  Bosscha  etc.    Harlem.    8^  XXIII. 

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IV  ErkläniDg  der  Citate. 

Ass.Franf.:  AesociatioD  Fraogaise  pour  ravaDcemeot  des  Bcieoces.  Gompte 
renda  de  la  17"^«  sesdioD  (CoDgres  d'Orao).  Paris  an  secr^tariat  de 
rassociatioD  et  cbez  O.  Massoo.  8^ 

Astr.  Nachr.:  Astronomische  Nachrichten,  begründet  von  H.  G.  Schamacher. 
Unter  Mitwirkung  des  VorstaDdes  der  Astronomischen  Gesellschaft 
herausg.  von  A.  Krüger.     Kiel.    4».     CX VIII,  C XIX;  No.  2809-2867. 

Asir.  Vierischr,:  Vierteljabrschrift  der  Astronomischen  Gesellschaft.  Her- 
ausgegeben von  E.  Scboenfeld  in  Bonn,  H.  Seeliger.  Leipzig.  W.  Eo- 
gelmann.    8^     XXII. 

Aui  d.  Acc.  Pont.:    Atti  deir  Accademia  Pontaniana.  Roma.  XVII,  XVIII. 

Bau.  G.:  Gioroale  di  matematiche  ad  uso  degli  studenti  delle  nniversita 
italiane  pubblicato  per  cura  del  Prof.  6.  Battaglini.  Napoli.  gr.  8* 
XXVI. 

Belg.  Bull.:  Bulletios  de  l'Acad^mie  Royale  des  sciences,  des  lettxes  et 
des  beaux-arts  de  Belgique.    Bruxelles.   8*-   (3)   XV,  XVI. 

Belg.  Mim.  C:  M4moires  couronn^s  et  autres  M6moires  publice  par  TAca- 
d6mie  Royale  des  sciences,  des  lettres  et  des  beaux-arts  de  Belgique. 
CoUection  In  8^.   Bruxelles.   F.  Hayez.    XLI. 

Belg.  M€m.  S.  £.:  M^moires  couronu^s  et  M^moires  des  savants  ^trangers 
publies  par  rAcad6mie  Royale  des  sciences,  des  lettres  et  des  beaux- 
arts  de  Belgique.    Bruxelles.    F.  Hayez.   4*.    XLIX. 

Beri  Abk.:  Abhandlungen  der  Kgl.  Preussischen  Akademie  der  Wissen- 
schaften zu  Berlin.    Berlin.   4*. 

Berl.  Ber.:  Sitzungsberichte  der  Kgl.  Preussischen  Akademie  der  Wissen- 
schaften zu  Berlin.    Berlin.  8^   1888. 

Berl.  phys.  Ges.  Verh.:  Verhandlungen  der  physikalischen  Gesellschaft  zu 
Berlin.    Berlin.    G.  Reimer.  Ö».  VII. 

Bern  Mitt.:  Mitteilungen  der  Naturforschenden  Gesellschaft  in  Bern  aus 
dem  Jahre  1888.    Bern.  Huber  u.  Co.  8^ 

Besso  Per.  maU:  Periodico  di  matematica  per  Tinsegnamento  secondario 
diretto  da  D.  Besso.     Roma.   8^.    III. 

Bihl.  Math,:  Bibliotheca  Matheroatica,  herausgegeben  von  G.  Eneström. 
Stockholm.  (2)  II. 

Böklen  Mitt.:  Mathematisch  •  naturwisseDBchaftliche  Mitteilungen  heraus- 
gegeben von  Dr.  0.  Böklen.     Tübingen.  Fr.  Fues.  8<*.  I,  II. 

Bologna  Mem.:  Memorie  della  R.  Accademia  delle  scienze  dell*  Istituto 
di  Bologna.    Bologna.  4*.  (4)  VIMX. 

Bologna  Rend.:  Rendiconto  delle  sessioni  dell'  Accademia  delle  scienze 
deir  Istituto  di  Bologna.     Bologna.     8^     1887-b8. 

Bonc.  Bull.:  Bulletino  di  bibliografia  e  di  storia  delle  scienze  matema- 
tiche e  fisiche  pubblicato  da  B.  Boncompagni.    Roma.  4*.  XX. 

Bord.  M4m.:  Memoires  de  la  Societe  des  sciences  physiques  et  naturelles 
de  Bordeaux.    Bordeaux.   Paris.   8*.    (3)  IV. 

Brit.  Ass.  Rep.:  Report  of  the  meeting  of  the  British  Association  for  the 
advancement  of  scieoce.     London,     gr.    8®. 

Brux.  Ann,:  Annales  de  TObservatoire  Royal  de  Bruxelles,  publikes  aux 
frais  de  r£tat.     Bruxelles.    F.  Hayez.  4*. 

Brux.  S.  sc:  Annales  de  la  Soci6t6  scientifique  de  Bruxelles.  Bruxelles. 
F.  Hayez.  (Doppelt  paginirt,  unterschieden  durch  A  und  B.).    XII,  XIII. 

Cambr,  Proc:  Proceedings  of  the  Cambridge  Philosophical  Society.  Cam- 
bridge.   VI. 

Cambr,  Trans.:  Transactions  of  the  Philosophical  Society  of  Cambridge. 
Cambridge. 


Erklärnng  der  Gitate.  v 

0a9op.:  Casopis;  Zeitsohrift  zar  Pfle^  der  Mathematik  und  Physik,  redigirt 
mit  besonderer  Rücksicht  auf  Stadireode  der  Mittel-  nnd  Hochschulen 
von  F.  J.  Stndnißka,  herausgegeben  vom  Vereine  böhmischer  Mathema- 
tiker in  Prag.   Prag.  h*.   (Böhmisch.)  XVII. 

CtntraW.  cL  Bauverw.:  Centralblatt  der  Bau  Verwaltung.  Herausgegeben  im 
Ministerium  der  öffentlichen  Arbeiten.  Redacteure  0.  Sarrazin  nnd 
K.  Schäfer.    Berlin.    Ernst  u.  Korn.  4^  VIII. 

Ckark.  Ges..  Sammlung  der  Mitteilungen  und  Protokolle  der  mathematischen 
Gesellschaft  in  Charkow.    (Russisch.)    XVIII  u.  (2)  I. 

Civüinp.:  Der  Civilingenieur.  Organ  des  sächsischen  Ingenieur-  und  Archi- 
tekten-Vereins. Unter  Mitwirkung  etc.  herausgegeben  von  Dr.  E.  Hartig. 
Leipzig.  Arthur  Felix.  4».  (2)  XXXIV. 

C.  R,:  Comptes  Bendus  hebdomadaires  des  s^ances  de  l'Acad^mie  des 
Sciences.    Paris.  ^\   CVI,  CVII. 

Darb.  Bull.:  Bulletin  des  sciences  math^matiques»  r^digö  par  MM.  G. 
•Darboux  et  J.  Tannery  avec  la  collaboration  de  MM.  Ändr^,  Batta- 
glini  etc.    Paris.  Gauthier- Villars  et  Fils.  8^  (2)  XII. 

Delfi  Ann,  d.  V£c.  Polyt.:  Annales  de  Tficole  Polytechnique  de  Delft. 
Leiden.   £.  J.  Brill.    IV. 

Dorpat.  Naturforscher  Ges.  Ber.:  Sitzungsberichte  der  Naturforscher-Gesell- 
schaft bei  der  Universität  Dorpat.    Dorpat.    8^. 

Dublin  Proe,:    Proceedingrt  of  the  Royal  Irish  Academy.    Dublin.  (3)  I. 

Dublin  Tran»,:  Transactions  of  the  Royal  Irish  Academy.   Dublin.   XXiX. 

Edinb.  M.  S.  Proc.:  Proceedings  of  the  Edinburgh  Mathematical  So- 
ciety.   80.   VL 

Edinb.  Proe.:  Proceedings  of  the  Royal  Society  of  Edinburgh.  Edin- 
burgh.  «•.  XV. 

EdiiUt.  Trans,:  Transactions  of  the  Royal  Society  of  Edinburgh.  Edin- 
burgh.  40. 

Ed.  Times:  Mathematical  questions,  with  their  Solutions  from  the  „Educa- 
tional  Times*  with  many  papers  and  Solutions  not  published  in  the 
„Educational  Times.'*  Edited  by  W.  J.  C.  Miller.  London.  8^ 
Francis  Hodgson.  XL  VI  II,  XL  IX. 

Erlang.  Ber.:  Sitzungsberichte  der  physikalisch-medicinischen  Societät  zu 
Erlangen.    Erlangen.  8°. 

Exner  Rep,:  Repertorium  der  Physik  herausgegeben  von  Exner.  Mönchen 
und  Leipzig,     gr.  8*.  XXIV. 

Flammarion,  Rev.  dAstr.:  L' Astronomie.  Revue  d'astronoroie  populaire,  de 
m6t^orologie  et  de  physique  du  globe,  ezposant  les  progres  de  la  science 
pendant  l'ann^e.    Paris.    Gautbier-Villars  et  Fils.   gr.  8^    VII. 

G^nie  eiv.:  Le  G6nie  civil.  Revue  g^n^rale  hebdomadaire  des  industries 
fran^aises  et  etraugeres.    Paris.     XI. 

Genova  G.:  Giomale  della  Societä  di  letture  e  conversazioni  scientifiche 
dl  Genova.    S\    1888. 

Göu.  Abk.:  Abhandlungen  der  Kgl.  Gesellschaft  der  Wissenschaften  zu 
Göttingen.    Göttingen.    4».    XXXIV. 

Oott  JV.;  Nachrichten  von  der  Königlichen  Gesellschaft  der  Wissen- 
schaften und  der  Georg -Augusts -Universität  zu  Göttingen.  Göt- 
tingen.   8*.    1888. 

Bomb.  Mitt.:    Mitteilungen   der  Hamburger   Mathematischen    Gesellschaft. 

Hamburg. .  S^.   I. 
Hannav.  Zeiuchr.:     Zeitschrift  des  Architekten-  und   Ingenieurvereins    zu 

Hannover,  redigirt  von  Keck.    Hannover,  Scbmorl  u.  Seefeld.  i^.  XXXIV. 


VI  Erklärung  der  Citate. 

ffojffmann  Z.:  Zeitschrift  fär  mathematiBchen  und  natarwisfleDschaftlicben 
Unterricht.  Unter  Mitwirkang  von  Fachlehrern  heransgegeben  von 
J.  G.  y.  Hoffmann.    Leipzig.  Tenbner.  8*.   XIX. 

Hoppe  Areh. :  Archiv  der  Mathematik  und  Physik  mit  besonderer  Berück- 
sichtigung der  Bedürfnisse  der  Lehrer  an  den  höheren  Lehranstalten, 
gegründet  von  J.  A.  Grunert,  fortgesetzt  von  R.  Hoppe.  Leipzig 
C.  A.  Koch.   8*.     (2)    VI,  VIL 

J.  de  tjßc.  Pol.:  Journal  de  Tficole  Polytechnique,  publik  par  le  conseil 
dMnstruction   de   cet  Etablissement.    Paris.    Gauthier-Villars.    4^ 

J.  de  Math.  4Um,:  Journal  de  Math^matiques  ElEmentaires  4  Tusage  de 
tous  les  candidats  aux  Ecoles  du  Gouvernement  et  des  aspirants  au 
baccalauröat  es  sciences,  publik  sous  la  direction  de  de  Longchamps, 
Lucien  LEvy.    Paris.    Delagrave.  8*.  (3)  II. 

J,  de  Math,  spfe.:  Journal  de  Matb6matiques  speciales  ä  Tusage  des  can- 
ditats  aas  Gcoles  Polytechnique,  Normale  et  Centrale,  publik  sous  la 
direction  de  de  Longchamps,  Lucien  L6vy.  Paris.  Delagrave.  8^  (3)  11. 

J.  für  Math,:  Journal  für  die  reine  und  angewandte  Mathematik.  In  zwang- 
losen Heften.  Herausgegeben  von  L.  Eronecker  und  K.  Weierstrass. 
Berlin.     G.  Reimer.    4*.    CII,  CHI.  CIV. 

Jordan  Z.  f.  V.:  Zeitschrift  für  Vermessungswesen.  Organ  des  deutschen 
Geometervereins.  Unter  Mitwirkung  von  C.  Steppes  und  R.  Gerke  her- 
ausgegeben von  W.  Jordan.    Stuttgart.    8^.    XYII. 

Joum.  de  Math.:  Journal  de  Math^matiques  pures  et  appliquEes,  fondE  en 
1836  et  publik  jnsqu'en  1874  par  J.  Liouville.  Publik  par  C.  Jordan 
avec  la  collaboration  de  G.  Halphen,  M.  LEvy,  A.  Mannheim,  £!.  Picard, 
H.  Poincarö,  H.  Resal.  Paris.  4«».   (4)  IV. 

Joum.  d.  Wegebau- Minist.:  Journal  des  Wegebau-Ministeriums.  St.  Peters- 
burg.   (Russisch.; 

Kasan  Ber.:  Sitzungsberichte  der  mathematischen  Section  des  Natur- 
forschenden Vereins  zu  Kasan.    (Russisch.) 

Kasan  Ges.:  Sammlang  der  Mitteilungen  der  physikalisch-mathematischen 
Gesellschaft  zu  Kasan.    (Russisch.)   VI. 

Kasan  Nachr.:    Nachr.  der  Kaiserlichen  Universität  zu  Kasan. 

Kiew  Nachr.:   Nachrichten  der  Kaiserlichen  Universität  zu  Kiew.  (Russisch.) 

Kjob.  Skrift.:  Schriften  der  Kopenhagener  Akademie.    Kopenhagen.  (6)  II. 

Kopenh.  Overs.:  Oversigt  over  det  Kongelige  Danske  Videnskabernes 
Selskabs  Forhandlinger.     Kopenhagen. 

Krak.  Ber.:  Sitzungsberichte  der  mathematisch  -  naturwissenschaftlichen 
Section  der  Krakauer  Akademie.    Krakau.  (Polnisch.)    XVIII. 

Krak.  Denkschr.:  Denkschriften  der  Krakauer  Akademie  der  Wissen- 
schaften.   Krakau.    (Polnisch.)    XIV. 

Leipz.  Abh,:  Abhandlungen  der  Königl.  Sächsischen  Gesellschaft  der  Wissen- 
schaften zu  Leipzig.  Mathematisch  -  physische  Klasse.  Leipzig.  '4^ 
XIV. 

Leipz.  Ber. :  Berichte  über  die  Verhandlungen  der  Konigl.  Sächsischen  Ge- 
sellschaft der  Wissenschaften  zu  Leipzig.  Mathematisch  -  physische 
Klasse.    Leipzig.    8*^.  XL. 

Leopold.  Akad.:  Verhandlungen  der  Kais.  Leopoldinisch  •  Carolinischen 
Deutschen  Akademie  der  Naturforscher.    Halle,    gr.  4^  LH. 

Lüge  M^.:  M^moires  de  la  8oci^t6  Royale  des  sciences  de  Liege. 
Bruxelles.    Hayez.    (2)    XIV,  XV. 


firklärang  der  Gitate.  vii 

ZMb,  J.:  Jornal  de  Sciencias  Mathematicas,  Phygicas  e  Natoraes  publi- 
cado  Bob  08  anspicios  da  Academia  Beal  das  Sciencias  de  Lisboa. 
Lisboa.  XII. 

LUb,  Ifem.:  Memorias  da  Academia  Beal  das  Sciencias  de  Lisboa. 
Lisboa. 

Lomb.  Ist.  Rend,:  Beale  Istitato  Lombarde  di  scienze  e  lettere.  Rendi- 
conti.   Milano.  8^  (2)  XXI. 

Lond.  M.  S.  Proe,:  Proceedings  of  the  London  Mathematical  Society. 
London.  8*.  XIX. 

LantL  Phil.  Dräns.:  Philosophical  Transactions  of  tbe  Royal  Society  of 
London.    London.   4^  GLaXIX. 

Lond.  R,  S,  Proe.:  Proceedings  of  tbe  Royal  Society  of  London.  London.  8*^ 
XLIII,  XLIV,  XLV. 

0  • 

Lund  Arsskr.i  Acta  nniversitatis  Lnndensis.  Lnnds  Universitets  Arsskrift. 
Lnnd. 

Manchester  Mem.  and  Proe.:  Memoirs  and  Proceedings  of  the  literary  and 
philosophical  Society  of  Manchester.    Manchester.     (4)  I. 

Mar.  J.:    Marine  Journal.  (Bassisch.)  1888. 

Math.  Ann.:  Mathematische  Annalen.  In  Verbindung  mit  C  Neumann  be- 
gründet durch  B.  F.  A.  Clebsch.  Unter  Mitwirkung  der  Herren  P.  Gordan, 
G.  Neumaon,  E.  YonderMuhll  gegenwärtig  herausgegeben  von  F.  Klein, 
W.  Dyck  und  A.Mayer.  Leipzig.  Teubner.  8».    XXXI,  XXXII,  XXXIII. 

Matkesis:  Mathesis,  Becueil  math^matique  k  Tusage  des  4coles  speciales  et 
des  Etablissements  d'instruction  moyenne  publik  par  P.  Mansion  et  J.  Neu- 
berg. Gand.   Hoste;  Paris.  Qauthier- Villars  et  Fils.    8°.   VIIL 

Math,  naturw.  Ber.  üng,     Siebe   Ungar.  Ber. 

M^m.  Sav.  £tr,:  M^moires  pr^sent^s  par  divers  savants  a  TAcad^mie  des 
Sciences  de  Tlnstitut  de  France  et  imprim6s  par  son  ordre.  4^  (2)  XXIX. 

Messr.  The  Messenger  of  Mathematics,  edited  by  G.  Taylor  and  J.  W. 
L.  Glaisher.    London  and  Gambridge.    Macmillan  and  Go.  8*.  (2)  XVII, 

xvnr. 

Met.  Zeitschr.:  Meteorologische  Zeitschrift.  Herausgegeben  von  der  Oest- 
reich.  Gesellschaft  für  Meteorolpgie  und  der  deutschen  Meteorol.  Gesell- 
schaft, redigirt  von  J.  Hann  u.  W.  Eoeppen.     Berlin,    gr.  8^.   V. 

Mitt,  üb,  Art.  u,  Genie:  Mitteilungen  über  Gegenstände  des  Artillerie-  und 
Genie -Wesens  Herausgegeben  vom  K.  E.  technischen  u.  administra- 
tiven Militär-GomitE.    Wien.  B.  v.  Waldheim.  8®.  XIX. 

Modena  Mem.:  Memorie  della  Begia  Accademia  di  scienze,  lettere  ed 
arti  In  Modena.    Modena.    4^  (2)  VI. 

Mosk,  Math.  Samml.:  Mathematische  Sammlung  herausgegeben  von  der 
Mathematischen  Gesellschaft  in  Moskau.   (Russisch.)  XIII,  XIV. 

Mosk,  Nachr,:    Nachrichten  der  Moskauer  Universität.  Moskau.  (Bussisch.) 

Müneh,  Abh.:  Abhandlungen  der  Egl.  Bayerischen  Akademie  der  Wissen- 
schaften zu  München.    Zweite  Elasse.   München.    4^. 

Müneh,  Ber.:  Sitzungsberichte  der  mathematisch-physikalischen  Elasse  der 
Egl.  bayerischen  Akademie  der  Wissenschaften  zu  München.  München. 
8*.    XVIIL 

^op.  Rend.:  Rendiconto  deir  Accademia  delle  scienze  fisiche  e  matema- 
tiche  (Sezione  della  Societä  Reale  di  Napoli).    Napoli.   4^    (2)  II. 

Nötige:  Nature,  a  weekly  illustrated  Journal  of  science.  London  and  New 
Tork.    Macmillan  and  Go.  4<>.  XXXVI,  XXXVII,  XXXVIII. 


VIII  Erkl&rnng' der  CItate. 

Nierl,  Areh.:    Siehe  Ardi,  Nitrl. 

Nieuw  Arch.:  Nienw  Arctuef  voor  wiskande  oitgegeven  door  hat  WiBkandi^ 
Genootschap.    Amsterdam.  8°.  XV. 

Nouv.  Ann.:  Koavelles  ADDales  de  math^matiqoes.  Journal  des  candi- 
data  anz  ficoles  Polytechnique  et  Normale,  r^dig^  par  MM.  Gerono  et 
Ch.  Brisee.    Paris.  8«.  (3)  VII. 

Nuovo  Cimento:    II  Noovo   Gimento.     Giornale  fondato  per  la  fisica  e  la 
chimica  da  C.  Mattencci  e  B.  Piria,  continnato  per  la  fisioa  egperimen- 
tale  e  matematica  da  E.  Betti  e  R.  Feiici.   Pisa.    SaWioni.    gr.  8^.    (3 
XXIII,  XXIV. 

Odessa  Oes.:  Denkschriften  der  mathematischen  Abteilang  der  neu- 
rnssiscben  Gesellschaft  der  Katarforscher.  (Russisch.)  VIII. 

Odessa  Nachr.:  Nachrichten  von  der  Universität  Odessa.  Odessa.  (Rassisch.) 

Padova  Atti:  Atti  della  Reale  Accademia  di  sciense,  lettere  ed  arti  di 
Padova.    Padova. 

Palermo  Rend,:  Rendiconti  del  Circolo  Matematico  di  Palermo.  Palermo. 
gr.  80.    II. 

Paris  Soc.  Phil,:     Siehe  Soc,  Philom.  M€m, 

Petersb.  Abh.:  Abhandlungen  der  Kais.  Akademie  der  Wissenschaften  tu 
St.  Petersburg.   Petersburg.   LV IL VIII. 

Phii.  Maa,:  The  London,  Edinburgh  and  Dublin  philosophical  Magazine  and 
joumaf  of  science,  by  Rane,  Thomson,  Francis.  London.  8*.  (ö)  XXV-XX  VII. 

Phys,  Ges,  St.  Pet.:  Journal  der  physiko-chemischen  Gesellschaft  zu  St.- 
Petersburg.  XVIII-XX.    (Russisch.) 

Phys.  Math.  Wiss.:  Die  physiko-mathematischen  Wissenschaften.  Journal 
der  reinen  und  angewandten  Mathematik,  Astronomie  und  Physik,  her- 
ausgegeben von  W.  W.  Bobynin.     Moskau.    (Russisch.) 

Pisa  Ann.:  Annali  della  Reale  Scuola  Normale  Superiore  di  Pisa.  Scienze 
fisiche  e  matematiche.    Pisa.    8*.    V. 

Poske  Z.:  Zeitschrift  für  den  physikalischen  und  chemischen  Unterricht. 
Unter  der  besonderen  MitwirKung  von  E.  Mach  und  B.  Schwalbe,  her- 
ausgegeben von  F.  Poske.    Berlin.    J.  Springer,    gr.  8^    I,  II. 

Pr.  BBS  Programmabhandlung,  Gymn,  =  Gymnasium,  Realgymn,  =  Realgym- 
nasium, etc. 

Prace  mat.-ßz.:  Prace  matematyczno - fizyczne.  (Mathematische  und  phy- 
sikalische Abhandlungen,  hrsgb.  in  Warschau  von  S.  Dickstein,  W.  Go- 
siewski,  E.  u.  W.  Natanson.)     gr.  8^    I. 

Prag.  Abh.:  Abhandlungen  der  Königl.  Böhmischen  Gesellschaft  der 
Wissenschaften.  Prag.  Selbstverlag  der  Konigl.  Böhmischen  Gesell- 
Schaft.    4°.    (7)  II. 

Prag.  Ber.:  Sitzungsberichte  derKgl.  Böhmischen  Gesellschaft  der  Wissen- 
schaften.   Prag.  8<>.  1888. 

Qiiart.  J.:  The  Quarterly  Journal  of  pure  and  applied  Mathematics.  Edited 
by  N.  M.  Ferrers,  A.  Cayley,  J.  W.  L.  Glaisher,  A.  R.  Forsyth.  London. 
8".  XXII,  XXIIL 

Rev.  d*Art:  Revue  d* Artillerie  paraissant  le  15  de  chaque  mois.  Paris. 
8r  XXXI,  XXXII. 

Rev.  des  qu.  sc:  Revue  des  questions  scientifiques.  Bruxelles.  XXIII, 
XXIV. 

Rom.  Acc.  L.  Mem,:  Memorie  della  Reale  Accademia  dei  Lincei.  Roma, 
gr.  4*.  (4)  IV,  V. 


ErkläniDg  der  Gitate.  ix 

Hom,  Ate,  L,  Rend.:  Atti  della  Beale  Accademia  dei  Lincei.  RendicoDti. 
Borna  4^  (4)  IV.     (Zwei  Semester,  anterschieden  als  IVi  und  IV^.) 

Rom,  Ate,  P,  d,  N,  Lr.  Atti  della  Accademia  Pootificia  dei  Naovi  Liocei. 
Roma.  40.    XLI,  XLII. 

/Zorn.  Acc,  P.  d,  N.  L.  3iem,:  Memorie  della  Pootificia  Accademia  dei 
Naovi  Lincei.    Roma.    4^.    I-IV. 

Sammi.  d,  Wegebau- Ing.-Imt.  zu  Sl  Peierab,:  SammloDg  des  Wegebau  •  lo- 
geoienr-lDStituts  zu  St.  Petersburg.    (Rassisch.)    XIII-XV. 

SMomilch  Z. :  Zeitschrift  für  Mathematik  und  Physik,  herausgegeben  unter 
verantwortlicher  Redaction  von  Schlomilch,  Kahl  und  Cantor.  Leipzig. 
Teubner.  S«.  XXXIII. 

HL  A.:    Historisch-literarische  Abteilung  (besonders  paginirt). 

Schweiz.  Bauztg.:  Revue  Polytechnique;  Schweizerische  Bauzeitung,  Wochen- 
schrift far  Bau-,  Verkehrs-  und  MaschineDtechnik,  Organ  des  Schweizeri- 
schen Ingenieur-  und  Architekten  -  Vereios  etc.  Herausgegeben  von 
Walduer.  XI,  XII. 

Sill.  J, :   The  American  Journal  of  science.    Editors :  J.  D.  and  E.  S.  Dana. 

8.  M,  F,  Bull:  Bulletin  de  la  Soci^td  Math^matique  de  France  publik 
par  les  secr^taires.    Paris.  8*.  XY,  XVI. 

Soc,  IHkilom.  Mim.:  M^moires  publice  par  la  Soci^te  Philomatique  a  Tocca- 
sion  du  centenaire  de  sa  foodatioo  178^-1888.  Paris.  Gauthier- Villars 
et  Fils.    40. 

Stoekh.  HandL:  Handlingar  af  Kongl.  Svenska  Yetenskaps  -  Akademiens. 
Stockholm. 

Stoekh.  Öfü.:  öfversigt  af  Kongl.  Svenska  Yetenskaps- Akademiens  För- 
handlingar.    Stockholm. 

Stoekh.  Vetensk.  Bihang:  Bihang  tili  Kongl.  Svenska  Yetenskaps- Akademiens 
handlingar.   Stockholm.    8^     XIII,  XIY. 

Teehn.  BL:  Technische  Blatter,  Yierteljahrschrift  des  deutschen  Poly- 
technischen Yereins  in  Böhmen,  redigirt  von  Ed.  MaisB.  Prag.  XIX. 

Techn.  Inst.  St.  Pet.:  Die  Mitteilungen  des  Technologischen  Instituts  in 
St.-Peter8bnrg.   (Russisch.) 

Teixeira  J.:  Joroal  de  Sciencias  Mathematicas  e  Astronomicas  publicado 
pelo  Dr.  F.  Goroes  Teixeira.    Goimbra.  8*.    IX. 

Tokio  Math.  Ges.:  Tokyo  sugaku  buteurigakn  kwai  kiji  (Zeitschrift  der 
Phjsiko-Matbematischen  Gesellschaft  in  Tokio.  Englisch  u.  Japanisch.) 
Tokio.    8«.     IIL 

Torino  Atti:  Atti  della  Reale  Accademia  di  Torino.  Torino.  8^  XXIII,  XXIY. 

Torino  Mem.:  Memorie  della  Reale  Accademia  delle  scienze  di  Torino. 
Torino.    4°.    (2)    XXXIX. 

Toulouse  Arm.:  Annales  de  la  Faculte  des  Sciences  de  Toulouse  pour  les 
Sciences  math^matiques  et  les  sciences  physiques,  publikes  par  un  comit^ 
de  redaction  compos^  des  professeurs  de  math^matiqucs,  de  pbysique 
et  de  chimie  de  la  faculte  etc.     Paris.    Gauthier-Yillars  et  Fils.  4<^.  II. 

Toulouse  Mim.:  M6moires  de  TAcad^mie  des  sciences,  inscriptions  et 
belies  lettres  de  Toulouse.    Toulouse.    Douladoure-Privat.  b^.  (8)  X. 

Ungar.  Ber.:  Mathematische  und  naturwissenschaftliche  Berichte  aus  Un- 
garn. Mit  Unterstützung  der  Uog.  Akad.  der  Wissensch.  und  der  Königl. 
Uog.  naturwissenschaftlichen  Gesellschaft  hrsg.  von  Baron  R.  Eotvös  etc. 
Redig.  V.  J.  Fröhlich.     Budapest.    8°.    Y,  VL 

Ups.  N.  Act.:  Nova  Acta  Regiae  Societatis  Scieutiarum  Upsaliensis* 
Upsala.  4^ 


X  Erklärang  der  Gitate. 

Ven.  ÄL:  L'Ateneo  Veneto.  Rivista  meDsIle  di  scienze,  lettere  ed  arti 
diretta  da  A.  8.  de  Eiriaki  e  L.  Oambari.  Yenesia.  8^.  (12)  I,  11. 

Ken.  Ist.  Aui:  Atti  del  Reale  Istitnto  Veneto  di  sclense,  lettere  ed 
arti.    Veneaia.    S».  {/S)  V,  VI,  VII. 

Ven,  Ist,  Mem,:  Memorie  del  Reale  Istituto  Veneto  di  scieme,  lettere  ed 
arti.    4*.    Venezia. 

Wash,  BuU.:    Balletin  of  tbe  Philosophical  Society  of  Washington.  8". 

WUdemann  Ann.:  Annalen  der  Physik  und  Chemie.  Unter  Mitwirkung  der 
PhysikaltecheD  Gesellschaft  zn  Berlin  nnd  insbesondere  des  Herrn 
H.  V.  Helmholtz  herausgegeben  von  O.  Wiedemann.  Leipzig.  Barth.  8*. 
(2)  XXXIII,  XXXIV,  XXXV,  XXXVI. 

Wiedemann  Beibl:  Beiblätter  zu  deo  Annalen  der  Physik  nnd  Chemie. 
Herausgegeben  unter  Mitwirkung  befreundeter  Physiker  von  6.  und  E. 
Wiedemann.  Leipzig.  Barth.  8^ 

Wien,  Anz,:  Anzeiger  der  Kaiserlichen  Akademie  der  Wissenschaften  zu 
Wien.    Mathematisch-naturwissenschaftliche  Klasse.    Wien.  8^    1888. 

Wien.  Bauzig.:  Allgemeine  Bauzeitung  gegründet  von  Chr.  L.  Förster. 
Redigirt  unter  Mitwirkung  etc.  von  A.  Köstlin.  Wien.  R.  v.  Waldheim. 
Pol. 

Wien,  Ber.:  Sitzungsberichte  der  mathematisch -naturwissenschaftlichen 
Klasse  der  Kaiserl.  Akademie  der  Wissenschaften  zu  Wien.  Zweite  Ab- 
teilung.   Wien.   S".  XCV-XCVIL 

Wien,  Denkschr.:  Denkschriften  der  Kaiserl.  Akademie  der  Wissenschaften 
in  Wien.    Mathematisch-naturwissenschaftliche  Klasse.  Wien.  4*. 

WochenbL  ßlr  Bank.:  Wochenblatt  für  Baukunde.  Organ  der  Architekten - 
u.  Ingenieurvereine  von  Bayern,  Elsass-Lothringen,  ....  Herausgegeben 
von  Fr.  Scheck.    Berlin.    4^. 

W.  Oestr.  Ing.  u.  Arch.:  Wochenschrift  des  Oesterreichischen  Ingenienr- 
und Architekten- Vereins.     Redacteur  P.  Kortz.     Wien.    4®. 

Wolf  Z. :  Vierteljahrsschrift  der  naturforschenden  Gesellschaft  in  Zorich 
von  R.  Wolf.    Zürich.  8«.  XXXIII. 

JZ.  ätsch.  Ing.:  Zeitschrift  des  Vereins  deutscher  Ingenieure,  herausgegeben 
von  TL  Peters.    J.  Springer.    Beriin.   40.   XXXII,  XXXIII. 

Zeuthen  T.:  Tidsskrift  for  Mathematik,  üdgivet  af  J.  P.  Gram  og  H.  G. 
Zeuthen.   Kopenhagen.  8^.  (ö)  VI. 

Z.  f.  Bauwesen:  Zeitschrift  für  Bauwesen,  herausgegeben  im  Ministerium 
der  öffentlichen  Arbeiten.  Redacteure  0.  Sarrazin  u.  K.  Schäfer.  Berlin. 
Ernst  u.  Korn.  4°.  XXXVIII. 

Z.  Oestr.  Ing,  u.  Arch,:  Zeitschrift  des  Oesterreichischen  Ingenieur-  u.  Ar- 
chitekten-Vereins.   Redacteur  P.  Kortz.     Wien.    4^. 


Inhaltsverzeichnis. 


(Die  mit  einem  f  versebeDen  Arbeiten  sind  ohne  Referate.) 


Erster  Abschnitt.    Geschichte  und  Philosophie. 

Capitel  1.    Geschichte. 
A.    Biographisch -Literarisches. 

Seite 

\V.   W.  Ronse  Ball.     A   short  account  of  the    history    of  Mathe- 

matics 1 

Y.  Bobyuia.    De  T^tade  sar  l'histoire  des  math^matiqaes  en  Rassie  2 
J.  H.  Graf.    Geschichte  der  Mathematik  uDd  der  Naturwissenschaften 

in  heroischen  Lafiden.    I,  II 3 

fChambers's  Eocyclopaedia:  a  dictionary  of  universal  knowledge  .  3 
G.  Eneström.    Questions  19,  22.    Dänische   Gesellschaft   der  . 
Wissenschaften.     Question  20.    P.  Mansion.     Question  21. 

W.  W.  Beman.    Question  23 4 

fP.  Riccardi.    Saggio  di  uoa  bibliografia  Euclidea  I 4 

J.  L.  Heiberg.    Euclidis  elementa.    (Guclidis  opera  omoia  ed.  Hei- 
berg et  Menge.  V) 4 

S.  A.   ühristensen.    Gm   Ligninger   i    10<i«   Bog  af  Euclids    Ele- 

menter 5 

R.  T.   Greek  Geometry 5 

H.  Narducci.    Sur  Toptique  de  Claude  Ptolemee 5 

P.  Tanoery.    £tudes  sur  Diophante.    IV 6 

J.  S.  Mackay.    Pappus  on  the  progressions 6 

tE.  Sachaa.    AI  Birüni.    An  account  of  the  religion,  philosophy  etc.  7 

of  India  about  A.  D.  1030 7 

M.  »Steinschneider.    Jusuf  ben  Ibrahim  und  Ahmed  ben  Jusuf .   .  7 

M.  Cantor.    Ahmed  und  sein  Buch  über  die  Proportionen 7 

M.  Steinschneider,    fitudes  sur  Zarkali  (Appendice) 8 

P.  Riccardi.    Ancora  del  trattato   „De  quadratura  circnli^  di  Gio- 
vanni Battista  della  Porta 8 

H.  Weissenborn.    Gerbert.   Beiträge  zur  Kenntnis  der  Mathematik 

des  Mittelalters 8 

G.  Eneström.     Sur  trois  petits  trait^s  math^matiques   attribu^s  an 

eavaut  su^dois  Peder  Mänssen 9 

A.  Favaro.    Di  alcnni    nuovi  materiali   ^er  lo  studio  del  carteggio 

di  Ticone  Brahe 9 


Xii  labaltsverseichniB. 

Salt« 

Ph.  Oilbert.    Les  manaBcrits  de  Gaulle  et  lenr  histoire 9 

fL.  SchüBter.    Jobann  Kepler  nod  die   c^osBeo  kircblicbeo  Streit- 
fragen seiner   Zeit 10 

G.  Le  Paige.    Sor  one   tradnction  n^^erUndaise   de  la  mdtbode  de 

•perspective  de  Girard  Desargaes  et  aar  les  „LecooB  de  t^nöbres.*'  10 

Ch.  HoygenB.    Oeuvres  coinplötes  de  Christiaan  Haygens.     I  .   .   .  10 

f  G.  J.  Gray.    Bibliography  of  the  works  of  Sir  Isaac  Newton  .   .  12 

D.  Wierzbicki.     Leben  und  Wirken  des  Jobann  HeveliuB 12 

fD'Alembert.     Oeuvres  et  correspondances  inödites.    Pablides  par 

Ob.  Henry  :   .   .' 12 

fLagrange.     Oeuvres  compl^tes.     XI,  XII 12 

fFourier.    Oeuvres.    I.  Tn^orie  analytiqne  de  la  cbaleur 12 

Pb.  Gilbert.    Notice  snr  le  toms   premier  des  Oeuvres  de  Fourier  13 

H.  Goring.    Sopbie  Germain  und  Clotilde  de  Vanx 13 

J.  F.  Encke.    Gesammelte   mathomatische   und    astronomiscbe   Ab- 
handlungen.    I,  II 13 

A.  Cauohy.    Oeuvres  completes.    (1)  VI 14 

L.  Krone ck er.     Bemerkungen  über  Dirichlet's  letzte  Arbeiten  .   .  14 

G.  Segre.    G.  G.  G.  v.  Staudt  ed  i  suoi  lavori 14 

G.  Bricarelli.    Della  vita  e  delle  opere  del   P.  Angelo  Secchi   .   .  14 

G.  W.  Borohardt's  Gesammelte  Werke.     Hrsg.  von  G.  Hettner .   .  15 

E.  Gaporali.    Memorie  di  Geometria 16 

W.  Voigt.    Zum  Gedächtnis   von   G.  Kirchboff  .   .   .   , 18 

G.  B  ru  n  e  1.  Notice  sur  Tinfluence  scientilique  de  Guillaume-Jules  Houel  18 

R.'  Schräm.    Nekrolog.    Theodor  von  Oppolser 18 

R.  Schräm.    Notice  sur  les  travaux  de   Theodore  d'Oppolser  ...  18 

E.  d'Ovidio.     Francesco  Faa  di  Bruno 19 

A.  P&nek.    Leben  und  Wirken  des  P.  Wenzel  Simerka 19 

E.  Riecke.     Rudolf  Glausius 20 

fG.  W.  deTunzelmann.    Professor  Rudolf  Julius  Emanuel  Glausius  21 

fG.  F.  Fitzgerald.    The  death  of  Glausius 21 

fG.  Basso.     In  commemorazione   di  Rodolfo  Glausius  .' 21 

Rev.  John  Berwitt  Jellet 21 

A.  Voss.    Zur  Erinnerung  an  Axel  Harnack 21 

M.  Noelher.    Garl  Gustav  Axel  Harnack 21 

fW.  Gudworth.    Life  and  Gorrespondence  of  Abraham  Sharp  .   .    .  22 

fO.  M.  Mite  hei.     Astronomer  ana  General.    By  bis  son  .....  22 

4 Franz.    Gedäcbtdisrede  auf  Eduard  Luther 22 

J.  L.  E.  Dreyer.     H.  G.  F.  G.  Schjellerup 22 

P.  G.  Tait.    Dr.  Balfour  Stewart 22 

J.  Liagre.     Discours  prononce  aux  funerailles  de  J.  G.  Houzeau  .    .  22 

J.  J>  Sylvester.    The  late  Arthur  Buchheim 22 

R.  Tucker.    John  Brooksmith  t 23 

Obituary.    (Die    im   Jahre    1887    verstorbenen    Mitglieder   der  Royal 

Astronomical  Society.) 23 

Koloman  v.  Szily.    Ungarische    Naturforscher  vor  hundert  Jahren  23 

Nekrologe  über  Gronau,  Ide,  Buderus,  Luther,  Baltzer,  Snell,  Pisko  24 

A.  Gayley.    The  collected  mathematical  papers  I,  II 24 

E.  Gatalan.    M^langes   mathematiques.     III 25 

B.  Geschichte  einzelner  Disciplinen. 

R.  A.  Roberts.    Modern  Mathematics 25 

F.  Unger.     Die  Methodik  der  praktischen  Arithmetik  in  historischer 

Entwickelung 26 

F.  Unger.     Das  älteste  deutsche  Rechenbuch 27 

P.  Dziwinski.    „Algoritmus"  von  Thomas  Klos 27 


Inhaltsyerzeiohnia.  xm 

Seite 

K.  Hanrath.    Zor  Gescliicbte  der  anDaherDden  BerechouDg  quadra- 
tischer Irrationalitäten 27 

J.  L.  Heiberg.     Kleine  Anecdota  zur  byzantiniscben  Mathematik  .  28 

E.  Tregear.    The  natural  history  of  the  Rotoan  nnmerals 28 

P.  Manaion.    Note  historiqae  aar  la  r^gle  de  m4diation 28 

P.  Mansion.    Snr  une  table  du  papyras  Rhind 29 

5.  Gäother.    Ueber  eine  merkwärdige  Beziehung  zwischen  Pappus 

und  Kepler 29 

K.  Mi  wa.    Ueber  die  Binföhruog  einer  neuen  unabhängigen  Variablen 

in  Differentialgleichungen 30 

C.  A.  Bjerknes.    La  tentatire  de  Degen  de  g^n^raliser  le  th^oröme 

d'addition  d'Euler 30 

Q.  Eneström.    Sur  un  point  de  l'histoire  du  problöme  des  isop^ri- 

mötres 30 

f  L.  Anton.    Geschichte  des  isoperimetrischen  Problems 31 

R.  Klimpert.    Geschichte  der  Geometrie 31 

Q.  Loria.     Die  hauptsächlichsten  Theorien  der  Geometrie.     Deutsch 

von  F.  Schütte 31 

H.-G.  Zenthen.    Note  sur  Tusage  des  coordonn^es  dans  Tantiquitö  32 

E.  Lehmann.    De  la  Hire  und  seine  Sectiones  conicae.     I  .    .    .   .  32 

M.  Cnrtze.    Ueber  einen  De  La  Hire  zugeschriebenen  Lehrsatz  .   .  33 

H.  Schubert.    Die  Quadratur  des  Zirkels 33 

fi.  Weissen  bor n.    Ueber  die  verschiedenen  Namen  des  sogenannten 

geometrischen  Quadrates 33 

G.  Loria.     Notizie  storiche  sulla  geometria  numerativa 34 

E.  Gel  eich     Entwurf  einer  Geschichte  der  Gesetze  des  Stosses  .    .  34 

E.  Wohlwill.    Hat   Leonardo   da    Vinci  das  Beharrungsgesetz  ge- 

kannt?    35 

P.  Vedel.    Principet  af  den  mindste   Madestand 35 

F.  Grabe.    Zur  Geschichte  des  Problems  der  Anziehung  der  Ellip- 

soide.    n 36 

A.  Heller.    Die  bewegenden  Ideen  in  der  physikalischen  Forschung 

des  XIX.  Jahrhunderts  .    .   .   .  • 37 

Hele  Shaw.    Perpetual  motion 37 

T.  Her  teil  i.    Di   alcune  teorie  e  ricerche  elettro-sismiche    ....  37 
A.  M.  Clerke.    Geschichte  der  Astronomie  während  des  XIX.  Jahr- 
hunderts.   Deutsch  von  H.  Maser 37 

6.  Bilfinger.    Die  babylonische  Doppelstunde 38 

P.  Tanne ry.    La  grande  ann^e  d'Arietarque  de  Samos 39 

A.  Wittstein.     Historische  Miscelien 40 

M.  Steinschneider.    Ueber  das  Wort  Almanach 40 

Terzo  centenario  dalla  promulgazione  del  Calendario  Gregoriano  .    .  41 
6.  Alimonda.    L'aureola  della  scienza  alla  chiesa  nella  riforma  del 

calendario 41 

St.  Ferrari.    La  riforma  Gregoriana  del  calendario 41 

G.  Govi.    Della  invenzione  del  micrometro  per  gti  strumenti  astronomici  42 
A.  Pah  de.     Die   theoretischen    Ansichten    aber   die  Entstehung  der 

Meeresströmungen 42 

fD.  Mannheimer.    Die  Kosmogonie  bei  den  jüdischen  Philosophen 

des  Mittelalters 44 

•  « 

Oapitel  2.    Philosophie  und  Pädagogik. 

A.    Philosophie. 

Doormann.    Ueber  Gesetz  und  Gesetzmässigkeit 44 

Dieckert.    Uebiar  das  Verhältnis  des  ßerkeley'schen  Idealismus  zur 

EaDtisohen  Vernunftkritik 45 


XIY  InhaltsverseichDis. 

« 

Seite 

fF.  ClansBeo.    KritiBche   DarstellaDg  der  Lehren  Berkeley's  über 

Mathematik  und  Natarwisseoac haften 45 

Böhringer.     Kant*8  erkenntnistheoretischer  Idealismas 45 

O.  Riedel.    Die  Bedeutung*  des   Dings   an   sich   in    der  Kantischen 

Ethik 46 

H.  Frerichs.     Das  Vorstellen  und  das  Wirkliche 46 

S.  Tolver  Pres  ton.    On  some  apparent  contradictions  at  the  foun- 

dations  of  knowledge 47 

F.  H.  Collins.    On  some  nnapparent  contradictions  at  the  fonnda- 

tions  of  knowledge 47 

F.  Max  Müller.    Langaage-reason  .   .    • 47 

St.  6.  Mivart.     Reason  and  langnage 47 

J.  £.  Oliver.    Elementary  notes 48 

Pigtkiewicz.    Algebra  in  der  Logik 49 

fE.  Oaraj.    Los  Matematicas  foero  de  la  Lögica 49 

fH.  Rickert.    Zar  Lehre  von  der  Definition 49  . 

Michaelis.    Stuart  Miirs  Zahlbegriff 49'^ 

R.  Dedekind.    Was  sind  und  was  sollen  die  Zahlen? 49  . 

Manley  Hopkins.    The    cardinal   nnmbers,    with   an   introductory  ^ 

cbapter  on  cumbers  generally .'  52  ^ 

fR.  Rühlmann.    Philosophische  Arbeit  .Geber  die  Zahl* 52 

fL.  de  la  Rive.    Sur  la  composition  des  sentiments  et  la  formation 

de  la  notion  de  Tespace 52 

fR.  Bocksch.     Zur  Raumtheorie  Hermann  Lotze's 52 

P.  du  Bois-Reymond.     Ueber  die  Unbegreiflichkeit  der  Fernkraft  52 

Ostwald.    Die  Energie  und  ihre  Wandlungen 53 

Wronsky.    Das  Intensitätsgesetz  und  die  Gleichartigkeit  der  ana- 
lytischen Formen  in  der  Lehre  von  der  Energie 54 

Frerichs.    Zur  modernen  Natnrbetrachtung 54 

Frerichs.     Die  Hypothesen  der  Physik 56 

y.  A.  Julius.     Wetten   en  hypothesen  op  het   gebied    der   natuur- 

kuode 57 

F.  Kerz.     Weitere  Ausbildung  der  Laplace'schen  Nebularhypothese. 

Ein  Nachtrag 57 

A.  Rysänek.     Versuch  einer  dynamischen  Erklärung  der  Gravitation  59 

H.  F.  Th.  Beyda.    Das  Newton'sche  Gravitatioosgesetz 59 

Piper.     Ein  mathematischer  Beweis  der  Unsterblichkeit  der  Menschen  60 

fP.  Hampson.    The  Romance  of  Matheroatics 60 

fA.  T.  Schofield.    Another  world;  or  the  fourth  dimension  ....  60 

B.    Pädagogik. 

P.  Mansion.    Sur  le  cours  d'hietoire   des  math^matiques  de  TUni- 

versitz  de  Gand 61 

P.  la  Cour.    Historisk  Mathematik 61 

J.  J.  Milne.     Companion  to  the  weekly  problem  papers 62 

tG.  Morera.    L'insegnamento  delle  scienze  matematiche  nelle  Uni- 
versita    63 

fA.  Gille.     Herbart*8  Ansichten  über  den  mathematischen  Unterricht  63 

On  the  teaching  of  arithmetic 63 

A.  Lodge.    The  multiplication  and  division  of  concrete  quaotities  .  64 
J.   WolBtenholme.     Examples    for   practice    in    the  use    of  seven 

figure.logarithms 64 

H.  Müller.     Besitzt   die    heutige   Schulgeometrie  noch  die  Vorzüge 

des  Euklidischen  Originals? 64 

fA.  H.  Blunt.     Kuclid's  metbod,  or  the  proper  way  to  treat  on  geo- 

metry 6.5 

L.  H  ein  ze.    Der  Vorbereitungs- Unterricht  in  der  Geometrie  in  Quinta  65 


Inhalts  verseiohniB.  XY 

Seite 

O.  Seh  15 milch.     Zum  Unterricht  in  der  analytischen  and  der  de- 

scriptiven  Geometrie 65 

A.  Hasmann.    Zar  BinfBhrang  in  die  Physik 65 

P.  Ludwig.    Weitere  Kapitel  zar  mathematischen  Botanik 66 

fO.  Kaeseberg.    Beiträge   zar   Qeschichte  des  natarwissenschaft-r 

liehen  Unterrichts  in  den  Schalen  Deatschlands 66 

fP.  Wildfeaer.    Ueber  die  Anfange  des  physikalischen  Unterrichts 

in  der  Volksschale 66 


Zweiter  Abschnitt.    Algebra. 

Capitel  1.    Qleichangen.     (Allgemeine  Theorie.     Besondere  algebraische 

and  transcendente  Qleichangen.) 

B.  Illigens.    Zar  Weierstrass-Cantor'schen  Theorie  der  Irrational- 

*^       zahlen 67 

•  Cantor.    Bemerkang  mit  Bezag  aof  den  Aufsatz  von  Illigens  .  .     67 
«.   Christof  fei.    Lehrsätze   über   arithmetische   Eigenschaften   der 

Irrationalzahlen 68 

L.  Baar.    Zar  Theorie  der  Dedekind'schen  Ideale 72 

K.  Schwerin g.  Untersachangen  aber  die  Normen  complezer  Zahlen  72 
0.  A.  Laisant.  Constractions  grapbiqaes  de  nombres  transcendants  73 
L.  Kronecker.    Zar  Theorie   der   allgemeinen   complezen   Zahlen 

and  der  Modalsysteme 73 

K.  He n sei.    Ueber   die   Darstellaog   der   Zahlen  eines  Gattaogsbe- 

reiches  far  einen  beliebigen  Primdivisor 73 

F.  Mertens.    Ueber  die  Ermittelang  des  Teiles  einer  ganzen  ganz- 

zahligen  Function  einer  Veränderlichen 74 

F.  Mertens.    Ein  Beweis  des  Fundamentalsatzes  der  Algebra.   .   .      74 

A.  Harwitz.    Ueber  diejenigen  algebraischen  Gebilde,  welche  ein- 

deatige  Transformationen  in  sich  zulassen 74 

F.  J.  van  den  Berg.    Nogmaals  over  afgeleide  wortelpunten   ...      75 

F.  J.  van  den  Berg.    De  constructie-figuur  voor  de  oplossing  vbu 

een  stelsel  lineaire  vergelijkingen,  beschouwed  als  cocfiguratie  .      76 

G.  Isenkrahe.    Ueber  die  Anwendung  iterirter  FuDCtiooeo  zar  Dar- 

stellung   der    Wurzeln    algebraischer   und   transcendenter  Glei- 
chungen        76 

J.  Dolbnia.    Sur  le  critöre  de  Galois  concernant  la  r^solubilitä  des 

6quations  alg^briques  par  radicanz 77 

Ch.  EL  er  mite.    Sur  un  memoire  de  Laguerre,   concernant  les  4qua- 

tions  alg^briques 77 

J.  P.  Söderberg.    Demonstration  du  th^oreme  foodamental  de  Ga- 
lois dans  la  th6orie  de  la  r^solution  algdbrique  des  ^quations  .      77 
fF.  Kähnen.    Ueber  die  Galois'sche  Gruppe  der  Gleichung  27.  Gra- 
des, von  welcher  die  Geraden  auf  der  allgemeinen  Fläche  dritter 

Ordnung  abhängen 78 

H.  W.  Lloyd  Tanner.    A   graphic   representation  of  the  theorems 

of  Sturm  and  Fourier 78 

Haure.    Sur  le  th^or^me  et  les  fonctions  de  Sturm 79 

Correspondance •  .   .   . 79 

Aug.  Poulain.    Th^oremes  sur  les  4quations  algöbriques 79 

Aag.  Poulain.    Th^orömes  sur  les  ^quations  algibriques  et  les  fonc- 
tions quadratiques  de  Campbell 80 

B.  Lampe.    Solation  of  question  7341 80 

Fr.  Hof  mann.     Sur  Tezistence  de  trois  racineR  reelles  de  T^quation 

qui  d^termine  les  azes  principauz  d'nn  cöne 80 


XYI  lohaltsyerseichDis. 

Seite 

Fr.  Hofmano.    La  solotion  göom^triqae  de  r^qaatioo  da  qaatrUme 

degr6 80 

J.  J.  Sylvester  and  J.  Hammond.    Oa  Hamilton's  oambers.    II  .  81 
F.  Brioschi.    Sopra  ana  trasformazione  delle  eqnasiool  del  quinto 

grado 81 

F.  Brioschi.    Priocipii  di  ana  teoria  salla  trasformasiooe  delle  eqaa- 

zioDi  algebriche 82 

F.  Brioschi.    La  forma  ooroiale  delle  eqaaziooi  del  sesto  grado  .  .  83 

H.  Maschke.    La  risolazione  della  eqoaziooe  di  sesto  grado  ....  83 

F.  Brioschi.    Osservazioni  snlla  commamcazione  di  H.  Maschke.  .  83 

F.  Brioschi.     Sar  r^qaation  da  sixieme  degrö 84 

fF.  Wilshaus.    üeber  die  algebraische  Aaflösbarkeit  der  Gleichao- 

geo  achten  Grades 8i 

*Halphen.     Correspoodance 84 

M.  d'Ocagne.     Sar  les  ^qaations  alg^briqaes  4  racines  toates  reelles  85 

G.  Foaret.    Sar  ane   soarce   d'6qaations   alg^briqaes    ayant   toates 

lears  racines  reelles ^5 

G.  Foaret.    Sur  certatns  types  d*6qaations  algöbriqaes  ayant  toates 

lears  racines  reelles ^ 

Ch.  B.    Solution  de  la  qaestion  d*alf2:^bre  propos6e  poar  etc SC 

N.  Madsen.  RakkendvikÜnger  afRödderne  i  Ligaingen  jr*»-Hur-f-6=0  86 

D.  Amanzio.    Intoroo  ad  aoa  fanzione  isobarica ^  86 

Ch.  Hermite,  A.  R.  Johnson,  D.  Edwardes.    Solotions  of  qaes- 

tion  9072 87 

G.  W.  Baar.    Symmetrische  and  cyklische  Behandlang  einer  algebrai- 
schen Frage 87 

fD.  M.  Sensenig.    N ambers  symbolized.    An  elementary  algebra  .  88 

-j-E.  A.  Bowser.    College  algebra 88 

fE.  A.  Bowser.    Academic  algebra 88 

fP.  Andr^.     Ezercices  d'algebre,  probldmes  et  theoremes.    4«  6d.   .  88 

fj.  Schamacher.    Zar  Theorie  der  quadratischen  Gleichangen    .    .  88 
fG.  Z.  Reggio.    Complementi  d*algebra  per  gli  allievi  degli  Istitati 

Tecnici ,88 

fF.  Garn  bar  della.    Lezioni  di  algebra  oomplementare 88 

Capitel  2.    Theorie  der  Formen. 

E.  B.  EUiott    Co   pure  ternary  reciprocants,  and  functions  allied 

to  them 89 

E.  B,  Elliott.    On   cyclicants,   or  ternary   reciprocants   and   allied 

fanctions 89 

A.  Berry.    Simaltaneous  reciprocants 90 

P.  A.  Mac  Mahon.    The  algebra  of  malti-linear  partlal  differential 

Operators 91 

A.  Capelli.    Bicerca   delle   operazioni   invariantive  fra  piü  serie  di 

variabili  permutabili 92 

A.  Capj^li.     Una  legge  di  reciprocitä  per  le  operazioni  invariantive 

fra  dae  serie  di  ▼ariabili  n^ 92 

A.  Capelli.     Ricerca  delle  operazioni   invariantive   fra   piü  serie  di 

variabili 93 

A.  R.  Forsyth.    Invariants,  covariants  and  quotient-derivatives  asso- 

ciated  with  linear  differential  equaiions 95 

A.  R.  Forsyth.     A  class  of  fanctional  invarianjts  r. 9S 

A.  R.  Forsyth.    Homographic  invariants  and  Quotient  derivatives   .  98 

J.  Deraytfl.    Snr  la  differentiation  mutaelle  dea fooctions  invariantes  100 

C.  Le  Paige.     Rapport 100 

J.  Derayts.    Sar  qaelqaes  propriet^s  des  transformations  Unfaires  .  101 


InhaltsyerzeicbDis.  XVII 

Saite 

5.  Lie.    Die  Begriffe  Grappe  aad  lovariaote 101 

P.  MansioD.    Sar  la  d^6nition  dea  luvariants  et  covariants   ....  102 

L.  Maurer.     Ueber  allgemeioere  lorarianten-Systeme 102 

F.  Klein.    Ueber  irrationale  Govarianten 104 

A.  R.  Forsytb.    The  differential  eqaations  satisfied  by  concomitanU 

of  qoanticB 105 

A.  Voss.     Ueber  einen  Satz  ans  der  Theorie  der  Formen 107 

F.  Hertens.    Invariante  Gebilde  von  Nallsystemen '.    .  107 

D.  Hubert.    Znr  Theorie  der  algebraischen  Gebilde 109 

D.  Hubert.     Ueber  die  Eudiichkeit  des  Invariantensysteroa  für  binäre 

Gnindformen 110 

D.    Hubert.    Ueber   binäre   Formen   mit   vorgeschriebener   Discri- 

minante 110 

D.  Hubert.    Ueber  Büschel  von  binären  Formen  mit  vorgeschriebener 

Functionaldeterminante 110 

R.  Wnl finghoff.     lovariantenrechnung 111 

K.  Pascal.    Sopra   un'  äpplicazione  del  metodo  per  esprimere  nna 

forma  invariantiva  di  una   binaria   cabica   mediante   quelle    del 

sistema  completo »   .   .   .   .    112 

£.  Pascal.    Sopra  aicune   forme  invariantive  del  sistema  di  due  bi- 

narie  biqnadrfttiche  .    .    ?^  . 112 

K.  Pascal.    Sopra  certi jcovarianti  simnltanei  del  sistemi  di  dae  qnar- 

tiche  e  di  due  quintiche 112 

E.  Pascal.    Su  di  un  teorema  sul  calcolo  simbolico  nella  teoria  delle 

forme  binarie , .    113 

E  Pascal.  Aggiuote  alla  nota  intitolata:  sopra  un  teorema  sul  cal- 
colo simbolico  nella  teoria  delle  forme  binarie 113 

£.  Pascal.     Sopra  an  teorema  fondamentale  nella  teoria  del  calcolo 

simbolico  oelle  forme  binarie .113 

K.  Pascal.  Sopra  le  relazioni  che  possono  snssistere  identicamente 
fra  formazioni  simboliche  del  tipo  invariantivo  nella  teoria  gene- 
rale delle  forme  algebriche 1^^ 

G.  Battaglinij  E.  Betti.     Belazione 115 

R.  Perrin.    Snr  l'identit^  des  pöninvariants  des  formeS  binaires  avec 

certaines  fonctions  des  d6riv6es  unilaterales  de  ces  formes    .   .    115 

h<V  Cesaro.    Calcul  des  sous-invariants llti 

M.  d'Ocagne.    Sur  les  systemes  de  p^oinvariants  principaux  d'une 

forme  bioaire 117 

M.  d'Ocagne.    Note    sur   les  systemes  de  p^ninvariants  principaux 

des  formes  binaires 117 

J.  t>ernyts.    Sur  1er  semi-invariants  de  formes  binaires 117 

J-  Petersen.    Gm  binäre  Formers  Kovarianter 117 

Stroh.    Ueber  einen  Satz  der  Formeotheorie llS 

Stroh.    Ueber  die  asyzygetischen  CovarUnten   dritten  Grades  einer 

binären  Form 119 

Str()h.     Ueber  eine  fondamentale  Eigenschaft  d«s  Ueberschiebungs- 

Srocesses    und    deren    Verwertung   in   der  Theorie  der  binären 
'orroen 120 

G.  Torelli.    Della  trasfiprmazione  cubica  di  una  forma  binaria  cubica    122 
G.  Torelli.    Della  trasfofmazione  cubica 123 

6.  Pittorelli.    Sülle  forme  appartenenti  all'  ottaedro 123 

G.  l'ittarelli.     Intorno  alla  trasformazione  del  differenziale  ellitttco 

effettnata  per  roezzo  della  rappresentazione  tiplca  delle  forme 

binarie  di  3^  e  4«  grado 125 

R   Rnssell.    Geometry  of  the  quartic 125 

G.  Maisano.-   Die   Steiner'scbe    Covariante    der   binären    Form  6^' 

Ordnung 125 

Fortachr.  d.  Math.  ZX.  3.  B 


Xvm  iDhaltsverseichnis. 

8«tte 

E.  d'O  V  i  d  i  0.  11  covariaDte  SteineriaDo  di  aoa  forma  bioaria  del  6^  ordine    126 

P.  Gordao.     Die  DiscrimioaDte  der  Form  7^»  Grades /=  a«  ....    126 

V.  Gall.  Das  vollständige  FormeDsystem  der  bioäreo  Form  l^r  Ord- 
nung .  .   .    : 128 

V.  Gall     Die   irredaciblen    Sysyganten  zweier  simnltaDen  kubischen 

Formen 128 

V.  Gall.     Die  Syzyganten  zweier  simnltanen  binären  biqaadratischen 

Formen 129 

L.  Schendel.     Verschiedene   Darstellnngen    der    Resnltante  zweier 

binären  Formen 129 

E.  d'Ovidio.     Sopra   alcani   invarianti    di    dae* forme  binarie  degli 

ordini  5e2oöe3ein  particalare  eul  risnltante  di  esse  .   .    129 

E.  d'Ovidio.    8opra  alcani  inFarianti  di  dne  forme  binarie  degli  or- 

dini 6  e  4  e  snl  risnltante  di  esse 130 

A.  R..Forsyth.  Systems  of  reduced  simultaneona  ternary  forma  equi?- 
alent  to  a  given  ternary  form,  which  involves  several  sets  of 
variables 132 

F.  Dingeldey.    Die  Concomitanten  der  ternären  kubischen  Formen, 

insbesondere  der  Form  «jxf — 44:|H-^,xJx, -|-y,a:J 133 

F.  Hertens.     Ueber  die  invarianten  Gebilde  einer  ternären  kabischen 

Form •. 133 

J.  Derayts.    Sar   la  tb^orie    des    formes    alg^briqaes  ä  an  nombre 

qaelconqae  de  variables 134 

W.  Gross.     Ueber  die  Combinanten  binärer  Formensysteme,  welche 

ebenen  rationalen  Gurven  Kogeordnet  sind 134 

G.  Frobenius     Ueber   die   Jacobi'schen   Covarianten   der  Systeme 

von  Berührungskegelschnitten  einer  Carve  vierter  Ordnung  .  .  .  135 
H.  Schwarz.  Ein  Beitrag  zur  Theorie  der  Ordnungstypen  ....  135 
fK.  E.  J.  Keil.     Covarianten  eines  ebenen  Systems,   bestehend  aas 

einem  Kegelschnitt  und  mehreren  Geraden M5 

fE.  Meyer.  Die  rationale  ebene  Carve  vierter  Ordnung  und  die  bi- 
näre Form  sechster  Ordnung 135 

G.  Battaglini.  Intorno  ad  an'  applicazione  della  teoria  delle  forme 
binarie  quadratiche  all'  integrazione  dell*  eqaazione''differenziale 

ellittica 135 

G.  Battaglini.     Sulle  forme  binarie  bilineari  . 130 

Capitel  3.     Elimination  und  Substitation.     Determinanten, 

symmetrische  Functionen. 

J.  Vivanti.     Ein  Satz  aus  der  Gliminationstheorie l3^) 

G.  Loria.    Zur  Eliminationstheorie t3<i 

H.  Laurent.     Sur  la  tb^orie  de  l'^liminatioo 130 

E.  Pomey.    Sur  le  plus  grand  commun  divieeur  de  deux  polynömes 

entiers 137 

R.  Perrin.     Sur  la  relation  qui   eziste   entre  p  fonctions  entiöres  de 

(p — 1)  variables 137 

R.  Perrin.    Sur  les  crit^ria  des  divers  genres  de  Solutions  multiples 

communes  ä  deux  ^quations 137 

R.  Perrin.     Sur  les  crit^ria  des  divers  genres  de  Solutions  multiples    ' 

communes  ä  trois  ^quations  ä  deux  variables 137 

E.  Netto.  Untersuchungen  aus  der  Theorie  der  Substitutionen- 
Gruppen  138 

L.  Sylow.    Sur  les  groupes  traositifs  dont  le  degr^  est  le  carr^  d'nn 

nombre  premier 139- 

H.  Maschke.  Ueber  eine  quaternäre.  Gruppe  von  51840  linearen 
Substitutionen,  welche  die  ternäre  Hesse'ache  Gruppe  als  Unter- 
gruppe enthält       13ji 


lahaltsverzeichnis.  XIX 

•  8«it« 

A.  üayley.    Oo  the  theory  of  gronps 140 

Q.  Foglini.    Delle  sostitasioot  e  della  loro  applicftEiooe  delle  eqaa- 

sioDi  algebricbe 140 

K.  Ooursat     Sar  les  substitutioos  orthogoDales  et  les  divisioos  r^- 

gulieres  de  l'eBpace 141 

C.  Ciapier.    Solation  d'ane  question 141 

L.  L6vy.     Note  d'algebre 141 

tB.    Marggraf  f.     Ueber   primitive  Qrappeo   niit   traoBitiven  Uoter- 

grappen  geriogereo  Grades 141 

Tb.  Muir.     The  theory  of  determinaDta    in   the   bistorical   order  of 

developmeut 141 

Tb.  Muir.     Ad  incorreot  footoote  and  its  consequences 142 

R.  Copeland.    Note 142 

fF.  A.  y  G.  M.  M orale B.    Teoria  elemeotal  de  las  determinaDtes  y 

BUB  priocipales  aplicaciones  al  algebra  y  la  geometria 142 

Tb.  Mair.     Nomenclatare  in  deterrainaDtB 142 

A.  Powel.     Anwendung  der  Determinanten  in  der  Schale 142 

fW.  Thomson.    Introdaction  to  determinants 14S 

W.  Scheibner.    Mathematische  Bemerkungen 143 

F.  J.  Stadniöka.    Neue  Ableitung   des   dritten  FundamentalsatzeB 

der  Determinantentheorie 143 

B.  J.  Glasen.     Sur  une  nouvelle  möthode  de  r^solution  des  ^quations 

unfaires   et   sur   Tapplication   de    cette  m6thode  an  calcul  des 

determinants 143 

A.  S.  Flirt.  A  brief  control  för  general  Solutions  of  normal  equations  145 
A.  H.  Anglin.     On   certain   theorems   mainly  connected  with  alter- 

nantB.  II 145 

A.  H.  Anglin.    Alternants  which  are  constant  multiples  of  the  diffe- 

rence-product  of  the  variables 145 

Tb.  Muir.    On  a  simple  class  of  alternants  ezpressible  in  terms  of 

aimple  alternants 145 

rb.  Muir.    On  vanisbing  aggregates  of  determinants 146 

G.  Loria.    Nota  bu  una  classe  di  determinanti 146 

A.  Tarleton.    On  a  new  method  of  obtaining  the  conditions  fulfiiled 

when  the  harmonic  determinant  equation  has  eqnal  roots ....  146 

Marcband.    Discussion  de  l'^quation  en  « 147 

Weill.     Sur  une  forme  du  d6terminant  de  Vandermonde 148 

Raimondi.    Un  teoroma  sui  determinanti  di  differenze 148 

K.  Weihrauch.    Ueber  gewisse  Determinanten 148 

F.  G.  Teizeira.     Demonstration  d'une  formule  de  Wariug 148 

J.  Moucbel.     Gorrespondance 149 

J.  Hermes.    Determinanten  bei  wiederholter  Halbirung  des  ganzen 

Winkels 149 

6.  Brunei.    Sur  les  racinsB  des  matrices  zeroidales 149 

tA.  Kumamoto.    Zur  Theorie  der  .Matrices* 140 

A.  Buch  heim.    Note  on  matrices  in  involution 149 

W.  J.  G.  Sharp,  D.  Edwardes.    Solation  of  question  8940.   .   .   .  150 

W.  J.  C.  Sharp,  D.  Edwardes.  Solution  of  question  8970.  .  .  .  150 
S.  Dickstein.    Ueber   die   Eigenschaften  und  einige  Anwendungen 

der  Wronskiane ir>l 

T.-J.  Stieltjes.    Sur  une  göneralisation  de  la  formule  des  accroisse- 

ments  finis 151 

£.  G.  Valentin  er.    Om    Betingelserne  for,    at  der  mellem  tre  hele 
rationale  Polynomieri   der   ene   homogene  af  sarome  Grad  i  tre 

Variable  fiudes  en  identisk  Ligninji: 152 

S.  Tebay,  D.  Edwardes,  Priuce  de  Polignac.   Solation  of  ques- 
tion 9325 152 


rfv 


fn 


B 


<i 


XX  lohaltSTerseiehois. 

6«ite 

J.  Neaberg.    Solntion  of  questioo  9150.  .    .   .  * 152 

W.  J.  C.  Sharp,  J.  Wolstenholme.  Solution  of  qoeBtion  2109  .  152 
A.  Cayley.     Note  oo  the  relation  between  the  distaDces  of  five  poiDts 

in  Space 153 

A.  E.  Rahosen.    Sar  quelques  propri^tes  des  d^termioaDta,  appliquöea 

ä  une  questioo  de  geom^trie  ä  n  dimeosioDS IIA 

fA.  Boucher.     Du  d^termioant  quadrilatere 154 

D.  Hubert.     Ueber  die  Discriminaote  der  im  EodlicheD  abbreoheo- 

den  hypergeoinetrischeo  Reihe 164 

Fr.  Meyer.     Ueber  DiscrimiDauten    und    Resultauten  voo  Siognlari- 

täteogleichuDgeo 155 

R.  Lach  lau.    Oo    certain    Operators    io    coDoectioo   with  Symmetrie 

functions 156 

P.  A.  Mac  Mahou.     Symmetrie    functions    and  the  theory  of  distri- 

botions 156 

P.  A.  Mac  Mahoo.  Memoir  on  a  new  theory  of  Symmetrie  functions  156 
P.  A.  Mac  Mahon.     The  eliminaut  of  two  bioary  quaotics 157 

Dritter  Abschnitt.     Niedere  und  höhere  Arithmetik. 

Capitel  1.     Niedere  Arithmetik. 

Th.  Spieker.     Lehrbuch  der  Arithmetik  und  Algebra 158 

C.  E.  Eoholtz.     Reine   Arithmetik.     I.     3 159 

K.  Lembke.     Allf<emeine  Arithmetik  und  Algebra 159 

F.   Fischer.      Anfangsgründe    der    Mathematik.     L    Arithmetik    und 

Algebra IGO 

fG.  Taschetti.     Trattato  di  aritmetica  razionale 160 

fl).  A.  Coen.    L*aritmetica  razionale ICO 

tLacroix.    fil^ments  d'algebre 160 

f  Lacroix.     Uompl^ment  des  filcments  d'algebre KiO 

fA.  Nunez  de  Oouto.     Tratado  de  arithmetica  theorico-practiea    .  160 
H.  Servus.     Sammlung  von  Aufgaben  aus  der  Arithmetik  und  Algebra  161 
M.  Fetscher.     Arithmetisches.     AuOösnngen  zu  arithmetischen  Auf- 
gaben    161 

f  A.  Moroff.     Regeln  und  Erklärungen  zum  Rechnen 162 

F.  Amodeo.     Correlaziooe  fra  i  teoremi  delle  operazioni  sui  nnmeri 

interi 162 

M.  Oremigni.     Le  proprieta  della  somma  e   della  differeoza  estese 

ai  polinomi  algebrici 162 

J.  Kaspr.     Ueber  die  Bestimmung   der  dritten    Potenz   und  Wurzel  162 

G    Giuliani.     Sopra  un  teorema  della  divisione  algebrica 162 

E.  Saduu.     Condizioni  dt  divisibilita  d'un  polinomio  per  un  binomio  163 

F.  Giudice.     Süll'  estrazione  di  radice  approssimata 163 

fSyduey  Lupton.     The    art   of   computation    for    the    purposes  of 

science 164 

fW.  Ramsey,    Sydney  Young,    E.   Erskine    Scott,    G.    King. 

The  art  of  computation  for  the  purposes  of  science 164 

fS.  Miecznikowski.     Näherunprsrechnung 164 

J.  Oiekmaon.     Zur  Auflösung    der   dreigliedrigen   irrationalen  Glei* 

chungen  mit  linearen  Radicanden 164 

J.  van  Hongel.  Beweis  des  Satzes,  dass  unter  allen  reellen  posi- 
tiven «ganzen  Zahlen  nur  das  Zahlenpaar  4  und  2  für  o  und  6 
der  Gleichung  nf>  ^=  f,a   genügt 164 

G.  Beruardi.     Tavole  dei  qnadrati  c    dei  cubi  dei  numeri  interi  da 

1  a  1000  etc.  con  un  teorema  nuovo  sopra  la  radice  cubica  .    .     165 
tH,  Wolff.     Sätze  und  Regeln  der  Arithmetik  und  Algebra  ....    165 


lahaltsverzeicbDis.  XXI 

Seite 

tB.  Bardey.  Arithm.  AafgabeD  nebst  Lehrbuch  der  Arithmetik  .  .  166 
f  E.  Bardey.    Resultate    nebst   AnflösuDgen   su   den  arithmetischen 

Aufgaben 166 

fB.  Bardey.     Methodisch   geordnete    Aufgabensammlung   über   alle 

Teile  der  Blementar-Arithmetik.     14.  Aufl 166 

fB.  Bardey.     Methodisch  geordnete  Aufgabensaroml.    Abschn.  XXfI.  166 

Capitel  2.     Zablentheorie. 

A.     Allgemeines.  * 

J.  Sochotzky.    Höhere  Algebra.  II 166 

J.  J.  Sy Wester.     Note  on  a  proposed  uddition  to  the  vocabulary  of 

ordinary  arithmetic 169 

J.  J.  Sylvester.  On  certaio  inequalities  relatiüg  to  prime  numbers  169 
P.  W.  Preobraschensky.     Ueber  die  Anzahl  der  Primzahlen  und 

zusammengesetzten  Zahlen  zwischen  gegebenen  Grenzen  ....  170 

P.  S.  Poretzky.    Zur  Lehre  7on  den  Primzahlen  . 171 

L.  Gegenbauer.    Note  über  die  Anzahl  der  Primzahlen 171 

B.  Saint-Loup.    Snr  la  repr^sentation  graphique  des  diviseure  des 

nombres 172 

J.  Perott.    Bemarque    au  sujet  du  th6oreme  d'Buclide  sur  l'infinit^ 

du  nombre  des  nombres  premiers 172 

Loir.     Oaractere  de  la  divisibilitä  d'un  nombre  par  un  nombre  premier  172 

C.  A.  Laisant.    Remarques  arithmdtiques  sur  les  nombres  composds  172 
P.  W.  Preobraschensky.     Eine    besondere    Art  der  trigonometri- 
schen Reihen 172 

R.  W.  D.  Christie.    Note  on  perfect  numbers 173 

J.  J.  Sylvester.    Sur  les  nombres  parfaits  (3  Koten) 173 

J.  J.  Sylvester.    Sur  une  classe  speciale  des  diviseurs  de  la  somme 

d'une  s6rie  geom^trique 173 

J   J.  Sylvester.    Snr  rimpossibilitö  de  Texistence  d'un  nombre  par- 

fait  impair  qui    ne  contient   pas    au  moins  5  diviseurs  premiers    173 

Gl.  Servals.     Snr  les  nombres  parfaits 174 

M.  d'Ocagne.    Sur  la  dötermination    du    chiffre   qui,    dans  la  suite 

naturelle  des  nombres,  occupe  un  rang  donn4 174 

J.  J.  Sylvester,  Cnlley,  R.  W.  D.  Christie.  Solution  of  question 

9112 174 

M.  d'Ocagne.     Solution  de   la  question   de  mathSmatiques  ^l^men- 

taires  propos^e  au  concours  g^n6ral  de  1887 174 

A.  Andreini.  Sopra  una  proprietä  singolare  di  alcuni  numeri  .  .  .  175 
O.  Simony.   Ueber  einige  mit  der  dyadiscben  Schreibweise  der  ganzen 

Zahlen  zusammenhängende  arithmetische  Sätze 175 

C.  A.  Laisant.     Sur  la  numeration  factorielle,   application  aux  per- 

mutations 175 

O  Scblömilch.  Eine  Eigenschaft  der  Binomialcoefficieoten  ....  176 
G.  Vivanti.    Ueber  eine  Eigenschaft  der  Binomialcoefficieuteo     .    .    176 

A.  Lngli.    Snl  numero  dei  numeri  primi  da  l  ad  n 176 

J.  J.  Sylvester.    Preuve  ^lementaire   du  th^or^me  de  Dirichlet  sur 
les  progressions   arithm^tiques    dans  le  cas   oü  la  raison  est  8 

oo  12 176 

J.  J.  Sylvester.  On  the  divisors  of  the  sum  of  a  geometrical  series  176 
F.  Panizza.  Nota  su  alcuoe  somme  di  potenze  e  di  prodotti  .  .  .  177 
M.  Marione.    Nota  ad  una  dimostrazione   di  un  celebre  teorema  di 

Fermat 178 

C.  Garibaldi.    Nnova  dimostrazione  di  un  teorema  di  Fermat  .    .    .    178 
H.  Keferstein.    Eine  Methode  zur  Bestimmung  der  primitiven  Wur- 
zeln der  Congruenz  gp-^  ~  1  (mod.  p),  für  einen  reellen  Prim- 
zablmodul  p 178 


xxn  InhaltsverzeicbDiB. 

Seite 

Jos.  Mayer.    Ueber  die  Grösse  der  Pertode  eines  oneDdltchen  T^e- 

ciroalbruchs 179 

L.  Gegenbaaer.    Note   über   das  quadratische  Beciprocitätsgesets  179 
J.  Hack 8.    Schering*s  Beweis  des  Reciprocitäts-Satses  fär  die  qua- 
dratischen Reste 179 

H.  Bork.    UntersQchnngen  ober  das  Verhalten  zweier  Primsahlen  in 

Bezug  auf  ihren  quadratischen  Restcharakter 179 

L.  Ltebetruth.    B||trag  zur  Zahlentheorie 179 

M.  Pro  low.    Sur  les  6galit6s  ä  denx  degr^s 180 

L.  Gegenbaner.    Zwei  Eigenschaften  der  Primzahl  3 IBO 

Th.  Pepin.    Sur  quelques  formules  d'analyse  utiles  dans  la  th^orie 

des  nombres 180 

N.  Sarkar,  A.  Martin.    Solution  of  question  9287 181 

F.  J.  Studnidka.    Ueber   die   allgemeine    Auflösung  der  Gleichung 

ajry-*-x*— j^»  =  ±l 181 

R.  Marcolongo.    Süll*  analisi  indetermtnata  di  2®  grado 181 

B.  H.  Rau,  H.  Planienewsky,  H.  L.  Orchard.     Solution  of  ques- 

tion 9111 181 

R.  W.  D.  Christi e.     Notes,  Solutions,  and  questions 181 

K.  Schwering.     Eine  Eigenschaft  der  Primzahl  107 182 

L.  Kronecker.     Ueber   die    arithmetischen  Sätze,   welche  Lejeune 

Dirichlet  in  seiner  Breslauer  Habilitationsschrift  entwickelt  hat  lb2 

£.  Busche.    Zur  Anwendung  der  Geometrie  auf  die  Zahlentbeojie  .  183 

E.  Busche.    Ueber  die  Euler'sche  «^-Function 183 

E.  Busche.    Ueber  grosste  Ganze 183 

E.  Meissel.    Ueber  Restsummen 184 

M.  Lerch.     Sur  une  formule  d'arithm^tique 184 

M.  Lerch.     Tb^oremes  d'arithm^tique 184 

M.  Lerch.     Sur  une  formule  d'aritbmötique 184 

A.  Strnad.    Vier  arithmetische  Lehrsätze 185 

N.  W.  Bugaieff.     Sur  les  fonctions  discontioues  logarithmiques  .   .  185 
N.  W.  Bugaieff.    Die  Eigenschaften  eines  Zahlenintegrals  nach  den 

Diviaoron 186 

N.  W.  Bugaieff.     Allgemeine  Methoden  der  Berechnung  der  Zahlen- 
integrale nach  den  Divisoren 186 

N.  W.  Bugaieff.     Snr  une  integrale  num^rique  suivant  les  diviseuri^  187 

E.  Oesaro.     Sur  une  fooction  arithm^tique *.  187 

E.  Cesaro.     Sur  les  lois  asymptotiques  des  nombres 188 

E    Oesaro.     Sur  les  syst^mes  des  nombres  entiers 188 

E.  Cesaro.     Sur  les  fondements  du  calcul  asym^itotique 18^ 

Jensen.     Observations  sur  une  communication  r^cente  de  M.  Cesaro  188 

E.  Oesaro.     Remarques  relatives  aux  objections  faites  par  M.  Jensen  189 
E    Cesaro.     Sur   une    proposition    de    la   th^orie    asymptotique  des 

nombres " 189 

t  P.  Goyeu.     Higher  arithmetic  and  elementary  meneuration  .    .   .   .  189 

tJ.  Marc  band.    La  science  du  nombre  en  g^neral 189 

B.    Theorie  der  Formen. 

C.  Jordan.     Sur  les  transformations  d'uue  forme  quadratique  en  elle- 

mSme 190 

J.   StudniSka.     Neue    Transformation    einer    homogenen    quadrati- 
schen Form  von  n  Variabein  in  die  Summe  von  n  Quadraten  .  .  191 

Välyi.    Zur  Lehre  der  quadratischen  Formen 192 

A.  Meyer.     Ueber  einen  Satz  von  Dirichlet •  192 

L.  Gegenbauer.     Notiz  über  gewisse  binäre  Formen 192 

H.  J.  S    Smith.     Memoire  sur  la  repr<^sentation  des  nombres  par  des 

sommes  de  cinq  carr^s 193 


Inbaltaverzeichois.  XXIII 

Seit« 

H.  Minkowski.    Memoire  anr  la  th^orie  des  formes  quadratiqnes  k 

coefficientB  entiers 196 

L.  Gegenbaaer.    Zahlentheoretische  Notiz 198 

D.  Hubert.     Ueber  die  DarstelloDg  deficiter  Formen  als  Summe  von 

Formenquadraten ' ; 198 

D.  Hubert     Lettre  adress^e  ä  M.  Hermite 199 

Capitel  3.    Kettenbrüche. 

F.  J.  StndniÖka.    üeber  die  Nähernngswerte  der  Kettenbräche  mit 

eonstantem  Nenner^ 200 

J.  W.  Sleschinsky.     Ueber  die  Convergenz  der  Kettenbräche  .    .    .  200 
J.  W.  Sleschinsky.     Beweis  der  Existenz  einiger  Grenzen  ....  200 
A.  HurwitE.    Ueber  die  Bntwickelnng  complozer  Grössen  in  Ketten- 
brüche   201 

G.  H.  Halphen.    Sar   la   convergenoe   d'une    fraction    continae  al- 

göbrique 202 

H.  Gyld^n.    Qaelqaes    remarques    relativeroent  ä  la  repr^sentation 

des  nombres  irrationnels  an  moyen  des  fractions  continues    .    .  203 

Vierter  Abschnitt.  .  Wahrscbeinlicbkeitsrechnung  und 

GombinationBlehre. 

Zage.    Zar  Lehre  von  den  Complezionen 205 

D.  Andr4.    fitnde  snr  les  permatations  de  deux   eepeces  de  lettres  205 

Worontzoff.    Sor  nn  thöoröme  de  M.  Weill 206 

Picqnet.    Quelques  tböoremes  sar  les  nombres  figar6s 206 

F.  R.  J.  Hervey.     Solution  of  question  8461 207 

A.  Macfarlane.    Problem  in  relationship 207 

Rusticus,  A.  Macfarlane,  D.  Biddle.    Solution  of  question  9403  207 

G.  Jordan.     Sur  la  marche  du  cavalier 207 

G.  Platner.    Sul  numero  delle  maniere  di  ottenere  uoa  somma  n  o 

una  somma  non  superiore  ad  n  prendendo  r  termini  della  Serie 

indefinila  1,  2,  3,  4 208 

F.  Clauss.    Ueber  magische  Quadrate 208 

R.  W.  D.  Ghristie.    Solution  of  question  9091 208 

R.  W.  D.  Christie.     Solution  of  question  9278 208 

fL.  Chambeyron.    Theorie  des  carr^s  magiques 208 

tJ.  Venu.    The  logic  of  chance.   3^<J  ed 208 

fOltramare.    Essai  für  le  bazard 209 

J.  Bertrand.    La  th^orie  des  chances 209 

Fritz  Hofmann.    Notiz   aber   zwei  Satze  der  Wahrscheinlichkeits- 
rechnung    209 

Em.  Gzuber.    Zum  Gesetz  der  grossen  Zahlen 210 

W.    G.  Imschenetzky.     Elementare    Ableitung   des    Gesetzes   der 

grossen  Zahlen  in  der  Wahrscheinlichkeitsrechnung 211 

P.  S.  Nasimoff.    Zum  Newton'schen  Binome '.    .  211 

Yoyer.    Note  sur  un  problöme  du  calcul  des  probabilit^s 211 

8.  Lupton.    Micheirs  problem 212 

J.  Kleiber.    Michell's  problem 212 

E.  Rouch^.     Sur  un  probl^me  relatif  ä  la  dur^e  du  Jeu 212 

J.  Bertrand.    Demonstration  d'un  thöoreme  de  M.  ]ß.  Rouch6  .    .   .  212 

E.  Boach6.    Sur  la  duröe  du  jeu 213 

OelaoDoy.    Sur  la  dur^e  du  jeu 213 

E.  Rouche.     Observations  en  rdponse  i  une  Note  de  M.  Delannoy  213 

J.  Bertrand.    Sur  rindöterroination  d'un  problöme  r^solu  par  Poisson  214 

A.  Anric.    Probleme 214 


][X}¥  lohaltsverzeicbois. 

Seite 

J.  Bertraod.     Probabilitö  du  tir  ä  la  cible 214 

J.  Bertracd.  Seconde  DOte  aar  la  probabilite  da  tir  a  la  cible  .  .  214 
Menabrea.    Remarque   relative    aux   travauz   sar   la   balistiqae    de 

M.  ßiacci 215 

J.  Bertrand.  Troisieme  note  sur  la  probabilite  du  tir  a  la  ciblo  .  215 
Oias.  Jang.     A  propos  de  deux  r^ceotes  commoDtcations   de  M.  J. 

Bertraod  ^Sur  la  probabilite  da  tir  a  la  cible** 215 

J.  Bertraod.     Note  aar  le  tir  a  la  cible 215 

fputs.    Memoire  sor  les  priocipea  foDdameotaox  de  Tapplicatioo  da 

calcal  des  probabilit^s  aux  aaestioos  d'artillerie 216 

J.  Bertraod.    Sor  rassociatioo  aes  electeors  par  le  sort 216 

J.  Bertraod.     Sar  rapplicatioo  du  calcal  des  probabilit^s  a  la  th^orie 

des  jugemeots 21G 

fE.  Dormoy.  L'^cart^.  Trait^  math^roatique  da  jeu  de  Töcart^  .  .  216 
E-  Osuber.    Mittelwerte,  die  Krammuog  ebeoer  Curveo  uod  krommer 

Flächeo  betreffeod 217 

De  Wächter,  A.  Martio.     Solatioo  of  qaestioo  9271 217 

J.  Neuberg,  De  Wächter,  P.  H.  Schoate.    Solutioo  of  qaestioo 

9423 217 

T.  C.  Simmoos,  P.  H.  Schonte.    Solutioo  of  qaestioo  9015   .    .   .  217 

De  Wächter,  J.  Beyeos.    Solutioo  of  questioo  9350 218 

W.  S.  B.  Woolhouse.    Solutioo  of  questioos  2396,  6931,  8935    .   .  218 

C.  B.  Clarke.     Solotioo  of  questioo  4251 218 

D.  Biddle,  W.  S.  B.  Woolhouse.  Solatioo  of  questioo  9516  .  .  .  218 
F.  Y.  Edgeworth.      Oo    a   oew   method   of  reduciog   observatioos 

relatiog  to  several  quaotities 219 

R.  H.  Smith.     Tme  average  of  observatioos 219 

J.  Bertraod.  Sur  la  loi  de  probabilite  des  erreurs  d'observatioo  .  219 
F.  Tisseraod.     Remarque  ä  l'occasioo  d'aoe  commuoicatioo  de  M. 

J.  Bertraod 220 

J.  A.  Klejber.  Theorie  der  Ausgleichuog  der  Beobachtuogsreiheo  220 
J.  Bertraod.    Sur  la  d^termioatioo  de  la  pröcisioo  d*uo  Systeme  de 

mesares 221 

J.  Bertraod.     Sor  la  rigueur  d'noe  demoostratioo  de  Gauss  ....  221 

J.  Bertraod.  Sor  la  combioaisoo  des  mesures  d'uoe  möme  graodeur  222 
H.  Faye.     Sur   certaios    poiots    de  la  theorie   des  erreurs   accideo- 

telles 223 

J.  Bertraod.  Sur  la  valeur  probable  des  erreurs  les  plus  petites  .  223 
J.  Bertraod.     Sur   revaluatioo  a  posteriori  de  la  coonaoce  m^ritee 

par  la  moyenoe  d'uoe  s^rie  de  mesures     .    .  % 223 

E.  Garvallo.  Sur  Tapplicatioo  de  la  mäthode  des  moiodres  carrds  224 
J.  Bertraod.     Sur   l'erreur   ä   craiodre   daos   Tevalaatioo  des  trois 

aogles  d*ao  triaogle 224 

J.  Bertraod.     Sur  la  m^thode  (fes  moiodres  carres 225 

fj.  Bertraod.     Sur  la  prdcisioo  d'uo  Systeme  de  mesures 225 

fj.  Bertraod.     Sur   les    coos^queoces   de  r^galite  eotre  la  valear 

vraie  d'uo  polyuöme  et  sa  valeur  moyeooe 225 

fE.  Guy 0  0.     Note  relative  ä  l'expressioo  de  l'erreur  probable  d*uD 

Systeme  d'observatioos 225 

J.  Bertraod.     Note    sor   Tiotroductioo    des    probabilit^s    moyeDDes 

daos  rioterpretatioo  des  resultats  de  la  statistique 225 

fF.  Crotti.     Sulla  compeosaziooe  degli  errori 226 

H.  Stadthageo.     Uebcr   die    Geoauigkeit    logaritbmiacber   Berech- 

ouogeo 226 

W.  Gosiewski.  üeber  die  Wahrscheiolicbkeit  zufälliger  Fehler.  .  227 
W.  Gosiewski.      Üeber  deo  Zusamnieobaog  zwischeo  dem  Priocip 

der  kleiosteo  Wirkuog  uod  dem  wahrscheiolichsteo  System    .   .  228i 


iDbaltsverBdichois.  XXV 

Seite 

W.  P.  Majc im o witsch.  Ueber  das  Qesetz  der  Wahrscheiolich- 
keiteo  der  zufälligen  Grossen  und  seine  Anwendung  auf  eine 
Frage  der  Lehrstatistik 229 

J.  Bertrand.    Sur  les  Lois  de  mortalit^  de  Oompertz  et  de  Makeham    229 

A.  Quiquet.    Sur  ia  loi  de' Makeham 229 

ran  Dorsten.    Quelques  remarques  relatives  a  une  note  sur  les  lois 

de  mortalitö  de  Gompertz  et  de  Makeham 230 

H.  Zimmermann.    Beitrage  zur  Theorie  der  Dienstunfähigkeits-  und 

Sterbens-Statistik.     III 23t 

J.  P.  Gram.    Om  Middelfeilen  paa  Vardien  af  Livsforsikringer .  .    .    232 

J.  P.  Gram.     Tillag  til  Afbaudüngen  om  MiAdelfeil  paa  Vardien  af 

Liysforsikrioger 232 

Jul.  Kaan.  Anleitung  sur  Berechnung  der  Prämien  für  die  Ver- 
sicherung der  Leibrenten  etc 233 

6.  Jahn.    Ueber  die  Ermittelung  der  Beiträge  für  die  Wittwen-Ver- 

sicherung  beim  Bergbau 234 

C.  L.  Landr^.     Lijfrente  in  Termijnen  en  dorloopend  .......    235 

C.  L.  Landr^.    Over  Correctie  van  Getaalreeksen  door  middel  van 

tweede  Verschillen 236 

C  L    L andre.    Over   den   infloed    der   Levenskansen    en   van   den 

rentevoet  op  tarief  en  reserve  bij  levensverzekering 237 

F.  J.  Studniöka.  Grundzuge  der  national-ökonomischen  oder  juri- 
disch-politischen Arithmetik  .   .   .   • 238 

Hr.  Bleicher.     Grundriss  der  Theorie  der  Zinsrechnung 239 

fF.  Roncbitti.     Calcolo  del  valore  di  titoli  soggetti  a  tassa  di  cir- 

colazione 239 

tG.  King.    Institute   of  actuaries*  teztbook  of  the  principles  of  in- 

terest,  life  annuities  etc.    II 239 

fProsper  de  Lafitte.     Kssai  d'une  th^orie  rationnelle  des  societ^s 

de  secours  mutuels 239 

fE.  Gelin.     La  monnaie 239 

Fünfter  Abschnitt.    Reihen. 

Capitel  1.    Allgemeines. 

J.  L.  W.  Jensen.    Sur  un  th^oreme  de  convergence 240 

J.  L.  W.  Jensen.     Sur  un  th^oreme  g^nöral  de  convergence.    .    .    .  240 
P.  da  Bois-Rejmond.     Sur  les  caracteres   de  convergence  et  de 

divergence  des  s^ries  ä  termes  positifs 240 

E.  Cesaro.     Sur  deux  recentes  Communications  de  M.  Jensen  .    .    .  240- 
J.  L.  W.  Jenseo.     Sur   un  thöoreme  g^n^ral  de  convergence.    R^- 

poDse  aux  remarques  de  M.  Cesaro 240 

E.  Cesaro.    Sur  un  tWoreme  de  Kummer 240 

E.  Cesaro.     Remarques    sur   divers   articles,    concernant  la  th^orie 

des  s^ries 240 

E.  Ceaaro.    Sur  la  convergence  des  s^ries 242 

E.  Cesaro.     Sur  la  comparaison  des  s^ries  divergentes 242 

E.  Cesaro.     Sur  une  distribution  de  signes 242 

J.  Bagnera.    Sur  une  propri6t6  des  s6ries  simplement  convergentes  242 
E.  Cesaro.     Remarques  sur  divers  articles,   concernant  la  th^orie 

des  s^ries 242 

J.  L.  W.  Jensen.     Sur  une  g^n^ralisation  d*un  th^oreme  de  Cauchy  244 

E.  Cesaro.     Sur  deux  recentes  Communications  de  M.  Jensen  .    .    .  244 
J.  L.  W.  Jensen.     Snr.un  th^or^me  g^n^ral  de  convergence.     Re- 

pODse  aux  remarques  de  M-  Cesaro 244 

0.  Stolz.     Ueber  Verallgemeinerung   eines   Satzes  von  Cauchy    .    .  244 

A.  Pringsheim.    Ueber  die  Convergenz  unendlicher  Prodacte  .   .   .  245 


XXYI  iDhalUverseichnis. 

Seite 

Gh.  M^ray.    Sar  riropoflsibilit^  de  franchir  par  la  formale  de  Taylor 

las  cerelea  de  convergeoce  de  certaines  s^riea  eotidres  ....    246 

Badamard.      Sur   le   rayon    de    convergeoce    des   s^ries  ordoonöes 

suivant  lea  puissaDcea  d'ane  variable 247 

Ch.  Biehler.    Sur  leg  eöries  ordoon^es  eaivaot  les  pnisBaDcea  croie- 

santes  d*uue  variable 247 

5.  Pin  eher  le.     Uoa  traDsforiDazione  di  serio 247 

Worontzoff.     Sar   le    d^veloppement   eo   Böriea  des  fonctioDS   im- 

plicites 247 

A.  Oatzmer.    Bin  Satz  über  Potenzreiheo 248 

A.  Harnack.     Ueber   Caachy*8  zweiten  Beweis    för  die  Convergenz 

der  Foarier'schen  Reihen 248 

Di  richtet.    Oo  tbe  convergency  of  the  trigonometrical  series   .^.   .  249 

M.  Lerch.    Sor  une  fooction  discontione *.   .  249 

8.  Znrakowski.     Beweis  eines  Satzes  von  H.  Wronski •,  250 

6.  Teizeira.    Eztrait  d'nne  lettre  adress^e  a  M.  Hermite 250 

E.  Picard.  Sur  la  convergence  des  series  repr^sentaot  les  inte- 
grales des  ^quations  difförenttelles 250 

J.  Pnzyna.      Anwendungen    der   verallgemeinerten    Lagrange* sehen 

Interpolntionsformeln 251 

Carvallo.    Formules  d'interpolation 252 

tN.  Ekholm.     Zur  Ableitung  einer  periodischen  Function  aus  einer 

Reihe  nach  gleichen  Zeitintervallen  beobachteter  Grössen  .   .    .    252 

P.  Nek  ras  soff.  Der  Modul  des  Maximum  Mazimorum  einer  Func- 
tion \p(re<p*')  in  Bezug  auf  (f 252 

0.  Stolz.     Bemerkung  zu   der  Abhandlung  des  H.  Prof.  B.  Weiss: 

^Entwickelungen    zum  Lagrange'schen   Reversionstheorem  etc.*    253 

E.  Cesaro.    Remarques  sur  divers  articles,   concernant  la  th^orie  des 

söries 253 

W.  Läska.  J.  Lieblein'a  Sammlung  von  Aufgaben  aus  der  alge- 
braischen Aoalysis.     2.  Aufl 253 

Capitel  2.    Besondere  Reihen. 

J.  L.  W.  Jensen.     Sor  uue  g^n^ralisation   d'une  formule  de  Tche- 

bycheff 254 

L.  J.  Rogers.     An  extension  of  a  certain  theorem  in  inequalities    .  254 

F.  G.  Wace.     Notes  on  inequalities 255 

H.  Simon.     Ueber  einige  Ungleichungen 255 

Chrystal.     On  the  inequality  mar»»— i(x — 1)  ^  r"»  — l^m(i— 1)  .    .    .  255 

ü.  Simon.    Zur  Theorie  der  harmonischen  Reihe.    (Fortsetzung)  .   .  256 
F.  J.  Studnißka.    Ueber  die  Veränderlichkeit  der  Summe  einer  un- 
endlichen Reihe  mit  ungleich  bezeichneten  Gliedern 256 

E.  Cesaro.     Sor  les  transformations  de  la  sörie  de  Lambert ....  256 
fB.  Catalan.     Sur  un  cas  particulier  de  la  formule  du  binöme .   .    .  257 

J.  Deruyts.     Sur  certains  syatemes  de  polyoömes  associ^s 257 

Well  mann.    Die  Binomialcoefficienten  und  einige  wichtigere  Reihen  257 

McCulloch.     A  theorem  in  factorials 257 

V.  Jamet.     Essai  d'une  nouvelle'th^orie  616mentaire  des  logarithmea  258 

F.  Giudice.     Alcune  formole  ottenibili  semplicemente  che  posaono 

servire  al  calcolo  approssiroato  delle  fonziooi  circolari     ....    258 
E.  Ricordi.      Süll*    approssimazione    deir    ordinaria    interpolazione 

nelle  tavole  di  logaritmi  delle  funzioni  goniometriche 259 

Ed.  Weyr.     Eztrait  d*une  lettre  a  M.  Hermite 260 

De  Pres  le.     Au  sujet  du  d6veloppement  de  cotz  en  s^rie  de  frac- 

tions 260 

L.  Saalschütz.  Ueber  die  Eotwickelung  von  e— i:0-«)in  eine  Po- 
tenzreihe   261 


iDhaltaverzeichnii.  xxvn 

Seite 

A.  Gayley.    The  iovestigatioD  by  WalliB  of  his  expression  for  n    .  261 

W.  H.  H.  HadsoD,  R.  F.  Davis.    Solatioo  of  qnestion  8913    ...  262 

F.  J.  StodDiöka.    Sar  ranalofcie  hyperbolique  du  nombre  tt  .    .    .    .  262 

R.  B.  Allard  ice.    Oo  Stirliog's  approzimatioo  ton!  when  n  is  large  2o2 

A.  Pinek.    üeber  eioe  besoodere  aneDdliche  Reihe 263 

Axel  Thne.    Om  Irrationaliteten  af  Tallet  e 263 

M.  Mar  tone.    Dimostrasiooe  della  trasceDdeoza  del  namero  n  .   ,   .  263 

L.  Hoescb.    üeber  die  Coefficienten  des  Aaedmcks  ^«x* 364 

Williot.     Note  sur  le  proc6d^  le  plns  simple  de  calcul  des  nom- 

bres  de  Beroonlli 265 

F.  J.  van  den  Berg.     Eenige  formolen  voor  de  berekening  van  de 

BernonlliaaDsche  en  yan  de  taDgenten-coefficienten 265 

A.  Berber.    Sor  Doe  g^n^ralisatioD  des  oombres  et  des  fonctioos  de 

Bernoalli 266 

De  Presle.     D^rivöes   successives   d'ane   paissance    eoti^re    d'ane 

foDCtioD  d'ane  variable 266 

M.  M  Olli  Di.    Formole  solle  aonualita  in  progressione  aritmetica  .   .  267 

Sechster  Abschnitt.    Differential-  und  Integralrechnung. 

Gapitel  1.    Allgemeines.    (Lehrbücher  etc.). 

Ch.  Sturm.      Conrs   d'Analyse   de   r£coie   Folyteohnique.     IX«  6d. 

2  vol 268 

H.  Laarent.    Trait^  d'analyse.    III  . 270 

A.  Kleyer.     Lehrbuch  der  DifferentialrechDnng 271 

P.  DziwiDski.     Die   wichtigsten   Sätze    nod    Formeln  der  höheren 

Analysis 272 

fO.  Schlömilch.    Handbnoh   der  algebraischen  Analysis.    6.  Aufl. 

2-  Druck 272 

fS.  Newcomb.    Elements  of  the  differential   and  integral  calcnlus  272 
iE.  St.  J.  H unter.    Key  to  Todhnnter's  Differential  Calcnlus  ...  272 
A.  Fuhrmann.    Anwendungen  der  Infinitesimalrechnung.     I  .    .    .    .  272 
0.  Stolz.    lieber  zwei  Arten  von  unendlich  kleinen  und  von  unend- 
lich grossen  Grossen 273 

P.  Mansion.     Methode  des  infiniment  petits 274 

R.  Bettazzi.     Sulla   derivata   totale    delle   funzioni  di  due  variabili 

reali  e  suir  inversione  delle  derivaziooi   .       274 

T.- J.  Stieltjes.    Sur  une  gen^ralisation  de  la  formule  des  accroisse- 

ments  finis 274 

Gapitel  2.     Differentialrechnung.    (Differentiale,  Functionen  von 

Differentialen,  Biazima  und  Minima). 

P,  S.  Nekrassoff.    Allgemeines  Differentiiren 275 

0.  Schlömilch.  Ueber  die  Differentiation  der  Potenz,  des  Logarith- 
mus und  der  Ezponentialgrösse 280 

W.  Kretkowski.    Ueber  Differentiation  gewisser  unendlicher  Aus- 

drncke 280 

R  Hoppe.     Bemerkung   zu   der   Formel   für   das    Differential  einer 

Function  mehrerer  Variabein 280 

Marchand.    Ddveloppement  de  Taccroissement  d*un  polynöme  entier 

suivaot  les  puissances  des  accroissements  des  variables  ....  281 

R.  Perrin.     Sur  quelques  familles  d*op6rateurs  diff^rentiels   ....  281 

G.  Ricci.    Delle  derivazioni  covarianti  e  controvarianti 282 

G.  Ricci.     Sulla  classificazione  delle  forme  differenziali  qnadratiche  285 

Hazzidakis.    Ueber  invariante  Differentialausdrucke 286 


XXYJII  iDhaltsrerzeiobnU. 

8«ite 

R   Harley.    On  the  general  quartine,   or  the  ineritoid  of  tfae  foarth 

degree 2b7 

A.  Mnkhopadbyay.    The  geometric interpretation  of  Monge'a  diffe- 

rential  equation  to  all  conica 287 

R.  B.  H.     iDterpretatioD  of  the  differeotial  equatioo  to  a  conic  .    .    .  287 

A.  CuDoingham.     Georoetric  meaoing  of  differeotial  eqaatioDS    .  288 

AsparagQB,  J.  WolBteoholme.    Solatioo  of  qaestioD  9103   .    .   .  289 

O.  Peano.     Teoremi  au  massimi  e  mioimi  geometrici 289 

H.  Knramell.  Tbe  problem  of  relative  maxima  or  minima  ....  290 
Cb.  Biocbe.    Sur  les  miaima  des sommea  de  termes  poaitifa  dont  le 

produit  est  conatant 290 

Tb.  Haebler.     1.  Maxima   und    Mioima   eymmetrischer   FanctioDeo. 

II.  BetracbtaDgeo  über  die  DeteimiDattoo 290 

D.  Edwardes,  R.  F.  Davis.    SoIqüod  of  qaeatioo  9249 291 

Gbase,  J.  Neaberg.    Solatioo  of  qoeBtion  9040 291 

E.  M.  Langley.  Note  od  a  problem  io  maxima  and  minima  .  .  .  291 
E.  M.  Langley.     Parther  ase  of  Ptolemy'a  tbeorem  for  a  problem 

io  maxima  minima 291 

R.  Chartres.    Note  on  a  problem  in  maxima  minima 292 

Gapitel  3.     Integralrechnung. 

A.  6.  Oreenhill.     A  cbapter  io  tbe  integral  calculos 292 

W.  Kapteyn.    Note  aur  les  dilTöreotielles  bioömee 293 

E.  Lebon.     Sur  le  calcal  de  quelques  ii^t^grales 294 

E.  Poroey.     Sur  quelques  integrales  remarquables 295 

J.  L.  Ptaszycki.     Extrait  d*une  lettre  adresseo  ä  M.  Hermite  .    .    .  295 

Ph.  Gilbert.     Remarques  sur  Tint^gration  par  partie       295 

W.  Läska.     ReductioD  einiger  Integrale 296 

J.  L.  Ptaszycki.     Sur  rint^gration  alg^brique  des  differentielles  al- 

g^briques 296 

J.  L.  Ptaszycki.    Ueber  die  algebraische  Integration  algebraischer 

Differentiale 296 

J.  L.  Ptaschitzky.     Ein  Theorem  über  die  abgebraiecben  Integrale  296 

Capitel  4.    Bestimmte  Integrale. 

T.  J.  Stieltjes.     Note  sur  Y\ni^gTa]B ß/(x)  G(x)dx 298 

u 

Ph.  Gilbert.     Sur  la  convergonce  des  integrales  a  limites  infinies  .  299 

VV.  H.  L.  Russell.    On  certain  definite  integrale. 299 

G.  A.  Gibson.     Extension  of  a  tbeorem  of  AbePs  in  tbe  summation 

to*integration 299 

E.  Gatalan.    Rapport   sur   le    memoire:    Sor   quelques  formules  de 

calcul  integral,  par  J.  Beaupain 299 

T.  C.  Simmons,    J.  WolstenholmOi    J.  W.  Sharpe.     Solution 

of  question  9324 300 

Ch.  Meray.    Valeur  de  l'integrale  definie/*  «-''dir 300 

u 

tA.  Mark  off.     Table  des  valeurs  de  rintegrale/*e-''rf« 301 

X 

S.  Pincherle.     Sopra  certi  integrali  definiti 301 

G.  Giuliani.     Aggiunte  ad  una  memoria  de  Sig.  Kummer 301 

M.  Lerch.     Demonstration  eiementaire  d'une  formule  de  Raabe    .    .  303 
Oh.  Hermite.     Demonstration    nou volle    d'une  formule  relative    aux 

integrales   Euieriennes  de  seconde  espece 30.*) 

J.  0.  Malet.     On  certain  definite  integrals 303 


iDhaUsyerzeiohDis.  xxix 

Seite 

P.  A.  NekrasBoff.    Der  Aasdrock  der  Wurzeln  eioer  triDomiBcheo 

GleichoDg  durch  bestimrote  Integrale 304 

P.  Maneion.    8ar  la  longaear  d'ane  ligne  courbe 304 

E.  GoedeeeU.     De  la  longiienr  d'uDe  ligne 305 

B.  Geogbegan.     Problem  by  Vincentio  Viviani 305 

E.  OekinghauB.    Zar  Rectification  der  Hyperbel 305 

H.  Petrini.    Om  en  integral  av  Crofton 305 

B.  O.  Berroann.    Zar  Lehre  vom  mittleren  Radiae 306 

P.  MaoBion.     Sar  le  calcnl  approchö  d'ane  integrale  d^finie  ....  307 

F.  G.  Teixeir'a.    Eztrait  d'ane  lettre  4  M.  Hermite 307 

6.  d'Arone.     Intorno  ad  on  teorema  di  Tchebychew 307 

N.  N.  ZI b ine.     Ueber  eine  Aufgabe  in  der  Theorie  der  mehrfachen 

Integrale 308 

W.  P.  Ermakoff.     Eine  Aufgabe  för  junge  Gelehrte 309 

J.  J.  Stambach.    Die  Planimeter  Coradi 309 

fB.  de  la  Noe.  Theorie  göomdtrique  du  planim^tre  polaire  ä  aus- 
pension  indöpendante»  de  Hohmann  et  Coradi,  et  du  planimetre 

roulant  de  Coradi 309 

Capitel  5.    Gewöhnliche  Differentialgleichungen. 

E.  GourBat.    Sur  leB  invariants  dcB  ^quations  diff^rentiellee  ....    310 

L.  Königaberger.     Der  Cauchy'sche  Satz  von  der  Bxiatenz  der  In- 

'tegrale  einer  Differentialgleichung 310 

L.  Königs  berger.  Üeber  algebraische  Beziehungen  zwischen  den 
Fundumentalintegralen  und  deren  Ableitungen  für  eine  irreduc- 
tible  lineare  homogene  Difforentiaigleichung  zweiter  Ordnung  .    .    311 

L.  Königsberger.    Ueber  algebraische  Beziehuogen  zwischen  lnte> 

gralen  linearer  Differentialgleichungen 311 

L.  Königsberger.  Ueber  die  Erniedrigung  der  Ordnang  algebrai- 
scher Differentialgleichungen 312 

L.  Königsberger.  Ueber  die  für  eine  homogene  lineare  Differen- 
tialgleichung dritter  Ordnang  zwischen  den  Fondamentalinte- 
gralen  und  deren  Ableitungen  stattfindenden  algebraischen  Be- 
ziehungen  313 

L.  Fachs.     Zur  Theorie  der  linearen  Differentialgleichungen  ....    314 

W.  G.  Imschenetzky.  Zur  allgemeinen  Methode  für  die  Auffindung 
der  rationalen  gebrochenen  particulären  Integrale  der  linearen 
Differentialgleichungen  mit  rationalen  Coefficienten    .    ...    .    .    317 

Fabry.    R^uctibilit^  des  ^quations  diff^reutielles  Unfaires    ....    318 

L.  W.  Thom6.     Ueber   eine    Anwendung    der   Theorie  der  linearen 

Differentialgleichungen  auf  die  algebraischen  Functionen  ....    319 

L.  W.  Thom4.     Bemerkung    zur   Theorie    der  linearen  Differential- 

gleichongen 320 

M.  Hambarger.  Ueber  eine  specielle  Klasse  linearer  Differential- 
gleichungen     320 

K.  HeuD.    Remarks   on   the   logarithmic   integrale  of  regulär  linear 

differential  equations 324 

S.  PiDcherle.    Sor  la  natura  arithm^tiqne  des  coefficients  des  s^ries 

integrales  des  ^qaations  diff^rentieiles  unfaires 320 

5.  Pincherle.     Sal  carattere  aritmetioo  dei  coefficienti   delle  serie    327 
P.  Paiolev^.    Sur  les  Equations  difförentielles  lioöaires  ^  coefficients 

algebriques 328 

C.  Gnichard.    Sur  les  Equations  diff^rentielles  lin^aires  a  coefficients 

algöbriqnes 328 

P.  Appell.    Sur  une  classe  d'^quations  diff^rentielles  r^ductibles  aux 

eqaatiOBB  unfaires 329 

6.  PeaoQ.    Integration  par  s^ries  des  equatious  differentielleB  lin^aireB  329 


XXX  lahaltSTerseiclinif. 

Seite 

Köhler,    üeber  die  Form  der  logarithmiBcben  Integrale  einer  linearen . 

nicht  homogenen  Differentialgleichaog .    330 

Allan  Canningham.    Depression  of  differential  eqnations S30 

J.  J.  Sylvester.     Note  on  certain  difference  eqnations 331 

L.  J.  Rogers,  Mats.     Solution  of  question  8B41 332 

E.  Picard.    Sar  la  limite  de  convergence  des  söries  reprösentant  lea 

integrales  des  ^qaations  diff6rentielles 332 

P.  Painlev^.    Sar  les  öquations  diffgrentielles  da  premier  ordre  .    .    333 
L.  Antenne.    Sar   Vapplication    des  sabstitutions  qnadratiqnes  cre- 

mouiennes  il  Tintögration  de  l'^quation  diff^rentielle  du  premier 

ordre 334 

R.  Liouville.    Sur   certaines   ^qaations   diff^rentielles   da   premier 

ordre ' 334 

W.  P.  Work  man.    The  theory  of  the  singnlar  Solutions  of  the  inte- 

grable  differential  equations  of  the  first  Order 334 

W.  Rapteyn.    Note  sur  les  Solutions  singuliöres  des  Equations  dif- 

f^rentielles  du  prämier  ordre 33& 

dx  f^y 

W.  Hey  mann.     Ueber  die  Differentialgleichung     ,__    «=    ^^       .    .    335 

dx  dy 

A.  Cayley,     Note  on  the  differential  equation  ,, •  -4-  ,/     ■      *«  0    336 

I^l-x«       Kl— y» 

0.  H.  Halphen.    Sur  T^aation  d*£uler ' .*   33G 

R.  Rawson,  D.  Kdwardes.     Solution  of  question  7902  • 337 

J.  B.  Pomey.    Sur  Tint^gration  de  T^quation  difförentielle  des  coni- 

ques  homofocales , 337 

fC.  F.  Björling.    Ueber  die  Coincidenzcurve  der  algebraischen  Dif- 

fereutialgleichungen  erster  Ordnung 338 

fE.   Jahnke.      Zur    Integration    von    Differentialgleichungen    erster 

Ordnung  etc 338 

dy 
Alf.  Quldberg.    Bemärkninger  over  Ligningen  y  ~--^Py  =i  Q  .    .    338 

dx 

Bochow.  Zusammenhang  zwischen  particulären  und  allgemeinen  In- 
tegralen gewisser  Differentialgleichungen 339 

A.  R.  Forsyth.    On  the  theory  of  forme  in  the  Integration  of  linear 

differential  equations  of  the  second  order 339 

K.  Heun.  Ueber  Euler*8  homogenen  linearen  Multiplicator  cur  Inte- 
gration der  regulären  linearen  Differentialgleichungen  zweiter 
Ordnung 339 

J.  Cookie.    On  the  general  linear  differential  equation  of  the  second 

Order 841 

W.  W.  Johnson.     On  the  integrals  in  series  of  binomial  differential 

equations 341 

P.  Schafheitlin.  Ueber  die  Integraldarstellung  der  hypergeome- 
trischen Reibe 342 

fH.  6yld4n.     Integration    af  en  icke-liniär  Differential -Equation  af 

-  2.  ordning 342 

J.  Cookie.     Solution  of  question  9195 342 

J.  Cookie.    On  synthetical  Solution  and  on  deformation 342 

L.  Schlesinger.    Ein  Beitrag  zur  Theorie  der  linearen  homogenen 

Differentialgleichungen  dritter  Ordnung ' 343 

L.  Schlesinger.    Ueber   lineare    homogene    Differentialgleichungen 

vierter  Orduung 347 

L.  Pochhamroer.    Ueber  drei  lineare  Differentialgleichangen  vierter 

Ordnung 350 

E.  Goursat.    Sur  les   systömes  d*4quations  Unfaires  qui  soni  iden- 

tiquos  Ä  leur  adjoint 362 


InhaltaTeneiohois.  xxxi 

Saito 

Cb.  Miray.    Sar  Tiot^gratioD   des  öqaatioDS  difföreDtielles  lin^aireB 

a  coefficieots  coDStants 3ö3 

W.  W.  JohosoD.    Oo  Monge's  Bolatioo  of  the  Don-iotegrable  eqaa- 

tioo  betweeo  three  variables 354 

L.  SaQTage.    Sar  las  soIatioDS  r^gnlieres  d'ao  Systeme  d'^quatioos 

difföreDtielles.    II 354 

A.  J.  Stodockie wies.    Ueber   die    lotegration  eines  Systems  von 

DiffereDtialgleicbnogeD  mit  voUstaDdigeo  DififereDtialen    ....    355 

Capitel  6.     Partielle  DiffereDtialgleichnngen. 

E.  Picard.  Sar  aoe  classe  d'^quations  lio^aires  aox  d^riv^es  par- 
tielles   35G 

E.  Picard.     Sar  aoe  proposition  göo^rale    cooceroant   les  äquations 

Hnöaires  anz  d^riv^es  partielles  da  second  ordre 356 

E.  Picard.     Sar  la  transformatioo  de  Laplace  etc 357 

E.  Picard.     Remarqaes  sar  les   groapes    de  transformations  relatifs 

Ä  certaines  ^qaations  diff^rentielies 357 

R.  MarcoloDgo.    Salla  variazioae    di    an    integrale  defioito  e  salla 

teoria  deile  eqaasioai  alle  deri?ate  del  primo  ordioe 357 

6.  Vivanti.     Salle  eqaazioni  a  derivate  parziali  del  1^  ordiae  .    .    .    358 
J.  Horo.    Ueber  die  siogalarea  Stellen  der  Integrale  eiuer  linearen 

partiellen  Differentialgleichnng .    359 

J.  Möller.  Zar  Theorie  der  singalaren  Lösang  einer  partiellen  Diffe- 
rentialgleichnng mit  zwei  anabhängigen  Variabeln 359 

W.  P.  Ermakoff.     Lineare    partielle    Difforentialgleichangen    erster 

Ordiinng 360 

Ch.  M6ray.     Sar  des  systdmes  d'^qaations  aux  d^riv^es  partielles  .    360 

0.  Darboaz.    Remarqne  sar  la  commaoicatlon  pr^c^dente 360 

A.  Tonelli.  Sopra  ona  certa  eqaazione  differenziale  a  derivate  par- 
ziali del  2^  ordine 381 

A.  Tonelli.  Sopra  ana  certa  eqaazione  differenziale  a  derivate  par- 
ziali del  3^  ordine 361 

A.  Rasseil.     Solution  of  qaestion  8853 362 

A.  RoBsell,  J.  W.  Sharpe.    Solation  of  qaestion  9338 362 

fA.  Schwartz.  Ueber  lineare  partielle  Differentialgleichangen  zweiter 

Ordnung 363 

L.  Biancbi.     Salla  eqaazione    a    derivate    parziali  del  Cayley  nella 

teoria  delle  saperficie  .    .    .    .    i 363 

L.  Bianchi.     Sopra   ana   classe    di    trasformazioni  in  sä  medesima 

della  eqaazione  a  derivate  parziali  etc 364 

tR.  Fajisawa.    On  the  Solution  of  a  certain  class  of  partial  diffe- 

rential  eqoations 367 

S.  Lie.    Beitrage  zur  allgemeinen  Trausformationstheorie 367 

tS.  Lie.    Theorie  der  Transformationsgrnppen  1 368 

S.  Lie.  Klassification  und  Integration  von  gewöhnlichen  Differential- 
gleichungen zwischen  x^y,  die  eine  Grappe  von  Transformationen 

gestatteo 368 

VV.  Rilling.  Die  Zusammensetzung  der  stetigen  endlichen  Trans- 
formationsgruppen I,  II 368 

F.  Fitting.     Ueber  eine  Klasse  von  Berubrungstransformationen  .    .    372 
Page.    Ou  the  primitive  groups  of  transformations  in   space  of  four 

dimenBions 373 

tH.  0.  Wand.    Ueber  ein  mit  der  Differentialgleichung 

ay      öv      ev 

zaBammeobangeodes  physikaliaches  Problem 374 


XXXH  lohaUsTerseicbnia. 

Seit« 

Capitel  7.    YariatioDsrechnung. 

A.  Wiockler.      Ueber   ein  Kriterium    des  GrössteD   uod   KleioBten 

in  der  VariatioD8rechnnDg 374 

P.  Appell.     Memoire  aar  loa  d^blaia  et  lea  remblaia  dea  ayatdmea 

cootinas  ou  discontinaa 375 

H.  A.  Schwarz,    üeber  apecielle  zweifach  BaaammeDhängeode  Fla- 

cbeostücke 377 

Siebenter  Abschnitt.    Functionentheorie. 

Gapitel  1.    AUgemeiaea. 

F.  Schur.    Zur  Theorie  der  aua  n  Haupteinheiteo  gebildeten  com- 

plezeo  Zahlen 378 

K.  Beck  man.  Ora  dimenaionabegreppet  och  deaa  betydelae  ....  379 
Adolf  Meyer      Om    koDyergeDSOinrädet   hoa    Potenaaerier   af  flere 

Variabler 379 

E.  Geaaro.     Sni  concetti  di  limite  o  di  cootionitä. 379 

M.  Lerch.     Ueber  die  Nichtdifferentürbarkeit  gewiaaer  Fuoctioneu  .  3B0 

H.  Päd 6.     Sur  Tirrationalit^  dea  uombrea  t  et  n 381 

M.  W.  Grofton.     Note  od  the  applicatioo  of  aymbolical  methoda  to 

the  aolutioo  of  certain  fuDCtiooal  equationa 381 

J.  RiemaoD.  Sur  uue  g^n^raliaation  du  principe  de  Dirichlet  .  .  .  382 
J.  Riemann.     Sur  le  probleme  de  Dirichlet 383 

P.  du  Bois-Reymond.     Bemerkungen  aber  ^t:  =  -^-r  -h-^r-r  =  0    384 

G.  Neumann.    Ueber  die  Stetigkeit  mehrdeutiger  Functionen    .    .    .    387 

F.  Giudice.      Sopra   la   determinazione  di  funzioni   d'una  variabiie 

definite  per  mezzo  d'un'  equazione  con  due  ?ariabili 390 

Ratner.      Ueber    eine    Eigenachaft    gewiaaer    linearer    irreductibler 

Diiferentialgleichungen 390 

A.  Hurwitz.     Ueber  arithmetische  Eigenachaften  gewiaaer  tranaceo- 

denten  Functionen 392 

G.  Vivanti.     Sülle  funzioni  ad  iofiniti  valori 393 

H.  Poincar^.     Sur  une  propri^t^  des  fonctiona  analytiquea   ....  393 

y.  Vol terra.     Sülle  funzioni  analitiche  polidrome 394 

G.  Vivanti.     Nuove  ricerche  sulle  funzioni  intere 394 

G.  Vi?anti.     Sulle  funzioni  definite  da  un'equazione  algebrico-diffe- 

renziale  del  primo  ordine 395 

V.  Volterra.  Sulla  teoria  delle  equazioni  differenziali  linear!  .  .  .  395 
V.  Volterra.     Sopra  uoa  estenaione  della  teoria  di  Riemann  auUe 

funzioni  di  variabili  complesae.     IL  III 396 

F.  Casorati.     Sopra  le  coupurea  del  aig.  Hermite,  i  Querachnitte  e 

le    auperficie    di  Riemann    ed   i  concetti  d'integrazione  ai  reale 

che  compleasa 402 

P.  Painlev^.     Sur  les  lignee  ainguli^res  dea  fonctiona  analytiquea.    404 

G.  Arzelä.     Sulla  teoria  delle  funzioni  analitiche 406 

R.  Bettazzi.     Sulla  rappresentazione  analitica  delle  funzioni  di  piü 

variabili  reali 408 

G.  Somigliana.     Sopra  alcune  rappresentazioni  delle   funzioni  per 

inte(]^rali  definiti 408 

fP.  du  Bois-Reymond.     Theorie  generale  des  fonctiona,  tradaite 

par  G.  Milhand  et  A.  Girot.     I 410 

J.  Puzyna.     Ueber  die  aogeoannten  Gondenaationspunkte 410 

J.  Puzyna.     Aua  der  Analyaia 411 


InhaltsverzeichDis.  XXXm 

Seite 

S.  PiDcherle.     Sur  le  d^veloppement  d'nne   fonction  aoalytiqne  en 

Serie  de  polynömes 411 

M.  Lerch.     Ueber  Functiooen  mit  beschränktem  Bzistenzbereiohe    .  412 
X.  Stooff.     Sur  la  transformatioD  des  fouctioos  fuchsieoDes  •  -.   .    .  413 
H.  Stahl.     Ueber  die   Darstellung  der  eindeutigen  Functionen,  die 
sich   durch   lineare  Substitutionen    reproduciren,    durch    unend- 
liche Producte 415 

L.  Biaochi.     Sulle  snperficie  Fuchsiane 410 

E.  Picard.     Sur    les    formes    quadratiques   binaires  a  ind^terminees 

coDJugu^es  et  les  fonctions  fuchsiennes 418 

L.  Schlesinger.     Zur  Theorie  der  Fuchs'scben  Functionen  ....  419 
K.  HeuD.     Zur  Theorie  der  Riemann'schen  Functionen  zweiter  Ord- 

Dung  mit  vier  Verzweigungspunkten 419 

K.  He  an.    Bemerkungen  zur  Theorie  der  mehrfach  linear  verknüpften 

Functionen 421 

L.  Poch  ha  mm  er.     Üeber  eine   Klasse  von  Functionen  einer  com- 

plexen  Variablen,  welche  die  Form  bestimmter  Integrale  haben  421 
C.  Ascoli.     Riassunto  della  mia  memoria:   «I^e  curve  limite  di  una 

varieta  data  di  curve*  ed  oBservazioui  critiche  alla  medceima  .  423 
W.  Scheibner.       Ueber    eine    Transformationsformel     für    Doppel- 

,        integrale 423 

Capitel  2.     Besondere  Functionen. 

A.     Elementare  Functionen. 

J.  J.  Iwan  off.    Interpolation  zweier  Producte 423 

N.J.  Sonine.     Bernoulli'sche  Polynome  und  ihre  Anwendungen    .    .  424 

A.  Berger.     De  Bernoulliska  talens  och  funktionernas  teori   ....  424 

l'.  F.  Lind  man.     Om  en  serie 425 

C.  F.  Lind  man.     Om  nägra  definita  integraler 42<j 

A.  Jonquiere.     Ueber    eine   Klasse   von    Transcendenten,     welche 

durch  mehrmalige  Integration  rationaler  Functionen  entstehen  .  426 
P.  Pizzetti.     Sur  le  calcul  du  r^sultat  d'un  Systeme  d'observations 

directes 427 

C.  Le  Paige.     Rapport 427 

0.  Stolz,     üeber  die  Hauptwerte  der  Kreisfunctionen 427 

8.  Piocherle.     Sur  une  gen^ralisation  des  fonctions  euleriennes  .    .  427 

M.  Lerch.     Demonstration  elementaire  d'uoe  formule  de  Raabe    .    .  428 

A.  Pringsheim.     Zur  Theorie  der  Oamma-Fanctionen 429 

L.  Saal  seh  ätz.     Weitere  Bemerkungen  über  die  Gammafunctiouen 

mit  negativen  Argumenten 430 

W.  Läska.     Zur  Function  r(x) 431 

P.  Schaf  hei  tl  in.    Ueber  Integraldarstellung  der  allgemeinen  hyper- 

geometrischen  Reihe    .   .    - 431 

S.  Pincherle.    Sulle  funzioni  ipergeometriche  generalizzate  ....  432 

A.  Mark  off.     Table    des   valeurs  de  rint6grale/*e-«'rf« 4a3 


B.     Elliptische  Functionen. 

6.  H.  Halphen.     Trait^  des  fonctions  elliptiques  et  de  leurs  appli- 

catioQB.    II 434 

M.  de  Sparre.    Cours  sur  les  fonctions  elliptiques.     II [ 442 

M.  Falk.     Beweise    einiger  Satze    aus   der  Theorie   der  elliptischen 

Functionen 442 

M.  Lerch.  Beiträge  zur  elementaren  Theorie  der  elliptischen  Inte- 
grale      442 

0.  Peano.     Definizione  geometrica  delle  funzioni  ellittiche 443 

Fortaohr.  d.  Math.  XX.  3.  C 


I 
X  I 


XXXIY  InhaltSTerzeichDis. 

Seit« 

T.  J.  Stieltjes.     Sar  l'^qaatioo  d*Knler  (2  Noten) 443 

T.  J.  Stieltjes.     Sar  la.  redaction  de  la  difförentielle  ellipUqae  a  la 

forme  Dormale .    444 

T.  J.  Stieltjes.    Sur   la    traosformation  lioöaire  de  la  diff^rentielle 

elliptiqoe  ^= 444 

J.  G.  Ptaschitzky.    Ueber  die  endliche  IntegratioD  der  elliptischeo 

Differentiale 445 

G.  H.  Halpbeo.     Sar  r^qaatioD  d'Eoler 446 

W.  Hey  mann.    Bemerkaog  über  elliptische  Lotegrale 44^ 

W.  HeymaoD.    Note   über   das    elliptische  Integral  mit  complexem 

Modal 446 

L.  Saalschütz.  Das  elliptische  Integral  erster  Gattung  mit  com- 
plexem Modul 44G 

O.  H.  Halphen.    Sar  les  integrales  pseudo-elliptiques 448 

J.  0.  Malet.     On  certain  definite  Integrals 449 

W.  Läska.     Redoction  einiger  Integrale 449 

A.  Kneser.  Elementarer  'Beweis  für  die  Darstellbarkeit  der  ellip- 
tischen Functionen  als  Quotienten  beständig  convergenter  Po- 
tenzreihen   449 

P.  Appell.    Sur  les  ^quations    lin6aires    iutögrables    ä   l'aide   de  la 

fonction  /»»(x,  ^) , 452 

Ch.  Hermite.     Remarques  sur  la  d^composition  en  6I6ments  simples 

des  fonctions  periodiques 454 

M.  Krause  und  G.  Mohrmann.  Ueber  die  Entwickeluns:  der  doppelt- 
periodischen Functionen  zweiter  und  dritter  Art  in  trigonome- 
trische Reihen 456 

M.  Krause.  (Jeber  die  Eotwickelung  der  doppeltperiodischen  Func- 
tionen zweiter  und  dritter  Art  in  trigonometrische  Reihen.    III.    457 

f  G.  Mohr  mann.  Fourier'sche  Entwickelungen  im  Gebiete  der  doppelt- 
periodischen  Functionen  dritter  Gattung 458 

J.  W.  L.  Glaisher.    On  the  series  which  represeut  the  twelve  elliptic 

and  the  four  Zeta  fuoctions 458 

A.  Cayley.     On  Hermite's  /T-product  theorem 4(52 

Ed.  Weyr.     Remarque  sur  la  decomposition    des    fonctions    double- 

ment  p6riodiqaes  en  6l6ments  simples 462 

M    Lerch.     Sur    une    methode    pour   obtenir    le   developpement    en 

s^rie  trigonomötrique  de  quelques  fonctions  elliptiques    ....  463 

L.  Gegenbauer,     üeber  ein  Theorem  des  Herrn  E.  de  Jonquieres  4ü3 

Rollin  A.  Harris.     On  the  ezpansion  of  snx 4G5 

J.  W.  L.  Glaisher.    Expressions  for  ^{x)  as  a  definite  integral  .    .  465 
Cb.  Hermite.     Sur  la  transformation  de  Tint^graie  elliptiqae  de  se- 

conde  espece 4G5 

L.  Kiepert.     Ueber  die  Transformation  der  elliptischen  Functionen 

bei  zusammengesetztem  Transformatioosgrade 46G 

R.  Russell.     On  xk  —  xT  modular  equations   . 468 

R.  Fr  icke.    Ueber  ausgezeichnete  Untergruppen    in  der  Gruppe  der 

elliptischen  Modulfunctionen 470 

A.  Cayley.     A  case  of  complex  multiplicatioo  with  imaginary  mod- 

ulus  arisiug  out  of  the  cubic  trausformation  in  elliptic  functions  470 

H.  Weber.     Zur  Theorie  der  elliptischen  Functionen.     II 471 

A.  G.  Greenhill.     Complex  multiplication  moduli  of  elliptic  functions  473 

W.  Scheibner.     Die   complexe   Multiplication  der   Thetafunction^n  473 
Th.    Lohnstein.      Zur    Theorie     des    arithmetisch  -  seometrischon 

Mittels .475 

Tb.  Lohnstein.     Ueber  das  harmonisch-geometrische  Mittel  .    .    .    .  475 


InhaltsverseictiDis.  TLXXY 

äeite 
P.  Natimow.     Sar  quelques  applications  de  la  th^orie  des  foociioDS 

elliptiqoes  a  la  th6orie  des  Dombres 476 

£    OekiDghans.     Zur  Theorie  der  SchliessuQgsprobleme 476 

G    B.  Mathe  WS.   Some  applications  of  elliptic  fanctioDS  to  tbe  tbeory 

of  twisted • 477 

E.  Padova.    TJua   Duova^  applicaziooe    della  ^teoria  ^delle    funzioDi 

ellittiche  alla  meccanica 478 

F.  Caspary.     Sar  uoe  maoiere  d'exprimer,  au  moyeo  des  fouctioDS 

tbeta  d'uD  seul  argumeut,  les  coefficieots  de  trois  systeines  ortho- 
gouaux  doDt  uo  fiBi  cömpose  des  deuz  autres    .    .    , 479 

F.  Caspary.     Sur  rapplicatioo    des    fonctioos  th^ta  d'uu  seul  argu- 

meut aux  problemes  de  la  rotatioo 479 

0.    Hyperelliptiscbe,  AbeTsche  und  verwandte  FuDctionen. 

r  0(x)dx 
C.  Guichard.     Sur  les  integrales   I    -7—^- 480 

J    VR{x) 

G.  Pick.     Üeber  die  Reduction  byperelliptischer  Differentiale  in  ra- 

tionaler Form 483 

F.  G.  Teixeira.    Sur  la  reduction  des  integrales  hypereiliptiques    .    484 
W.  Ueymann.     Beiträge    zur    Transformation    der  byperelliptischeo 

Integrale 485 

F.  Brioschi.    Le    equazioni    differenziali  pei   periodi  delle  funzioni 

iperellittiche  a  due  variabili 4b6 

J.  P.  Dolbnia.     Neuer  Beweis  der  AbePschen   Theoreme    über   die 

odx 

Integration  der  Differentiale  der  Form  ^.— 486 

yR 

E.  Wiltheiss.   Partielle  Differentialgleichungen  der  hyperelliptischen 

Functionen  und  der  Perioden  derselben 487 

E.  Wiltheiss.  Die  partiellen  Differentialgleichungen  der  hyperellip- 
tischen Thetafunctionen 487 

E.  Wiltheiss.    Ueber  die  Fotenzreiheo  der  hyperelliptischen  Theta- 

functionen  488 

F.  Schottky.     Zur   Theorie    der   Abel'schen    Functiouen    von    vier 

Variabein 488 

F.  Schottky.     üeber  specielle  AbePsche  Functionen  vierten  Ranges    489 
6.  Frobenius.  üeber  das  Verschwinden  der  geraden  Thetafunctionen    489 
A.  von  Braunmuh  1.   Üeber  die  Göpersche  Gruppe  />-roihiger  Theta- 
cbarakteristiken,    die    aus  Dritteln  ganzer  Zahlen  gebildet  sind, 
'  und  die  Fnndamentalrelationen  der  zugehörigen  Thetafunctionen    490 

F.  Klein,     üeber  hyperelliptische  Sigmafunctionen.     II 491 

H.  Bnrkhardt.  Beiträge  zur  Theorie  der  hyperelliptischen  Sigma- 
functionen   492 

F.  Klein.     Sur  la  r^solution  par   les   fonctions  hypereiliptiques,    de 

r^quation  du  27«  degre  etc 493 

D.    Kugel-  und  verwandte  Functionen. 

W.  Braun.  Ifeber  die  Coefficienten  der  Kugelfuuctionen  einer  Ver- 
änderlichen    494 

0.  Zanotti-Bianco.    Alcuni  teoremi  sui  coefßcienti  di  Legendre  .  494 
F.  A.  Tarletou.     On  the  determination  of  the  numerical  factors  in 

the  ezpansion  of  Laplace's  coeffidents 495 

J.  Deruyts.     Sur  une  classe  de  polynOmes  analogues  aux  fonctions 

de  Legendre • 496 

Errata  contained  in  Ferrer's  treatise  on  spherical  harmonics    ....  496 

A.  Pellet.     Sar  la  formale  de  Fourier  et  ses  aoalognea 496 

Fr.  Cohn.     üeber  Lamö'sche  Functionen  mit  complexon  Parametern  496 


XXXYI  iDhallBverzeichoia. 

Seite 

K.  HeuD.    Beiträge  zur  Theorie  der  Lam^'schen  FancUoneD  ....    49H 

L.  Gegeobaner.    Ueber  die  FanctioneD  C^  (^) 499 

6.  Gialiaoi.    Alcane  osseryazioni  sopra  le  fünzioni  sferiche  di  or- 
dine    saperiore   al   secondo    e    sopra   altre   fanztoni   che  se  ne 

poBSODO  dedurre 501 

£.  HaentzBchei.  Ueber  die  Fourier-Besserficbe  Traoscendente  .  .  502 
A.  Harwitz.  Ueber  die  NallstelleD  der  Besserschen  FnDctionen  .  .  502 
W.  F.  Sheppard.    Od  Bome  expreBBions  of  a  faoction  of  a  siogle 

variable  in  terms  of  Bessers  faDCtions 505 

E.  HaentZBchel.    Ueber   die    DiffereDtialgleichnog   der  FoDCtionen 

des  paraboliBchen  Cylioders 50S 

Achter  Abschnitt.    Reine,  elementare  und  synthetische 

Geometrie. 

Gapitel  1.    Principien  der  Geometrie. 

H.  G.  Schwarz.     Ein  Beitrag  zar  Theorie  der  Ordoungstypen  .   .    .  510 

R.  Beez.    Ueber  euklidische  und  nicht-enklidische  Geometrie  ....  512 

F.  Tirelli.    Le  footi  della  geometria  di  Eaclide 514 

F.  Tirelli.     Saggio  di  geometria  metrico-projettiva 514 

M.  Sibiriakoff.     Les  principes  de  la  g^om^trie  ^l^mentaire  ....  514 

fM.  Pasch.    Ueber  die  uoeigentlicheo  Geraden  und  Ebenen  ....  .^>lö 

R.  S.  Ball.    Od  the  theory  of  content 515 

fN.  Lobatschewsky.    Geometrische   Untersuchangen    der  Theorie 

der  Parallelen .  518 

fP.  Duchemin.     Des  parall^led  dans  Tespace 51S 

fP.  Duchemin.  Theorie  des  paralleles  et  certitude  de  la  geometrie  51r^ 
fP.  Duchemin.     Theorie  des  paralleles  sans  postulatnm  et  certitude 

de  g6ora6trie 519 

fL.    G.    Dodgson.      Curiosa   mathematica.      I:    A    new   theory   of 

parallels 519 

fL.  Liard.    Des  d^finitions  geom^triques  et  des  definitions  eoipiriques  519 

Capitel  2.     Gontinuitätsbetrachtungen.    (Analysis  situs). 

W.  Dyck.     Beiträge  zur  Analysis  situs.     I 519 

A.  Schoenflies.     Ueber  reguläre  Gebietsteiluogen  des  Raumes   .   .  521 

A.  Schoen flies.  Beitrag  zur  Theorie  der  Krystallstrnctur  ....  522 
W.  Thomson.    On   the  division  of  Space  with  minimum  partitional 

area 523 

A.  W.  Petersen.    Gm  Planers  Bedaekning  med  Hjaelp  af  et  System 

af  regulaere  n- Kanter 524 

Gapitel  3.     Elementare  Geometrie.    (Planimetrie,  Trigonometrie, 

Stereometrie). 

A.  Sannia  ed  E.  d'Ovidio.    Elementi  di  Geometria .525 

J.  Gasey.     A  treatise  on  plane  trigonometry 52G 

J.  Gasey.     A  treatise  on  elementary  trigonometry .526 

W.  E.  Johnson.    Treatise  on  trigonometry .526 

F.  Fischer.     Anfangsgründe  der  Mathematik.     II:   Planimetrie  und 

Trigonometrie.      III:     Stereometrie,     Trigonometrie    auf     der 

Kugel  etc 529 

L.  Hu  ebner.     Ebene  und  räumliche  Geometrie  des  Masses   ....  529 

H.  Fenkner.     Lehrbuch  der  Geometrie.     I  und  II 529 

G.  Spitz.     Lehrbuch  der  ebenen  Geometrie 530 

G.  Spitz.     Anhang  zu  dem  Lebrbuche  der  ebenen  Geometrie    .    .   .  530 


InhaltsverseichniB.  X2XTII 

•  Seite 

C.  Spit2.    Lehrbacb  der  ebenen  Trigonometrie 530 

G.  Spitz.     Anhang  zu  dem  Lehrbache  der  ebenen  Trigonometrie.   .  530 
F.  Hocevar.  I.  Lehrbuch  der  Geometrie  fnr  Obergymoasien.  If.  Lehr- 
und  Uebungsbuch  der  Geometrie  fär  Untergymnasien.  III.  Geo- 
metrische Uebungsanfgaben    für   das  Obergymnasium.     1.  Heft. 

Planimetrie  und  Stereometrie 531 

A.  Wapienik.    Lehrbuch  der  Geometrie 532 

P.  Lindner.     Repetitorium  der  Planimetrie 532 

A.  Feld  u.  V.  Serf.    Leitfaden  forden  geometrischen  Unterricht  ai 

höheren  Lehranstalten 532 

H.  Reeder.     Lehrsätze  und  Aufgaben  aus  der  Planimetrie 533 

0.  Schlömilch.      Grundzüge    einer   wissenschaftlichen   Darstellung 

der  Geometrie  des  Masses.     I.  Planimetrie 533 

Tb.  Spieker.    Lehrbuch  der  ebenen  Geometrie.     18c«'Aufl 533 

D-  Ei  KU  Chi.    Lehrbuch  der  ebenen  Geometrie.     I,  II 533 

W.  Krimp  hoff.     Vorschule  der  Geometrie 534 

t Rotte k.     Lehrbuch  der  Planimetrie 534 

JRottok.    Lehrbuch  der  Stereometrie 534 

Ja.  Bachelet.    Nozioni  di  geometria  elementare 534 

fG.  y.  Siciliani.    Complemento  alla  geometria  plana  di  Euclide  e 

geometria  solida 534 

fC.  F.  R.  Bellows.    Elements  of  geometry 534 

JE.  M.  Langley  and  W.  S.  Phillips.    The  Harpur  Euclid  ....  534 

R.  C.  J.  Nixon.    Geometry  in  space 535 

fB.  H.  Rau.     First  lessons  in  geometry 535 

tS.  E.  Warren.     A  primary  geometry 535 

fG.  A.  Wentworth.    Plane  and  solid  geometry 535 

fPaoI  Bert.     First  elements  of  experimentat  geometry 535 

fH.  Bob  et  H.  Rebiere.    £l^ments  de  g^om^trie 535 

fE.  Lebon.     G6omätrie  ^l^mentaire • 535 

fL.  Lecointe.    Nouveau  cours  de  g^om^trie  ^l^mentaire 535 

JE.  Rouch^  et  Gh.  de  Comberousse.    £l6ments  de  g^om^trie  .  .  535 

fJ.  Petersen.     Laerebog  i  den  elementaere  Plangeometri 535 

fJ.  Petersen.    Den    plane    trigonometri    og    de  sphaeriske  Grnnd- 

formier 535 

F.  J.  Brockmano.  Materialien  zu  Dreiecksconstructionen 536 

F.  J.  Brockmann.   Sammlung  von  Aufgaben  ans  allen  Gebieten  der 

Elementarmathematik 536 

£.  Brunn.   Ein  Beitrag  zur  Behandlung  planimetrischer  Constructions- 

aufgaben  im  Anfangsunterricht 536 

P  Schönemann.    Ueber  die  gegenseitige  mechanische  Verwandlung 
gleicher   Dreiecke    und   Parallelogramme   mittelst  unmittelbarer 

Constrnctionen 537 

E.  Lemoine.    Mesnre  de  la  simplicite  dans  les  constructions  math6- 

matiques 537 

E.  Lemoine.    De  la  mesure  de  la  simplicit6  dans  les  constructions 

geom^triques 537 

F.  Reidt.    Flanimetrische  Aufgaben.     II 538 

G  Gerstenberg.     Aufgaben  aus  der  rechnenden  Geometrie  ....  539 
W.  Lichtblau  und   B.  Wiese.    Sammlung   geo^netrischer   Rechen- 
aufgaben    539 

tW.  Rögind.    Vejledning  til  Lösing  af  geometriske  Opgaver   .    .   .  540 

A.  Schiappa  Monteiro.    Note  sur  le  triangle  isoscele 541 

F.  Panizza.    Piccolo  contributo  alla  teoria  geometrica  dell'  equiva- 

lenza 541 

M.  Simon.     Vereinfachtes  Verfahren,  flächengleiche  Figuren  in  eine 

möglichst  kleine  Anzahl  paarweise  coogruenter  Teile  zu  zerlegen  541 


XXXVHI  lohalteverzeicfaDiB. 

^  Seit« 

Renscb.   Eine  MinimumBaufcrftbe 541 

F.  Panizza.     Costnieiooe    di   triangoli  isoburicentrici  cou  ano  dato  542 
J.  S.  Mackay.     Propertit^s  of  the  figare  consUtiog  of  a  triangle,  and 

the  sqaares  deecribed  on  its  eides 54^ 

fM.  d'OcagDe.     Note  sur  les  poiota  compl^mentairea 542 

A.  Strnad.     Ueber  das  harmonische  Viereck 542 

C    Pabst.     Einige  Beziehungen   zwischen  den  drei  Höhen  und  zwi> 

sehen  den  drei  seitenhalbirenden  Transversalen   eines  Dreiecks  543 
R.  E.  Allard ice.     On  ihe  inscription  of  a  triangle  of  a  given  shape 

in  a  given  triangle ^ 543 

R.  E.  Allardice.     A  construction  for  the  Brocardal  points    ....  543 
E.  Sang.     On  John  Leslie's  computatiou  of  the  ratio  of  the  dianieter 

of  a  circle  to  its  circumference 543 

fG.  O.  WidesoaUn.     Die  von  der  Wissenschuft  seit  2000  Jahren  ver- 
geblich gesuchte  Losung  der  Quadratur  des  Kreises 544 

fD.  Fellini.  Proprieta  delle  ciroonferenze  concentriche  rispetto  all'e- 

qnivalenza  georaetrica 544 

A.  Pellet.    Division  approximative  d'un  arc  de  cercle  dans  un  rapport 

donn^,  a  Taide  de  la  regle  et  du  compas &44 

C.  A.  Laisant.     Extrait  d'  une  lettre 545 

E.  Lern o ine.     Extrait  d'  une  lettre 545 

A.  Mannheim.     Extrait  d'  uue  lettre 545 

R.  Lachlan,  J.   Beyens,   Matz.     Solution  of  question  d\A6    .    .    .  545 
Jos.  Fürst.     Ueber  den  Zusammenhang  des  Caruot'schen  Lehrsatzes 

mit  dem  Theorem  des  Ptolemaens 545 

.H.  Kunz.     Ueber  Vielecke,  welche  einem  Kreise  eingeschrieben  und 

einem  anderen  zugleich  umgeschrieben  sind 546 

0.  Schlomilch      Bemerkung  über  doppelt  centrische  Vielecke    .    .  547 

0.  Zimmermann.    Metrische  Relationen  am  Sehnenviereck    ....  547 

A.  Strnad.    Ueber  das  Sehnentangentenviereck 548 

W.  Goering.     Geometrische  Untersuchungen 548 

M.  Joffroy.    Nonveau  tbeoreme  relatif  aux  circonferences  tangentes  548 

Sporer.     Zum  Problem  des  Apollonius 519 

P.  Aubert.     Sur  nn  gysteme  de  cercles  tangents  a  une  circonference 

et  orthogonaux  a  une  autre  circonference 549 

Jeffery.     I.  On  the  circles,  which  are  described  about  the  four  circles, 

escribed  and  inscribed  in  a  given  plane  triangle,  taken  by  triads. 

11.  On  the  circles  described  about  the  eight  small  circles  of  a 

sphere  etc 549 

E.  Cesaro.    Sur  les  cercles  inscrits  a  un  triangle 550 

H.  Bleicher.     Ein  Satz  aus  der  Elementargeometrie 550 

B.  Vigari6.     Geometrie  du  triangle 550 

E.  Lemoine  et  E.   Vigari^.     Note  sur  les  elementa  Brocardiens    .  551 
E.  Lemoine.     Notes    sur    diverses  'qnestions    de    la    geom^trie    da 

triangle 551 

H.  Lieber.     Ueber  den  Brocard'schen  Kreis 552 

W.  Fuhrmann.     Berichtigende  Notiz  zum  Aufsatz  I 552 

R.  W,  Geneso.     Geometrical   demonstration  of  Feuerbach's  theurem  552 

M.  F.  Farjon.     Note  sur  une  propri^te  du  cercle  des  neuf  points    .  553 

f  J.  Wilson.     The  nine-point  circle 553 

J.  Hermes.     Neuer  Punkt  und  Gerade   in  der  Dreiecksebene    .   .    .  553 

R.  Tucker.     On  Isoscelians 554 

S.  Roberts,  J.  Neuberg,  W.  J.  (!.  Sharp.     Solution  of  questions 

9093  and  9170 .554 

J.  Neuberg,   S.  Roberts.     Solution  of  question  9114 554 

J.  Neuberg,  J.  Beyeus.     Solution  of  question  ^^7f)5 555 

T.  0.  Simmons,  J.  Beyens.     Solution  of  question  8821    .....  555 


iDhaltoverzeichDis.  XXXIX 

Seite 

J.  Neaberg.  R.  F.  Davis.     Solatioo  of  qoestion  9303 555 

Zahraduik.   Utiber  einige  Winkel-  and  LäogenrelatioDen  am  Dreiecke  556 

A.  Wer  nicke.     Goniometrie  uod  Graudzuge  der  Trigonometrie  .  ..    .  556 

K.  Nies.     Lehrbach  der  ebenen  Trigonometrie 557 

fT.  M.  Blakslee.    Academic  trigonometry  ......' 557 

G.  Ras  so.     Espressioni  diverse  dell'area  di  un  triangolo 558 

ß.  Gelin.     Galenites  lignes  trigonom^triques  des  arcs  da  premier 

quadrant,  de  trois  en  trois  degr^s 558 

äeipp.     Ueber  trigonometrische  Fanctioneo  von  Winkelsammen  and 

aber  Relationen  zwischen  Polygonwinkeln 558 

R   Gottin g.     Ueber   die  Aafgabe:     Einen  Punkt  L   zu    bestimmen, 

dessen  Entfernungen    von   3   gegebenen   Punkten  ^,  B,  C  sich 

wie  3  gegebene  gerade  Linien  a,  b,  c  verhalten 558 

R.  Caspar.    Beweis  eines  Dreieckssatzes .559 

fE.  Gelin.     Qaestions  diverses  de  trigonom^trie 559 

fC   L.  Gerling.    Die  Pothenot'sche  Aufgabe.   .   .   .    ^ 559 

M.  Cantor.  Ueber  eine  Proportion  ans  der  elementaren  Geometrie  559 
Stolz.     Ueber    die   anschauliche  Yergleichung  der  ebenen  Vielecke 

and  der  Prismen 559 

G.  Hauck.     Lehrbuch»  der  Stereometrie.     Auf  Grund   von  F.  Rom- 

mereirs  Lehrbach  neu  bearbeitet 560 

E.  Cesaro.     Forme   poliedriche  regolari  e  semiregolari  in  tutti  gli 

spazii 561 

E.  Cesaro.      Tableau    des    d^rivations    cristallographiqaes    dans    le 

premier  Systeme .^ 561 

F.  Panizza.     Nota  sui  poliedri  regolari  e*  semi-regolari  convessi  .  .  562 

J.  Wolstenholme,  S.  Aiyar.    Solution  of  question  9430 562 

S.  Tebay,  J.  Wolstenholme.     Solution  of  question  9090    ....  562 
Lücke.     Geometrisch  anschaulicher  Beweis,  dass  die  Cotes'sche  For- 
mel für  Körper  gilt,   welche    durch  Umdrehung   einer   gewissen 

Corvo  entstehen,  insbesondere  für  das  Neiloid    .  >. 563 

D.  Besso.     Teoremi  sul  tronco  di  prisma 563 

5.  Roberts.     On  the  analogues  of  the  nine-puiot  circle  in  space  .    .  564 

fQ.  Pietsch.    Katechismus  der  Raumberechnung 565 

fP.  Schumacher.     Geometrie  der  Kreise  einer  Kugel    .    .    .    .    ^   .  565 

Capitel  4.     Darstellende  Geometrie. 

W.  Fiedler.     Die  darstellende  Geometrie  in  organischer  Verbindung 

mit  der  Geometrie  der  Lage.     III 566 

6.  A.  V.  Peschka.    Freie  Perspective.    I 567 

6.  Conz.     Lehrbuch  der  Perspective 568 

A  Weiler.     Die  Axonometrie  als  Orthogonaiprojection 569 

J.  Vonderlinn.    Lehrbuch  des  Projectionszeichnens.     I 569 

J.  Menger.     Elementi  di  Geometria  descrittiva 570 

M.  Kleiber.    Das  projective  Zeichnen 570 

C.  W.  0.  Schmidt.     Das    isometrische  Zeichnen    im  Anschluss    an 

die  für  die  Bauausführung  bestimmte  Werkzeichnung 571 

J   Steiner.     Studienblätter.    Eine  systematische  Folge  vorgedruckter 
Annahmen  zur  graphischen  Durchführung  grösserer  Constructions- 

Aufgaben  aus  der  darstellenden  Geometrie 571 

6.  Hauck.    Uebungsstoff  fär  den  praktischen  Unterricht  in  der  Pro- 

jectioDslehre.     1  u.  2 , 571 

F.  Bnka.    Projectivische  Massstäbe 572 

VV.  H.  Echols.     Construction  of  perspective  projections 573 

0.  Voll  and.     Die  Schattenconstruction 573 

C.  Volland.     Aufgabensammlung  für  die   architektonische  Schatten- 
lehre      573 


XL  Inhaltsverzeichnis. 

J.  Teaar.     Kote    über   die    Tangenten    und  Singularitäten    des   [so- 

photen-Systems  auf  Rotationsflächen 573 

R.  Nicodemi.     Determinazione  del  pnnto  brillante  di  una  sfera    .    .  574 
R.  Nicodemi,    pistribuzione   dei  cerchi  nello  spazio  i  qnali  da  an 

dato  punto  sopra  nn  dato  piano  si  projettano  in  cerchi  ....  575 

R.  Kujisawa.    Note  on  projection 576 

Th.  Monin.     Ueber   die    Contonren    von   Projectioned    der    Flächen 

zweiter  Ordnung 576 

R.  Malloizel.     Note  compl^mentaire   sur  l'^pure  donn^e,  en  1887, 

aux  examens  d'admission  ä  T^lcole  Polytechnique 576 

J.  Bottomlej.     On  tbe  composition  of  projections  in  geometry  of 

two  dimensions 576 

J.  Menger.     Geometrische  Formenlehre  in  Verbindung  mit  dem  Frei- 
handzeichnen    577 

tG.  Delabar.     Das  geometrische  Zeichnen.     I 577 

fA.  Gut.     Das  Linearzeichnen.     III:  Die  Perspective 577 

fV.  F.  Keller.     Das  geometrische  und  projectivische  Zeichnen    .    .  577 

fN.  Breithoff.     Cours  de  g^om^trie  descriptive  appliqn^e.     I  .    .    .  577 

fCh.  Dapples.     Perspective  par  la  m^thode  des  projetantes .  .    .    .  577 

fj.  Kiaes.     Traite  614menfaire  de  göom^trie  descriptive.    1 577 

fB.  Lebon.    Trait6  de  göom^trie  descriptive  .    .    .' 577 

fC.  F.  A.  Leroy.     Traite  de  geom6trie  descriptive 577 

fW.  E.  Crowther.     Elementary  textbook  of  projectional  solid  geo- 
metry   578 

tL.  W.  Faunce.     Descriptive  geometry 578 

tH.  A.  James.     Hand-book  of  perspective 578 

fJ.  B.  Miliar.     Elements  of  descriptive  geometry 578 

fS.  Woolf.     Elementary  course  of  descriptive  geometry  ......  578 

Gapitel  5.    Neuere  synthetische  Geometrie. 

A.    Allgemeines. 

F.  Aschieri.    Geometria  projettiva.    Lezioni 578 

F.  Amodeo.     Lezioni  sulle  omografie  biuarie 580 

F.  Amodeo.    Fasci    di    omografie    binarie    e  rappresentazione  geo- 

metrica  degli  elementi  immaginarii 583 

J.  Finsterbuscb.     Beitragzur  synthetischen  Geometrie  ebener  Kreis- 
systeme und   damit  im  Zusammenhange  stehender  höherer  Cur- 

ven.     I 584 

B.  Klein.     Zum  Fundamentalsatz  der  Geometrie  der  Lage.     II .   .    .  5S4 

C.  Le  Paige.    Demonstration  d'un  th^oreme  de  von  Staudt  ....  584 
U.  Le  Paige  et  F.  Deruyts.     Sur  les  th^oremes  fondamentaux  de 

la  g^omdtrie  projective 584 

T.  ßrodtin.      Anmerkningar   am  Dobbelelementer  ved  projectiviska 

raka  Punktsystem'  ocb  plana  Stralknippan 585 

Kirchner,    lieber  die  perspective  Lage  ebener  Dreiecke 585 

A.  Schon  flies.     Ueber  die  regelmässigen  Gonfigurationen  n,     ...  586 
H.  Schröter.    Ueber  lineare  Constructioneu  zur  Herstellung  der  Gon- 
figurationen «3 58H 

J.  de  Vries.     Ueber  gewisse  ebene  Gonfigurationen 589 

J.  de  Vries.     Ueber  die  einem  Vierseite  harmonisch  eingeschriebene 

Configuration  IB3 591 

J.  de  Vries.     Ovar  vlakke  Configuraties 591 

J.  de  Vries.     Over  de  harmonische  Gonfiguratie  (243,  1^4) 591 

J.  de  Vries.     Involutions  quadruples  sur  courbes  biquadratiques .    .  591 
S.  Roberte.     On   the  figures   formed   by  the  iotercepts  of  a  System 
of  straight  lines  in  a  plane,  and  on  analogous  relatioos  in  space 

of  three  dimensions 592 


lohaltaverseichDis.  XLI 

Seite 

Kilbinger.     Ueber    eine    Art    involutoriecher    Verwand techaft    des 

zweiten  Grades 593 

I).  Mootesaoo.     Sa  alcuni  gruppi  cbiusi  di  trasfortnaziooi  iDvoIutorie 

nel  piaoo  e  nello  spazio 593 

D.  Monte sa DO.  Sa  le  trasformazioni  involatorie  monoidali  ....  595 
D.  Montesano.     Sn  nna  classe  di  trasformazioni  involatorie  dello 

spazio X 597 

J.  Neuberg.  Sar  les  transformations  quadratiqnes  involatives  .  .  .  597 
R.  E.  Allardice.  A  method  of  trän s form ation  in  geometry  ....  597 
K.  Ooehlemann.    Zar  synthetischen  Erzeagang  der  Cremona'schen 

Transformation  vierter  Ordnung 59B 

D.  Coelingh.    Transformation    de   figures   analogue    ä   la   transfor-     • 

mation   par  rayons  vectears  reciproques 598 

A.  del  Re.      Sai    sistemi    polari    reali    bitangenti   a   sistemi    polar! 

reali  dati 598 

A.  del  Re.    Sor  une  qnestion  ^lementaire  de  g6om6trie 599 

A.  del  Re.     Un  teorema  di  geometria  projettiva  sintetica  ed  alcani 

saoi  corollari 599 

V.  Retali.    Snlle  forme  binarie  cnbiche GOO 

G,  Jung.    Ricerche  sai  sistemi  lineari  di  cnrve  algebriche  di  genere 

qaalanqae 001 

G.  Jung.     Ricerche  sai   sistemi  lineari  di  genere  qaalanqae  e  salla 

loro  ridazione  all'ordine  minimo 601 

G.  Jung.    Salr  eccesso    degli    elementi   fondamentali   di  un  sistema 
^lineare  di  genere  qaalanqae.  —  8a)  uumero  delle  curve  degeneri 

contenute  in  an  fascio  di  genere  qaalanqae G07 

U.  Jung.     Salia   ridazione    airordine    minimo    dei  sistemi  lineari  di 

genere  qaalanqae 608 

K.  H.  Moore.     A    problem    suggested    in   the  geometry  of  nets  of 

curves  and  applied  to  the  theory  of  siz  points  having  multipiy 

perspective  relations 609 

M.  d'Qcagne.     Sar    certaines    courbes    qu'on    peut   adjoindre    aux 

coarbes  planes  pour  Petude  de  leurs  propri6t6s  infinitesimales  .    (i09 
Fr.  Machovec.    Beiträge  zur  Construction  der  Tangenten  und   der 

Krümmangsmittelpunkte  ebener  Curven  .   .    . BIO 

A.  Mannheim.    Applications  de  g^om^trie  cin^matique      610 

D.  Montesano.     Sa  le  trasformazioni  involatorie  dello  spazio  che 

determinano  un  complesso  lineare  di  rette 611 

D.  Montesano.     SuIIe  reciprocitä  birazionali  dello  spazio i^\2 

F.  Aschieri.     Del   legaroe    fra  la   teoria   dei  complessi  di  rette  e 

quelle  delle  corrispoodenze  anivoche  e  multiple  dello  spazio  .    .  613 

G.  Lazzeri.     Sopra  certi  sistemi  di  linee  e  di  superficie 615 

Ji.  Küpper.    Zur  Theorie  der  ebenen  und  Raumcurven 616 

A.  K  Des  er.    Synthetische   Untersuchungen    über   die    Schmiegungs- 

ebeaen    beliebiger    Raumcurven     und    die    Realitätsverhältnisse 

specieller  Kegelschnittsysteme  . 617 

D.  Montesano.  Sn  nna  famiglia  di  superficie  omaloidiche  ....  ^^20 
J.  Hadamard.    Kecherches  de  surfaces  anallagmatiques  par  rapport 

ä  une  infinite  de  pöles  d'inversion « 620 

tReyes  y  Prosper.     Sar  les  propri^t^s  graphiques  des'figures  cen- 

triques •. 621 

B.    Besondere  ebene  Gebilde. 

L.  Certo.     Suir  n-agono  inscritto  isoclino  in  an  n-agouo  piano  sem- 

plice  dato 621 

A.  Breuer.      Constructive   Geometrie    der   Kegi'lschnitte    auf  Grund 

der  Focaleigenschaften 622 


Xin  iDfaaltsverzeichnie. 

Seit« 

Fr.  Faber.     Planimetrische  ErörteruDgen 623 

H.  Schröter.     Eio  Satz    aber  das  dem    Kegelschoitt  ufflschriebeoe 

Siebeneck 623 

R.  Schober.    Znr  Oonstruction  der  KegelschniiUliDieD 624 

Weill.     AppHcatioQS  des  propri^tes  projectives  des  cooiques    .   .    .  624 

A.  Renou.     Solotion  de  la  qaestion  1567 624 

DelassQS.    üne  application  des  traDSverflales  reoiproqaes 624 

H.  Kiehl.    Die  durch  drei  ähDliche  Panktreiheo  erzeugten  Dreiecke 

und  KegelBchnitte 625 

M.  d'Ocague,  Beyeus,  Bernard.    Solution  d'nne  questioo.  .    .    .  626 

C.  Gussero w.     Die  Ellipse  als  Normalprojection  des  Kreises    .    .   .  626 

Farjoo     Solution  d'une  question 626 

Jefabek;  Neuberg,  Fuhrmann.     Sur   Thyperbole   inveree   de  la 

droite  d'Euler 627 

P.  Payet.    Solution  g^om^trique 627 

M.  D  i  s  t  e  1  i.    Die  Steiner'schen  Schliessungsprobleme  nach  darstellend 

geometrischer  Methode 627 

K.  (Jranz.    Beitrag  zur  projectivischen  Geometrie 628 

A.  Suini.    Coutribnzione  alla  teoria  delle  coniche 629 

CI.  Servais.     Sur  la  courbure  dans  les  coniques 62'J 

A.  Mannheim.     Construire  le  centre  de  courbure  de  la  d^velopp^e 

d*une  conique  ...■-. 630 

Gl.  Servais.    Applications  de  la  quasi •  inversion  lin^aire  aux  cour- 

bes  osculatrices 630 

Gh.  Beyel.     Vier  Aufgaben  über  drei-  und  vierpunktige  Berährun^ 

von  Kegelschnitten 630 

Gh.  Beyel.    Ueber  Osculation  und  vierpunktige  Berührung  von  Kegel- 
schnitten    631 

f  A.  Keller.     Ueber  gewisse  Vierecke,   die  von  Viereckspaareu  ab- 
hangen    631 

H.  Schröter.     Die  Theorie  der  ebenen  Gurven  dritter  Ordnung   .    .  631 
H.  Schröter.     Zurückfährung  der  Grasemann'scben  Definitionen  der 
Gurve  dritter  Ordnung  auf  die  von  Ghasles,  Gayley  und  Hesse 

angegebenen  Erzeugungsweisen 634 

M.  Baur.     Synthetische  Einteilung  der  Ourven  dritter  Ordnung.   .    .  635 

F.  Morley,  P.  H.  Schonte.     Solution  of  question  9107 637 

L.  Certo.     Sulle  forme  di  terzo  grado  generate  da  due  forme  ele- 

mentari   projettive  di   primo  e   di  secondo  grado  di  un  piano  o 

di  una  Stella 637 

P.  H.  Schonte,      üeber   die  Curven    vierter  Ordnung    mit    drei  In- 

flexionsknoten 637 

6.  Kohn.     Ueber  die  Beruhrungskegelschnttte  und  Doppeltangenten 

der  allgemeinen  Gurve. vierter  Ordnung 638 

A.  Leuck.      Erzeugung    und    Untersuchung   einiger   ebenen    C'urven 

höherer  Ordnung 63s 

E.  de  Jonquicres.     Oonstruction   geom^trique  de  courbes  unicur- 

sales,    notamment    de    celle    du    cinquieme  ordre  dou^e  de  six 

points  donbles 639 

G.  Fouret.     Sur  quelques  proprietes  g6om6triques  des  stelloides .  .    639 

G.     Besondere  räumliche  Gebilde. 

Niewenglowski.     Solution  de  la  question  propos^e  en  philosophie 

au*  concours  general  en  l.s^s4 640 

A.  Petot.     Sur  une  exteosion  du  th^oreme  de  Pascal  ä  la  g^ometrie 

de  l'espace 640 

G.  Hossfeld.      Oonstruction   der  Fläche   zweiter  Ordnung  aus  neun 

Punkten,  von  denen  acht  imaginär  sind 641 


iDbaltsverzeichnis.  XLIII 

Seite 

Kober.     Die  harmonisch  zugeordoeten  Flächen  zweiten  Grades    .    .    H42 

A.  del  Re.  Sor  uoe  qaestion  de  g^om^trie  liee  a  la  theorie  des  nor- 
males a  nne  qnadrique 643 

A.  Kiefer.  Ueber  die  geraden  Kegel  änd  Cylinder,  welche  durch 
gegebene  Punkte  des  Raumes  gehen,  oder  gegebene  gerade 
Linien  des  Raumes  berühren 643 

t  P.  Dittmar.    Das  Büschel  von  Kegelschnitten,  welches  ein  Ebenen- 

bnschel  aus  einem  Kegel  II.  Ordnung  ausschneidet 645 

C.  Hossfeld.  Ueber  eine  Aufgabe  aus  der  projectiven  Oeometrie 
des  Raumes.  Construction  der  Raumcurve  dritter  Ordnung  aus 
*  imaginären  Punkten 645 

E.  de  Jonquieres.  Construction  geom^trique  de  la  surface  du 
troisieme  ordre.  Reflexions  sur  la  gen^ration  des  surfaces  alg^- 
briques  k  Taide  de  deux  faisceauz  projectifs 645 

E.  de  Jonquieres.  Construction  g^om^trique,  par  deux  faisceauz 
projectifs,  de  la  surface  du  troisieme  degr^  d6termin6e'  par  di- 
verses conditions  donn^es ,    .    .    .    .    646 

E.  de  Jonquieres.     Nouvelles  recherches   sur  la  construction,  par 

deuz  faisceauz  projectifs,  de  la  surface  generale  du  troisieme  ordre    646 

E.  de  Jonquieres.    Construction  göom6trique  d'une  surface  ä  points 

doubles,  du  quatrieme  ordre 646 

Sporer.  Eine  Verallgemeinerung  des  Steiner  -  Cayley'schen  Penta- 
eders der  Flächen  dritten  Grades 647 

EL  Gz  aber.     Die  sphärische  Curve  vierter  Ordnung  als  Einhüllende 

von  Kreisscharen 617 

A.  Mannheim.      Sur    certaines    conoi'des    et    en    particulier   sur    le 

conoide  de  Flacker 647 

J.  Card.inaal.     Meetkundige  theorie   der  scheeve  oppervlakken  van 

de  vierde  orde •.    .    .    .    648 

C.  Demartres.     tiur  le  lieu  d'nn  cercle  doublement  s^cant  i  trois 

cerclee  fixes 648 

A.  8acharda.    Üeber  die  Singularitäten  einer  Gattung  von  Rückungs- 

flächen  vierter  Ordnung 649 

V.  Mar  er.     Sulla  superficie  di  5^  ordine,   dotata  di  quartica  doppia 

di  !•  specie 649 

D.  Montesano.     Su  la  curva  gobba  di  5^  ordine  e  di  genere  I    .    .    650 
Em.  Weyr.      Üeber  Raumcurven    fünfter  Ordnung    vom  Geschlechte 

Eins.    Dritte  Mitteilung 651 

G.  Koenigs.    Note  sur  les   courbes  dont  les  tangentes  fönt  partie  * 

d*an  complexe  lineaire 653 

J.  Kleiber.     Construction    einer    Plücker'schen    Complexfläche    aus 

ihren  vier  singulären  Strahlen 653 

1.  Conti.     Sülle  congruenze  generate  da  una  coppia  di  piani  in  coi- 

rispondenza  doppia 654 

E.  de  J  onquieres.    Determination  du  nombre  mazimum  des  points 

doables,  proprement  dits,  qu*il  est  permis  d'attribuer  arbitrai- 
rement  ä  une  surface  alg^brique,  de  degr6  m  etc 654 

E.  de  Jonquieres.  Sur  un  trait  caracteristique  de  dissemblance 
entre  les  surfaces  et  les  courbes  alg6briques,  d'oü  d^pendent 
les  limites  respectives  des  nombres  de  points  doubles  etc.     .    .    654 

E.  de  Jonquieres.  Sur  quelques  notions,  principes  et  formules  qui 
interviennent  dans  plusiours  qnestions  concernant  les  courbes  et 
les  surfaces  algebriques 655 

D.     Gebilde  in  Räumen  von  mehr  als  drei  Dimensionen. 

S.  Dickstein.      Bericht   über   die   Arbeiten    aus    dem   Gebiete    der 

polydimensionalen  Geometrie 656 


XLIV  InhaltsverzeichDis. 

Seite 

fV.  Schlegel,  lieber  den  BOgenaDDteo  vierdimeDsionalen  Raam  .  .  H5^ 
G.  D.  H.     Aomaerkoinger  rörande  Kroppao  af  högre  Dimensiooer  .    .    i'^bH 

F.  Ufaizzoni.     Solla    corrispondenza    uoivoca    fra    le    rette    di   udo 

spazio    ordinario   ed    i  puoti   di  qoo   spazio  lineare   a  qaattro 

dimensioni 656 

6.  Bordiga.     Dei  complessi  io  generale  nelio  spazio  a  qnattro  di- 

meosloni  ed  in  particolare  di  aleani  di  primo  ordine  etc.   .   .    .    B57 

G.  Bordiga.     Di  una  certa  saperficie  del  7^  ordine 661 

C  Segre.     Snlle  varieta  cnbiche  dello  spazio  a  qaattro  dimensioni 

e  SU  certi  sistemi  di  rette  e  certe  saperficie  delio  spazio  ordi- 

nario 662 

C.  Segre.     Alcuoe  consideraziooi  elementari  sall'incidenza  di  rette 

e  piani  nello  spazio  a  qaattro  dimensioni 666 

C.  Segre.  Saite  curve  normali  di  genere  p  dei  varii  spazii  ....  668 
0.  Segre.    Un'  osservazione  sai  sistemi  di  rette  degli  spazii  sape- 

riori 668 

G.  Castelnaovo.    Sopra  una  congruenza  del  3^  ordine  e  G»  classe 

dello  spazio  ordinario  e  salle  sai  projezioni  nello  spazio  ordi- 

nario 669 

G.  Gaste Inuovo.     Salle    congruenze    del   3®  ordine  dello  spazio  a 

quattro  dimensioni G6i> 

G.  Castelnuovo.    Geometria  sulle  curve  ellittiche 673 

M.  Pieri.    Sopra  an  teorema  di  geometria  a  n  dimensioni 675 

E.    Abzählende  Geometrie. 

C.  Kupper.  Die  Abzahlung  als  Fehlerquelle  in  der  modernen  Geo- 
metrie   676 

C.  Küpper,  üeber  die  auf  einer^Curve  m*«''  Ordnung  C*  vom  Ge- 
schlechte />  von  den  oo*'  Geraden  0  der  Ebene  ausgeschnittene 
lineare  Schar  ^J,J^ 677 

G.  Fouret.  Sur  la  determination  de  Tordre  de  la  surface  lieu  des 
points  dont  les  distances  a  des  surfacea  algebriques  donuees 
v^rifient  une  relation  alg^brique  donnee 677 

Neunter  Abschnitt.    Analytische  Geometrie. 

Oapitel  1.     Lehrbücher,  Coordinaten. 

G.  Salmon  und  W.  Fiedler.  Analytische  Geometrie  der  Kegel- 
schnitte.    II 678 

H.  Ganter  und  F.  Rudio.   Die  Elemente  der  analytischen  Geometrie 

der  Ebene 679 

L.  Vigliane.    Leciones  de  geometria  analytica 6S0 

F.  Aschieri.     Geometria  anaiitica  dello  spazio 6sO 

J.  Casey.     Tratado  de  geometria  analytica 6^0 

fj.  M.  Gabutti  y  M.  K.  Monlleo.     Teorfas    de  la  notacion   abre-  * 

viada,  dualidad  y  transformacion  de  figuras  etc   .    .    • G80 

fJ.  van  Hengel.     Eine  Auswahl  aus  der  analytischen  Geometrie  der 

Ebene  . 680 

t  A.  Imber  et  M.  Weill.     Cours  de  geomötrie  analytique 680 

tJ.  D.  Runkle.     Plane  analytic  geometry 680 

fG.  Salmon.     Tratado    de    geometria  analitica  (Secciones  conicas). 

Tradncido  de  la  6.  edicion  inglesa  por  L.  de  la  Puente  ....  680 

fH.  Sonnet  et  G.  Fronter a.     Elements    de    geometrie  analytique  680 

f  M.  Vi  pure  in.     Geometria  analitica  applicata  alle  arti.     I    .    .    .    .  681 


lohaltBverzeicbmB.  XLY 

Seite 

fH.  WestermaDD.    Die  analytische  Geometrie  auf  der  Schule  and 

das  Rechneo  mit  Hülfe  der  Logarithmen 681 

P.  J   Ho  11  mann.     Verzameiing  van  vraagstnkken  op  het  gebied  van 

de  analytische  meetknnde  der  mimte.    III 681 

F.  J.  Hollmann.     Verzameiing  van  vraagstnkken  op  het  gebied  der 

analytische  meetkunde  van  het  platte  vlak 681 

Fr.  Graefe.    Aufgaben  nnd  Lehrsätze  ans  der  analytischen  Geome- 
trie des  Baumes,  insbesondere  der  Flächen  zweiten  Grades  .    .    681 
fj.  Koebler.     Bxercices   de  g^om^trie  analytique    et    de  geom^trie 

Buperieure.    Questions  et  Solutions.    II 682 

tCh.  B risse.  Recneil  de  problemes  de  g^ometrie  analytique  .  .  .  682 
tE.  Jacquier.  Application  de  la  g^om^trie  ä  la  science  des  nombres  683 
E.  Lemoine.    Des  systemes  de  coordonoees  qui  d6terminent  le  plus 

simplement  un  point  par  une  construction 683 

fV.  Gattoni.     Determinazione  di  nn  punto  rispetto  ad  altri  noti  di 

posizione 683 

Fr.   Hof  mann.      Parameterdarstelhing   von    orthogonalen    Substitu- 
tionen,   welche    identisch   umkehrbar   sind,    auf  geometrischem 

Wege 683 

E.  Fadova.     Sulla  teoria  delle  coordinate  cnrvilinee 684 

K.  Baer.     Parabolische  Coordinaten  in  der  Ebene  und  im  Ranine    .    684 
H.  G.  Schulz.    Lemoiskatische   PolarcoordioateD    mit    ihren  Bezie- 
hungen   zu   den   gewöhnlichen  Folarcoordinaten  nnd  den  recht- 
winkHgen  Farallelcoordinaten   .    .    .  • 685 

G.  Humbert.     Sur  Torientation  des  systemes  de  droites 686 

Dom  seh.     Ueber  die  Darstellung  des    Imaginären   in  der  Geometrie    688 

fG.  Tarry.     Nouvel  essai  sur  la  g^om^trie  imaginaire 689 

JE.  Fraschigni.     La  geometria  immaginaria 689 

A.  Mai  er.  Die  in  einer  Ebene  darstellbaren  Richtuogszahlen  .  .  .  689 
G.  Peano.     Calcolo    geometrico    secondo    TAusdehnungslehre   di   H. 

Grassmann  preceduto  dalle  operazioni  della  logica  deduttiva  .    .  689 
H.  Grassmann.    Anwendung   der  Ausdehnungslehre  auf   die  allge- 
meine Theorie  der  Raumcurven  und  krummen  Flächen.     II.  1   .  692 
E.  W.  Hyde.     Geometrie  division  of  non  coogruent  quantities  .    .    .  693 
0.  H.  Chapman.     On   some   applications   of  the   units  of  an  n-fold 

Space 694 

G.  H.  Kümmel).    On   some    fundamental   theorems  of  mensurations 

in  one,  two  and  three  dimensions 694 

G   Plarr.     On  the  roots  of  *'  =  — 1 695 

J.  J.  Sylvester,  S.  Sircom.     Solution  of  question  7740 G95 

J  Hahn.     Ueber  Aequipollenz  und  ihre  Anwendung 695 

A.  Favaro.     Intorno   ad    alcuore  applicazioni  sul  roetodo  delle  equi- 

pollenze 696 

C.  A.  Laisant,  Papelier.     Solution  des  questions  237  et  23S    .    .  696 

Capitel  2.    Analytische  Geometrie  der  Ebene. 
A.      Allgemeine  Theorie  der  ebenen  Curven. 

M.  d'Ocagne.     Remarques  sur  la  gdom^trie  infinit(;Bimale  des  cour- 

bes  planes,  formules  fondamentales  etc 697 

M.  d'Ocagne.     Sur  certaioes  courbes  qu'on  peut  adjoindre  aux  cour- 

bes  planes  pour  Tetude  de  leurs  propri^tes  infinitesimales  .  .  .  698 
M.  d'Ocagne.     Determination   du   rayon    de  courbnre  de  la  courbe 

integrale 699 

G.  de  Longe hamps.     Une  demonstration  da  theoreme  fondamental 

des  d^velopp^es G99 

E.  Cesaro.     D^veloppantüs  du  poiut 700 


XLYI  Inhal  tsverseicbniB. 

S«ite 

W.  H.  Echol'B.    Oo  an  eztension  of  Holditch's  theorem 700 

G.  deLoogchamps.     Ud  th^oreme  aar  lea  conrbes  planes  fermöea  700 

E.  C^daro.  Sar  deuz  classes  remarqnables  de  ligoes  planes.  .  .  .  701 
Ä.  M.  Theoreme  r^ciproqae  d'un  th^oreme  de  M.  E  C^saro  et  appli* 

cation 702 

C.  A.  Laisant.     Note  sur  nn  Systeme  de  denz  courbes  planes    .    .  702 

R.  Raimondi.     SuIle  curve  dMnveraione 703 

O.  de  Longcbamps.     Sar  la  transformation  orthotangentielle  dans 

le  plan  et  dans  Tespace 703 

R.  Hoppe.     Dichte  der  Sehnen  von  Flächen  nnd  ebenen  Curven  .    .  704 

fF.  Dintzl.     Die  Inversion  nebst  Anwendungen 7(H 

B.    Theorie  der  algebraischen  Carven. 

B.  Sporer.     Ueber  den  Ort  des  Mittelpunktes  von  Carven  mit  Mittel- 
punkt, welche  durch  eine  gegebene  Anzahl  Funkte  gehen  .    .   .  704 
G.  B.  Guccia.     Sur  Tintersection  de  deuz  courbes  algöbriques  en  un 

point  singulier 705 

f  A.  lirill.   Ueber  die  Multiplicität  der  Schnittpunkte  von  zwei  ebenen 

Curven 705 

G.  B.  Guccia.     Theoreme  g6n6ral  concernant  les  courbes  alg^briques 

planes 705 

Weill.     Sur  une  propri^t^  des  systemes  de  courbes  algcbriques  .   .  706 
E.  G.  Valentin  er.    Bevis  for  at  den  Hesseske  Curve  i  Almindelig- 

hed  ikke  har  noget  Dobbeltpunkt 70*3 

H.  G.  Zeuthen.    Sur  la  determioation  d'une   courbe  alg^brique  par 

des  points  donn^s 70t) 

R.  Gärtner.    Die  Polaren  der  algebraischen  Curven 707 

G.  Battaglini.     Sui  punti  sestatici  di  una  curva  qualunque  ....  707 
E.  Bertini.     Sopra   alcuni    teoremi    fondamentali  delle  curve  piane 

algebriche 70** 

A.  Brill.     Ueber  algebraische  Correspondenzen 709 

W.  Stahl.'    Ueber  die  Fandamentalinvolutionen  auf  rationalen  Carven  713 
Gross.     Uelj^^r    die    Combinaoten    binärer    Formensysteme,    welche 

ebenen  rationalen  Carven  zugeordnet  sind 714 

0.    Schlesinger.      Note    zu    der    Abhandlung:    Ueber    conjugirte 

Curven .  714 

G.  Hurobert.     Sur  les  arcs  des  courbes  planes 715 

G.  D.  H.     Gm  Unicursalcurver  af  tredie  Klassen 715 

X.  Antomari.    Rechercbes    des    points    doubles    dans    les  courbes 

uoicursales 716 

Duarte  Leite.     Sobre  a  representagao   parametrica   das   curvas  do 

primeiro  genero 71G 

W.  H.  L.  Russell.     Theorems  in  analytical  geometry 716 

J.  J.  Walker.     On  a  method  in  the  analysis  of  curved  lines.     III    .  716 

G.  Humbert.     Sur  les  courbes  algcbriques  planes  rectifiabtos   .    .    .  717 

L.  R  oenigsberger.     Ueber  rectificirbare  Curven 717 

G.  Humbert.     Sur  les  courbes  cycliques  de  direction 719 

C.    Gerade  Linie  und   Kegelschnitte. 

A.  Breuer.     Die  Normalform  der  allgemeinen  Kegelschnittsgleichung  719 
U.  Willig.     Behandlung  der  Kegelschnitte  mittels  Liniencoordinaten  T2() 
Kreuder.     Abschnitte  aus 'der  Lehre  über  die  Kegelschnitte  in  ana- 
lytischer Behandlung  mittelst  Winkelcoordinntpn 720 

f(;h.  Smith.     Solutions    of  the   examples   in   an   elemeutary  treatise 

on  conic  sections 721 


lohalUverBeichnis.  XLVII 

Seit« 

Sforza.    Condizione  geometrica  per  la  realita  dei  panti  e  delle  tan- 

geoti  comuDi  a  dae  cooiche 721 

fO.  Montesperelli      Costruzioni   projettive  delle  curve  di  second' 

ordioe  coq  eleroeoti  immagiDari 721 

A   Haas.    Ueber  die  lodicatrlzeD  der  Kegelscboitte 721 

jG.  de  LoDgchamps.     Snr  lea  normalea  aax  coniqaes 722 

£.  Cesaro.     Sar  la  cuurbare  des  cooiqaes 722 

fi.  Cösaro.     Remarques  sar  la  tb^orie  des  roulettes 722 

fi.  Pomey.    ApplicatioD  d'oD  tb^oreme  d'algebre  älementaire  st  quel- 
ques qaestioDS  de  g^om^trie  analytique 72^^ 

Mourgue.     Ü^terminatioD  des  foyers  d'une  cooique 723 

C.  A.  Laisaot.     Polaires  aritbm^tiques  d'une  conique 723 

Fontane  au.    Coniqaes  polaires  d'un  point  et  d'une  droite 723 

V.  Ret  all.     psservazioni  analitico-geometricbe   sulla  projezione  im- 

maginariin  delle  carve  del  secood'  ordine 724 

V.  Ret  all.     Ricerebe  sopra  rimmagiaario   in  geometria 724 

B.  Sporer.    Ueber  recbtwinklige  und  gleicbseitige  Dreiecke,  welclie 

einem  Kegelscbnitt  einbescbrieben   sind 724 

St  oll.     Ueber  einige  Sätze  J.  Steiner's 727 

J   C  Kluyver.     Over  de  invariante  betrekking  tuascben  twee  kegel- 

sneden  in  en  om  denzelfden  veelboek  bescbre?en 728 

Faure.     Sar  un  tb^oreme  de  Cbasles 729 

M.  d'Ocagne.      Quelques   propri^tes   de    Fellipse,    deviation,    6cart 

Dormal 729 

K.  Reuech.     Die  conjngirten  Halbmesser  der  Ellipse 730 

r.  M.  PiajDa.     Soltrzione   di  un  problema  propoato  dal  Sig.  Lucas  .  730 
Stoll.    Herleitung  der  Mittelpunktscoordinaten  und  des  Halbmessers 
eines  Kreises  aus  seiner  Gleicbang  in  trimetriscben  Punktcoor- 

dioaten 731 

A.  J   A.  Prange.     Over  de  oplossing  van  bet  vraagstuk :  de  middel- 

punteo  en  stralen  te  vinden  der  cirkels,    die  aan   drie    gegeven 

cirkels  raken 731 

J.  Mo  Mab  OD.     On  a  property  of  an  imaginary  line  passing  tbrougb 

one  of  tbe  circular  points  at  infinity 732 

F.  Amodeo.      Od    the    cbords   of   a   parabola   and   generally    of  a 

conic .   .   .    732 

•1.  Wolstenbolme,  R.  F.  Davis.    SolutioD  of  question  9241    .   .    .    732 

tC.  B  er  gm  ans.     Tböoremes  sur  la  parabole    .    .    .    ! 732 

<T   de  LoDgcbamps,  E.  Fesquet.    Solution  d'une  question   .   .    .    732 

B.  Tack  er.     Note  on  a  rectangnlar  byperbola 733 

Ch.  B.,   Solution  de  la  question  proposle  au  concours  d'admission  ä 

l'Ecole  Polytecbnique  en  1888.  —  Composition  de  Matb^matiques 

(1888) 733 

lionz,    SoiatioD  g^om^trique  de   la  question  proposee  ponr  Tadmis- 

sioD  ä  r^cole  Polytecbnique  en  1888 734 

n.  Ferval.     Solution  de  la  question  proposee  au  concours  d'agr^- 

gation  en  1887 734 

Levavasseor.     Agr^gation   des  scieaces  math^matiques    (Concours 

de  1887) 734 

(*h.  B.    Solution  de  la  question  de  Matb^matiques  speciales  proposee 

au  concours  g6n6ral  de  1888 735 

E.  ßarisien.     Solution   de  la  question  proposee  pour  Tadmissioc  ä 

rficole  Polytecbnique  en  1887 735 

Aocien  äleve  de  Math.  sp^c.     Quelqaes  remarques  geometriques 

ä  propos  d'une  note  de  M.  E.  Barisien 730 

K.  Amigues,  F.  Micbel.     Solution  d'une  question 737 

A.  Abel  in.     Qtfestions  d'examen 737 


XLVIII  iDhaltBTerseichnis. 

Seit« 

J.  WolsteDholme.    Solution  of  qaestion  B279  . 737 

Asparagns,  R.  Lachlao.    Solution  of  question  8020 737 

D.    Andere  specielle  Gurven. 

0.  Schlesinger.    Ueber  die  Verwertung  der  ."^  -  Functionen   für  die 

Gurven  dritter  Ordnung  nebst  einer  Anwendung  etc 7.S> 

J.  J.  Walker.    On  the  diameters  of  a  plane  cubic 740 

G.  Torelli.     Su  qualche  proprieta  delle  curve  piane  del  terz*  ordine 

foroite  di  un  punto  doppio  (2  Noten) 740,  741 

G.  Torelli.     ün  teorema  sulle  corve  del  3^  ordine 741 

F.  Dingeldey.     Ueber  die  Trausförmation  der  Gleichung  der  ebenen 

Gurve  dritter  Ordnung  mit  Doppelpunkt  auf  die  Normalform  .  .  742 

L.  Raffy.     Sur  la  rectffication  des  cubiques  planes  nnicursales  .    .    .  742 

A.  R.  Johnson.     Solution  of  question  1)059 743 

H.  Ropert,  Balitrand,  Ch.  Martin.     Solution  de  la  question  174  743 

K.  Zahradnik.  Eigenschaften  gewisser  Punktetripel  auf  der  Gissoide  743 
W.  E.  Heal.     On   certain  singularities  of  the  Hessians  of  the  cubic 

and  the  quartic 744 

G.  Frobenius.     Ueber   die  Jacobi'schen  Govarianten   der  Systeme 

von  Berührungskegelschnitten  einer  Curve  vierter  Ordnung .  .  .  744 
Ernst  Meyer.     Die  rationalen  ebenen  Gurven  4ter  Ordnung  und  die 

binäre  Form  6*«'  Ordnung 74G 

Fr.  Meyer.  Zur  algebraischen  Erzeugung  samtlicher,  auch  der  zer- 
fallenden ebenen  rationalen  Gurven  vierter  Ordnung 74G 

fG.  Kerschensteiner.     Ueber  die  Kriterien  für  die  Singularitäten 

rationaler  Gurven  vierter  Ordouog 74'^ 

E.  Reu  seh.     Normale  und  Krümmungshalbmesser  des  Cassinischen 

Ovals 74S 

Sur  les  coniques  inscrites  aux  quartiques  bicirculaires 74^^ 

E.  Catalan.     Extrait  d'une  lettre 749 

(i.  de  Longe hamps.     Sur  une  trisectrice  remarquable 74tf 

R.  H.  Graves.     A  method  of  finding  the  evolute  of  the  four-cusped 

hypocycloid 749 

V.  Jamet.     Sur  le  genre  des  courbes  planes  triangulaires 750 

E.  Cösaro.     Sur  la  potentielle  triangulaire 7.00 

V.  Jamet.     Sur  deuz  systemes  de  courbes  orthogonales 751 

Hirns tedt.      Ueber  «diejenigen  Gurven,    welche    der   Polargleichung 

r  =  asink&    entsprechen 751 

A.  Michalitschke.    Die  archimedische,  die  hyperbolische  und  die 

logarithmische  Spirale 751 

Gapitel  3.    Analytische  Geometrie  des  Raumes. 
A.    Allgemeine  Theorie  der  Flächen  und  Raumcurven. 

J.  Knoblauch.     Einleitung  in  die  allgemeine  Theorie  der  krummen 

Flächen 752 

J.  Knoblauch.  Ueber  Fundamentalgrossen  in  der  Flächentheorie.  753 
J.  Knoblauch.     Ueber    die    Bedingung   der    Isometrie    der    Krüm- 

mnngscurven 754 

G.  Pirondini.    Sulle  curve  osculatrici 755 

Lelieuvre.      Sur   les    lignes    asymptotiques    et   leur   representation 

sphörique 756 

L.  Bianchi.  Sulle  forme  differenziali  quadratlche  indefinite  ....  75i) 
J.  Weingarten.      Ueber    eine  Eigenschaft    der  Flachen,    bei   denen 

der  eine  Hauptkrümmnngsradius  eine  Function  des  aodern  ist  .    703 


iDbaltsverzeichDiB.  XUX 

Seite 

G.  Darboüx.  Sar  la  repr^seotation  sph^rtque  des  surfaces  ....  764 
6.  Piroodioi.     Teorema  relativo  alle  lioee  di  carvatura  delle  super- 

ficie  6  sae  applicazioai 764 

A.  Cayley.     Od  the  sarfaces  with  plane  or  spherical  curves  of  cor- 

vature 766 

E.  Schols.     üeber    die  DiffereDtiaigleichang   der   Krämmaogslioien 

bei  einigeo  krummen  Oberflächen 766 

A.  Peiot.      Sur  les  surfaces  qai   ont  ponr  lignes  de  conrbare  d'on 

Systeme  des  hölices  trac^es  sur  des  cylindres  quelcooques  .  .  .  767 
V.  Rooquet.      Des  surfaces  dont  toutes  les  lignes  de  courbure  sont 

planes      II ' 768 

B.  V.  Lilienthal.     Bemerkung   über   diejenigen  Flächen,    bei  denen 

die  Differenz  der  Hauptkrummnngen  constant  ist 769 

R.  ▼.  Lilienthal.  Ueber  die  Krümmung  der  Curvenscharen  ....  770 
H.  Moli  OS.     Sur  quelques  nouvelles  propri^tes  du  Heu  des  centres 

de  courbure  des  courbes  gauches 771 

C.  W.  Baur.     Krümmnngslinien  auf  Kegelilächen 772 

K.  Lioaville.     Sur  les  lignes  geod^siques  des  surfaces  ä  courbure 

constante 772 

Paraf.     Sur  deux  th^oremes  de  Jacobi  relatifs  auz  lignes  gdod^siques  773 

0.  Bonnet.  Observations  relatives  ä  une  communication  de  M.  Paraf  773 
C.  Fibbi.     Solle  superficie  che  contengono  un  sistema  di  geodetiche 

a  torsione  costante 773 

A.  Puchta.    Analytische  Darstellung  der  kürzesten  Linien  auf  allen 

abwickelbaren  Flächen 778 

fA.  Voss,     üeber  diejenigen  Flächen,  auf  denen  zwei  Scharen  geo- 
dätischer Linien  ein  conjogirtes  System  bilden 778 

6.  Pirooiiini.     Sopra  alcune  superficie  e  curve 778 

G.  Piroodini.     Sur  les  surfaces  de  rövolution 780 

6.  Piroodini.    Snlle  linee  a  doppia  curvatura 782 

F.  August.     Ueber  Rotationsflächen  mit  loxodromiscber   Verwandt- 

schaft   783 

6.  Eoeoigs.      Sur   la   distribution    des    volumes  engendr^s  par  un 

contour  ferm6,  touroant  autour  de  toutes  les  droites  de  l'espace    784 

G.  Koenigs.     Sur  les  volumes  engendres  par  uo  contour  ferrod  dans 

un  mouvement  quelconque 78i 

G.  KoeDigs.    Sur  le  volume  engeodrd  par  un  contour  liö  invariable- 

meot  au  tri^dre  d'une  courbe  et,    en  particulier,    sur  une   pro- 

pri^te  des  courbes  de  M.  Bertrand 784 

G.  Koenigs.     Determination   sous   forme   ezplicite  de  toute  surface 

r^gl^e  rapportee  k  ses  lignes  asymptotiques  etc 786 

B.  Vicaire.     Sur  les  propri^t^s  commuoes  ä  toutes   les  courbes  qni 

remplissent  une  certaine  condition  de  minimum  ou  de  maximum  787 
Ch.  Bloche.      Sur   les   lignes   asymptotiques  de  certaines    surfaces 

gauches 788 

Cb.  Bloche.     Sur  les  systemes  de  courbes  qui  divisent  homograpbi- 

quement  les  g6n6ratrices  d'une  surface  reglee 788 

fi.  Combescure.      Sur  le   d^placement  tangentiel  de  deux  surfaces 

rigides 789 

Genty.     Note  de  g^om^trie 790 

R.  A.  Roberts.  On  the  volume  generated  by  acongruency  of  lines  790 
W.  Stammer.      Allgemeine    Theorie     der    Umhüllungsflächen    und 

einige    damit    zusammenhängende    Eigenschaften     der    Flächen 

zweiten  Grades. 79 L 

A.  Razzaboni.     Sopra   certe    famiglie    di   superficie  di  rivoluzione 

applicabili 791 

E.  Naonei.     Le  superficie  ipercicliche  (2  Abhandlungen) 791 

Fortsohr.  d.  Math.  XX.  3.  D 


l^  lobaltsverzeichois. 

Seite 

B.  C^saro.    Qnestioo  de  geomötrie  intriDB^qae 794 

fH.  Jacksteiu.     Ansdehoaug  eioes  von  Paiseus   für  ebeue  Carven 

bebandeltoD  Problems  auf  Raamcorven 794 

B.  Hoppe.     Dicbte  der  Seboen  von  Fläcbeo  und  ebenen  Carven  .    .  794 

B.     Theorie  der  algebraischen  Flächen  nnd  Raamcurven. 

M.  Noether.     Anzahl  der  Modaln  einer  Rlnsse  algebraischer  Flächen  794 
H.  Zimmermann.     Eine  Einteilung  der  algehraischeu  Oberflächen  .  7H5 
W.  End.      Algebraische  Untersuchaogen    über  Flächen    mit    gemein- 
schaftlicher Curve • 796 

6.  Koenigs.     Determination    de    toutes   les    eurfaces  plasieurs  fois 

engendrees  par  des  coniques 796 

J.  Meder.     Anallagmatische  Flächen 797 

E.  Waelsch.    Beiträge  zur  Flächentheorie 799 

E.  Waelsch.     Deber  das  Normalensystem  nnd  die  Centrafläcbe  alge- 

braischer Flächen bOO 

£.  Waelsch.     Ueber  das  Normalensystem  und  die  Oentraflächen  der 

Fläi'hen  zweiter  Ordnung 800 

F.  Freiherr  Krieg  v.  Hochfelden.     Ueber  projective  Beziehungen, 

die  durch  vier  Gerade  im  Räume  gegeben  sind.     1 801 

V.  Murer.       Generazione     della    saperficie     d'ordine     n    con    retta 

(n-2)-pla ;  801 

y.  Murer.    Le  serie  algebrichc  di  superficie  ad  indice  3 b02 

Lelienvre.     Sur  les  Ügnes  de  courbure  et  les  lignes  asymptotiques 

des  surfaces 802 

A    Brambillo.    Di  una  certa  superficie  algebrica  raziouale   ....  b03 

W.  Stahl.    Ueber  die  Fnndamentalinvolutio.nen  auf  rationalen  Curven  b04 

C.     Raumgebilde  ersten,  zweiten  und  dritten  Grades. 

M.  Azzarelli.     Trattato  elementare  dei  cinque  poliedri  regolari  .    .    804 

0.  B ermann.     Bemerkungen  zum  Aufsatz  IV 804 

H.  Vollprecht.     Untersuchungen  an  Flächen  zweiten  Grades   .    .    .    804 
Fr.  Hofmann.     Eine    einfache  Ableitung  der  Bedingungen,    welche 
die  (Joefficienten   einer  Rotationsfläche   zweiten  Grades  erfüllen 

müssen K)r> 

R.  Fujisawa.     On  quadric 805 

fM.  Diesing.  Ueber  eine  gewisse  Cremona'sche  Verwandtschaft 
vierter  Ordnung  und  eine  neue  lineare  Construction  der  Ober- 
fläche zweiten  Grades  aus  neun  Punkten 805 

fA.  Rief  er.  Ueber  die  geraden  Kegel  nnd  Cylinder,  welche  durch 
gegebene   Punkte    des    Raumes    gehen    oder    gegebene    gerade 

Linien  des  Raumes  berühren 806 

f  J.  Orte  BS.    Determination  des  sections  planes  d'une  quadrique  .    .    806 

G.  Koenigs.     Coutributious  ä  la  th^orie  du  cercle   daus   Tespace    .    806 
tPh.  Gilbert.    Determination  en  R:randeur  et  en  direction,  des  axes 

d*une  section  diametrale  de  Tellipscifde ^06 

M.  Lazarski.     Ueber  zwei  Sätze  von  Steiner 806 

Moret-Blanc.     Solution  d'une  question 807 

Geuty.     Note  de  g6ometrie 807 

Rons  sei.     Solution  de  lä  question  propoeee  au  concours  g^n^ral  en 

1883 SOS 

Jaggi.     Solution   de  ia  question  propoeee  au  concours  d^agr^gation 

en  1884 .  809 

Moret-Blanc.     Solution  d'une  question *.    .  809 

E.  Malo.     Solution  geometrique  de  la  question  proposee  au  concours 

general  de  18H5 ^09 


lohaltsverzeichniB.  LI 

Seite 

MarchaDd.     SolntioD   de  ta   questioo  propos^e  an  concours  g6o6ral 

de  1885 BIO 

MarchaDd.     Solntion   de    la  question  propos^e  au  coucoara  g^o6ral 

de  1886   : 810 

Hioaz.     Coücoors  g^D^ral  de  1886 810 

Levavassear.     CoDcoors    d'agregatioo    de    188S.      Mathömatiquea 

epöciales .    .- 811 

6.  B.  Mathe  WS,  W.  J.  C  Sharp.     Sulution  of  question  8592  .    .    .    811 

G.  B.  Mathews.     Geometry  on  a  quadric  sarface 811 

fO.  Zucca.     Applicazione    del    metodo    delle    coordinate   curvilioee 

allo  studio  dell'  iperboloide  ad  una  falda 812 

fG.  Kober.  Die  harmonisch  zugeordneten  Flächen  zweitun  Grades  812 
tF.  Spencker.      Ueber   die   ersten  negativen  Fnsspnnktflächen  der 

Flächen  zweiter  Ordnung 812 

A.  G.  Qreenhill.     Uonfocal  paraboloids   . 812 

G.  Bnmbert.  -Sur  quelques  propri6t6s  des  aires  sph^riques  ....  813 
fG.  Pflaumbaum.  Bestimmung  der  scheinbaren  Grösse  eines  ellip- 
tischen Paraboloids  für  einen  beliebigen  Punkt  des  Ruumes  .  .  814 
Pellet.      Sur   les    snrfaces   r6gl6es  applicables  sur   uue  surface  de 

r^volution 814 

Gh.  Bloche.     Sur  certaines  surfaces  rögl^es,  ä  propos  d'une  note  de 

M.  Pellet 815 

Ch.  Bloche.      Sur    les    lignes    de    courbure    de    certaines    surfaces 

ganches 815 

G.  Berti ng.      Üeber    die    gestaltlichen    Verhältnisse    der    Flächen    ( 

dritter  Ordnung  und  ihrer  parabolischen  Curven.     II 815 

F.  Klein.    Sur  la  r^solution,    par  les  fonctions  hyperelliptiques,  de 

r^quation  du  27°*«  degr6,  de  laquelle  dopend   la  d^termination 

des  27  droites  d'uoe  surface  cubique 816 

Richmond.     A  symmetrical  System   of  equations   of  tbe  lines  on  a 

cubic  surface,  which  has  a  conical  point 816 

Fr.  Schiffner.  Untersuchuogen  aber  eine  Fläche  dritter  Ordnung.  818 
A.  de  Saint-Germain.     Sur   une    surface  du  troisidme  ordre  qui 

admet  uue  ligne  ombilicale  parabolique 818 

Un  Abonn^.     Solution  d'une  question 8l8 

fJ.  Winzer.     Analytische  Entwickelung  der  Raumcurve  dritter  Ord- 

Düog  aus  ihren  drei   reellen  Brennstrahlen 819 

fFr.  Dernyts.     G^n^ration  d'une  surface  du  troisi^me  ordre    .    .    .    819 

D.    Andere  specielle  Baumgebilde. 

Jahel-R^noy.     Sur  la  section  d'une  surface  par  un  plan  bitangent    820 

F.  Radio.    Ueber  eioe  specielle  Fläche  vierter  Ordnung  mit  Doppel- 

kegelschnitt     820 

0.  Bauer.     Ueber  Flächen  vierter  Ordnung,  deren  geometrische  Er- 
zeugung sich  an  zwei  Tetraeder  knüpft 821 

G.  Koeoigs.     Le    Heu   des   p61es    d'un   plan   fixe  par  rapport  aux 

coniqaes  tracees  sur  une  surface  de  Steiner  est  une  autre  sur- 
face de  Steiner  .   .  * 823 

6    Koenigs.     Un    th^oröme    concernant  la   surface    de    Steiner   et 

l'ensemble  de  trois  coniques  qui  se  coupent  dans  I'espace  .  .    .    823 
W.  Schjerning.     Ueber  die  Scharen   von  Flächen  viertor  Ordnung 
mit  sechzehn  singulären  Punkten,  welche  durch  eine  Lemniskate 

gehen 824 

Mlle.  B^rtniker.    Sur  la  th^orie  des  cyclides 824 

6.  Bnmbert.     Sur  les  lignes  de  courbure  des  cyclides 825 

G.  Foaret.      Sur   les  pöles  principanx  d'inversion  de  la  cyclide  de 

Dupin 826 


U 


« 


Lii  lohalUyerzeichiiis. 

Seite 

Deroartres.    Sur  les  syaUineB  de  conrbes  qai  divisent  homogrsphi- 

qnement  une  snite  de  cercles 826 

Demartres.     Sar  la  sarface  engendr^e  par  uoe  coDique  doublement 

s^caote  ä  uoe  cooiqae  fixe 82(5 

Demartres.      Sar   les    coDrbes  de  M.  Bertraod  coosid^rees  comme 

g^od^Biqnes  de  sarfaces  oercl^ea 827 

W.  Zmarko.     Ueber  .die  mit  den  Flächen  zweiten  Grades  conjugirten 

Flächen 827 

A.  del  Re.  Sa  certi  sistemi  di  qaartiche  e  sesticbe  sviluppabili  che 
si  preseutano  a  proposito  delle  traaformazioni  lineari  di  nna 
certa  qnartica  gobba  in  se  stessa 828 

fj.  Johannes.  Die  rationalen  Raumcnrven  sechster  Ordnung,  er- 
zeugt durch  geometrische  Transformation  aus  einem  Kegel- 
schnitte     .828 

J.  J.  Sylvester,    A.  R.  Johnson.      Solntion   of  questiou  9024  and 

9071 828 

A.  Ahrendt.    Üntersnchungen  über  die  Parallelflächen  der  Flächen 

zweiten  Grades 829 

J.  P.  Job ns ton.    The  lines  of  curvature  on  a  parallel   surface  to  a 

quadric 829 

Ekama.    Die  ebenen  und  die  sphärischen  cykloidalen  Curven    .   .    .    829 

fE.  Worms.    Untersuchungen  über  die  Oberflächen,  deren  Gleichung 

die  Gestalt  hat  x^+^ni  +  zm  =  1 830 

G.  Pirondini.     Studio  sulle  snperficie  elicoidali 830 

F.  Schiffner.     Die  flache  Kreisschraubenfläche 831 

J.  Vivanti.     Ueber  Minimalflächen 83t 

A.  Cayley.      Note    sur    les    sarfaces    minima    et    le    theoreme    de 

Joachimsthal 833 

K.  Goursat.     Sur  un  mode  de  transformation  des  surfaces  minima. 

(Deux  m6moires.) 833 

E.  Goursat.     Sarfaces  telles  que  la  somme  des  rayons  de  courbure 
principauz   est   proportionnelle   ä  la  distance  d'un  poiut  fixe  au 

plan  tangent 831 

H.  A.  Schwarz.     Ueber  specielle  zweifach  zusammenhängende  Flä- 
chenstücke, welche  kleineren  Flächeninhalt  besitzen,  als  etc. .   .    836 

A    Starkow.     Sur  un  probleme  du  calcul  des  variations 837 

Niewenglo wski.      Solution    de  la  questioo   d'analyse   proposee  au 

concours  d'agr^gation  des  sciences  malh^matiques  en  1888    .    .    838 
fF.  Bohnert.      Bestimmung  einer  speciellen   periodischen  Minimal- 
fläche, auf  welcher  unendlich  viele  gerade  Linien  liegen  ....    839 

E.    Gebilde  in  Räumen  von  mehr  als  drei  Dimensionen. 

R.  Hoppe.     Priucipien  der  n-dimensionalen  Gurventheorie 839 

G.  Loria.      Snl    concetto    di    volume    in    uno    spazio   lineare    qna- 

lunque 840 

G.  Loria.     Intorno    alle    curve    razionali    d'ordine    n   dello  spazio  a 

n — 1  dimensiooi 841 

G.  Loria.     Sulle   curve   razionali  normali  in  uno  spazio  a  n  dimen- 
siooi    841 

A.  del  Re.     Sni  sistemi  lineari  n-pli   di  n  spazii 842 

A.  del  Re.     Un  teorema  oella  geometria  di  una  certa  classe  di  cor- 

rispondenze 843 

P.  del  Pezzo.     Estensione  di  un  teorema  di  Noether 843 

W.  J.  C.  Sharp.     Solution  of  question  9008 .•  .  844 

J.  J.  Sylvester,  W.  J.  C.  Sharp.     Sülutiou  of  queslions  8864  and 

9004 844 


lohaltSTerzeicbnis.  LiU 

Seit« 

Gapitel  4.     LiDieDgeometrie  .Complexe,  Strahlensystenie). 

K.  Henael.     Theorie  der  unendlich  dünnen  Strahlenbündel    ....    845 

W.  C.  L.  Gorton.    Line  congruences 846 

£.  Cos 8 erat.     Sor  les  sarfaces  de  singalaritös  de  courbes'construitee 

avec  an  ^I6ment  donn^ .    846 

E.  Cos se rat.     Sur  les  propriöt^s  infinitesimales  de  Tespace  cercl4  .    847 
E.  Co  SB  erat.     Snr   Teuiploi    du  complexe  lin^aire  de   droites  dans 

l'ätude  des  systdmes  Unfaires  de  cercles 848 

R.  von  Lilienthal.   Ueber  eine  besondere  Art  von  Strahlensystemen    848 

P.  U.  Schonte.    Het  lineaire  complex  en  de  congruentie 849 

R.  Sturm.     Ueber  die  Zahl  und  Lage  der  singulären  Punkte  bei  den 

Strahlencongruenzen  zweiter  Ordnung 850 

M.  Pannelli.      Sui    cbnnessi    ternari  di  2^  ordine  e  di  2*  classe  in 

involuzione  doppia 850 

A.  del  Re.     Le  superficie  polari  congiunte  rispetto  ad  un  connesso 

di  piani  e  di  rette  ed  ad  una  superficie  algebrica  fondaraentale    851 
fE.  Schöner.    Untersuchungen    über    das  durch   zwei  kubisch  ver- 
wandte Ebenen  erzeugte  Strahlensystem 852 

fC  Scbafstein.  Ausdehnung  eines  die  geradlinigen  Strahlen- 
systeme betrefienden  Problems  auf  die  n-dimensionale  homogene 
Raumform 852 

Capitel  5.     Verwandtschaft,   eindeutige  Transformationen,  Abbildungen. 

A.     Verwandtschaft,   eindeutige  Transformation   und 

Abbildung. 

L.  An  tonne.     Recherches    sur    les    groupes    d'ordre    fini    contenus 

dans  le  groupe  quadratiqne  cr^monien 852 

L.  Berzolari.    Ricerche  sulle  trasformazioni  piane,  univoche,  invo- 

lutorie,  e  loro  applicazione  alla  determinazione  delle  involuzioni 

di  quinta  classe 855 

R.  Bettazzi.     8u  una  corrispondenza  fra  uu  gruppo  di  punti  ed  un 

continuo  ambedue  lineari 857 

J.  S.  Mackay.     Similitude  and  Inversion 858 

Laurens.     Extrait  d^une  lettre 859 

M.  d'Ocagne.    Relation  entre  les  normales  dans  une  transformation 

r^ciproqne  generale 859 

fM.  d'Ocagne.    Remarques  sur  les  transversales  reciproques   .    .    .    859 
W.  Massny.     Einige  Transformationsmethoden  zur  Untersuchung  der 

Eigenschaften  ebener  Curven 860 

Cl.  Servals.    Sur  la  theorie  des  transformations 860 

Fr.  Deruyts.    Sur  quelques  transformations  g^om^triques 860 

G.  Lazzeri.     Le  curve  e  le   sviluppabili  multiple  di  una  classe  di 

superficie  algebriche 860 

A.  Brambilla.     Sopra  una  classe  di  superficie  algebriche  rappresen- 

tabili  punto  per  punto  nel  piano 860 

K.  Mehmke.     Teorems  nulik  dÖ  kolienat.     I,  II 861 

fPh.  Brücket.     Untersuchungen  über  die  reciproke  Verwandtschaft 

in  der  Ebene 862 

B.    Con forme  Abbildung. 

P.  G.  Laurin-     Sur  la  transformation  isogonale  d^finie  par  une  fonc- 

tion  rationnelle 862 

R.  Marcolongo.    Sulla  rappresentazione  cooforme  della  pseudosfera 

e  sue  applicazioni 866 

H.  Stahl.  Ueber  die  conforme  Abbildung  durch  die  lineare  Sub- 
stitution   867 


LiY  InhaltsverseicbDiB. 

Seite 

P.  Painleve.     Sur  1a  repr^sentatioo  conforme  de  polygones  ....  869 

F.  Buchwaldt.    Om  dreinings  Anders  konforme  Premstilliog  i  Plaoeo  8f>9 
B.  A.  üarris.      Tbe    tbeorj    of    images    iu    the    represeDtation    of 

functions 870 

A.  A.  Mark  off.     Zur  Frage  aber  die  KarteDproJACtionen Ö70 

fW.  Duden  Bing.  Ueber  einige  Probleme  der  conformed  Abbil- 
dung   871 

Zehnter  Abschnitt.     Mechanik. 

Capitel  1.    Allgemeines   (Lehrbücher  etc.). 

0-  Rausenberger.  Lehrbuch  der  analytischen  Mechanik.  I,  II .  .  872 
A    Biehler.    LHitfaden  und  Repeütorium  der  analytischen  Mechanik. 

I,  11 874 

S.  D.  PoissoD.     Lehrbuch  der   analytischen  Mechanik.     Deutsch  v. 

A.  Pfannstiel.     1  u.  2 875 

f  Appell.     Cours  de  m^cfinique  rationnelle 876 

fE.  Aveling.     Mechanics 876 

f  R   S.  Ball,     fixperimental  mechanics 876 

f  A.  Flamand.     Cours  de  m^canique  gdn^rale 876 

fQraindorge.     Cours  de  m^canique  analyttque.     I,  II 876 

fF.  H.  Julius.     Leerboek  der  MechaDica 876 

R.  H.  Pinkertou.     Dynamics  and  hydrostatics 876 

fJ-  B.  Taylor.    Theoretical  mechanics 876 

fj.  Weisbach.     Lehrbuch  der  Ingenieur-  und  Maschinen-Mechanik. 

III.  3 876 

fG.  Weisbach.     Meccanica  razionale.   Traduzione  di  G.  Sachen.  IL  877 

F.  S.  D aurer.  Uebungsbuch  zum  Studium  der  elementaren  Mechanik  877 
fR.  G   Blaine.      Numerical   examples   in    practical   mechanics   and 

machine  design 877 

E-  Gel  eich      Entwurf  einer  Geschichte  der  Gesetze  des  Stosses  .  .  877 

Th    Beck.     Historische  Notizen ' •■    •    .  878 

W.  Winter.     Ueber  absolute  Mass-Systeme 878 

Report  of  the  Committee  appointed  for  the  purpose  of  oonsidering  the 
desirability  of  introducing  a  uniform  nomenclature  for  the  funda- 
mental Units  of  mechanics 879 

A.  G.  Greenhill.     Units  of  weight,  mass,  and  force 880 

P.  G.  T.     Weight  and  maes 880 

E.  Gheoghegan.    Units  of  weight,  mass,  and  force 880 

A.  Lodge.    Units  of  weight,  mass,  and  force 8b0 

R.  B.  Hayward.     Mass,  weight,  and  dynamical  units 880 

G.  Elliott.     Units  of  weight,  mass,  and  force 880 

E.  Gheoghegan.     Units  of  weigbt,  mass,  and  force 8^0 

W.     Weight  and  mass 8S0 

R.  H.  Smith.     Dynamical  units 880 

J.  Lancaster,  D    B.  Marshall.     Units  of  weight,  mass,  and  force  880 

J.  ß.  Lock,  A.  Macfarlane.     Units  of  weight,  mass,  and  force.    .  880 

A.  G.  Greenhill.     Weight,  mass,  and  force  (2  Noten) 880 

R.  B.  Hayward.     Weight,  mass,  and  force 880 

J.  B.  Lock.     Units  of  mas^,  weight,  and  force 880 

^.  0.  Menden  hall,  0.  J.  Lodge.     Weight  and  mass 881 

J.  Venn.     The  Mechanics  of  Machinery 881 

J.  G.  Mac  Gregor.    Kinematics  and  dynamics 881 

R.  K.  Baynes.     Dynamical  units  and  nomenclature 881 

G.  0.  Foster,  E.  Hospitalier.     Density  and  specific  gravity  .    .    .  881 

A.  G.  Greenhill.     Weight  and  mass 881 


Inhaltsverseichois.  Lv 

Seite 

H.  M.  Edler.    Deosity  aod  specific  gravity 881 

J.  B.  Lock.     Weight  and  maas 8K1 

J.  G.  MacOregor.     Prof.  Greeohill  oo  „ECioematics  and  Dynamics**  881 

fG.  Allen.    Force  and  energy,  a  thf^ory  of  dynamtcs 882 

W.     Newton's  laws  of  motion 882 

O.  J.  Lodge.     Force,  and  Newton's  third  law 882 

R.  Clans.     Ueber  Potentialkräfte 882 

1j.  van  filfrinkhof.     De  viriaal  en  bare  beteekenis  in  de  mecbanica  883 
fR.  Wronsky.     Das  Intensitätsgesetz    nnd   die  Gleichartigkeit   der 

analytischen  Formen  in  der  Lehre  von  der  Energie 883 

Capitel  2.     Kinematik. 

Ph.  Gilbert.     Snr  les  composantes  des  acc616rations  d'ordre  quel- 

eooqae  snivani  trois  directions  rectangnlaires  variables  ....  884 
Ph.  Gilbert.     Gronpement  et  constrnction  g^ora^trique  des  acc^le- 

rations  dans  nn  solide  tonrnant  antoar  d'un  pomt  fixe 885 

Pb.  Gilbert     Sur  les  acc^l^rations  dus   points  d*un  solide  tonrnant 

antour   d*nn   point  fixe  et  snr  les  centres  de  courbare  de  lonrs 

trajectoires 885 

Pb.  Gilbert.     Snr   les  acc^I^rations  d'ordre  qnelconque  dos  points 

d^QO  Corps  solide  qni  a  un  point  fixe < 886 

P.  Wittenbaner.      Ueber   gleichzeitige    Bewegungen    eines   ebenen 

Systems 886 

A.  Schön  flies     Snr   les   courbes   et   surfaces  d^crites  pendant  le 

monvement  ä  cinq  conditions 887 

C.  Rodenberg.      Ueber    die    während  der  Bewegung  projectiv  ver- 

änderlicher   und    starrer    Systeme    beschriebenen    Curven    und 

Flächen 889 

A.  Becen     Stelling 890 

A.  Mannheim.     Ddveloppements  de  geom^trie  cin^matique     ....    891 
P.   Buka.     Bemerkungen  zu  der  Grubler'schen  Bi'Stimmuug  der  Krum? 

roungsmittelpunkte  der  Polbahnen  eines  ebi^uen  Systems     .    .    .    892 

L.  Burmester.    Berichtigung  zu  Buka's  Bemerkungen 892 

L.  Burmester.     Kinematische  Flächenerzengung  vermittelst  cylindri- 

scher  Roliung 892 

J.  Reveilie.     Note  sur  un  th^oreme  de  g^om^trie  cin^matique  .    .    .    893 
M.  Pelisek.       Ueber    den    Ort    der    Axen     derjenigen     Scbrauben- 
bewegungeu,  durch  welche  eine  Strecke  in  eine  beliebige  Lage 

im  Räume  gebracht  werden  kann 895 

E.  W.  Hyde.     The  directional  theory  of  screws 895 

A.  Ramisch.     Momentaner  Beweguogszustand    eines    in  der   Praxis 

viel  angewandten  Mechanismus 896 

B.  Ovazza.     Sul  calcolo  delle  deformazioni  dei  sistemi  articolati  .    .    896 
G.  Schonten.     Algemeene  eigeuscbappen  van  de  zuiver  rollende  be- 

weging  van  een  omwentelingslichaam  op  een  horizontaal  vlak  etc.  897 

fE.  Villi^     Trait^  de  cinöroatique 898 

H-  Malier-Breslau.    Berechnung  statisch  bestimmter  ebener  Träger 

mit  Hülfe  der  geometrischen  Bewegungslehre 898 

H.  Maller- Breslau.    Zur  Theorie  der  ebenen  Träger 898 

Capitel  3.     Statik. 
A.     Statik   fester  Körper. 

Mohr.     Die  Theorie  der  Streckensysteme 899 

D.  Turazza     Introduziooe  ad  un  corso  dl  statica  dei  sistemi  variabili    900 

E.  Budde.     Ueber  die  räumliche  Verteilung  der  Dyadeu  von  je  zwei 

conjngirten  K  räften,  welche  eint»r  gi'ijpbcnen  Dynarae  äquivalent  sind    901 


LYi  InhaltsverseioboiB. 

e«lte 

A.  Aator.     Theoreme  de  Minding ^ 901 

G-  Bardeili.     Proprieta  stereometriche  di  uo  fiistema  di  forze  .    .    .  90:^ 

E.  Novarese.  Proprieta  stereometriche  dei  sistemi  di  forze  .  .  .  90^ 
A.  Eeceo.     OploBsiog  van  prijsvraag  No.  IL .  903 

F.  FrankliD.  Some  tbeorems  coocerning  the  centre  of  gravi ly .  .  .  903 
A.  de  SaiDt-Germaio.     Sor  rexteoBion  a  certaioa  poiots   de  TiiDe 

des  propri^t^fl  m^caoiqaes  da  centre  de  gravit^ 904 

J.  Neuberg,  A.  R.  Joboson.    Solatioo  of  qneation  9080 904 

D.  Biddle.     Solatioo  of  question  2353 903 

W.  J.  C.  Miller,  D.  Biddle.     Solatioo  of  queaUoo  4129 905 

T.  P.  Kirknaan,  D.  Biddle,  J.  W.  Sbarpe.     Solution  of  qaestioo 

9228 905 

H.  Marcolongo.  SuU'  equilibrio  di  uo  filo  üeBaibile  ed  inesteosibile  905 
F.  Kötter.     Aoweoduog  der  Aberscbeo  Fuoctiooeo  auf  ein  P.roblem 

der  Statik  biegsamer  uoausdebobarer  Flächen 906 

F.  Kötter.    Ueber  das  Problem  der  Erddrackbestimmuog 908 

Adolf  Francke.  Die  inneren  Kräfte  eines  darch  Ebenen  begreneten 
Erdkörpers  nebst  Aowendung  auf  die  Ermittelang  des  Drackea 

gegen  Stutz-  und  Drackwände 909 

L.  Nikolai.  Beitrag  zur  Frage  aber  den  Seitendruck  aof  zwei 
Futtermauern,    den    eine    zwischen    ihnen    enthaltene  Erdmasse 

ausübt 911 

fP.  Jaukowsky.  Ueber  die  notwendige  Tiefe  des  Fundamentes  im 
sandigen  Grunde.  Das  Princip  von  Poncelet  und  seine  Folge- 
rungen   912 

C.  Saviotti.     La  statica  grafica.     I,  II,  III 912 

W.  Ritter.      Anwendangen    der    graphischen  Statik.     Nach  C.  Cul- 

mann      I 913 

fj.  Y.  Gray  and  G.  Lowson.    The  elements  of  graphical  arithmetic 

and  graphical  statics 914 

M.  L6vy.      La  statique  graphique  et  ses  applicatioos  aox  construc- 

tions.     IV 915 

fG.  S.  Clarke.     The  priuciples  of  grapbic  statics 915 

fG.  Lern  an.     Le^oos  de  statique  graphique '.    .    .    915 

R.  Land,      üeber    die  Berechnung   und    graphische  Darstellung  von 

Trägheits-  und  Oentrifugalmomenten  ebener  Massenfignren  .    .    .    915 

E.  Lobscheid.     Ueber  den  Schlosssatz  des  coroU.  2  zu  problema  42 

in  Eoler*8  Tbeoria  motus  corporam  solidorum  seo  rigidorum  .    .  920 

S.  T.  Moreland.     Special  forms  of  the  momental  ellipsoid  of  a  body  920 

W.  S.  B.  VVoolhouse.     Solution  of  question  8922 921 

fE.  Cösaro.  Moment  d'inertie  du  triangle  et  du  t^traedre  ....  921 
fV.  Lebeau.     Moments  d'inertie.    Surfaces  et  centres  de  gravit6  des 

profils  qaelconques:  formoles  par  lesquelles  on  les  obtient  etc.  921 
Hacker.     Statische  Berechnung   der  Spannungen  des  Fachwerks  im 

Räume  bei  schiefer  Belastung 922 

B.     Hydrostatik* 

H.  G.  Zeuthen.     Forelaesninger  over  Hydrostatik 922 

fS.  B.  Mukerjee.'    Elementary  hydrostatics 922 

H.  Poincar6.  Sur  rdquilibre  d'une  masse  heterogene  en  rotation  .  922 
A.  B.  Basset.     On  the  stability   of  a  liquid  ellipsoid  which  is  rota- 

tiog    about   a    priocipal    azis    under    the    influence    of   its    own 

attraction 923 

0.  Zanotti-Bianco.      U    problema    meccanico    della    figara    della 

terra.     II.  1    ...  ' 924 

Th.  Schmid.     üeber  das   Gesetz  der  Veränderlichkeit  der  Schwere 

für  das  Jacobi'sche  Gleichgewichtsellipeoid 925 


iDhalUverzeichDiB.  LYII 

Seite 
L.  MatthieBsea.    BemerknogeD    zu    Schniid's    Mitteilung:     «lieber 

das  Gesetz  der  Veräoderlichkeit  dur  Schwere'* 925 

G.  H.  Bryan.  Od  tbe  waves  on  a  viscous  rotating  cylinder  ....  926 
tB.  MartiDecq.     Guide  des  calculs  de  d^placemeDt  et  de  stabilit^ 

hydrostatique  des  navires 926 

Capitel  4.    Dynamik. 
A.    Dynamik   fester  Körper. 

0.  Neamann.     Grundzuge  der  analytischen  Mechanik,   insbesondere 

der  Mechanik  starrer  Körper 927 

J.  König.    Ueber  eine  neue  I nterpretation  der  Fundamentalgleichungen 

der  Dynamik 928 

D    Bobylew.     Ueber   die  Transformation    der  Coordinaten    in   den 

Differentialgleichungen  der  Dynamik 930 

G.  K  S  US  low.  Ueber  die  partiellen  Differentialgleichungen  der  Be- 
wegung eines  unfreien  Systems    . 931 

H.  Lamb.    On  reciprocal  theorems  in  dynamics 932 

R.  Marcolongo.    Teorema  di  meccanica 933 

R.  Marcolongo.     Sul  teorema  di  Poisson 933 

E.  Betti.     Sopra   la   entropia   di   un    sistema  Newtoniano  in    moto 

stabile 934 

J.  Brill,  B.  Holmes,  B.  Easton.    Solution  of  question  9054.   .   .    935 

Fr.  Schüler.    Die  Planetenbewegnng 935 

E.  Betti.  Sopra  una  estensione  della  terza  legge  di  Keplero  .  .  .  936 
R.  CnrtiSf  F.  X.  de  Wächter,  A.  Harker     Solution  of  question 

9070 936 

G.  Schonten.     De  regel  voor  den   baanvorm  en  de  eigenschappen 

der  centrale  beweging  graphisch  toegelicht 936 

fW.  Velde.    Ueber  einen  Specialfall  der  Bewegung  eines  Punktes, 

welcher  von  festen  Centren  angezogen  wird 936 

fR.  Haussner.    Die  Bewegung  eines  von  zwei  festen  Centren   nach 

dem  Newton'schen  Gesetze  angezogenen  materiellen  Punktes    .    936 

fO.  6 er] ach.    Zur  Theorie  des  Hodographen 9.36 

tS.  C.  Föhre.     Die  Beschleunigung  der  Tangential  -  Bewegung  von 

Planet  zu  Planet  fst  eine  Summirung  der  Schwerkraft 936 

A.  Naggy.    Sul  moto  di  un  punto  in  un  mezzo  resistente 937 

0.  Staude.    Ueber  die  Bewegung  eines  schweren  Punktes  auf  einer 

.  Rotationsfläche 937 

0.  Staude.    Das  System  der  Wendeflächen  bei  gewissen  Bewegungen 

eines  Punktes  in  einer  Ebene  oder  auf  einer  Rotationsfläche.  .  938 
E.  Oe kinghaus.     Die   elliptischen   Integrale   der    Bewegung   eines 

schweren  Punktes  in  der  verticalen  Parabel 939 

E.  Lampe.    Ueber  die  Anwendung  einer  von  Gauss  gegebenen  Reihen- 

entwickelnng  bei  der  elementaren  Behandlung  von  mechanischen 
Aufgaben 940 

Ph.  Gilbert.     Sur  les  diff^rentes  manidres  de  traiter  un  probleme 

de  m^canique 940 

fW.  Timpe.  Ueber  die  Bewegung  eines  schweren  Punktes  auf 
einer  schiefen  Ebene  mit  Berücksichtigung  der  Drehung  der 
Erde 941 

fW.  Hoff  mann.      Ueber   eine  Bewegung  eines  materiellen  Punktes 

auf  einem  Ringe,  desseu  Querschnitt  ein  Kegelschnitt  ist  .   .   .    941 

F.  Both.     Ueber   die  Bahn    eines    freien  Teilchens    auf  einer   sich 

gleichmassig  drehenden  Scheibe.     (Schluss.) 941 

F.  Roth.  Die  TrSgheitscurve  auf  wagerechter  Ebene  b(>i  dem  Vor- 
handensein eines  Reibungswiderstondes,  etc 941 


Lvni  Iohalt8?eneicho]8. 

Seite 

K.  Weihrauch.     Die  eleroeotareD  AbleitoDgen  des  Satsee  von  der 

„ableokeodeo  Kraft  der  Erdrotation'' ^2 

E.  Gesaro.     Formole  relative  al  moto  d'oo  puoto 912 

G   D  i  1 1 D  e  r.     Om  Integration  af  diSerential-eqvationema  i  N- kroppars 

probiemet 942 

D.  Bobjlew.     Eine  Aufgabe  der  Dynamik  eines  Systems  materieller 

Punkte 942 

H.  am  Ende.  Ueber  die  Bewegung  zweier  materiellen  Punkte,  welche 
durch  eine  gewichtslose  starre  Gerade  mit  einander  verbundeo 
sind 943 

A.  Handl.    Das  Mitnehmen  durch  Reibung 943 

B.  Paladini.    Snl  moto  di  rotazione  di  un  corpo  rigido  attorno  ad 

nn  punto  fisso 943 

W.  Hess.     Ueber    das  Jacobi'sche  Theorem    von  der  Ersetzbarkeit 

einer  Lagrange'scheo  Rotation  durch  zwei  Poiosot'sche  Rotationen  944 

E.  J.  Ronth.    On  a  theorem  of  Jacobi  in  dyoamics 944 

G.  Orofe.  Ueber  die  Pendelbewegnng  au  der  Erdoberfläche  .  .  .  .  945 
O.  Egidi.     Applicazione  delle  aste  vibranti  od  oscillanti  alle  osser- 

vazioni  dei  moti  sismici 948 

H.  Resal.     Mouvement  dans  un  milieUp  dont  la  rdsistance  est  pro- 

portionnelle  au  carrö  de  la  vitesse,  d'un  point  mat^riel  attirä  par 

nn  centre  fixe  en  raison  de  la  vitesse 948 

W.  Massny.  Ueber  die  Bestimmung  der  Fallbeschleunigung.  .  .  .  949 
fP.  Bräu  er.     Ueber   die  Bewegung   des  Pendels  mit  (Jardaniecher 

Aufhängung 949 

fA.  Hossfeld.     Das  Fadenpendel,  eine  erweiterte  Darstellung  der 

Pendelbewegung 949 

£.  Guyou.    Snr  une  Solution  ^lementaire  du  probleme  du  gyroscope 

de  Foucault ,.    .    949 

A.  Baule.    Note  sur  le  gyroscope  coliimateur  de  M.  le  capitaine*  de 

vaisseau  Fleuriais 949 

M.  Koppe.     Aufgaben  über  Trägheitsmomente 950 

E.  Lampe.     Aufgaben  aber  Trägheitsmomente 950 

E.  Lampe.     Physikalische  Aufgaben 950 

G.  B.  Favero.     Intorno  ad  nn  recente  studio  sulla  gravitä 950 

G.  Schonten.  No.  3  der  prijsvragen  van  het  jaar  1887  beantwoord  951 
K. -Fuchs.  Ueber  die  Rückwirkung  der  Flutbewegnng  auf  den  Mond  951 
K.  Fuchs.      Ueber    den  Eiofluss    der  Flut   auf  die  Bewegungen  des 

Flutträgers  und  Fluterzeugers 952 

F.  August.     Ueber  die  Bewegung  von  Ketten  in  Curven 952 

P.  Appell.     Sur  le  mouvement  d'un  61  dans  un  plan  fixe 953 

E.  Vallier.     Note    sur    la   dötermination   de  Tangle   de  plus  grande 

portee 954 

M.  Kriwanek.  Ueber  die  Winkel  der  grossten  Seh nss weite  und  an- 
dere Fragen 955 

fi,  Sabudski.      Ueber    die    Lösung    der   Probleme    des   indirecten 

Schtessens  und  über  den  Winkel  für  die  grosseste  Schussweite  955 

Les  Canons  pnenmatiques  Zaliuski 950 

F-  K  Ott  er.     Beitrag  zur  theoretischen  Ballistik 959 

Meier.    Ueber  Verlegung  des  Treffpunktes  nach  der  Höhe    ....  959 

Lardilloo.     Transformation  dos  tables  baliatiques  de  Grävenitz  .   .  960 

8.     Studien  zur  Mechanik  des  Langgeschoss-Fluges 960 

fDaehne.     Neue  Theorie    der   Flugbahn    von    Langgeschossen    auf 

Grund  einer  neuen  Theorie  der  Drehung  der  Korper 960 

K.  B.  Bender.  Die  Bewegungserscheinungeo  der  Langgeschosse  und 
deren  Beziehungen    zu    den   Eigenschaften    des    Feldgeschützes 

der  Zukunft 960 


iDhalUverzeichnis.  LIX 

Seito 

P.  Bssbforth  CalcalatioD  of  ranges,  etc.,  of  eldogated  projectiles  962 
H    Putz       Memoire   aar  leg  priocipes  fouüamentaax  de  rapplication 

du  calcol  des  probabilit^s  aus  qnestioDB  d'artillerie 903 

A    Oroizö.     Note  relative  ä  la  rögnlaritö  des  tirs  d'exp^riences  et 

aux   regles   i   suivre    pour   d^termioer  le  regime   d'un  tir  avec 

une  probabilit^  süffisante - 964 

G.  Krall.    Zur  Losung  ballistischer  Aufgaben  auf  photographiscbem 

Wege 965 

L.  Knchinka.    Der  Comparateur-R^gulatenr  tou  A.  und  V.  Flamache 

zur  Verification  der  ballistischen  Chronographen 965 

N.  von  Wuich.    Theorie  des  Quadranten*  (Klappen-)  Aufsatzes  .    .  966 

B.  Monteux.     Calcul  des  ^l^ments  d'un  frein  hydraulique  a  r^sistance 

constante  et  ä  orifices  variables 9r)6 

H.  Putz.     Theorie  m^canique  du  frein  Lemoine  appliqud  aux  affdts 

de  campagne 966 

Muika.     Die  Bremse  von  Lemoine  und  ihre  Theorie 966 

Le  Bouleng^.    Le  chronoRraphe  Le  Bouleng^  modifi^.  —  Abände- 
rung des  Le  BouIeng6'schen  Chronographen.  —  Der  modificirte 

Chronograph  von  Le  Boulengö 967 

fP.  Siacci.     Balistica. 967 

fL.  Sigaut.  fitude  sur  Torganisation  du  tir  dans  les  places  ....  967 
fP.  de  Ponds-Lamothe.     Note   sur   le   pointage   des  canons   de 

campagne 937 

fPercin.     Au   sujet  d'un  nouveau  mode  d'organisation  du  tir  dans 

les  places 967 

fE.  Muzeau.  Nouvel  exercice  pröparatoire  de  tir  sur  but  mobile  .  967 
fP.  Pro  Card.     De  Tusage  des  t^Iöm^tres  pour  le  r^glage  direct  du 

tir  fusant 968 

A.  Cornu.     Sur  le  reglage  de  Tamortissement  et  de  la  phase  d'une 
oscillation    synehronis^e   r^duisant  au  maximum   Tinfluenee  des 

actions  perturbatrices.     Reglage  ap^riodique 968 

J.  B.  Webb  and  S.  Jacobus.     Effect  of  friction  at  connecting-rod 

bearings  on  tbe  forces  transmitted 969 

Daarry.     Sur  la  d^termination  de  la  force  du  vent  en  grandeur  et 

en  direction 9S9 

f  R.  Bertinet.    Theorie  6l6mentaire  du  cerf-volant 969 

fHolzmuller.     Mechanisch-technische  Plaudereien 969 

fA.  Audebrand.    fitude  sur  le  rendement  du  cheval  d'artillerie  .   .  969 

B.    Hydrodynamik. 

A.  B.  Basset.     A  treatise  on  hydrodynamics     I,  II 970 

fD.  Bobylew.     Ueber  die  Portschritte  der  Hydrodynamik  wahrend 

der  letzten  80  Jahre 971 

A.  Cayley.     Note  on  the  hydrodynamical  equations 971 

P.  G.  Tait.    Quaternion  notes 97? 

A.  N.  Whitehead.     Oo  the  motion  of  viscous  incompressible  flulds, 

a  method  of  approximation 972 

A.  N.  Whitehead.     Second   approximation  to  viscous  fluid  motion  975 

de  Saint- Venant  et  Plamant.     De  la  houle  et  du  clapotis  .    .    .  976 

£.  Biecke.    Beiträge  zur  Hydrodynamik 977 

P.  Molenbroek.    Zur  Theorie  der  Plässigkeitsstrahlen    ......  978 

N.  Qnint.     De  wervelbeweging 979 

J.  C.  vaD  den  Berg.     De  wervelbeweging 979 

C.  Chree.     Vortex  rings  in  a  compressible  fluid 980 

L.  Lecornu.    Sur  les  mouvements  giratoires  des  fluides 981 

A.  K.  H.  Love.     Vortex  motion  in  certain  triangles  , 982 


LX  lDbaIt07erzeicboi8. 

Seite 

G.  H.  Bryan.  The  waves  od  a  rotating  liquid  epheroid  of  fioite  ellipticity    1^3 

Y.  A.  Julias.      Over    de    trillende    bewegiog    van    eeo    vervormden 

vloeistofbol 983 

A.  E.  H.  Love.     Oo  Dedekind's  tbeorem  coDcerning  tbe  motion  of 

a  liquid  ellipsoid  ander  ita  own  attraction *  .    .    .    .    9S4 

A.  E.  H.  Love.     On  tbe  motion  of  a  liquid  elliptic  cylinder  ander 

its  own  attraction 984 

A.  E  H.  Love.  The  oscillationfl  of  a  mass  of  gravitating  liquid 
in  tbe  form  of  an  elliptic  cylinder  wbicb  rotates  as  if  rigid 
about  its  axis 984 

A.  B.  Base  et.     On  the  steady  motion  of  an  annalar  mass  of  rotating^ 

liquid 086 

Lord  Rayleigb.  On  tbe  stability  or  instability  of  certain  fluid  rootions    9S6 

H.  Hugoniot.     Memoire  sur  la  propagation  du  mouvement  dana  an 

fluide  indefini.     II 988 

fK.  Wagner.  Ueber  die  Bewegang  einer  incompresBibeln  Flüssig- 
keit, welche  begrenzt  ist  von  zwei  in  gegebener  Rotation  be- 
findlichen Flächen 991 

J.  Boussinesq.     Compl^ment  a  la  theorie  des  deversoirs  en  mince 

paroi,  qui  s'etendent  ä  tonte  la  largeur  du  lit  d'un  cours  d'eau  etc.    991 

U.  Masoni.      Sa    di    una   nuova  formola  proposta  pel  calcolo  della 

portata  nelle  boccbe  a  stramazzo 992 

H.  Minkowski.     Ueber  die  Bewegung  eines  festen  Körpers  in  einer 

Flüssigkeit 993 

6.  H.  Halphen.     Bur  le  mouvement  d'un  solide  dans  un  liquide.    .    996 

F.  K Otter.  Beitrag  zur  Lehre  von  der  Bewegang  eines  festen  Kör- 
pers in  einer  incompressiblen  Flüssigkeit 999 

A.  M.  Liapunow.      Ueber    constante    Scbraubenbewegnngen    eines 

starren  Körners  in  einer  Flüssigkeit 1001 

A*  B.  Basse  t.     On  the  motion  of  a  sphere  in  a  viscous  liquid  .    .    .  1003 

A.  E.  H.  Love.     The    motion    of  a  solid  in  a  liquid  when  the  im> 

puIses  reduce  to  a  couple 1003 

L.  Fennel.      Ueber   die   Bewegung   eines    festen    Körpers    in   einer 

tropfbaren  Flüssigkeit 1003 

B.  Paladini.     Sul  movimento  di  rotazione  che  prende  nel  vuoto  od 

in    an   fluido    incompressibile    un    oorpo    a    forze  di    potenzlale 
i/iCos^ö-HÄicosö 1006 

E.  Gerlach.     Zur  Theorie  des  Segeins 1007 

Legier.      Zur  Theorie    der  Stabschwimmer   mit  Nutzanwendung  auf 

die  Wassermessungen  beim  Rheinfall  1887 1009 

J.  Amsler-Laffon.    Zur  Theorie  der  Stabschwimmer 1009 

6.  Tolkmitt.  Ueber  das  Zuschlagen  der  Schleusenthore  im  strö- 
menden Wasser .  1010 

ßernardi.     Sopra  un  curioso  problema  di  idrodinamica  pratica    .    .  1011 

H.  Kiehn.     Die  Wirkungsweise  der  Schifi^sschrauben 1012 

Sir  William  Thomson.     Five  applications  of  Fourier's  law  of  dif- 

fusion,  illustrated  by  a  diagram  of  ourves,  etc 1013 

A.  Halkowich.     Das  Hydro-Locomobile  Nossian's 1013 

F.  Grashof.     Theoretische  Maschinenlehre.     III.  4 1013 

H.  L6aut4.     Sur  un  moyen  d'obtenir  un  diagramme  de  dötente  d*ane 

forme  donn^e  dans  les  machines  de  genre  Gorltss  etc 1014 

L.  Nikolai.    Ermittelung  der  Durchflussweite  von  Brücken    .   .    .    .1014 
fPh.  Maxim enko.     Vorlesungen  über  Hydraulik 1014 

Gapitel  5.     Potentialtheorie. 

C.  Neu  mann.     Ueber  das  Verhalten   der  Green'schen  Function   an 

der  Grenze  ihres  Gebietes 1014 


lohaltsverseichniB.  Lxi 

Seite 

G.  Noam  BD  D.    Ueber  die  Methode  des  arithmetischeD  Mittels.     II  .  1015 

ii    Appelrotb.     Einige  Satze  über  das  Potential 1018 

E.  Picard.    Sor  oo  tb^oreme  relatif  ä  Tattrsction 1018 

J.  Bertrand.  Remarques  relatives  a  la  commaoication  de  M.  Picard  1018 
A.  R.  Johnson.      Harmonie    decomposition    of  functions    and   soroe 

aüied  ezpansions 1019 

E.  Liebenthal.     Das  Potential  des  Ellipsoids 1021 

J.  ßertrand.     Gen^ralisation  d'an  th^oremo  de  Gauss 1022 

U.   Bigler.     Potential  einer  elliptischen  Walze 1023 

W.  Barns i de.  Note  on  tbe  potential  of  an  elliptic  cylinder.  .  .  .  1023 
Zöge.     Das  Potential  homogener  ringförmiger  Korper,   insbesondere 

eines  Ringkorpers  mit  Kreisquerschnitt 1024 

H.  de  la  Goupilliere.     Transformation  propre  ä  conserver  le  carac- 

tere  da  potentiel  cylindriqae  d'un  nombre  limit^  de  points  .  .  1025 
A.  U.  Elliott.     The  potential  of  a  spherical  magnetic  sbell  deduced 

from  the  potential  of  a  coincident  lajer  of  attractiog  matter  .  .  102G 
O.  Callandreaa.      Energie     potentielle    de    la    gravitation     d*une 

planete 1027 

A    Kurz.     Ueber  Messungen  der  irdischen  Schwerkraft 1028 

G.  Morera.     Intoruo  alle  derivate  normali  della  fünzione  potenziale 

di  saperficie , 1028 

Elfter  Abschnitt.    Mathematische  Physik. 

Capitel  1.     Molecnlarphysik,  Elasticität  und  Gapillarität. 

A.    Molecularphysik. 

P.  G.  Tait.     Die  Eigenschaften  der  Materie.     Uebers.  von   G.  Sie- 
bert   1029 

J.  6.  Wallentin.    Lehrbuch  der  Physik  für  Gymnasien 1030 

F.  Lindemann.    Ueber  Molecularphysik 1032 

F.  Lindemann.    Molecular  physics 1034 

F.  S.  Provenzali.     Sulla  energia  potenziale 1035 

t  H.  Resal.     Trait6  de  physique  math^matique.     II 1035 

M.  Brillouin.  D^formations  permanentes  et  thermodynamique  .  .  .1035 
K.  Ce'saro.  Moti  rigidi  e  deformazioni  termiche  negli  spazii  cnrvi  .  1037 
C.  Bar  US.     Mazwell's  theory  of  the  viscosity  of  solids  and  its  phys- 

ical  verification •.    .    .    .  1038 

fC.  Bar  US.    The  secular  annealing  of  cold  hard  steal 1038 

R.  H.  M.  Bosanqaet.    On  the  use  of  the  term  .resistance'^   in  the 

description  of  physical  phenomena 1038 

R.  Ulbricht.    Ueber  die  Beziehungen  zwischen  elastischen  Systemen 

and  stationären  elektrischen  Strömen 1039 

Cb.  Lagrange.     Note    concernant   la    v6rification    num^rique  d'une 

formale  relative  ä  la  force  ^lastique  des  gaz 1039 

J.  Bachanan.      On    a    law    of  distribution   of  molecular    velocities 

amongst  the  molecules  of  a  fluid 1040 

A.  Rysanek.  Versuch  einer  dynamischen  Erklärung  der  Gravitation  1041 
fA.  Haussier.    Die  Rotationsbewegung  der  Atome  als  Ursache  der 

molecularen  Anziehung  und  Abstossuog 1041 

fA.  Hänssler.     Die  Rotationsbewegung  der  Atome  als  Ursache  der 

Emission  von  Licht-  und  Wärmewellen 1041 

M.  Langlois.  Sur  un  point  de  la  th^orie  du  mouvement  aiomique  .  1041 
fJ.  J.  Thomson.  Applications  of  dynamics  to  physics  and  chemistry  1012 
H.  Frerichs.  Die  Hypothesen  der  Physik.  Versuch  einer  einheit- 
lichen Darstellung  derselben 1042 


UQt  lohattflverzeichnU* 

Seit« 

fB.  Troost.     Eine  Licbtätherbypothese  zur  Erklärung  der  Eotstebang 

der  Natarkräfte * 1042 

fP.  de  Heen.      Recherches   toochant   la   pbysique   compar^e   et   la 

tböorie  des  liquides 1042 

fK.  M    Uaillard.     The  iovieible  powers  of  uatare 1012 

fJv  D    Everett.     PhysikaÜBcbe  UiDbeiten  und  Gonetanteo.     Deutsch 

von  F.  Ubappuis  uud  D.  Kreicbgauer 1012 

B.     Elasticitatstbeorie. 

0.  Bach.     Elasticität  und  Festij^keit 1043 

R.  Klimpert.     Lehrbuch  der  Elasticität  und  Festigkeit  ......  1046 

P.  J.  Johne D.     Elemente  der  Festigkeitslehre *.    .  1048 

E.  Sarrau.     Notions  sur  la  tb^orie  de  l'^lasticit^ 1050 

K.  Wesendonck.     Ueber  die  Bedingaugon,  denen  die  Elasticitats- 

Constanten    genügen    mnssen,    damit    die    Lösungen    elastischer 

Probleme  eindeutig  sind 1051 

W.  Voigt.     Ueber  adiabatische  Elasticitatsconstanten lOöl 

W.  Voigt.    Bestimmung  der  Elasticitatsconstanten  für  Flussspat  und 

Pyrit ; lOoö 

W.  Voigt.     Bestimmung   der   Elasticitatsconstanten    von   Flussspat, 

Pyrit,  Steinsalz  und  Sylvin 1055 

P.  Groth.     Ueber  die  Elasticität  der  Krystalle 1056 

Finsterwalder.     Ueber    die    Verteilung   der   Biegungselasticitat  in 

dreifach  symmetrischen  Krystallen 1056 

E.  H.  Amagat.     Sur   la  v^rification   ezp^rimentale  des  formules  de 

Lam6  et  la  valeur  du  coefficient  de  Poisson 1057 

C.  Somigliana.     Sopra  la   dilatazione  cubica   di   un  corpo  elastico 

isotropo  in  un  spasio  di  carvatura  costante 1058 

E.'Padova.    Süll*  uso  delle  coordinate  curvilioee  in  aicuni  problemi 

della  teoria  matematica  della  elasticitk 1058 

E.  Padova.     Sopra  un  teorema  della  teoria  matematica  della  elasti- 

citä 1060 

V.  Cerruti.     Sulla  deformazione  di   un  corpo  elastico  isotrope  per 

aicuni  speciali  condizioni  ai  limiti lOGl 

6.  H.  Bryan.     On  the  stability  of  elastic  Systems 1063 

C.  Chree.     Further  applications  of  a  n«w  Solution  of  the  equations 

of  an  Isotropie  elastic  solid,  maiuly  to  various  cases  of  rotating 

bodies 1063 

C.  Chree.     On  holotropic  elastic  solids 1064 

M.  L^vy.  Sar  une  propri^tö  g^n^rale  des  Corps  solides  ^lastiques  .  1064 
M.  L6vy.     Observation  relative  ä  une  pr^cedente  communication  .    .  1064 

E.  U^saro.  Sur  une  r^cente  communication  de  M.  M.  L  6vy  .  .  .  10(.)5 
Z.    Darstellung    des    Spannungs-    und    Formänderungszustandes    im 

Innern  eines  Körpers 1065 

J.  Boussinesq.     fiquilibre  d*^lasticit^  d'un  solide  saus  pesanteur  .    .    1066 

J.  Boussinesq.     Gas  oü  les  donn^es  sont  mixtes  etc 1066 

R.  Land.     Das  allgemeine  Gesetz  der  Gegenseitigkeit  der  Verschie- 
bungen   1069 

Lord  Rayleigh.  On  the  bending  and  Vibration  of  thin  elastic  Shells  1070 
H.  Lamb.     On  the  flezure  and  the  vibrations  of  a  curved  bar  .'  .    .  1070 

F.  Meyer  zur  Gapellen.     Mathematische  Theorie  der  Transversal- 

schwingnngen  eines  Stabes  von  veränderlichem  Querschnitt  .  .  1072 
A.  E.  H.  Love.     The  free  and  forced  Vibration  of  an  elastic  spher- 

ical  Shell  containing  a  given  mass  of  liquid 1074 

A.  E.  H.  Love.     The  small  free  vibrations  aod  deformation  of  a  thin 

elastic  shell 1075 

P.  0.  Tait.    Preliminary  note  on  the  duration  of  impact 1076 


iDhaliBTerzeichoia.  LXin 

8«ite 

B    Boggio-Lera.    SoUa  cioenoatica  dei  mezzi  continui 1076 

L.  Proakoriako w.     Uotersuchung    über    die    BiegaDgsmumeDte    io 

geraden  Balken  mit  bewegten  Lastsystemen 1076 

L.  Nikolai.     Ermittelang  des    absoluten  Maximalmomentes,  das  ein 

System  von  concentrirten  Verkehrs-Lasten  auf  einen  freiliegenden 

Balken  ansubt 1077 

J.    J.    Weyrauch     Beispiele    und    Aufgaben    zur    Berechnung    der 

atatisch  bestimmten  Träger  für  Brücken  und  Dächer 1078 

5.  Knnitzky.    Zur   Frage    über   die    Ermittelung  der  Verticalkräfte 

ond  Biegiingsmomente  der  von  Verkehrs -Lasten  belasteten 
Balken 1078 

N.  Belelubski.     Ueber  einheitliche  Untersuchungsmethoden  bei  der 

Prüfung  von  Bau-  und  Goustructions-Materialien 1079 

Ch.  M    Schola.    Remarques   sur   le   calcul  des  efforts  maxima  dans 

les  roaitresses-poutres  des  ponts  de  chemin  de  fer 1079 

Fr.    Engesser.     Ueber   die    Nebenspannuogen    der   Fachwerke    bei 

steifen  Knotenverbindungen 1079 

M.  Roenen.  Einfache  Ausdrucke  für  die  Durchbiegung  von  Eisen- 
trägern und  Holzbalken 1080 

Fraenell  et  Bachy.    Sur   les    calculs    de   r^sistauce  des  systemea 

r6ticulaires  ä  lignes  ou  conditioos  surabondantes 1081 

E.  Ovazza.     Snl  calcolo  delle  freccie  elastiche  delle  travi  reticolari  1031 

Barckbausen.     Schief  beanspruchte  Träger 1082 

C.  Stockt  und  W.  Hause r.  Bii^s-Tabeilen  für  die  Berechnung  ei- 
serner Träger    1082 

M.  Koenen.  Ueber  ringförmige  Stäbe  und  Platten  gleichen  Wider- 
standes     1084 

Fr.  Engeaser.    Ueber  die  Knickfestigkeit  von  Ringen  und  Röhren  .  1084 

A.  Caatigliano.  Theorie  der  Biegungs-  und  Torsionsfedern.  Deutsch 

von  B.  Tota ....  1085 

H.  Reaal.    Essai  sur  la  th^orie  du -ressort  Belle  vi  lle 1087 

Q.  Mantel.    Der  elastische  Bogen    unter    dem  Einfluss  von  Kräften 

beliebiger  Richtung 1087 

G.  Mantel.  Kräfteplan  eines  Fachwerkbogena,  auf  welchem  die  Fahr- 
bahn durch  radial  stehende  Pfosten  abgestützt  ist 1088 

f  T.  J.  De  war.    Resistance  of  Square  bars  to  torsion 1088 

Tb.  Hoecb.  Bereeboung  doppelter  Hünge- und  Sprengwerke  bei  ein- 
seitiger Belastung 1088 

J.  F.  Vergleich  der  Haltbarbeit  der  schweren  Feldkanone  als  stäh- 
lernes Mantelrohr  und  als  Hartbronzerohr  in  Bezug  auf  den 
Maximalgasdruck 10S9 

J.  A.   Longridge.     Furtber    investigations    regarding    wiregun    con- 

struction 1089 

6.  Moch      Exp^riences  am^ricaines  sur  le  frettat^e  des  bonches  ä  feu  1089 
N.  V.  Kalakuzki.    fitude  sur  les  tensions  int^rieures  dans  la  fönte 

et  Tacier 1090 

N.  V.  Kalakuzki.    Note  relative  ä  des  expdriences  sur  lea  tensions 

int^rieures  dans  Tacier 1090 

A.  Rriloff.    Berechnung  des  Panzerturms  für  ein  Linienschiff  .   .    .  1091 

G.     Gapillarität. 

J.  Delaanx.    Sur  la  th^orie  cinötiqne  dea  ph^nomönes  capillairca    .  1091 

W.  F.  Magie.     The  cont4ict-angle  of  liquids  and  solids 1091 

K,  Fachs,     üeber    den    Zosammenbang    von    Oberflächenspannung, 

Oberflächendichte  und  oberflächlicher  Warmeentwickelung  .    .    .  1092 
K.  Fachs.     Ueb(>r  die  Mischungsscbicht  zweier  Flüssigkeiten    .    .   .  1(92 


LXIY  lohalUverzeicbDis. 

Seite 

O.  van  der  Mensbragghe.     Quelques  mots  aar  ma  th^orie  do  plage 

de  rhuile 1092 

fG.  vao  der  Mensbrugghe.     Sar  les  moyeos  d'^valuer  et  de  com- 

battre  rinflaence  de  la  capillaritd  daos  la  deDsimötrie 1092 

Gapitel  2.    Akustik  und  Optik. 

A.    Akustik. 

Tb.  Wittsteio.    Grandsäge  der  mathematisch-physikalischen  Theorie 

der  Müsik 1093 

F.  Melde.     Chladni's  Leben  und  Wirken 1094 

Lord  Rayleigh.    Oo  point-,  lioe-,  and  plane-sources  of  sound  .   .    .  1094 

O.  Morera.     Sul  problema  della  corda  vibraote 1096 

fO.  Rrigar-Mensel.  Ueber  die  Bewegung  gestrichener  Saiten  .  .  1096 
L.  Malavasi.  Le  6gure  di  Ohladni  ed  il  metodo  di  Wheatstone  .  1096 
E.  Mach.    Ueber  die  Fortpflanzungsgeschwindigkeit  des  durch  scharfe 

Schüsse  erregten  Schalles 1097 

J.  Groroeka.     Ueber  den  Einfluss    der   Temperatur  auf   die  kleinen 

Schwingungen  gasformiger  Korper 1098 

J.  Gromeka.     Ueber   den  Einfluss    der  ungleichförmigen  Verteilung 

der    Temperatur    auf    die    Fortpflanzungs-Geschwindigkeit    des 

Schalles 109S 

R.  Holmes.     On  the  equations  of  motion  of  a  sound  wave  in  a  com- 

pressible  fluid  which   is    rendered  iheterogeneous  by  a  constant 

accelerating  force  in  a  given  direction 1099 

A.  Kurz.  Der  filasticitätsmodul  und  die  Schallgeschwindigkeit  .  .  1100 
O.  Tumlirz.    Ueber  die   Fortpflanzung  ebener  Luftwellen  endlicher 

Schwingungsweite 1300 

A.  Stefanini.     Dell*  energia  minima  che  e  necessaria  a  produrre  la 

sensazione  del  snono •     • 1100 

fM.  Wien.     Ueber  die  .Messung  der  Tonstärke 1100 

fLord  Rayleigh.    Diffraction  of  sound 1100 

B.     Theoretische  Optik. 

E.  Lommel.     Joseph  v.  Fraunhofer's  gesammelte  Schriften.   .    .    .     1101 

G.  A.  Maggi.     Sulla    propagazione    libera   e    perturbata  delle   onde 

luminose  in  un  mezzo  isotropo 1102 

W.  Voigt.    Theorie  des  Lichtes  für  bewegte  Medien 1104 

D.  W.  B.  Brace.     On  the  transparency  of  the  ether 1104 

M.  L6vy.     Sur  les  equations  les  plus  g6n6rales  de  la  double  r^frac- 

tion  compatibles  avec  la  snrface  de  Tunde  de  Fresnel 1105 

P.  Volk  mann.     Einfache  Ableitung  des  Green'schen  Ausdrucks  für 

das  Potential  des  Lichtäthers 1107 

W.  Walton.     On  the  coincidence  of  ray-directions  in  a  biaxis  crystal 

which  correspond  to  certain  conjugate  planes  of  polarization  .  .  1108 
Gh.  Soret.     Sur  la  mesure    des  indices   de  röfraction  des  cristaux  ä 

deuz  axes,  par  Tobservation  des  angles  limites 1109 

Th.  Liebisch.     Ueber  das  Minimum  der  Ablenkung  durch  Prismen 

optisch  zweiaziger  Erystalle 1110 

J.  Kerr.  Experiments  on  the  birefringent  action  of  strained  glasses  1110 
fF.  Pockels.     Ueber   den  Einfluss  elastischer  Deformationen,    spe- 

ciell  einseitigen  Druckes,   auf  das  optische  Verhalten  krystalli- 

nischer  Körper HIO 

O.    Wiener.      Gemeinsame    Wirkung    von    Circularpolarisation    und 

Doppelbrechung,  geometrisch  dargestellt 1110 

Sir  William  Thomson.    On  the  reflexion  and  refraction  of  light   .1112 


InhaltByeKeichDiB.  I^XV 

Seite 

B.  T.  Olazebrook.    Od   the  spplieatioo  of  Sir  William  Thomson' 8 

theory  of  a  coDtractile  aether  to  double  refracUoD,  disper- 
aioD  etc 1113 

P.  Yolkmann.  Beraerkungen  za  den  PhaseoäDderaDgea  des  von 
dorchsichtigen  Rörpero  in  der  Näh^  des  Polarisationswinkels 
partiell  reflectirten  Lichtes 1113 

P.  Drude,    lieber  das  Verhältnis  der^Canchy'schen  Theorie  der  Me- 

tallreflezion  zu  der  Voigt'sGhen 1114 

W.    Voigt.     Ueber   die    Reflexion    und    Brechung   des    Lichtes   an 

Schichten  absorbirender  isotroper  Medien .    .   .  1114 

P.  Drude.  Ueber  die  Qesetze  der  Reflexion  und  Brechung  des  Lich- 
tes an  der  Grenze  absorbirender  Krystalle 1115 

F.  KoläÖek.    Beiträge  zur  elektromagnetischen  Lichttheorie  .    .    .    .1115 

Lord  Rayleigh.    Od   the   reflexion    of   ligbt   at   a  twtn  plane  of  a 

crystal 1116 

Lord  Rayleigh.    Od   the    remarkable  pheuomenon  of  erystalline  re- 

flezioB  described  by  Professor  Stokes 1117 

C.  Viola.    Le  lamine  sottili  anisotrope  colorate  nella  luce  polarizzata 

parallela 1118 

K.  E.  F.  Schmidt.     Ueber   die   durch   feine  RÖhrchen  im  Kalkspat 

herrorgerufenen  Lichtringe  und  die  Theorie  derselben 1118 

K.  E.  F.  Schmidt.    Zur  Theorie  des  Babinet'schen  Gompensators  .1119 
M.  Sternberg.     Oeometrische  Untersuchung   über   die  Drehung  der 

PolarisatioDsebene  im  magnetischen  Felde 1120 

B.  Wilson.     The  law  of  dispersion 1120 

fT.  Pelham  Dale.  On  the  nnmerical  relation  between  the  index  of 
refraction  and  the  wave-length  within  a  refractive  medium,  and 

OD  the  lirait  of  refraction 1120 

L.  Bell.    The  absolute  wave-length  of  light 1120 

R.  F   Gwyther.    An  applicatioo  of  Huyghens'  principle  to  a  spher- 

ical  wave  of  light 1121 

R.  Sträubet.  Ueber  die  Berechnung  der  Fraunhofer'schen  Beugungs- 
erscheinungen durch  Randintegrale 1121 

W.  Donle.  Ueber  Fraunhofer'sche  Ringe  und  die  Farbenerscheinungen 

behauchter  Platten 1124 

Carimey.    Sur  la  th^orie   des  bandes  de  Talbot 1124 

fA.  yan  Biervliet.    Oontribution    ä   l'^tude    des  dilatations  par  la 

meanre  du  d6placement  des  franges  d'interfiferences 1124 

E.  Branly.    Caloul  de  la  largear  des  franges  dans  Texp^rience  des 

deux  miroirs 1125 

fMascart    Sur  l'expönence  des  trois  miroirs  de  Fresnel 1125 

E.  Lommel.     Interferenz  darch  circulare  Doppelbrechung 1125 

Boltel.     Sur  les  arcs  snrnum^raires  qoi  accompagnent  i'arc-en-ciel  .  1126 

Mascart.     Sur  Tarc-en-ciel ,  .  1126 

fR.   de  Koyesligethy.    Die  mathematische  Analyse  der  Spectra    .  1127 
R.  Sehellwien.    Optische  Häresien,  erste  Folge 1127 

0.    Geometrische  Optik. 

0.  Pabst.    LeitfadeD  der  theoretischoD  Optik 1128 

F.  Metsei.    Lehrbuch  der  Optik 1128 

f  R.  S.  Heath.    Treatise  on  geometrical  optics 1129 

£.  Hesa.    Ueber   die   Zahl  und  Lage  der  Bilder  eines  Punktes  bei 

drei  eine  Ecke  bildenden  Planspiegeln 1129 

A.  Ricco.     Immagine  deformata  del  sole  riflesso  sul  mare,   e  dipen- 

dcDza  della  medesima  dalla  rotonditä  della  terra 1130 

O.  Decber.    Die  Prismentrommel 1131 

d.  BUth.  XX.  s.  E 


I^YI  rDbaltsFdrseichDiB. 

Seite 

L.  Mattbiessen.     Ueber  ein   merkwürdiges  optisches  Problem  von 

Maxwell 1131 

L.  Matt bi esse D.     UutersucbuDgea    über  die  CoDStitatioo  oDeodlich 
düDoer    astigmatiscber    Strableobüudel    oach   ihrer  Brechaog  in 

einer  krammen  Oberfläche 1132 

fA.  Grusintzeff.     Ueber  die  Brechung  der  Lichtstrahlen  in  brecbeo- 
den    Mitteln,    welche   von  irgend   welchen  Oberflachen  begreost 

sind 1132 

A.  Gleichen.     Allgemeine   Theorie    der  Brechung  ebener  Strahlen- 

Systeme 1133 

fA.  Gleichen.     Beitrag   znr    Theorie    der    Brechung    von  Strahlen- 
systemen   1133 

Govi.     Nnovo  metodo  per  costruire  e  calcolare  il  luogo,  la  situasione 
e  la  grandezza  delie  imagini  dato  dalle  lenti  o  dal  sistemi  ottici 

complessi 1133 

A.  Handl.     Graphische  Darstellung  der  Linsenformel 1134 

N.  Jadaoza.     Uoa  uuova  forma  di  caonocchiale 1134 

J.  A.  G.  Oudemans.     Onderzoek  naar  de  voorwaarde,  waarqp  luden 
dubbele<beeldeo  mikrometer  van  Airy,  de  waarde  eener  schroef- 
omwenteling  onafhankelijk   is   van   de  accomodatie  van  het  oog  1134 
fG.  Füchtbauer.     Einige  Kigenscbaften  der  optischen  Linse  in  Be- 
zug auf  Centralstrahlen 1134 

G.  Bohn.     Ueber  Linsenzosnmmenstellungen  und  ihren  Ersatz  durch 

eine  Liuse  von  vernachlässigharer  Dicke 1134 

G.  Fränkel.     Die  Wirkung  der  Cylinderlinsen,  veranschaulicht  durch 

stereoskopische  Darstellung  des  Strahlenganges 1135 

F.  Wächter.     Ueber  Fernrohre    und  Binocles  für  militärischen  Ge- 
brauch   1135 

Laussedat.     La  premiere  jumelle 1136 

A.  Bardou.     La  lunette   biooculaire    construite   en  1680  par  le  pere 

Cherubin 1136 

Lord  McLaren.  On  the  four  surfaces  of  an  aplanatio  objective  .  1136 
Klio^berg.  Beiträge  zur  Dioptrik  der  Augen  einiger  Hausthiere.  1.  1136 
fS.  Exner.  Ueber  den  normalen  irregulären  Astigmatismus  ....  1137 
L.  Garte Qsch läger.     Ueber  die  Abbildung  eines  astigmatischen  Ob- 

jects  durch  eine  Liuse  für  parallele  Lichtstrahlen 1137 

fG.    Tschehowitsch.     Bestimmung   des    Ortes,  des    Bildes    eines 

leuchtenden  Punktes,  welches  nach  Brechung  gesehen  wird,  .  .  1137 
J.  D.  Everett.  On  the  geueral  laws  of  brightness  of  Images  .  .  .1137 
H.  äeeliger.     Zur  Photometrie  zerstreut  reflectireuder  Substanzen  .1138 

K.  Wie  de  mann.     Fluorescenz  und  Phosphorescenz.     I 1139 

fM.  Mohn      The  fog  bow  and  Ulloa's  ring 1140 

fj.  C.  McConnel     The  fog  bow 1140 

Capitel  3.    Elektricitat  und  Magnetismus. 

Larmor.    Electro-magnetic  and  other  Images  in  spheres  and  planes  1140 
J.  J.  Thomson.     Electrical  oscillations  on  cylindrical  conductors    .  1142 
K.  0.  Richter.     Ueber  die  galvanische  Induction    in   einem  körper- 
lichen Leiter 1143 

Campetti.     Sulla  distrlbuzione  delle  correnti  suUe  superficie    .    .    .  1144 

P.  Duhem.     De  Taimantation  par  influence 1145 

P.  Duhem.    älude  historique  sur  la  theorie  de  Taimantation  par  in- 
fluence  1146 

P.  Duhem.     Sur  un  tb^oräme  de  T^lectrodynamique 1146 

P.  Duhem     Sur  la  pression  electrique 1146 

Adler.    Ueber  die  elektrischen  Gleichgewichts- Verhältnisse  von  Con- 

ductoren 1149 


lahaltsrerzetchDis.  LXVII 

8«it« 

Morel li.    Elettrometro  ad  emicicli 1149 

Montier.    Snr  les  conraDts  interrompas .  1150 

RobiD.     DistribatioD  de  r^lectricit^   indaite  par  des   charges   fixes 

8ur  ODe  snrface  feriii6e  convexe 1152 

O.  Venske.    Zar  Theorie  des  Hairschen  PbanomeDs 1153 

O.  Tamlirs.      Zur    Eioführong    in    die   Theorie    der   dieiektriachea 

Polarisation 1154 

J.  Delsaax.    8ar  la   teosion    61ectriqae   saivant  les  lignes  de  force 

daos  les  milieux  di^lectriqoes 1154 

D.  Bob.     Volume-ireranderiDgeD  van  dielectrica *.  1155 

Ulbricht.  Die  Widerstandsgleichnog  einer  Potential •Niveaufläcbe  1153 
Malavasi.    Note  al  saggio  teorico  della  pila  secondo  il  priocipio  di 

Volta 1156 

E.  Bazsi.    Snllo  spostamento  delle  linee  di  livello  che  si  osserya  in 

uo  diaco  metallico  rnotante  traversato  da  correnti  voltaiche  .  .  1156 
C.  H.  C.  Grinwis.  De  energie  van  den  bolvormigeu  condensator  .  1156 
H.  Holden.    A  method  of  caloalating  the  electrostatic  capacity  of  a 

condactor 1157 

A.  Foeppl.    Versach   einer  mathematischen  Theorie   der  Gasentla- 

dangen    1158 

F.  Lncas.    G^o^ralisation  da  th^or^me  de  Rolle 1158 

F.  Lucas.    Determination  älectriqae  des  racines  reelles  et  imaginaires 

de  la  d^riv^e  d'ao  polyoöme  quelconqae 1159 

F.  Lucas.  Resolution  eiectrique  des  eqaations  alg^briques  ....  1160 
F.  Lucas.    Determination  eiectriqae  des  lignes  isodjDamiques  d'an 

polynöme  qoelconque 1160 

F.  Lucas.    Besolution  immediate  des  equations  au  moyen  de  l'eiec- 

tricite 1161 

F.  Lncas.     Resolution  des  eqaations  par  Teiectricite 1161 

fR.  Ferrini.    Sülle  formole   per   il  calcolo  delle  dinamo  a  corrente 

continua 1162 

W.  G.  Hankel.  Das  elektrodynamische  Gesetz  ein  Panktgesetz  .  .  1162 
J.  Fröhlich.  Zur  Integration  der  Differentialgleichungen  der  elek- 
trodynamischen Induction 1163 

S.  H.  Burbury.    On  the  induction  of  electric  currents  in  conductiog 

Shells  of  small  thickness 1163 

t Sir  William  Thomson.    A  simple  hypothesie  for  electromagnetic 

induction  of  incomplete  circuits 1164 

E.  Bndde.    Ueber  den  Einflass  der  Erdrotation  auf  das  Clausius'sche 

Gesetz 1164 

A.  Hempel.    Ueber  elektrische  Induction 1164 

E.  Dorn.     Eine  Bestimmung  des  Ohm 1165 

Vaschy.     Propagation  du  courant  sar  une  ligoe  teiegraphiqae    .    .    .  1165 

P.  Dubem.     Sur  l'aimantation  des  corps  diamagnetiques 1165 

Jan  et.    Sur  l'application  du  pbenomeue  de  Taimantation  transversale 

i  retude  du  coefßcient  d'aimantation  du  fer 1166 

0.  Heaviside.    Co  electromagnetic  waves,  especially  in   relation  to 

the  Torticity  of  the  impressed  forces 1167 

O.  Heaviside.  Note  on  a  paper  on  electromagnetic  waves  .  .  .  .1167 
E.  W.  Watson.  Note  on  the  electromotive  force  in  moving  conductors  1167 
Th.   B-  Blakesley.    On    a    method    of   determiniog    the    difference 

between  the  phase  of  two  harmonic  currents  of  electricity  .   .    1169 

Ch    V.  Bnrton.    On  the  electromotive  forces  of  contact 1109 

H.  Lorberg     Einige  Bemerkungen  zur  Theorie  der  Thermoströme  .  1170 

H.  A,  Lorentz.     Zur  Theorie  der  Thermoetektricitat 1173 

M.    Planck.     Zur   Theorie    der    Thermoelektricität   in    metallischen 

Leitern 1174 


Lxyin  iDkaltSTerseiohDiB. 

Seit« 

J.  Paxker.    Ontbermoelectric  pheDomeoa 1177 

F.  Himstedt.  Üeber  eine  neue  BestimmuDg  der  Grosae  v  .  .  .  .  1177 
£.  Lecher.    üeber   elektromotoriBChe  Gegenkräfte   io   galvanischen 

LichterscheinoDgen 1177 

F.  Himstedt.    Ueber  die  Bestimmung   der   Capacitat  eines  Schuts- 

riog-CondeDBators  in  absolutem  elektromagnetischem  Mass  .   .   .1177 
A.  Gockel.    Bemerkung    zu   einem    Aufsats    des  Herrn  Duhem,  die 

Peltier'scbe  Wirkung  io  einer  galvanischen  Kette  betreffend  .   .  1178 
E.  Gohn  und  L.  Arons.     Messung  einiger  Dielekiricitätsoonstanten  1178 
L.  Sohncke.    Beiträge  zur  Theorie  der  Lufteiektricitat  (2  Abhand- 
lungen)     1179 

J.  Fröhlich.  Allgemeine  Theorie  des  Elektrodynamometers  ....  1180 
L.  Sohncke.  Entstehung  des  Stroms  in  der  galvanischen  Kette  .  .  llbO 
H.  Hertz.    Ueber  die  Ansbreitungsgescfawindigkeit  der  elektrischen 

Wirkungen 1181 

H.  Hertz.    Ueber  elektrodynamische  Wellen  im  Luftraum  und  deren 

Reflexion 1182 

G.  Quincke.    Elektrische  Untersuchungen.    Ueber  die  magnetischen 

Eigenschaften  der  Gase 1183 

H.  Jahn.    Ueber  die  an  der  Grenzflache  heterogener  Leiter  auftre- 
tenden looalen  Wärraeerscheinungen 1183 

E.  Dorn.    Zur  Bewegung  eines  Magnets  innerhalb  eines  dämpfenden 

MultipHcators 1184 

L.  Arons.     Ueber  den  elektrischen  Ruckstand 1184 

Fr.  Stenger.  Ueber  die  Gesetze  des  Krystallmagnetismus  ....  1185 
H.  E.  J.  G.  du  Bois.    Susceptibilität  und  Verdet'sche  Constante  von 

Flüssigkeiten 1185 

C.  la  Roche.     Untersuchungen   über    die  Magnetisirung   elliptischer 

und  rechtwinkliger  Platten  von  weichem  Eisen 1186 

A.  Hartwich.    Ein  Quadrantenelektrometer  mit  cons tanter  Empfind- 
lichkeit     1187 

Gouy.     Snr  l'^lectrometre  ä  quadrants 1188 

fO.  L.  Weber.    Drei  neue  Methoden  zur  Bestimmung  der  magoeti- 

schen  Inclination 1188 

O.    Wiener.     Gemeinsame    Wirkung    von    Oircularpolarisation    und 

Doppelbrechung 1188 

W.  Weading.    Die  magnetische  Drehung  der  Polarisationsebene  bei 

wachsender  Doppelbrechung  in  dilatirtem  Glase 1190 

fF.  KohlrauBch.    Ueber   den  elektrischen  Widerstand   des  Queck- 
silbers   1191 

J.  D.  Everett.     Physikalische   Einheiten   und  Constanten.    Deutsch 

von  P.  Cfaappois  und  D.  Kreichgauer  .   .    .' 1191 

May  und  Krebs.    Lehrbach  des  JSIektromagnetismus 1191 

R.  Weber.     Aufgaben  aus  der  hUektricitätslehre 1191 

f  0.  J.  Lodge.     Modern  views  of  eleciricity.   II,  111,  IV 1191 

Wm.  Harkness,  A.  W.  Rücker.    On  the  constant  P in  Observation 

of  terrestrial  magnetism 1192 

G.  Adler.    Ut'ber  die    Energie   und    die    Gleich  gewichte  Verhältnisse 

magnetisch  oder  dielektrisch  polarisirter  Körper 1192 

O.  Chwolson.     Ueber  den  zweiten  Kirchhofifschen  Satz 1192 

0.  Chwolson.     Ueber  die  Dimension    der  elektromagnetischen  Ein- 
heit des  elektrischen  Potentials 1192 

A.  Kurz.  Ueber  die  Einführung  in  die  beiderlei  elektrischen  Systeme  1192 
fG.  Jäger.     Folgerungen    aus    den    Eigenschaften   der   elektrischen 

Leitungsfähigkeit  der  Salzlosungen 1192 

fR.  Felici.  Sul  potenziale  di  un  condnttore  in  movimento  ....  1192 
fG.  Ferraris.    SuUe  differenze  di  fase  delle  correnti 1193 


Iiih«ltflver2eiebDi8.  LUX 

SelU 

fA.  Righi.    Stadi  snlla  polarizzazione  rotatoria  magnetica  .   •   •   •   •  11^3 

fH.  HäbaehmaDD.    Die  Rtograoctionen  und  ihre  ADweadong  aaf  die 

elektrostatiBcheD  Probleme  des  Riopfes 1193 

fF.  Paschen.  Qeber  die  sam  FonkeoöbergaDg  in  Laft,  Wasser- 
stoff uod  Eohlensäare  bei  versebiedenen  Drucken  erforderliche 
Potentialdiffereoz 1193 

fE.  Oarthe.  Ueber  die  tagliehe  nnd  jahrliche  Periode  der  Varia- 
tionen der  erdmagnetischea  Kraft  im  Moltkehafen 1193 

fPfa.  Hoff.    Ueber  den  jährlichen  and  täglichen  Gang  der  erdmagne- 

tischen  Kräfte  in  Tiflis 1193 

fA.  Ledne.    Sor    la    p6riode   variable  d'an  coarant  dans  le  circait 

d'on  ^lectro-aimant  de  Faraday 1193 

M.   Piltschikoff.    8ar  la  thöorie  des  anomalies  magn^tiques    .    .   .  1193 

Gapitel  4.    Wärmelehre. 

A.    Mechanische  Wärmetheorie. 

Ph.  Gilbert.    Sur  les  principes  de  la  thermodynaraiqne 1194 

J.  Parker.    Oa  an  extension  of  Oarno('s  theorem 1195 

A.  Lodge.    Note  on  the  diroensions  and  meaning  of  •/,  asnally  call- 

ed  the  meohanical  eqaivalent  of  heat 1195 

A.  Lodge.    Mechanical  eqaivalent  of  heat 1195 

A.  P6rot.     Sar   la  mesare  da  yolame  spdci6qae  des  vapeurs  satu- 

r6e8  et  la  d^termination  de  l'^quivalent  m^caniqae  de  la  cbalenr  1196 
H.  Le  Ghatelier.  Sar  les  fonctions  caract^ristiques  de  M.  Massiea  1196 
P.  Dahem.      Snr  uo  memoire   de  M.  Max  Planck  ayant  poar  titre: 

«Sor  le  principe  de  l'accroisBement  de  Tentropie" 1196 

11.  Brilloain.     Chalear   spöcifiqae   poar    ane    transformation    qaeU 

eonqae  et  thermodynamiqae 1197 

M.  Brilloain.    Note  sar  an  point  de  thermodynamiqae 1197 

fB.  Stankewitsch.   Stadien  aaf  dem  Gebiete  der  kinetischen  Theorie 

der  Körper 1197 

fB.  Stankawitscfa.     Zar  mechanischen  Wärmetheorie 1197 

tN.  Pirogoff.    üeber  das  Virial  der  Kräfte 1197 

P.  de  Heen.    Determination    des    variations    qoe    le    coefficient   de 

frottement  des  solides  ^proave  avec  la  tempöratnre .  1197 

P.  de  Heen.     Determination    des    variations  qae  le  frottement  int^- 

riear  de  Tair  öproave  avec  la  temp^ratore 1197 

Ph.  Gilbert.    Sar  les  relations  entre  les  coefficients  calorim^triques 

d'an  Corps ^ 1198 

P.  de  Heen.    Note  sar  le  travail  moiecalaire  des  liqaidcs  organiqaes  1198 

6.  P.  Grimaldi.     Sar  la  dilatation  thermiqae  des  liquides 1198 

P.  de  Heen.     Note  toachant  an  travail  de  M.  Grimaldi  .Sar  la  dila- 

tabilite  thermiqae  des  liqaides* 1198 

H.  Fritx.  Beiträge  sa  den  Beziehangen  der  physikalischen  Eigen- 
schaften der  i^orper 1199 

A.  Weilen  mann.    Yolamen  and  Temperatar  der  Korper 1199 

O.  Pilling.  Ueber  die  Grosse  der  Molecale  in  Flüssigkeiten  .  .  .  1200 
C.  Pasch  1.     Ueber   die   specifische  Wärme  and  die  inneren  Kräfte 

des  Wassers 1202 

P.  Dobem.    Sar  an  memoire  de  M.  R.  v.  Helmholtz:  ,8ar  la  Variation 

da  point  de  cong^lation' 1203 

J.  Ptfrker.     The  thermodynamics  of  cryohydrates 1203 

P.  H.  Dojes.      Over    eenige    formales,    betrekking   hebbende  op   de 

veranderingen  in  samenstelling  der  oplossingen  etc 1203 

P.  C.  F.  Frowein.  Die  Dissociatiou  krystallwasserbaltiger  Salze  .  1203 
Cki.  ADtoioe.    TensioDS  de  vapears 1204 


ixx  lohAUsverzelchnis. 

8«ite 

P.  Gerber.     Der  absolote  Nullpunkt  der  Temperatur 1204 

B.  Oalitsioe.     Ueber   den  Einfluas  der  Krümmung  der  Oberfl&che 

einer  Flüssigkeit  auT  die  Spannkraft  ibrea  gesättigten  Dampfes  1207 

P.  Dubem      8ur  quelques  propri4t6s  des  diasolutions 120> 

P.  Duhem.  De  Tiofluence  de  la  pesanteur  sur  les  dissolutiooB .  .  .  1208 
Gouy  et  G.  Cbaperon.  L'^quilibre  osmotique  et  la  concentratioo  1208 
Gouy  et  G.  Cbaperon.     Sur  la  concentration  des  dissolotions  par 

la  pesanteur 1208 

Gouy  et  G.  Cbaperon.    Sur  requilFbre  osmotique 1206 

P.  Dubem.    Sur  ta  liqu6faction  de  Tacide  carbonique 1209 

Tb.  Andrews.     On    the    properties    of  matter   in   tbe  gaseous    and 

liquid  States  under  various  conditions 1209 

H.  Pellat.     Application   du  principe  de  Carnot  aux  r^actions  endo- 

tbermiques 1210 

E.  Fucbs.     Ueber  Verdampfbng 1210 

N.  von  Wuicb.    Untersuchungen  über  die  Spannungsverhältnisse  bei 

der  Verbrennung  des  Pulvers  in  gescblossenen  Gefassen .   .    .    .  1211 

E.  Strnad.    Zur  inneren  Ballistik  der  Gescbiitse 1212 

J.  Tobell.     Ueber  den  Wärmeübergang  beim  ScbDoUfeuer  und  den 

EinfluBB  der  kunstlicben  Kühlung 1212 

fA.  Moisson.    Pyrodynamique i    .    .  1212 

B.     Gastheorie. 

L.  Boltzmann.     Ueber   das    Gleichgewicht    der   lebendigen    Kraft 

zwischen  progressiver  und  Rotationsbewegung  bei  Gasmoleculen  1213 
L.  Natanson.  Ueber  die  kinetische  Theorie  unvollkommener  Gase  1213 
L.  Natanson.    Ueber  die  Geschwindigkeit,    mit   welcher  Gase  den 

Mazweirschen  Zustand  erreichen 1214 

L.  Natanson.     Sar  Texplication  d'une  ezp^rience  de  Joule,  d*aprÖ8 

la  tb^orie  cin^Hque  des  gaz 1215 

G.  A.  Hirn.    R^flezions  relatives  ä  la  note  de  M.  Natanson  ....  1215 

A.  Violi.    I/isoterma  dei  gas 1216 

Ch.  Antoine.    Sur  les  variations  de  tempdrature  des  gaz 1217 

P.  G.  Tait.     On    the    mean    free  path  and   the  average  number  of 

collisions  per   particle   per  second  in  a  group  of  equal  spheres  1217 

P.  G.  Tait.    Reply  to  Professor  Boltzmann 1217 

P.  G.  Tait.    Note  on  tbe  motion  of  a  gas  „in  mass* 1218 

S.  H.  Burbury.  Od  the  diffasion  of  gases;  a  reply  to  Prof.  Tait  .  1218 
P.  G.  Tait     On  some  questions  in  tbe  kinetic  theory  of  gases.    Reply 

to  Prof.  Boltzmann 1218 

Burnside.     On  a  simplified  proof  of  Mazwell's  theorem 1218 

t  A.  Y.  Bäcklund.     Bidrag  tili  theorien  for  vagrörelsen  i  ett  gasartadt 

medium.     IM  (Slut) 1218 

C.    Wärmeleitung  und  Wärmestrahlung. 

H.  Poincar6.    Sur  la  throne  analytiqne  de  la  cbaleur 1210 

R.  Wood  ward.     On  the  diffusion  of  heat  in  a  homogeneous  rectan- 

gular  mass 1219 

E.  W.  Hobson.  Synthetical  Solutions  in  tbe  condnction  of  heat  .  .  1220 
H.  Meyer.     Zur    Bestimmung   der    Wärmet  ei  tu  ngafähigkeit    schlecht 

leitender  fester  Körper  nach  absolutem  calorimetriscbem  Masse  1221 
Forchheimer.     Ueber  dio  Erwärmung  des  Wassers  in  Leitungen  .  1222 
H.  F.  Weber.      UnterBucbuniren    über    die    Strahlung   fester    Kor- 
per.    I.  Das  Emissionsgesetz  der  Strahlung 1223 

O.  Tumlirz  und  A.  Krug.      Die  Energie    der  Wärmestrahlung   bei 

der  Weissglut 1225 

E.  Beltrami.     Intoroo  ad  alcuni  problemi  di  propagasione  del  calore  1226 


iDhaltsverEoichDis.  LXXI 

Seite 

Zwölfter  Abschnitt    Geodäsie,  Astronomie,  Meteorologie. 

(Japitel  1.    Geodäsie. 

W.  Jordao.     Haodbacb  der  VermessaogBknDde.    I,  II 1227 

W.  Jeep.     Barruss'  Handbuch  der  Feld-Messkunde 1228 

fv.  Reitzner.     Oraodzüge    der   allgemeineD  praktischen  Geometrie 

und  der  militärischen  Landes-Aufoahme 1229 

fB.  T.  Henchie.     An  elementary  treatise  on  mensuration 1229 

fE.  C.  Boocardo.    Trattato  elementare  completo  di  geometria  pra- 

tica.    18.  19,  20 1229 

fG.  Hiebet.      Die    geometrische  Behandlang    der    topographischen 

Flache 1229 

A    Banle.    Sammlung  von  Aufgaben  der  praktischen  Geometrie    .   .  1229 

Vogler.     Mess-  und  Rechenübungen 1230 

fj.  Marchand.     Problömes    de  g^ometrie  appliqu^s  tl  la  göod^aie 

agraire 1*231 

0.  M.  v.Banernfeind.  Das  Bayerische  Präcisions-Nivelleraeut.  YII.  1231 
Howard  Gore.      Die    geodätischen    Arbeiten    in    den   Vereinigten 

Staaten  7on  Nord-Amerika 1231 

fJ.  Kleiber.  Theorie  der  Ausgleichung  der  Beobachtungen  ....  1232 
fH.  Stadthagen.  Beiträge  zur  Untersuchung  des  Genauigkeits- 
grades astronomischer  Berechnungen 1232 

W.  Jordan.     Ueber  die  günstigste  Gewichtsverteilung.     Der  Schrei- 

ber'sche  Satz 1232 

Halt.     Snr  l*6valaation  des  erreurs  inhärentes  an  Systeme  des  coor- 

donn^ee  rectangulaires 1233 

W.  Jordan.  Genauigkeitsverhältnisse  der  Folygonzug-Messung  .  .  1233 
F.  Siacci.    Sulla  compensazione  delle  poligonali  che  servouo  di  base 

ai  relievi  topografici 1234 

N.  Jadanza.    Sulla  misura  diretta  ed  indiretta  dei  lati  di  una  poli- 

gonale  topografica 1234 

J.  Bisch  off.    Neue  Beziehungen  auf  dem  Geoid 1235 

P.  Pizzetti.  Gli.azimut  reciproci  di  un  arco  di  geodetica  ....  1235 
N.  Jadanza.    Sul  calcolo  degli  azimut  mediante  le  coordinate  retti- 

linee 1235 

fO.  Haenig.     Ueber  Hansen's  Methode,   ein    geodätisches  Dreieck 

auf  die  Kugel  oder  in  die  Ebene  zu  übertraget! 1236 

F.  Zrzavy.     Vereinfachung   des   absoluten  Gliedes   bei  der  Seiten- 

gleichnng  nach  Baeyer 1236 

Gerling.  Die  Pothenol'sche  Aufgabe  in  praktischer  Beziehung  .  .  1236 
De  eher.  Die  einfache  und  die  Doppelpunkteinschaltung  in  Dreiecks- 
netze     1237 

Lorber.     Ueber  die  Winkelsumme   in  Polygonen  mit  Seitendurch- 

schneidungen 1237 

W.  Jordan.    Coordinaten-Umformung  mit  Massstabsänderung    .    .    .  1237 

F.  Zrzavy.    Eine  Bemerkung  zur  Berechnung  der  Höhenunterschiede 

ans  gemessenen  Zenitdistanzen 1238 

Koppe.     Die  Verfahren  der  Ausfuhrung  und  der  Berechnung  baro- 
metrischer Höhenaufnahmen 1238 

J.  M.  Pernter.    Ueber  die  barometrische  Hobenmessformol    ....  1238 

W.  Koppen,    Einfache  barometrische  Höhenformeln 1239 

H.  Poincar6.    Snr  la  figure  de  la  Terre 1239 

M.  L^vy.    Sur  la  th^orie  de  la  figure  de  la  Terre 1239 

G.  W.  Hill.    On  the  interior  Constitution  of  the  Earth 1240 

Gh.  De  fforges.  Sur  la  mesure  de  i'intensite  absolue  de  la  pesaoteur  1240 
Cfa.  Defforges.    Sur  Tintensit^  absolue  de  la  pesanteur 1241 


Lxxn  InhaltsTerstiehais. 

Seite 

N.  Jadanza.    Sollo  spost-ameoto  della  leate  aoallatUca  e  anlla  verti- 

calitä  della  stadia 1241 

Fr.  K  reut  er.      Das  Deae  Tacheometer  aiu  dem  Beichenbach'scheD 

iDBtitnt 1241 

Lorber.     Ueber  Coradi'a  Rugelplanimeter 1242 

Capitel  2.    AstroDomie. 

J.  F.  EDcke.   Oesammelte  mathematische  and  astroBomiflche  Abband- 

langen     Hrsg.  von  Oravelias.    8  Bde 1242 

fS.  P.  Langley.     Tbe  new  astronomy 1243 

fR.  A.  Proctor.     Oid  and  new  astrooomy 1243 

JB.  Caspari.     Cours  d'astronomie  pratiqae.     I,  II 1243 

\ij.  Naccari.     Lezioni  di  astronomia  uantica 1243 

fLoewy  et  P.  Paiseuz.     Theorie  noavelle  de  l'^qaatorial  eood^    .  1243 
fLoewy  et  P.  Paiseax.     Inflaence   de  la  pesantear  sar  lea  coor- 

doonöes  mesur^HS  ä  Taide  des  ^qaatoriaaz 1243 

iE.  Perrin.      D6t«rminatioD    ezacte   de   la  latitnde  et  da  terops  da 

lien  ä  Taide  d'obser^  ations  aa  sextant 1243 

E.  Caspari.     Formale  poor  le  calcol  des  longitades  par  les  chrono- 

ro^tres  .    .    .  * 1243 

tA.  Oermain     Stade  de  la  d^viation  de  la  verticale 1244 

F.  Folie.     Traitö  des  r^ductions  stellaires 1244 

F.  Folie.      Sar    les    formales   de    r^daction    des    circompolairea    es 

ascension  droite  et  en  döclinaison 1244 

F.  Folie.     Note  sar  son  «Trait^  des  rödnctions  stellaires* 1245 

F.  Folie.    Note  sar  la  m^thode  la  plas  stire  pour  d^terminer  la  cob- 

staote  de  l'aberratioo       1245 

F.  Folie  et  J.  Liagre.     Rapport  sar  le  memoire  de  M.  Niesten» 

intital^:  «De  riuflueoce  de  la  natation  diarne*'  etc 1245 

L.  de  Ball.     Determination  de  la  parallaze  relative  de  l'^toile  prio- 

cipale  du  coaple  optiqae  ü  1516  AB 1245 

f  0.  Honnet.     Theorie  de  la  r^fractioo  astronomiqae 1246 

O.  Dziobek.      Die   mathematischen  Theorien    der  Planeten  *  Bewe- 

gangen 1246 

F.  Tisserand.    Sor  nne  ^qaation  diff^rentielle  da  second  ordre  qni 

joae  an  röle  important  dans  la  m^caniqae  Celeste 1248 

F.  Tisserand.    Remarqae  sur  an  point  de  la  tb^orie  des  in^galit^s 

s^calaires 1250 

H.  Brans.     Der  Lambert'sche  Satz 1251 

J.  V.  Hepperger.      Ueber    die    Fortpflanzangsgeschwiodigkeit    der 

Gravitation    * 1251 

A.  Seydler.    Zar  Losang  des  Eepler'schen  Problems 1252 

P.  Harzer.     Üeber   eine  Differentialgleichang   der   Störangstheorie. 

I  n.  II 1253 

P.  Harzer,    üeber  die  Apsidenbewegang  der  Mondbahn 1253 

fM.  Wolf.     Die  Differentialgleichang  der  mittleren  Anomalie.  .    .   .  1253 
N.  Herz.     Notiz  zur  Btörangsrechnong 1254 

G.  Meyer.      Ueber    die    Bestimmang    der    mittleren    ADomalien    in 

Ellipsen  and  Hyperbeln 1254 

H.  Gyld^n.    Ueber  die  Gonvergenz  einer  in  der  Störangstheorie  vor- 
kommenden Reihe 1254 

B.  Baillaad.    Recherches  compl^mentaires  sar  le  döveloppement  de 

la  fonction  pertarbatrice 1255 

H.  A.  Howe.      A  solation  of  Kepler^s  problem  for  plan^tary  orbits 

of  high  eccentricity 1255 

II    de  la  Fresnaye.    Lois  de  Kepler .  125$ 


iDhalUverseichois.  LXXni 

Seite 

F.  Folie  et  J.  Liagre.    Rapport  aar  le  memoire  intitul^ :.  Les  plana 

planötairea  et  T^qnatear  solaire,  par  L.  Niesten 1256 

t  K.  Bohl  in.    En  generalisatioo  af  Laplace's  undersökning  af  libra- 

tionen  i  planetteorien 1256 

fj.  Haywood.    The  Earlh  and  its  chief  motions •  .   .  1257 

BermaDD.     üeber   den   mittleren  Abstand    eines  Planeten  von  der 

Sonne 1257 

O.  Stone.    On  the  mass  of  Titan 1257 

A.  B  erbe  rieh.     Ein  Versncb,   die  Gesamtmasse   und   Ansahl   der 

Planetoiden  zwischen  Mars  and  Japiter  za  ermitteln 1257 

fParmentier.  Distribution  des  petites  planstes  dans  l'espace  .  .  1257 
J.  Kleiber.  Ueber  die  Verteilang  der  Meteore  in  Meteorschwärmen  1257 
Th.  Lohnstein.    Ueber  die  Gleichnngen  v.  Oppolzer's  zur  Bestim- 

mang  der  heliocentrischen  Distanzen  eines  Planeten 1258 

A.  Shdanow.    Theorie  der  intermediären  Bahnen  mit  Anwendung  auf 

die  Bewegung  des  Mondes 1258 

J.  Wostokoff.    Ueber  die  Bestimmung  der  Bahnelemente  aus  drei 

Beobachtungen 1258 

V.  Well  mann.    Die    intermediäre  .Bahn   des   Planeten    (17)   Thetis 

nach  Herrn  Qyld^n's  Theorie 1259 

tB.  Schultz.    Ueber   die   von  Gyld^n  vorgeschlagene  Methode  bei 

der  Bahnbestimmung  des  Mondes 1259 

L.  de  Bali.    Becherches  sur  l'orbite  de  la  plandte  (181)  Eucharis    .  1259 
K.  ▼.  Haerdtl.     Die  Bahn  des  periodischen  Kometen  Winnecke    .   .  1259 
Th.  Lohn  stein.     Ueber  die  Ermittelung  der  geocentrischen  Distan- 
zen eines  Kometen 1260 

H.  J.  Kiaer.    Sur  les  ^quations  servant  ä  d^termiuer  les  formes  des 

qneues  com^taires 1260 

fH.  Kreutz.   Untersuchungen  über  das  Kometensystem  1843  I,  1880  I 

und  1882  II.    Th.  I 1261 

fF.  Hayn.    Bahn-Bestimmung  des  Kometen  1862  III 1261 

fO.  Ericsson.  Definitive  Bahnelemente  des  Kometen  1863  III  .  .  1261 
6.  H.  Darwin.    On  the  mechanical  conditions  of  a  swarm  of  meteo- 

rites  and  on  theories  of  cosmogooy 1261 

fJ.  N.  Lookyer.    Notes  on  meteorites •    .  1262 

fH.  A.  Newton.    On  the  orbits  of  aerolites 1262 

P.  Ubaghs.    Determination  de  la  direction  et  de  la  vitesse  du  trans- 

port  du  Systeme  solaire  dans  Tespace.    II 1262 

F.  Folio  et  Gh.  Lagrange.    Rapport  sur  nn  memoire  de  M.  Bon- 
kar, intitnl^:  Sur  l'influence  du  frottement  etc 1262 

F.  Terby.    Etüde  sur  l'aspect  physique  de  la  planete  Jupiter    .   .   .  1263 

L.  de  Ball.     Masse  de  la  planete  Saturne 1263 

fH.  Seeliger.    Zur  Theorie  der  Beleuchtung   der  grossen  Planeten, 

insbesondere  des  Saturn 1263 

P.  Stroobandt.  fitude  sur  le  satellite  ^nigmatique  de  Y^nus  .  .  .  1263 
A.  Laues edat.    Memoire  sur  la  mMhode  graphique  des  projections 

appliqu6e  i  la  construction  des  cartes  des  ^clipses 1263 

Annaes  do  Observatorio  do  Rio  de  Janeiro.    III.  18S8 1264 

F.  Tiiserand.    Sur  un  point  de  la  th^orie  de  la  Lune 1265 

fTb.  V.  Oppolzer  und  R   Schräm.     Zum    Entwurf   einer    Mond- 
theorie gehörende  Eutwickelung  der  Differentialquotienten  .   .    .  1265 

H.  Thurein«    Elementare  Darstellung  der  Mondbahn 1265 

M.  O.  Armelin.    R^forme  du  calendrier 1266 

Capitel  3.     Mathematische  Geographie  und  Meteorologie. 

J.  Gallenmüller.    Elemente   der   mathematischen    Geographie   und 

Astronomie 1266 

Fortaehr.  d.  Math.  XX.  3.  F 


Lxxiv  iDhaltBverzeichDis. 

Seit« 

M.  Fiorini.    Le  projezioni   quaotitative   ed    equivalenti  della  carto* 

grafia 1267 

E.  Oekinghaas.     Ueber  die  Lage  der  Mondsichel  gegeo  den  Hori- 
zont des  Beobachters 1267 

O.  Fish  er.     On  the  aniount  of  the  elevations  attributable  to  com^ 
pression    tbrough    the    contraction   during    cooliug   of  a    solid 

Earth 126« 

O.  Fi  eher.    On  the  meau  height  of  the  surface-elevations 1268 

T.  Meilard  Reade.    The  geological  consequences  of  tbe  discovery 

of  a  level  of  no  strain  in  a  cooliog  globe 1269 

T.  Mellard  Reade.     Tidal  action  as  an  agent  of  geological  chauge  1269 

J.  Le  Conte.     Mountain  formation 1269 

T.  Mellard  Reade.    Moantain  formation 1269 

E.  Weihrauch.    Neue  Untersuchungen  über  die  Bessel'sche  Formel 

und  deren  Verwendung  in  der  Meteorologie 1270 

N.  Ekholm.     Zur  Ableitung   einer   periodischen   Function  ans  einer 

Reihe  nach  gleichen  Zeitintervallen  beobachteter  Grössen  .  .  .  1271 
J.  Kleiber.  Ueber  die  Abrundungs-Fehler  meteorologischer  Zahlen  1272 
P.  Schreiber.    Zur    Frage    der  Herleitung  wahrer  Tagesmittel  der 

Lufttemperatur  aus  drei-  resp.  viermaligen  Beobachtungen  .  .  .  1273 
N.  Ekholm.     Ueber  einige  Methoden  für  Wolkenmessnngen   ....  1273 

G.  Egidi.     Intorno  alla  direzione  e  velocltd  delle  nubi 1273 

0.  Fr  öl  ich.     Ueber  das  Gesetz  der  Absorption  der  Sonnenwärme  .  1274 

W.  Zenker.     Ueber  die  Absorption  der  Sonnenwärme 1274 

V.  Wellmann.     Ueber  die  Wärmestrahlung  der  Sonne 1274 

H.  Y.  Helmholtz.     Ueber  atmosphärische  Bewegungen ^1274 

W.  V.  Bezold.     Zur  Thermodynamik  der  Atmosphäre 1276 

A.  Oberbeck     Ueber  die  Bewegungserscheinnngen  der  Atmosphäre  1278 

F.  Roth.     Die  Anwendbarkeit   der    Gleichung   der   lebendigen  Kraft 

auf  die  Luftwirbel 1279 

M.  Möller.     Ueber  Verluste  an  äusserer  Energie   bei  der  Bewegung 

der  Luft 1279 

G.  Petit.    Exp(^rieuces  de  M.  Cb.  W^eyher  sur  les  tourbillons  a^riens 

et  les  spheres  tournautes 1280 

A.  Sprung.    Ueber  die  verticale  Abnahme  des  Luftdruckes  und  der 

Temperatur 1280 

Linss.  Ueber  die  Geschwindigkeit  aufsteigender  Luftströme  ....  1281 
L.  Sohncke.     Gewitterelektricität  und  gewöhnliche  Luftelektricität  .  1281 

W.  König.     Ueber  den  Druck  in  Wasserbläscheu 1281 

fG.  Grassi.     Sul  calcolo  della  temperatura  di  regime  negli  essiccatoi  1282 


Anhang. 

W.  Läska.     Sammlung   von    Formeln    der   reinen   und  angewandten 

Mathematik.    I,  II,  III  1 12i<3 

fH.    C.    E.   Maitus.    Mathematische   Aufgaben   zum   Gebrauche   an 

höhereu  Lehranstalten.     I 1286 

fP.  T.  Foldberg.  Mathematiske  Ezamenopgaver  fra  Adgangsezamen 

til  Polytekuisk  Laereanstalt 1286 

fj.  M.  Dyer  and  R.  Prowde-Smith.     Mathematical  ezamples  pure 

and  mixed 1287 

fP.  D.  Micha ud.     Vademecum  du  math^maticieu.     I 1287 

1).  Biddle.     A  brief  explanation  of  the  advantages  to  be  derived  from 

using  the  „Aid  to  approximate  calculation*" 1287 

fA.  M.  Neil.    Fünfstellige  Logarithmen 1288 


InhaltsTerseicbDia  LXXY 

Seit« 

fL.  SchröQ.    Siebenstellige   gemeiue    Logarithmen   der  Zahlen  von 

2— lOtiOOO  und  der  Sinus  etc 1288 

fP.  Andrö.    Nou?eUee  tablee  de  iogarithmes  ä  sept  d^cimalea  .    .   .  1288 

fLalande.    Tables  de  logaritbmeB  i  cinq  decimales 1288 

J.  Biater.  Table  des  quarts  de  carr68  de  tous  les  nombres  entiers 
de  1  Ä  20000,  etc.  Publice  avec  la  coUaboration  de  A.  Stein- 
hauser     1288 

J.  Biater.  La  mnltiplication  et  la  division  rendues  rapides  et  faci- 
les  par  la  Table  de  calcul   etc.     Avec    la   coUaboration    de   A. 

Steinhauser 1288 

fG.  Bernard i.     Tavole  dei   quadrati  e  cubi  dei  numeri  interi  da  1 

a  1000 1288 

fTh.  Sloudsky.     WiBsenschaftliche  Arbeiten  von  A.  W.  Letnikoff  .  1288 
fDas  sweihundertjahrige  Jubiläum  des  Erscheinens  von  Newton's  Phi- 

losophiae  Naturalis  Principia  Mathematica 1289 

fN.  Umoff.    Dem  Andenken  Clerk  Maxwell's 1289 

Fromter.    Lehrbuch  der  Grundrechnungsarten 1289 

R   Mehmke.    Do  knläd. kalamas 1289 

fR.  Mehmke.    Teorems  nulik  dö  kolienat 1290 

tJ-   Krea.    Der   Gebrauch    des    Rechenstabes    bei    perspectivischeu 

Zeichnungen 1290 

M.  Sibiriakoff.    älöments  des  Mathteatiques 1290 

Th.  Barmuth.    Teztgleichungen  geometrischen  Inhalts 1290 

W.  J.  C.  Sharp.    On  simplicissima  in  space  of  n  dimensions   .    .    .  1290 
E.  Neovius.     Ueber  eine  specielle  geometrische  Aufgabe  des  Mini- 
mums  1290 

E.  Biecke.  Ueber  die  scheinbare  Wechselwirkung  von  Ringen, 
welche  in  einer  iucompressiblen  Flüssigkeit  in  Buhe  sich  be- 
finden    1291 

A.  Brill.     Ueber  die  Modellsammlung  des  mathematischen  Seminars 

der  Universität  Tübingen 1291 

A.  Brill.     Das  mathematisch  physikalische  Seminar 1291 

fL.  Brill.     Katalog  mathematischer  Modelle 1291 

0.  Crooe.    £n  engelsk  Integrator 1291 


Verzeichnis 

der  Herren,  welche  für  den  zwaneigsten  Band  Referate 

geliefert  haben. 

(Die  Verantwortlichkeit  für  den  Inh&It  der  Referate  tragen  die  Herren  Refe- 
renten.   Die  in  Klammem  gesetzten  Chiffem  bezeichnen  die  Uebersetzer  der 

in  fremder  Sprache  eingesandten  Referate.) 


A.    Herr 
Bb.      ^ 


Bk. 
Bm. 

Bx. 

Cly. 
Dn. 
Dz. 

E. 

E.K. 

El. 

F. 

F.K. 

G. 

Gbs. 

Glr. 

Gr. 

H. 

Hk. 

Hr. 

Ht. 

Hz. 

K. 
Js. 
Kr. 
La. 

Lbg. 


I» 


1» 


0 


9 


Prof.  August  in  Berlin. 

Professor  Bobylew  in 

St.  Petersburg. 

Dr.  Buka  in  Charlottenburg. 

Prof.  V.  Braunmühl  in 

München. 

Dr.  Bendixson  in  Stock- 
holm. 

Prof.  Cayley  in  Cambridge. 

Dickstein  in  Warschau. 

Dr.  Dziobek  in  Char- 
lottenburg. 

Prof.  G.  Eneström  in 

Stockholm. 

Dr.  E.  K  Ott  er  in  Berlin. 

Prof.  Engel  in  Leipzig. 

Dr.  Faerber  in  Berlin. 

Dr.  F.  Kutter  in  Berlin. 

Prof.  van  Geer  in  Leiden. 

Assist.  Prof.  Gibson  in 

Glasgow. 

Prof.  Glaisher  in  Cam- 
bridge. 

Prof.  Günther  in  München. 

Prof.  Hoppe  in  Berlin. 

Prof.  Hauck  in  Berlin. 

Prof.  Harn  burger  in  Berlin. 

Dr.  Hilbert  in  Königsberg 

i.  Pr. 

Prof.  Hurwitz  in  Königs- 
berg i.  Pr. 

Dr.  Kobb  in  Stockholm. 

Dr.  Jolles  in  Aachen. 

Prof.  Krazer  in  Strassburg. 

Prof.  Loria  in  Genua. 

Prof.  Lorberg  in  Bonn. 


9 


Lg.  Herr 

Lp.      n 

Ls. 

M. 

Mi. 

Mn. 

Ms. 


My. 
Mz. 

N. 

No. 

P. 

P.G. 

R.  M. 

Sbt 

Schg. 

Sehn. 

Seht. 

Sn. 

St. 

Std. 

T. 

Tn. 

Tx. 
V. 

Vi. 
Wi. 

Wn. 


v 


w.st. « 

Wz.     . 


Dr.  Lange  in  Berlin. 
Prof.  Lampe  in  Berlin. 
Lazarus  in  Hamburg,  (f) 
Prof.  F.  Müller  in  Berlin. 
Dr.  Michaelis  in  Berlin. 
Prof.  Mansion  in  Gent. 
Dr.  Mestschersky  in 

St.  Petersburg. 
Prof.  F.  Meyer  in  Clausthal. 
Dr.  Maynz  in  Ludwigslust. 
Prof.  Neu  mann  in  Leipzig. 
Prof.  Netto  in  Giessen. 
Dr.  Petzold  in  Hannover. 
Dr.  P.  Günther  in  Berlin. 
Dr.  R.  Müller  in  Berlin. 
Dr.  Siebert  in  Gross- 

Lichterfelde. 
Dr.  Schlegel  in  Hagen. 
Prof.  Schumann  in  Berlin. 
Prof.  Schubert  in  Hamburg. 
Dr.  P.  Simon  in  Berlin. 
Dr.  Stäckel  in  Halle  a.  S. 
Prof.  Studnicka  in  Prag. 
Dr.  Toe plitz  in  Breslau. 
Prof.  Treutlein   in 

Karlsruhe. 
Prof.  Teixeira  in  Porto. 
Dr.  Valentiner  in  Kopen- 
hagen. 
Dr.  Vivanti  in  Mantua. 
Prof.  A.  Wassilieff  in 

Kasan. 
Prof.  Wangerin  in 

Halle  a.  S. 
Prof.  W.  Stahl  in  Aachen. 
Dr.  Weltzien  in  Berlin. 


Briefe  und  Zusendongen  erbitten  wir  entweder  durch  Yermittelung 
der  Verlagshandlung  oder  unter  der  Adresse: 

Professor  Dr.  Lampe,  Berlin  W,  KurfQrstenstr.  139. 


Erster  Abschnitt. 

Geschichte  und  Philosophie. 

Capitel  1. 

Geschichte. 

A.    Biographisch  -  Literarisches. 
W.  W.  RoüSE  Ball.      A   short  account  of  the  historj 

of   Mathematics.      London.  Macmillan  and  Co.  XXIII +  464  8. 

Nach  der  Absicht  des  Verfassers  soll  diese  Geschichte  ftir 
alle  Leser  verstftDdlich  sein,  welche  nur  die  Elemente  der  Mathe- 
matik kennen,  und  bei  der  Anführung  der  Resultate  ist  meistens 
die  neuere  Bezeichnungsweise  benutzt  worden.  Wie  die  Vorrede 
ausdrücklich  hervorhebt,  ist  daher  das  Buch  vornehmlich  eine 
Compilation  aus  vorhandenen  Werken,  und  der  Entwickelung 
der  Mathematik  neuerer  Zeit  ist  eine  nur  dürftige  Behandlung 
zugefallen.  So  weit  es  indes  reicht,  scheint  es  uns  sorgfältig  zu 
sein  und. ist  ohne  Frage  sehr  interessant.  Die  erste  Periode,  zu 
welcher  das  Capitel  I  über  die  egyptische  und  phönizische  Ma- 
thematik die  Einleitung  bildet,  umfasst  die  Mathematik  unter 
griechischer  Führung  vom  Auftreten  des  Thaies  um  600  v.  Gh. 
bis  zur  Einnahme  von  Alexandrien  durch  die  Muhamedaner  641 
D.  Gh.  In  dieser  Periode  werden  die  ionischen  und  pythagorei- 
schen Schulen  besprochen,  die  Schulen  von  Athen  und  Gyzicus, 
die  erste   und  die  zweite  Alexandrinische  Schule,    endlich  die 

ForUchr.  d.  Math.  XX.  1.  1 


2  I-  AbschDitt.    Geschichte  nod  Philosophie. 

Byzantinische  Schule  (v.  641-1453)  als  die  Hflterin  der  Werke 
der  griechischen  Mathematiker.  In  einem  besonderen  Gapitel 
am  Ende  dieser  Periode  werden  auch  die  verschiedenen  Systeme 
der  Zahlzeichen  betrachtet,  welche  durch  die  sogenannten  arabi- 
schen verdrängt  wurden.  Die  *zweite  Periode  ist  die  Mathematik 
im  Mittelalter  und  während  der  Renaissance.  Nach  einem  Ca- 
pitel  Aber  das  Erstarken  der  Bildung  im  westlichen  Europa  folgen 
andere  über  die  Mathematik  der  Araber,  Qber  die  Einftkhrung 
arabischer  mathematischer  Werke  in  Europa,  Über  die  Entwicke- 
lung  der  Arithmetik  bis  zum  Jahre  1637,  über  die  Mathematik 
der  Renaissance  und  beim  Ende  derselben.  Die  dritte  Periode 
behandelt  die  neuere  Mathematik  unter  den  Capitel-Ueberschriften : 
Charakter  'der  neueren  Mathematik,  Geschichte  der  Mathematik 
von  Descartes  bis  Huygens,  Leben  und  Werke  Newton's,  Leibniz 
und  die  Mathematiker  der  ersten  Hälfte  des  achtzehnten  Jahr- 
hunderts, Lagrange,  Laplace  und  ihre  Zeitgenossen,  endlich  die 
jüngste  Zeit.  Obgleich  dieses  letzte  Capitel  kaum  etwas  anderes 
als  ein  Verzeichnis  von  Namen  ist,  so  bildet  das  Buch  als  Ganzes 
eine  anerkennungswerte  Einführung  in  die  Geschichte  der  Mathe- 
matik.   Sein  Wert  wird  erhöht  durch  ein  Inhaltsverzeichnis  und 

eine  Liste  von  Werken  über  die  allgemeine  Geschichte  der  Mathe- 

• 

matik  oder  über  lange  Perioden  in  jener  Geschichte.  (Ausführ- 
liche Anzeige  in  Nature  XXXIX.  265-268).  Gbs.  (Lp.) 


V.  ßoBYNiN.     De  r£tude  sur  Thistoire  des  matbdmatiques 

en    Russie.      Bibl.  Math.  (2)  II.  103-110. 

Der  Verfasser  berichtet  hier  über  die  Entwickelung  des 
mathematisch-historischen  Studiums  in  Russland.  Die  ersten  hier- 
auf bezüglichen  Schriften  wurden  in  der  ersten  Hälfte  des  XVIII. 
Jahrhunderts  publicirt.  Aber  bis  auf  das  letzte  Decennium  un- 
seres Jahrhunderts  waren  die  Arbeiten  über  Geschichte  der 
Mathematik  in  Russland  qualitativ  und  quantitativ  unbedeutend; 
es  finden  sich  darunter  fast  nur  Uebersetzungen  deutscher  und 
französischer  Werke  oder  Compilationen  ohne  Benutzung  der 
Quellen.      Während  der  letzten   Jahre   hat  jedoch  in  Russland 


Capitel  1.     Geschichte.  3 

ein  eingehendes  Studium  der  Geschichte  der  Mathematik  begonnen, 
und  eine  besondere  Zeitschrift  für  dies  Studium  ist  im  Jahre 
1885  gegrfindj^t.  Zwar  ist  die  Anzahl  der  russischen  Forscher 
auf  diesem  Gebiete  noch  sehr  klein,  aber  man  darf  die  Hoffnung 
hegen,  dass  sie  allmählich  grösser  werden  wird.  E. 


J.  H.  Graf.  Geschichte  der  Mathematik  und  der  Natur- 
wissenschaften in  bernischen  Landen  vom  Wiederauf- 
blühen der  Wissenschaften  bis  in  die  neuere  Zeit. 
Erstes  Heft:  XVI.  Jahrhundert.  Bern.  K.J.  Wysa.  iö88.  8«. 
82  s.     Zweites  Heft:    XVII.  Jahrhundert.      Bern  u.  Basel. 

K.  J.  WysB   1889.  8o.  102  8. 

Aus  dem  genaueren  Studium  der  Leistungen  der  Naturfor- 
schenden Gesellschaft  zu  Bern  während  der  ersten  hundert  Jahre 
ihres  Bestehens  (1786-1886)  erwuchs  dem  Verfasser  allmählich 
Absicht  und  Stoff  zu  einer  ausführlichen  Darstellung  des  oben 
genannten  Gegenstandes  für  das  eine  der  vier  culturellen  Haupt- 
centren der  Schweiz.  Freilich  würde  man  eine  „Geschichte"  ver- 
geblich suchen;  die  zwei  Hefte  enthalten  wesentlich  dankenswerte 
Beiträge  zur  Geschichte  des  bernischen  Schulwesens,  zur  Bio- 
graphie und  Würdigung  einzelner  um  mathematische  Lehrweise 
und  Schriftstellerei,  sowie  um  bernische  Topographie  und  Ealen- 
derfabrikation,  um  Landwirthschaft  und  Natur-,  besonders  Pflan- 
zen- und  Alpenkunde  verdiente  Männer  (Braufels,  Aretius,  Schöpf, 
V.  Graffenried,  Rosius,  Rhagor  u.  a.).  Rückblicke  auf  die  Ge- 
schichte der  Akademie  zu  Lausanne  beenden  jedes  der  Hefte. 

Den  zwei  vorliegenden  Heften  sollen  je  zwei  weitere,  das 
18.  und  19.  Jahrhundert  behandelnde  folgen.  Tn. 


Chambkrs's    Ency clopaedia :    a    dictionary    of    universal 

knoV?)edge.      London.    William  and  Robert  Chambers. 

« 

Anzeige  in  Nature  XXXVII.  604.  Als  Verfasser  der  Ar- 
tikel Atomtheorie  und  Atom  werden  bzw.  Crum-Brown  und  Tait 
genannt.  _     _    _  Lp. 


4  I*  AbscbDitt.    Geschichte  und  Philosophie. 

G.  Enbström.  Questions  19,  22.  Dänische  Gesell- 
schaft DER  Wissenschaften.»  Question  20.  P.  Man- 
siON.      Question  21.      W.   W.  Beman.      Questton  23. 

Bibl.  Math.  (2)  IL  32,  63-64,  96,  120. 

Anfragen  über  verschiedene  Punkte  der  Geschichte  der  Mathe- 
matik.   (Vgl.  F.  d.  M.  XIX.  1887.  23). 

19)  Es  wird  gefragt,  ob  irgend  ein  arabischer  oder  jüdischer 
Mathematiker  des  Mittelalters  über  den  baculus  geometricus  ge- 
schrieben hat. 

20)  Preisfrage  über  das  Verhältnis  zwischen  der  griechischen 
und  der  arabischen  Mathematik. 

21)  Ueber  die  Anwendung  von  Buchstaben  vor  Newton  (ohne 
4-  oder  — ),  um  sowohl  positive  als  negative  Grössen  zu  be- 
zeichnen. 

22)  Ueber  die  Formel,  welche  die  Fläche  eines  sphärischen 
Dreicks  ausdrückt. 

23)  Ueber  die  erste  Anwendung  des  Buchstabens  e  für  2,7 18. . . 

E. 

P.  RiccARDi.      Saggio    di    iina   Bibliografia   Euclidea  I. 

Bologna  Mem.  (4)  124  S.  4*. 


J.  L.  Heiberg.     Euclidis  elementa,  vol.  V  der  Ausgabe: 
Euclidis  opera  oinnia  ed.  Heiberg  et  Menge.     Bibl.  Script. 

Qrnec.  et  Romao.  TeubDeriaoa.    Leipzig  1888.  CXIII -h  738  S. 

Nachdem  Heiberg  1880  und  81  in  drei  Bänden  der  Teubner'- 
sohen  Sammlung  die  sämtlichen  Werke  Archimeds  kritisch  gesichtet 
herausgegeben  und  mit  lateinischer  Uebersetzung  begleitet  hatte, 
machte  er  sich  in  unermüdlicher  und  gleich  dankenswerter  treuer 
Arbeit  daran,  seit  1883  auch,  im  Verein  mit  Menge,  die  Gesamt- 
werke Euklids  in  gleicher  Gestalt  zu  veröflfentlichen.  In  den 
früheren  Bänden  dieses  Jahrbuches  (XV,  2;  Xyi,  6;  XVIII,  4) 
wurde  über  die  vier  ersten  Bände  dieser  Ausgabe  berichtet;  jetzt 
liegt  der  ebenfalls  von  Heiberg  allein  bearbeitete  fünfte  Band 
vor.     Derselbe  enthält  das  sog.  14.  und  15.  Buch  der  Elemente 


Capitel  1.    Geschichte.  5 

und  (S.  69-677)  bloss  griechisch  die  aus  12  Handschriften  ent- 
nommenen, aber  von  Ober  50  vesschiedenen  Händen  geschriebenen 
Scholien  za  den  13  ^ttcherji,  dann  (S.  679 ff.)  in  vier  Anhängen 
weitere  neuere  Scholien  zum  14.  und  15.  Buch  und  LesefrQchte 
zu  den  früheren  Büchern.  Einen  wichtigen  Bestandtteil  des 
Buches  bilden  die  schon  zum  3.  und  4.  Band  versprochen  gewe- 
senen ^Prolegomena  critica",  welche  in  vier  Capiteln  auf  bezw. 
28,  25,  22,  16  Seiten  davon  handeln:  1)  Quibus  auctoribus  de 
editione  Theonis  judicari  possit,  2)  De  recensione  Theonis,  3)  De 
interpolationibus  erroribusque  ante  Theonem  ortis,  4)  De  Elemen- 
torum  apud  occidentales  fatis.  Benützung,  Ursprung  und  Alter 
der  Scholien^  sowie  teilweise  frühere  Veröffentlichungen  derselben 
zu  besprechen  behält  sich  der  Verfasser  für  eine  andere  Gelegen- 
heit vor.  Tn. 

S.  A.  Christknsen.     Om  Ligninger  i  10^®  Bog  af  Eiiclids 

Elementer.      Zeuthen  T.  (5)  vi.  161-192.     • 

Der  Verfasser  bat  über  das  zehnte  Buch  der  Elemente  eine 
Abhandlung  geschrieben,  welche  von  der  Eopenhagener  Univer- 
sität preisgekrönt  ist.  Die  in  der  Zeitschrift  veröffentlichte  Ar- 
beit ist  ein  Auszug  aus  derselben. 

Es  wird  nachgewiesen,  dass  Euclid  im  zehnten  Buch  nur 
solche  Irrationalitäten  discutirt  hat,  die  bei  der  Lösung  von  Glei- 
chungen zweiter  und  vierter  Ordnung  vorkommen.  V. 


R.  T.     Gr.eek  Geometry.    Natare  xxxvii.  78-79. 

Im  Anschluss  an  eine  Notiz  in  Nature  XXXIV.  548  über 
Dr.  AUman's  „Greek  geometry  from  Thaies  to  Euclid^  wird  der 
Anteil  erörtert,  welcher  dem  Theaetetus  an  den  Elementen  des 
Euclid  zukommt.  In  den  Büchern  X  und  XII  hauptsächlich  wird 
sein  Einfluss  nachgewiesen.  Lp. 


H.  Narducci.     Sur  Toptique  de  Claude  Ptolöm^e. 

Bibl.  Math.  (2)  U.  98-102. 


6  I.  Abschnitt.    Geschichte  und  Philosophie. 

Eine  lateinische  Uebersetzung  der  Optik  des  Ptolem&us  ist 
bekanntlich  im  Jahre  1885  von  Govi  herausgegeben,  worin  der 
Herausgeber  als  Einleitung  viele  bibliographische  Notizen  aber 
die  Arbeit  gegeben  hat.  Zu  diesen  fügt  Herr  Narducci  in  der 
oben  genannten  Kote  die  BemerkuDg,  dass  in  Krakau  ein  bisher 
unbekanntes  Manuscript  der  lateinischen  Uebersetzung  befindlich 
ist,  das  aus  dem  XIV.  Jahrhundert  herstammt,  und  teilt  einen 
unedirten  Abschnitt  aus  Baidi's  „Vite  de  Matematici*^  mit,  der 
über .  die  Optik  des  Ptolemäus  handelt.  Hieraus  geht  hervor, 
dass  schon  im  XVI.  Jahrhundert  eine  Ausgabe  der  Optik  von 
der  Akademie  „della  Fama^  in  Venedig  in  Aussicht  gestellt  war. 
Herr  Narducci  commentirt  dann  n&her  das  abgedruckte  Brach- 
stttck  von  Baldi.  -  £. 


P.  Tannbry.    fitudes  sur  Diophante.    IV.   Bibl.  Math.  (2)  ii. 

3-6. 

Fortsetzung  der  im  vorigen  Jahrgangs  der  Biblioth.  Math. 
(Vgl.  F.  d.  M.  XIX.  1887.  6)  begonnenen  Studien  über  Dio- 
phant.  Herr  Tannery  behandelt  hier  die  unbestimmten  algebrai- 
schen Aufgaben  der  drei  letzten  Bücher  von  Diophant's  Arith- 
metik, in  denen  aber  keine  eigentlich  neuen  Substitutionsmethoden 
enthalten  sind.  Nur  das  sechste  Buch  bietet  etwas  von  grösserem 
Interesse;  es  handelt  sich  bekanntlich  darum,  rationale  rechtwink- 
lige Dreiecke  zu  bestimmen,  deren  Seiten  gewissen  Bedingungen 
genügen.  Herr  Tannery  zeigt,  dass  die  Aufgaben  wesentlich 
dahin  reducirt  werden  können,  entweder  die  Form  oder  die  Scala 
(icheile)  des  Dreiecks  zu  finden.  *         E. 


J.  8.  Mackay.     Pappus  on  the  progressions.    Bdiob.  M.  s. 

Proc.  VI.  48-58. 

Eine  Uebersetzung  des  zweiten  Teiles  des  dritten  Buches 
von  Pappus'  „Mathematischer  Sammlung".  Progression  ist  als 
Uebersetzung  von  fisaoTijg  gebraucht.  Gbs.  (Lp.) 


Gapitel  1.    Qeschichte.  7. 

E.  Sachau.  Al-Blrünt  An  account  of  the  religion, 
pbilosophy,  literatare,  chronology,  astronomy,  customs, 
law,    and    astrology    of    India    about    A.    D.     1030. 

London.  Trubner  and  Co.  (1867). 

Anzeige  in  Nature  XXXVIII.  97-98.  Lp. 


M.  Steinschneider.      Jnsuf   ben   Ibrahim    und    Ahmed 

ben    Jusuf.      Bibl.  Math.  (2)  li   49-52,  UM  17. 

Als  Einleitung  zur  Notiz  über  den 'Mathematiker  Ahmed  ben« 
Jusuf  giebt  Herr  Steinschneider  Auskunft  über  den  Vater  des 
Ahmed  Jusuf  ben  Ibrahim.  Dieser  lebte  im  IX.  Jahrhundert  in 
Bagdad,  Damaskus  und  Eahira;  unter  seinen  Schriften  werden 
auch  „Erzählungen  von  den  Astronomen^  genannt,  aber  Herr  Stein- 
schneider hält  es  für  möglich,  dass  hier  der  Vater  mit  dem  Sohne 
verwechselt  ist. 

Was  den  Sohn,  Ahmed  ben  Jusuf,  betrifft,  so  lebte  er  in 
Aegypten  in  der  ersten  Hälfte  des  X.  Jahrhunderts;  als  sein 
Todesjahr  giebt  Hagi  Ehalfa  945  an.  Herr  Steinschneider  yer- 
zeichnet  9  Schriften  von  ihm;  die  erste  ist  der  „Liber  de  pro- 
portionibus*^,  der  in  einer  Handschrift  fälschlich  dem  Ahmed  ben 
Musa  zugeschrieben  wird.  Unter  den  übrigen  Schriften  Ahmed's 
finden  sich  ein  Commentar  zum  „Gentiioquium^  des  Ptolomäus  und 
ein  Aufsatz  „De  arcubus  similibus''.  E. 


M.  Cantor.     Ahmed  und  sein   Buch   über   die  Propor- 
tionen.    Bibl.  Math.  (2)  II.  7-9. 

Der  Verfasser  lenkt  die  Aufmerksamkeit  auf  ein  von  Leo- 
nardo Pisano  citirtes  Buch  des  „Ametus  filius*'  über  die  Propor- 
tionen, worin  die  sogenannte  „figura  cata''  (d.  i.  der  Satz  des 
Menelaus  von  den  sechs  Abschnitten  der  Dreiecksseiten,  die  durch 
eine  Transversale  geschnitten  sind)  behandelt  ist.  Ob  dieser 
„Ametus  filius^  mit  Ahmed  ben  Musa  oder  Ahmed  ben  Jusuf 
identisch  ist,  lässt  Herr  Gantor  unbestimmt.    Dagegen  erklärt  er 


8  •  J.  AbBchnitt.    Geschichte  nod  Philosophie. 

die  Notiz  Leonardo's,  dass  Ahmed  18  verschiedene  AnordnaDg'en 
der  „figara  cata^  aufgestellt  hatte,  für  richtig,  indem  er  bemerkt, 
dasB  sie  eine  Proportion  zwischen  sechs  Grössen  angiebt,  und 
zeigt,  dass  diese  Proportion  auf  18  verschiedene  Weisen  geschrie- 
ben werden  kann.  £. 

M.  Steinschneider.      Etudes   sur   Zarkali   (Appendice). 

Bonc.  Ball.  XX.  575-604. 

Giebt  auf  Grund  neu  aufgefundener  Handschriften  Ver- 
besserungen und  Zufügungen  zu  den  Aufsätzen,  welche  in  Bonc. 
JBull.  XIV,  XVI,  XVII,  XVIII  (seit  1881)  Ober  den  gleichen 
Gegenstand  veröffentlicht  sind.  Tn. 


P.  RiccARDi.     Ancora  del  trattato    „De   quadratura  cir- 
culi^  di  Giovanni  Battista  della  Porta.    BoDc.BalLXX.605r. 

Bezieht  sich  auf  eine  Meinungsverschiedenheit  zwischen  dem 
Verfasser  und  Favaro,  Bibliographisches  betreffend.        Tn. 


H.  Weissenborn.     Gerbert.     Beiträge  zur  Kenntnis  der 
Mathematik  des  Mittelalters.      Mit  6  Figuren  -  Tafeln. 

Berlin.  Mayer  u.  Malier.  1888.  VI  n.  251  S. 

Auf  die  Kritik  der  „Geometrie  des  Boetius'  (1879)  folgt 
hier  von  demselben  Verfasser  die  der  „Geometrie  Gerberts*: 
diese  rühre  gar  nicht  her  von  Gerbert,  sondern  bestehe  aus  „drei 
weder  ein  zusammenhängendes  und  zusammengehöriges  Ganzes 
bildenden  noch  von  einem  und  demselben  Verfasser  herrfihren- 
den  Stücken''  —  dies  ist  das  Hauptergebnis  der  Untersuchung, 
und  hiermit  geht  der  Verfasser  weit  über  Olleris  und  Friedlein 
hinaus,  von  welchen  jener  (1867)  die  Echtheit  der  Geometrie 
bezweifelt,  dieser  (1867)  in  ihr  drei  Teile  unterschieden  hatte, 
deren  mittlerer  noch  am  ehesten  auf  Gerbert  zurOckfÜhrbar  sei. 
An  diese  Hauptuntersuchung  reihen  sich  an,  wesentlich  um  jene 
zu  stützen,  drei  wesentliche  Teiluntersuchungen,  die  alten  Mess- 
methoden und  Messinstrumente  (S.  96—168),   die   sog.  comple- 


Capitel  1.    Geschichte.  •  9 

meotftre   Maltiplication  (S.  169 — 208)  und  endlich   das  Rechen- 
brett und  das  Bechnen  bei  Gerbert  (S.  209—239)  behandelnd. 

Tn. 


G.  Eneström.      Sur    trois   petits    trait^s  math^matiques 
attribuds  au  savant  su^dois  Peder  Mansson.   Bibl.  Math. 

(2)  IL  17-18. 

Der  schwedische  Bischoff  Peter  Mänsson  (f  1534)  hat  ein 
eigenhändiges  Manuscript  nachgelassen,  worin  u.  a.  drei  kleine 
mathematische  Aufsätze  sich  finden.  Man  hat  bisher  geglaubt; 
dass  diese  von  Mänsson  verfasst  sind,  aber  Herr  Eneström  weist 
nach,  dass  sie  nur  Excerpte  aus  der  ^Margarita  philosophica'' 
von  Beisch  sind.  £. 


A.  Favaro.      Di   alcuni    nuovi   materiali    per  lo  studio 
dd  carteggio   (li  Ticona  Brahe   e  delle  sue  relazione 

« 

COn    Galileo.      Ven.  ist.  Attl  03)  VII.  199-215. 

Tycho  Brahe  wollte  seinen  Briefwechsel  selbst  herausgeben 
in  mehreren  Bänden;  aber  nur  einer  derselben  erschien  im  Jahre 
1596.  Später  wurden  dann  Briefe  von  und  an  Brahe  veröffent- 
licht durch  Hansch  (1728),  Alberi  (1851),  Frisch  (1858-68), 
Friis  (1875  ff.)  und  Favaro  (1886).  Neuerdings  (1887)  hat  nun 
Barckhardt  von  den  in  Basel  aufbewahrten  40  Briefen  an  und 
90  Briefen  von  Brahe  eine  Auswahl  herausgegeben;  einen  der 
letzteren,  an  Pinelli  am  3.  Januar  1600  geschrieben,  behandelt  nun 
Favaro  genauer  ob  der  darin  zu  Tage  tretenden  Beziehungen  zu 
Galilei.  Ein  Anhang  stellt  tabellarisch  Absender  und  Adressen, 
sowie  Datum  der  genannten  40'f  90  Briefe  zusammen.      Tn. 


Ph.  Gilbert.     Les  manuscrits  de  Galiläa  et  leur  histoire. 

Rey.  des  qo.  sc.  XXIV.  353-378! 

Uebersicht   Über   die   bezüglichen   neueren  Untersuchungen 
von  Berti  und  A.  Favaro.  Mn.  (Lp.) 


10  I*  Abschoitt.    Geschichte  uod  Philosophie. 

L.  Schuster.     Johann    Kepler   und  die  grossen    kirch- 
lichen Streitfragen  seiner  Zeit    Gras.  250  s.  gr.  s«. 


C.  Le  Paige.      Sur  une   traduction    neerlandaise   de    la 
m^thode  de   perspective  de   Girard  Desargues   et  sur 

les  ^Le^ons  de  t^n^bres.*'    Bibl  Math.  (2)  IL  10-12. 

Der  VerfasBer  beschreibt  eine  niederländische  Uebersetzung 
der  Arbeit  yon  Bosse:  „Maniere  universelle  de  Mr.  Desargues 
pour  pratiquer  la  perspective^  und  giebt  aus  dem  Briefwechsel 
zwischen  Oldenburg  und  Leibniz  einige  wenig  bekannte  Notizen 
über  die  „Le^ons  de  tänebres"  von  Desargues.  E. 


Ch.  Huygens.  Oeuvres  compl^tes  de  Christiaan  Huygens, 
publikes  par  la  Soci^tö  hollandaise  des  sciences.  Tome 
premier.     Correspondance  1638—1656.    laHaye.  Martenus 

Nyhoff.  XIV  und  621  8. 

Der  erste  Teil  des  grossen  Unternehmens  der  Ausgabe 
sämmtlicher  Werke  von  Ch.  Huygens  ist  nunmehr  erschienen, 
und  es  soll  hier  eine  kurze  Uebersicht  seines  Inhalts  gegeben 
werden.  Den  ersten  Vorbericht  erstattet  der  Vorstand  des  Ver- 
eins, welcher  die  Herausgabe  übernommen  hat.  Wir  erfahren 
daraus,  was  den  Anstoss  zu  dem  Unternehmen  gab,  und  werden 
auf  verschiedene  Ausgaben  von  Werken  und  Briefen  von  Huygens 
hingewiesen,  die  bereits  vorhanden  sind ;  hierbei  ist  jedoch  über- 
sehen die  Ausgabe  von  Huygens  Correspondenz  mit  Leibniz  in: 
Leibnizens  mathematische  Schriften  (herausgegeben  von  Gerhardt, 
III.  Folge,  Bd.  II.  Berlin  1850),  und  mit  Papin  in:  Leibnizens 
und  Huygens*  Briefwechsel  mit  Papin  u.  s.  w.  von  E.  Gerland 
(Berlin  1881).  In  einem  zweiten  Vorwort  bespricht  Hr.  Bierens 
de  Haan,  der  Präsident  der  Commission  für  die  Herausgabe, 
die  Art  und  Weise,  wie  sie  ihre  Thätigkeit  eingerichtet  hat  und 
zu  beendigen  hofft.  Daraus  ergiebt  sich,  dass  in  erster  Linie 
die  selbständige  Correspondenz   in   acht  Teilen   herausgegeben 


Gapitel  1.    GeBchichte.  11 

werden  soll,  und  zwar  in  chronologischer  Ordnung,  als  der  einzig 
möglichen  bei  einer  Sammlung,  in  der  viele  Gegenstände  sehr 
zerstreut  behandelt  werden.  Die  Originale  der  meisten  Briefe 
befinden  sich  in  der  Universitätsbibliothek  zu  Leiden,  welcher 
Huygens  seine  hinterlassenen  Papiere  vermachte.  Diese  umfassen 
alle  Briefe  an  Huygens  und  viele  Notizen  über  die  von  ihm 
an  andere  Gelehrten  gerichteten;  zum  grossen  Teil  befinden  sich 
diese  Briefe  in  andern  Sammlungen  und  sind  mit  den  Concepten 
verglichen  worden.  Mit  grösster  Sorgfalt  hat  die  Commission 
die  fehlenden  Adressen  und  Daten  vieler  Briefe  aufgesucht  und 
meist  auch  festgestellt,  lieber  alle  in  der  Correspondenz  ge- 
nannten Personen  werden  biographische  Einzelnheiten  mitgeteilt, 
ebenso  ist  mit  aHen  angeführten  wissenschaftlichen  Werken  ver- 
fahren. 

Den  Briefen  geht  eine  Gruppe  von  Bildnissen  aus  der  Fa- 
milie Huygens  voran :  der  Vater,  der  Dichter  €onstantin  Huygens, 
seine  vier  Söhne  und  eine  Tochter  nach  einem  Gemälde  im 
„Mauritshuis'^  im  Haag.  Aus  dem  angegebenen  Zeitraum  wer^ 
den  365  Briefe  mitgeteilt.  Ein  Supplement  enthält  noch  18 
Briefe  aus  derselben  Zeit,  welche  erst* während  des  Druckes  des 
ersten  Teils  gefunden  worden  sind.  Sodann  sind  verschiedene 
Tabellen  beigegeben.  In  der  ersten  sind  die  Briefe  nach  dem 
Datum  geordnet,  die  zweite  führt  die  Verfasser  alphabetisch  auf; 
die  dritte  alle  Personen,  die  in  den  Briefen  genannt  werden 
unter  Hinweis  auf  die  Briefe,  in  denen  sie  vorkommen;  mehr 
als  600  Gelehrte  aus  allen  Culturi  ändern  sind  darin  aufgenommen. 
In  der  vierten  Tabelle  sind  in  alphabetischer  Ordnung  die  Titel 
aller  wissenschaftlichen  Werke,  deren  in  den  Briefen  Erwähnung 
geschieht,  unter  Hinweis  auf  dieselben  zusammengestellt;  in  der 
fünften  endlich  finden  sich  die  Gegenstände,  tlber  welche  sich 
die'  Briefe  verbreiten,  zu  grösseren  Gruppen  vereinigt.  Das 
Ganze  schliesst  mit  einer  langen  Liste  von  Zusätzen  und  Ver- 
besserungen ab. 

Druck  und  sonstige  Ausführung  lassen  nichts  zu  wünschen 
übrig.  G, 


12  I*  Abschuitt.    Geschichte  und  Philosophie. 

G.  J.  Gray.      Bibliography   of  the   works  of  Sir  Isaac 
Newton;   together    with   a    list  of  books  illustrating 

bis   life   and    works.     Cambridge.  40  S.  8». 

FQr  Subscribenten  sind  120  Exemplare  gedruckt.      Lp. 


D.  WiERZBiCKi.      Leben    und    Wirken    des    polnischen 

Ästronomen  Johann    tievelius.      Erakau  1888.  A^.  57  S.  (Pol- 
nisch.) 

L  Biographie  des  Hevelius.  IL  Seine  astronomischen  Beob- 
achtungen und  Instrumente.  III.  Seine  wissenschaftliche  und 
literarische  Thätigkeit.    IV.  Verzeichnis  seiner  Schriften. 

Dn. 


D^Alembert.       Oeuvres     et     correspondances     in^dites. 
Publikes    avec    introduetiön,    notes  et  appendice    par 

Ch.   Henry.      AbbeWlle.  XX4-356S.  8o. 


Lagrange.  Oeuvres  eompl^tes  de  Lagrange,  publikes 
par  les  soins  de  J.-A.  Serret  et  G.  Darboux,  etc. 
Tome  XL  M^canique  analytique,  ^avec  Notes  de 
J.  Bertrand  et  G.  Darboüx.     V^  Partie.   1888.  XIL 

2®.  Partie.    1889.     Paris.  Gaothier- Villars. 

Beide  Bände  der  M^canique  analytique  sind  auch  mit  be- 
sonderem Titel  selbständig  verkäuflich.  Lp. 


FoüRiER.  Oeuvres  de  Fourier,  publikes  par  les  soins 
de  Gaston  Darboüx,  Membre  de  Tlnstitut,  sous  les 
auspices  du  Ministre  de  llnstruction  publique.  Tome  I. 
Theorie  analytique  de  la  chaleur.     Paris.  Gauthier-Villars 

et  Fils.  4*. 


Gapiiel  1.    Oeachichte.  13 

Ph.  Gilbert.     Notice  sur  le  tpme  premier  des  Oeuvres 

de   Fourier.      Rey.  des  qu.  sc.  XXIV.  24Ö-254. 

Enthält   eine   vortreffliche   historische   Betrachtung   zu  den 
Fourier'schen  Reihen.  Mn.  (Lp.) 


H.  GÖRIN6.     Sophie  Germain  und  Clotilde*  de  Vaux,  ihr 

Leben   und   Denken.     ZOnch.  Schroter  u.  Meyer.  1888  S^.  270  S. 

Dieser  „Beitrag  zur  Geschichte  der  Philosophie  und  der 
Frauenwelt**  bringt  ausser  der  Uebersefzung  einer  philosophischen 
Schrift  von  S.  Germain  (S.  53— 183)  und  einer  Lebensskizze  der 
oben  genanfaten  Freundin  von  A.  Comte  (S.  183—227)  als  hier 
einzig  Interessirendes  eine  nach  schon  gedruckten  Quellen  ge- 
arbeitete Biographie  von  Sophie  Germain  (1776—1831),  dieser 
berOhmten  Mitstrebenden  eines  Lagrange,  Freundin  eines  Gauss, 
Vorläuferin  eines  Eirchhoff;  ihre  Bestrebungen  und  Leistungen 
auf  dem  Gebiete  der  reinen  Mathematik  und  der  theoretischen 
Physik  werden  des  Genaueren  populär  dargelegt.  Dass  und  in 
wiefern  Wilhelm  Jordan  durch  seine  „Nibelungen**  gewisse 
ästhetische  Forderungen  der  Mathematikerin  und  Philosophin  er- 
fllllt  habe,  sucht  ein  Anhang  (S.  227—270)  zu  beweisen. 

Tn.   • 

J.  F.  Enckb.  Gesammelte  mathematische  und  astrono- 
mische Abhandlungen.  Bd.  L  Allgemeines  betreflFend 
Rechnungsmethoden.  211  s.  8°.  Bd.  IL  Methode  der 
kleinsten  Quadrate.  Fehlertheoretische  Untersuchungen. 

VI  -i-  248  S.  8^.  BerliD.  Dämmler. 

Inhalt  von  Band  I:  Ueber  Interpolation  (1830).  üeber 
mechanische  Quadratur  (1837).  Ueber  eine  andere  Methode,  zu 
den  Formeln  der  mechanischen  Quadratur  zu  gelangen  (1862). 
Ueber  die  Cotesischen  Integrationsfactoren  (1863).  Allgemeine 
Auflösiing  der  numerischen  Gleichungen  (1841).  Ueber  die  Ent- 
wiekelung  einer  Function  in  eine  periodische  Reihe  (1860). 

Lp.     . 


14  I-  Abschnitt    Gesohicbto  and  Philosophie. 

A.  Caüchy.  Oeuvres  complfetes  d' Augustin  Cauchy, 
Publikes  sous  la  direction  scientifique  de  l'Acadämie 
des  Sciences  et  sous  les  auspices  de  M.  le  Ministre 
de  l'instruction  publique.     I^*  sörie,     Tome  VI.      Pari«. 

Oaathior-Villars  et  Fils.    IV-h474S.  4«. 

Fortsetzung  zu  Bd.  V  (F.  d.  M.  XVII.  1885.  16);  den.  In- 
halt bilden  die  Noten  und  Artikel,  welche  Cauchy  in  den  C.  R. 
vom  21.  December  1840  bis  zam  27.  Jani  1842  veröffentlicht  hat 
(No.  112—168)  und  in  welchen  sehr  verschiedenartige  Gegen- 
stände behandelt  werden.  Eine  grössere  Anzahl  beschäftigt  sich 
mit  der  Theorie  der  bestimmten  Integrale  und  mit  der  Integra- 
tion partieller  Differentialgleichungen ;  andere  sind  der  Mechanik 
des  Himmels,  der  mathematischen  Physik,  der  Kahlentheorie 
u.  s.  w.  gewidmet.  Lp. 

Ij.  Kroneckbr.      Bemerkungen    Ober    Dirichlet's    letzte 

Arbeiten.      Berl.  Ber.  439-442. 

Erläuterung  der  betreffenden  Stellen  in  Hrn.  Kummer's  Ge- 
dächtnisrede (Berl.  Abh.  1860)  (Stabilität  des  Weltsystems  und 
eine  ganz  neue,  allgemeine  Methode  der  Behandlung  und  Auf- 
lösung der  Probleme  der  Mechanik)  unter  Bezugnahme  auf  eine 
in  Acta.  Math.  VII  veröffentlichte  Preisaufgabe.  Lp. 

C.  Segrb.     C.  G.  C.   V.  Staudt  ed  i  suoi  lavori.    Tonno. 

Fratelli  Bocca.  1888.  8<>.  17  S. 

Giebt  kurz  den  Lebensgang,  ausfuhrlicher  die  Leistungen 
Staudt's  und  deren  Würdigung.  Tn. 


C.  Bricarelli.      Della  vita  e  delle  opere  del  F.  Angelo 
Secctii  della  Compagnia  di  Gesü.     Rom.  acc.  p.  d.  N.  L. 

Mem.  IV.  4M0e. 

Eine   liebevolle   Würdigung  der   Verdienste  von  A.  Secchi 
(geb.  zu  Reggio  d'Emilia  28.  Juni  1818,  gest.  26.  Februar  1878 


Capitel  1.    Geschichte.  15 

ZU  Rom).     Auf  S.  74 — 106   findet  man  das  Verzeichnis  seiner 
Schriften.  Lp. 

C.  W.  BoRCHARDTS  Gesammelte  Werke.  Auf  Veran- 
lassung der  Königlich  Preussischen  Akademie  der 
Wissenschaften  herausgegeben  von  G.  Hettner.     Mit 

dem    Bildnisse    ßorchardt's.      Berlib.  G.  Reimer.  X  +  öUS.  4*. 

So  wie  die  Werke  Steiner's,  Jacobi's  und  Dirichlet's  hat  die 
Akademie  der  Wissenschaften  auch  Borchardt's  gesammelte 
Werke,  die  einen  Quartband  fttllen,  herausgegeben  und  damit 
dem  Andenken  ihres  vor  zehn  Jahren  verschiedenen  Mitgliedes 
(geb.  22.  Februar  1817,  gest.  27.  Juni  1880)  ein  Denkmai  ge- 
setzt Hr.  Hettner  hat  die  ihm  übertragene  Arbeit  mit  peinlicher 
und  rQhmenswerter  Sorgfalt  durchgeführt,  woflir  ihm  alle  Mathe- 
matiker und  Freunde  Borchardt's  Dank  wissen  werden. 

Der  vorliegende  Band  enthält  nur  Abhandlungen  und  kür- 
zere Mitteilungen,  welche  bereits  gedruckt  vorlagen.  In  dem 
Nachlässe  fand  sich  keine  in  wesentlichen  Punkten  abgeschlossene 
Arbeit  vor;  auch  die  Doc(ordis8ertation,  sowie  die  meisten  Ab- 
handlungen, welche  B.  in  der  Akademie  der  Wissenschaften  ge- 
lesen, aber  nicht  veröffentlicht  hat,  waren  nicht  mehr  vorhanden. 
Die  Abhandlungen  (No.  1—25)  sind  chronologisch  geordnet,  ihnen 
folgen  (No.  26—38)  kurze  Notizen  mathematischen  und  biogra- 
phischen Inhalts.  Den  kurzen  Lebenslauf  (S.  502—503),  welcher 
der  13.  Auflage  des  Brockhaus'sehen  Conversationslexikons  en^ 
Dommen  ist,  hat  ein  Freund  Borchardt's  verfasst.  Einige  Vor- 
reden, kurze  Anmerkungen  zu  Abhandlungen  anderer  Autoren 
und  Anzeigen  des  Ablebens  einiger  Mathematiker  sind  nicht  auf- 
genommen worden.  In  den  vom  Herausgeber  (S.  506—511)  hin- 
zageftlgten  Anmerkungen  sind  nur  solche  Stellen  erwähnt  wor- 
den, die  einer  eingehenderen  Besprechung  bedurften. 

Die  Ausstattung  ist  dieselbe  wie  in  Jacobi's  Gesammelten 
Werken,  würdig  der  Veranstalterin,  das  beigegebene  Bildnis  ist 
wohl  gelungen  und  giebt  die  feinen  Züge  des  der  Wissenschaft 
EU  früh  Entrissenen  getreu  wieder;   der   Ausdruck   spiegelt  die 


16  .!•  AbscbDftt.    Gefchiehte  und  Philosophie. 

freundliche  Milde  und  den  klaren  Blick  wieder,    welcher   allen 
bekannt  ist,  die  mit  ihm  Verkehr  gehabt  haben. 

Wie  eine  Lapidarinschrift  erscheinen  die  kurzen,  sonst  aber 
trefflichen  Worte  des  Lebenslaufs.  Sef.  möchte  hinzufügen,  dass 
vor  allem  die  selbstlose  Hingabe  an  die  Wissenschaft  den  edlen 
Charakter  Borchardt's  so  liebenswQrdig  machte.  Neidlos  und 
freudig  anerkannte  er  jede  bedeutendere  Leistung  und  förderte 
gern  jedes  aufkeimende  Talent.  Durch  diese  Eigenschaft,  durch 
seine  grosse  Belesenheit  und  seinen  ehrlichen  und  gerechten 
Sinn,  der  mit  feinem  Urteile  sich  paartej  war  er  in  heryorragen- 
der  Weise  zum  Leiter  des  Journals  befähigt,  für  dessen  Gedeihen 
er  stets  sann  und  sorgte,  bis  er  auf  das  Todesbett  geworfen 
wurde.  Klagte  doch  ein  Altmeister  unserer  Wissenschaft  bei 
seinem  Begräbnisse  um  ihn:  %Der  Mann  ist  unersetzlich;  dieser 
eine  Mann  war  eine  Bibliothek  der  Mathematik,  die  nun  verloren 
ist".  Lp. 

Ettore  Caporali.     Memorie  di  Geometria.    Napoii.  Pelle- 

raoo.     VII -h  378  S. 

Das  Erscheinen  dieses  Buches  haj[)en  wir  bereits  im  vorigen 
Bande  der  F.  d.  M.  S.  23  angekündigt.  Nach  dem  von  uns 
a.  a.  0.  angezeigten  Nekrolog  von  Hrn.  Padelletti  enthält  es  die 
folgenden  Arbeiten  Caporalfs: 

L  Sulla  superficie  del  quinto  ordine  dotata  di  una  curve  doppia 
del  quinto  ordine.  , 

IL  Teoremi  sulle  curve  del  terz'  ordine  e  sui  fasci  di  curve 
del  terzo  ordine. 

IIL  Sui  complessi  e  sulle  congruenze  di  secondo  grado. 

IV.  Sopra  i  piani  e  i  punti  singolari  della  superficie  di 
Kummer. 

V.  Sulle  trasformazioni  univoche  piane  involutorie. 

VI.  Sopra  alcuni  sistemi  di  rette. 
VIL  Suir  esaedro  completo 

VIII.  Teoremi  sulle  superficie  del  terzo  ordine. 

IX.  Sulle  tangenti  condotte  ad  una  curva  abgebrica  piana 
da  un  suo  punto  multiplo. 


Gapitel  1.    GeBchichte.  17 

X.  Sopra  i  sistemi  linear!  triplamente  infiniti  di  curye  alge- 
briohe  piane. 

XI.  Sopra  una  certa  curva  del  quinto  ordine. 

XII.  Sul  sistema  di  due  forme  binarie  cubiche. 

XIII.  Reiazione  sul  concorso  pel  premio  accademico  nelF  anno 
1882. 

XIV.  Studio  suir  esagrammo  di  Pascal. 

XV.  Frammenti  sulF  esagrammo  di  Pascal. 

XVI.  Sulla  teoria  delle  configurazioni.. 

XVII.  Introduzione  alla  teoria  dello  spazio  rigato. 

XVIII.  Sulio  spazio  di  quattro  jina^i^Bioni. 

XIX.  Sulla  teoria  degli  spazi  k  piü  dimensioni. 

XX.  Alcuni  teoremi  sui  fasci  sizi^getici  di  curve  del  terzo 
ordine. 

XXL  Sulla  figura  costituita  dai  punti  di  contatto  delle  tan- 
genti  eondotte  ad  una  cubica  di  tre  suoi  punti  in  linea  retta. 

XXII.  Sulla  teoria  delle  curve  piahe  del  quarto  ordine. 

Die  Abbandlungen  unter  den  Nummern  I,  II,  V,  VI,  VII, 
VIII,  IX,  X,  XII,  XIII  sind  im  Jahrbuche  besprochen  worden 
(F.  d.  M.  VII.  1875.  518;  IX.  1877.  488;  XI.  1879.  598,  590; 
XIII.  1881.  619,  531,  514;  XVI.  1884.  96;  XV.  1883.  746). 
No.  III  enthält  eine  geometrische  Untersuchung  der  Abbildung 
des  Complexes  zweiten  Grades  auf  den  Punktraum  und  erfreut 
sich  mit  Recht  eines  Ansehens.  In  IV  werden  die  Eigenschaften 
des  Hexagrammum  mysticum .  bewiesen  und  mittels  geometrischer 
Betrachtungen  auf  drei  Dimensionen  ausgedehnt.  No.  XI  ist 
eine  kurze  Mitteilung  Qber  eine  besondere  Curve  vierter  Ordnung. 
No.  XVII  ist  eine  unter  Mitwirkung  des  Hrn.  Del  Pezzo  ent- 
standene längere  Arbeit  Caporali's,  in  welcher  die  Geometrie 
der  Graden  in  origineller  synthetischer  Art  untersucht  wird, «und 
welche  sehr  viele  interessante  und  neue  Ergebnisse  enthält.  Der 
Leser  findet  Genaueres  hiertiber  in  dem  Aufsatze  des  Bericht- 
erstatters: nL'opera  scientifica  di  Ettore  Caporali^  (Batt.G.  XXVII. 
1889).  Auf  diesen  Aufsatz  verweisen  wir  auch  betreffs  der 
Notizen  Qber  die  abgedruckten  und  noch  nicht  veröffcQtlichten 
Fragmente  des  Nachlasses.  La.  (Lp.) 

Fortwhr.  d.  Math.  XX.   1.  2 


13  I*  AbscbDiit.    Geichichte  nnd  Philosophie. 

W.  Voigt,     Zum  Gedächtnis  von  G.  KirchhoflF.      Göttin- 

geo.    Dietrieh'sche  VerlagsbuchbandlaDg.    10  S.  4^ 

Rede,  gehalten  in  der  öffentlichen  Sitzung  der  K.  Gesell- 
schaft der  Wissenschaften  am  5.  December  1887.  Sie  schildert 
in  markigen  ZHgen  die  wissenschaftliche  Lebensarbeit  des  Ver- 
blichenen. ,|Seine  Gabe  war  nicht  das  Anfangen,*  sondern  das 
Vollenden.  Es  ist  gewiss  bezeichnend  ftir  seine  Arbeiten,  fOr 
seine  Neigung,  nur  von  den  sichergestelltesten  Grundlagen  und 
nur  in  völlig  mathematischer  Strenge  die  Entwickelung  fortzu- 
ftlhren,  dass  er  wolil  fast  niemals  gezwungen  gewesen  ist,  auch 
nur  in  Kleinigkeiten  sich  gelbst  zu  berichtigen  oder  berichtigen 
zu  lassen  **.    .  Lp. 

G.  Brunbl.  Notice  sur  Tinfluence  scientifique  de  Gail-' 
laume-JuIes  Houel,  professeur  honoraire  k  la  Facult^ 
des  Sciences  de  Bordeaux.  Bordeaux  M6m.  (3)  iv.  i-78. 
Der  Verf.  hat  die  Einzelheiten  (S.  1—4)  über  die  äusseren 
Lebensumstände  des  verstorbenen  Mathematikers  einem  Artikel 
von  6.  Lespiault  entnommen,  der  im  Memorial  des  anciens 
älöves  de  FEcoIe  Normale  Sup^rieure  fdr  1887  erschienen  ist. 
[Honel  ist  geb.  7.  April  1823  zu  Thaon  (Calvados),  gest.  zu  Periers 
bei  Caen  14.  Juni  1886].  Auf  S.  5—17  werden  unter  131  Nummern 
die  Titel  seiner  schriftstellerischen  Arbeiten  aufgeführt,  unter 
ihnen  viele  Uebersetzungen  und  literarische  Anzeigen.  Die. Wirk- 
samkeit des  liebenswürdigen  und  vielseitigen  Gelehrten  wird 
danach  in  ftlnf  Capiteln  bäsprocheif:  1)  Unterricht  der  Geometrie 
und  der  Trigonometrie.  2)  Tabellen.  3)  Analysis.  4)  Mechanik 
des  Himmels  und  Astronomie.  5)  Literarische  Anzeigen  und 
Uebersetzungen.  Lp. 

R.  Schräm.      Nekrolog.     Theodor  von  Oppolzer.       Aetr. 

Viertschr.  XXII,.  177-192. 

R.  Schräm.  Notice  sur  les  travaux  de  Theodore  d'Op- 
polzer  avec  la  liste  compl^te  de  ses  publications,  tra- 
duite  de  Tallemand  par  E.  Pasqnier.       Bodc.  Ball    xx. 

439-480. 


Gapitel  1.    Qeschichte.  19 

Eine  Schilderung  des  Lebensganges  und  der  wissenschaft- 
lichen- Leistungen  des  plötzlich  seiner  reichen  Thätigkeit  ent- 
rissenen Astronomen  (geb.  zu  Prag  26.  October  1841,  gest.  zu 
Wien  26.  December  1886).  Die  Liste  Jer  Schriften  umfasst  320 
Nummern.  Lp. 

E.  d'Ovidio.     Francesco  Fak  di  Bruno.     Annuario  deiia  r. 

UDiTefBitä  di  Torioo  .1888-1889. 

F.  Faä  di  Bruno  wurde  in  Alessandria  den  29.  März  1825 
geboren  und  starb  den  27.  März  1888  als  Professor  der  höheren 
Aualysis  an  der  Universität  Turin.'  Sehr  zahlreich  sind  seine 
wissenschaftlichen  Veröffentlichungen.  Zuerst  ist  er  als  Verfasser 
dreier  Lehrbücher  zu  nennen,  nämlich:  Theorie  g6närale  de 
r^iimination  (Paris  1859),  Cenni  elementari  sopra  il  calcolo  degli 
errori(Torino  1867)  und  Theorie  des  formes  binaires  (Turin  1876) 
[Vgl.  F.  d.  M.  VIII,  1876,  56];  von  ihnen  ist  das  zweite  auch 
französisch  gedruckt  (Theorie  ölömentaire  du  calcul  des  erreurs, 
Paris  1869)  und  das  dritte  in  das  Deutsche  übersetzt  worden 
[vgl.  F.  d.  M.  XIII,  1881,  86].  Ferner  hat  er  viele  Aufsätze 
yerfasst,  welche  in  den  besten  wissenschaftlichen  Sammlungen 
erschienen  und  grösstenteils  in  diesem  Jahrbuch  schon  besprochen 
worden  sind;  die  meisten  derselben  behandeln  Fragen  aus  der 
Theorie  der  Gleichungen  und  der  binären  Formen.  Die  beiden 
letzten  beweisen  jedoch,  dass  er  später  seine  Aufmerksamkeit 
den  elliptischen  Functionen. zugewandt  hatte;  und  in  der  That  be- 
reitete er  eine  neue  Darstellung  dieser  Lehre  vor,  welche-  für 
.ihn  viele  Jahre  hindurch  Gegenstand  seiner  Universitäts  -  V-or- 
lesungen  war.  La. 

A.  Pankk.     Leben  und  Wirken  des  böhmischen  liilathe- 
matikers  F.  Wenzel  Simerka.    Casop.  <vn.  253.  (Böhmisch.) 

Geboren  am  20.  December  1819  in  Hoch-Weseli,  erhielt  er 
1845  die  Priesterweihe,  studirte  dann  Mathematik  und  Physik 
an  der  Universität  in  Prag,  lehrte  9  Jahre  am  Obergymnasium 
zu  B.  Budweis,    ward   1862  Pfarrer  in  Slatina  bei  Senftenberg 

2* 


20  !•  Abschnitt.    Qeschichte  uDd  Philosophie. 

und  starb  am  26.  December  1887«  Die  Akademie  der  Wissen- 
Schäften  zu  Wien  veröffeDtlichte  von  ihm:  1858  ^ Die  Perioden  der 
quadratischen  Zahlformen  bei  negativen  Determinanten".  1859 
„Lösung  zweier  Arten  von  Gleichungen^.  „Die  trinftren  Zahl- 
formen  und  Zahlwerte".  1883  „Die  Kraft  der  Ueberzeugung, 
ein  mathematisch -philosophischer  Versuch";  die  Prager  Gesell- 
schaft der  Wissenschaften:  „Beitr&ge  zur  unbestimmten  Analytik'' 
(Böhmisch).  Ausserdem  gab  er  eine  für  die  höheren  Klassen 
der  Mittelschulen  bestimmte  „Algebra"  nebst  Einleitung  in  die 
Differential-  und  Integral-Rechnung  heraus  und  lieferte  5  Ab- 
handlungen in  den  „Casopis",  wortlber  in  diesem  Jahrbuch  an 
betreffender  Stelle  roferirt  ist.  Std. 


E.  RrECKB.      Rudolf   Clausius    (1822-1888).      Red«   ge- 
halten in  der  öffentlichen  8itzang  der  K.  Ges.  d.  Wisa. 

Göttiogen.  Dieterich.  1888.  4^.  39  S. 

Als  eines  der  jüngeren  von  18  Kindern  ist  Clausius  bald 
auf  sich  selbst  angewiesen;  mit  28  Jahren  erst  habilitirt  er  sich 
zu  Berlin,  wird  1855  in  Zürich  Ordinarius  am  Polytechnicutn, 
1857  auch  an  der  Universität,  kommt  1867  nach  Würzburg  und 
1869  nach  Bonn,  dem  er  bei  Itets  wachsendem  Wirkungskreis 
treu  blieb.  Die  vorliegende  Darstellung  der  Arbeit  seines  Lebens 
knüpft  an  an  seine  Umdeutung  (1850)  der  Garnot'sehen  Auf- 
fassung von  der  bewegenden  Kraft  der  Wärme  (aus  1824),  er- 
läutert Geschichte  und  Tragweite  seines  Satzes  von  der  Aequi- 
valenz  der  Verwandeinngen  (1854),  zeigt,  wie  er  dann  auch  die 
nicht  umkehrbaren  Vorgänge  untersucht  und  wie  er  seine  Sätze 
mehrfach  (1862,  64,  65)  umformt  und  gar  mannigfaltig  anwendet, 
insbesondere  auch  auf  elektrische  Erscheinungen,  wie  er  der 
Begründung  einer  wirklichen  Molecularmechanik  der  Wärme 
zustrebt,  wie  er  die  kinetische  Theorie  der  Gase  fördert  Die 
Erzählung  von  Clausius'  Arbeiten  auf  dem  Gebiete  der  Elektro* 
dynamik  (von  1875  ab)  bildet  den  zweiten,  die  Schilderung  seiner 
Persönlichkeit,  seines  Wesens  den  dritten  Teil  dieser  anregenden 


Capitel  1.    Geschichte.  21 

gehaltreichea   Rede.     Ein  Anbang   bringt   das  Verzeicbnis   der 
wissenscbaftlicben  Veröfifentlicbungen  von  Glausius.         Tn. 


G.  W.  DE  TüNZELMANN.     Professor  Rudolf  Julius  Erna- 

nuel    Glausius.       Natare  XXXVIII.  438-439. 

G.    F.    Fitzgerald.      The    death    of    Glausius.      Nature 

XXXVIII.  491. 

G.  Basso.      In    commeinörazione    di    Rodolfo  Glausius. 

Torino  Atti  XXIV.  3-4. 

Nekrologe  (geb.  2.  Jan.  1822  zu  Cöslin,  gest.  24.  Aug.  1888 
zu  Bonn).  Lp. 

Rev.    John    Herwitt    Jellett,    D.    D.,    D.    G.    L.      Nature 

.     XXXVII.  396-397. 

Nachruf  an  Jellet,  geb.  den  25.  Dezember  1817  zu  Cashel 
in  der  Grafschaft  Tipperary,  gestorben  als  Provost  of  Trimity 
College  zu  Dublin  am  19.  Februar  1888.  Von  seinen  Werken 
werden  in  dem  Artikel  angeführt:  „Treatise  on  the  calculus  of 
variatioDs^  (1850),  „Treatise  on  the  theorie  of  friction"  (1872), 
femer  aus  Liouville's  Journal:  „Equilibrium  and  motion  of  an 
elastic  solid'',  „On  researches  in  Chemical  optics''.  Er  war  auch 
ein  beliebter  Kanzelredner.  Lp. 


A.  Voss.     Zur  Erinnerung  an  Axel  Harnack.    Math.  Ado. 

XXXII.  161-174. 

M.  NoBTHBR.     Garl  Gustav  Axel  Harnack.     Sohlömiich  z. 

XXXIIL  ei.  A.  121-124. 

Geben  die  LebenszQge  und  wissenschaftliche  Würdigung  des 
1888  im  Alter  von  noch  nicht  37  Jahren  verstorbenen  Dresdener 
Professors,  in  dessen  mathematischem  Schaffen  zwei  verschieden- 
artige Perioden  unterschieden  und  gekennzeichnet  werden.  Er- 
stere  Schrift  zählt  im  Anhang  die  Liste  von  Harnack's  Arbeiten 
auf;  die  zweite  fügt  diesen  noch  zwei  weitere  hinzu.  Tn. 


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BSti»***''^     ,      iM«tii«a^te    r^'S^       v«r*Ha  und  uer^» 


—  Benin-  ^^  * ..  .  ^-^»5»  kommt  1W>*  wirknog»^^'* 

\.c<.  n.cn  Bon«,  de-  ej  „„„g  der  V^    ^  ^^^„    ^a( 

^'^  "  V^wU<^-  ^^  *:;  X  --  *^'  Tat 

,g  Ton  d«  o«   /.i.,.g^eite  «eine»  ^*^     ^^n  »«cb  ^'^ 

^t«!  G«*-^'-«  Xtr^  ^^^>  ^^'^'^  TX  er  seine  SäUe 
ll«  der  Ver^a^'if^'f    '  „«tersncW  nnd  «  e  e  ^^^^^ 

^*^^     V  vrhuen  Vorginge  «»  oi*nnigW"S »"        . 

mkbt  nmkebrbMen  f,^t  und  f»'^  „ie  er  der 

rindere   «c^  -^^,,„   •»«^-'^"^f  S^  ßrdert    Die 
jy^»aiKbke»u  »e»«» 


Capitell.    Geeehiehte.  21 

i^^D^v  f^%     '''"  ^"''*"^   •»""^   ^"^  Verzeichnis   der 
•«enschafthchen  Veröffentlichungen  von  Clausius.         Tn. 

•    ^^ ',  ^f,   '^»ZELMANN.     Professor  Rudolf  Julius  Erna- 

j  nuel    OlausiUS.       Nsture  XXXVIII.  438-439. 

'"toHo?!;«  ^'^"^^^^^^'"«'•«''ione    di    Rodolfo  Clausius. 

Lp. 

äXXVIL  396-397. 

l?s«hruf  an  Jellet,  geb.  den  25.  Dezember  1817  zu  Cashel 
«n  der  Grafschaft  Tipperary,  gestorben  als  Provost  of  Trimity 
College  zu  Dublin  am  19.  Februar  1888.  Von  seinen  Werken 
werden  m^  dem  Artikel  angeftihrt:  „Treatise  on  the  calculus  of 
^anattoos«  (1850),  „Treatise  on  the  theorie  of  friction«  (1872), 
t^mer  aoa  Lionville's  Journal:  „Equilibrium  and  motion  of  an 
««bc  sohd«,  „On  researcbes  in  Chemical  optics«.  Er  war  auch 
«a  beUebter  Eanzelredner.  Lp. 


A.  Voss.    Zur  Erinnerung  an  Axel  Harnack.    Math.  Ann. 

XXXII,  161-174. 

M.  NoBTHBB.     Carl  Gustav   Axel    Harnack.     Schldmilch  z. 

iXIlII.  Hl.  A.  121-124. 

Geben  die  Lebenszflge  und  wisBenachaftUche  WOrdigung  des 

^  im  Alter  von  noch  nicht  37  Jahren  verstorbenen  Dresdener 

ro'enors,  in  dessen  matfaeniatischem  Schaffen  zwei  verschieden- 

aitige  Perioden  unterschieden  und  gekennzeichnet  werden.    Er- 

^re  Schrift  zfthlt  im  Anhang  die  Liste  von  Harnack's  Arbeiten 

*^\  die  zweite  fügt  diesen  noch  zwei  weitere  hinzu.         Tn. 


V 


22        .  I-  Abschoiit.    Gescbiehte  and  Philosophie. 

W.  CuDWORTB.      Life   and  correspondence  of  Abraham 
Sharp,  the  Yorksbire  Mathematician  and  Ästrpnomer. 

London. 


O.  M.  MiTCH£L.      Astronomer    and    General.      ßiogra- 
pbical   narrative   by   his   son,    F.    A.  Mitchel.      Boston 

(1887).  80. 

Franz.     Gedächtnisrede   auf  den   am    17.  Oktober   ver- 
storbenen   Königsberger   Astronomen    Eduard  Luther. 

Königsberg.  Koch. 

J.    L.   E.    Dreybr.      H.    C.    f.    C.  Schjellerup.        Nature 

XXXVII.  154-155. 

Nekrolog  fttr  den  verstorbenen  dänischen  Astronomen  Han^ 
Carl  Frederick  Chri^rtian  Schjellerup,   (geb.  zu  Odense  8.  Febr. 
1827,  gest.  zu  Kopenhagen  13.  Novbr.  1887).  Lp. 


P.  G.  Tait.     Dr.  Balfour  Stewart,  F.  R.  S.    Natorexxxvii 

202-203. 

Nekrolog  für  den  verstorbenen  englischen  Physiker  (geb. 
zu  Edinburgh  1.  Novbr.  1828,  gest.  zu  Manchester  den  18.  Decbr. 
1887). *      Lp. 

J.  LiAGRE.     Discours  pronohcd  aux  fun^railles  de  J.  C. 

Houzeau.      Belg.  Ball.  (3)  XVI.  14M47. 

Der  den  Astronomen  durch  seine  Bibliographie  gönörale  de 
TAstronomie  wohl  bekannte  Gelehrte  (7.  Oct.  1820  —  12.  Juli 
1888)  hat  auch  über  physikalische  Geographie  und  tlber  die 
seelischen  Eigenschaften  der  Tiere  im  Vergleich  mit  denen  des 
Menschen  geschrieben.  Mn.  (Lp.) 


J.  J.  Sylvester.      The    late    Arthur    Buchheim.     Natnre 

XXXVIII,  515-516. 


Capitel  1.    Geachichte.  23 

Nekrolog  (gest.  9.  Septbr.  1888  im  Alter  von  29  Jähren). 
Ein  anderer  Nächruf  von  B.  Tueker  steht  in  Lond.  M.  S.  Proc. 
XIX.  592-594^  an  dieser  Stelle  befindet  sich  auch  ein  Verzeich- 
nis seiner  mathematischen  Schriften.  Lp. 


R.    TüCKKR.      John    BrOüksmith   f.       Lond.   M.  S.  Proc.    XIX. 
501-592. 

John  Brooksmitb  (geb.  17.  Juli  1824  zu  Huddersfield,  gest. 
5.  Mai  1888)  war  Verfasser  von  Aritfametic  in  theory  and  practice, 
einem  beliebten  Lehrbuche,  das  7  Auflagen  erlebte,  und  von 
einigen  anderen  mathematischen  Schriften.  Lp. 


Übituarj.     Monthly  Not.  XLVIII.  157-174. 

Kurze  Nachrichten  fiber  die  im  Jahre  1887  verstorbenen 
Mitglieder  .der  Royal  Astronomical  Society: 

Joseph  Baxendell  (19.  April  1815  —  7.  Ocf.  1887). 

John  Benjamin  Dancer  (8.  Oct.  1812  -  24.  Novbr.  1887). 

Peter  Gray  (1807  -  17.  Jan.  1887). 

Balfour  Stewart  (1.  Novbr.  1828—18.  Decbr.  1887). 

Samuel  Wilkes  Wand  (26    Aug.  1801  —  24.  Febr.  1887). 

Eduard  Luther  (24.  f^'ebr.  1816  -  17.  Oct.  1887). 

Hans  Karl  Frederik  Christian  SchjeHerup  (8.  Febr.  1827 
bis  13.  Novbr.  1887). Lp. 

Koloman  v.  Szily.     Uiigarische  Naturforscher  vor  hun- 
dert  Jahren.     Math,  natnrw.  Ber.  üngaro.  VI.  211-223. 

Der  Verf.  will  in  der  Literaturgeschichte  auch  die  wissen- 
schaftlichen Schriften  berttcksichtigt  haben  und  weist  in  der  vor- 
liegenden Bede  (vom  6.  Mai  1888)  auf  eine  Anzahl  ungarischer 
Naturforscher  des  vorigen  Jahrhunderts  hin;  unter  ihnen  sind 
für  das  Jahrbuch  zu  nennen  Max  Hell,  Astronom,  (1720-1792) 
zuletzt  in  Wien;  Wolfgang  Kempelen,  Mechaniker  (1734-1804) 
ebenfalls  zuletzt  in  Wien;  Paul  Mako  von  Kerekgede,  Philosoph 
und  Mathematiker,  (1724-1793)  thätig  in  Wien,   gest.  in  Ofen; 


24  I-  AbschniU.    Gesohiehie  aod  Philosophie. 

Ladislaus  Csernak  (1742-1816),  Verfasser  des  Scribrum  arith- 
meticum,  Professor  in  Deventer;  Johann  Horvith  (1732-1800) 
Physiker  und  Mathematiker,  zuletzt  in  Ofen;  Josef  Pap  y.  Fogaras 
(1744-1783),  Mathematiker  und  Philosoph.  Lp« 


Nekrologe  in  Hoffmann  Z.  XIX.  72-74,  74,  75,  76-77,  394-896,  896-397, 
476-476. 

J.  F.  W.  Gronau  (geb.  11.  Oct.  1803  zu  Danzig,  gest. 
14.  Aug.  1887  zu  Oels). 

Heinrich  Ide  (geb.  9.  Jan.  1851  zu  Trusen,  gest  14.  Oct« 
1887  zu  Kassel). 

Karl  Heinrich  Buderus  (geb.  13.  April  1835  zu  Rauschen- 
berg, gest.  27.  Oct.  1887  zu  Kassel). 

Eduard  Luther,  Astronom  (geb.  24.  Febr.  1816  zu  Ham- 
burg, gest.  17.  Oct.  1887  zu  Königsberg  i.  Pr.). 

Richard  Bjltzer  (geb.  27.  Jan.  1818  zu  Meissen,  gest. 
7.  Novbr.  1887  zu  Giessen). 

Karl  Snell  (geb.  19.  Jan.  1806  zu  Dachsenhausen,  gest. 
12.  Aug.  1886  zu  Jena). 

F.  J.  Pisko  (geb.  10.  Juni  1827  zu  Neu-Rausnitz  bei  BrQnn, 
gest.  26.  Juni  1888  zu  Aussee).  .  Lp. 


A.  Catlbt.  The  colleoted  mathematical  papers  of  Ar- 
thur Cayley,  Sc.  D.,  F.  R.  S.,  Sadlerian  Professor  of 
Pure    Mathematics    in    the    University   of  Cambridge. 

Cambridge:    at  the    university   Press     Vol.  I:    XVI -4- 589 S     (1889), 
Vol.  H:  XII -4-606  8.  (1889).    4». 

Die  mathematische  Welt  wird  freudig  die  Kunde  vernehmen, 
dass  die  Anwälte  der  Cambridge  University  Press  Hrn.  Cayley 
um  die  Erlaubnis  gebeten  haben,  einen  Neudruck  seiner  mathe- 
matischen Abhandlupgen  veranstalten  zu  dürfen,  und  dass  zwei 
Bände  bereits  ausgegeben  sind.  Hr.  Cayley  selbst  Überwacht 
den  Druck  und  fügt  solche  Noten  und  Verweisungen  hinzu, 
welche  ihm  wünschenswert  scheinen. 


Capitel  1.    OeBchichte.  25 

Bd.  I  enthält  100  (von  1  bis  100  numerirte)  Abhandlungen, 
die  ursprfinglich  in  den  Jahren  1841  bis  1853  veröffentficht  sind. 
Bd.  II  amfasst  58  Arbeiten  (No.  101-158),  welche  alle  mit  Aus- 
nahme von  zweien  zuerst  in  den  Jahren  1851  bis  1860  erschienen. 
Die  Aufsätze  werden  ungefähr,  obschon  nicht  genau,  in  chrono- 
logischer Folge  abgedruckt  und  nahezu  in  ihrer  ursprünglichen 
Gestalt. 

Der  Druclp,  das  Papier  und  die  allgemeine  Ausstattung  sind 
ausgezeichnet  und  in  jeder  Beziehung  würdig  sowohl  des  In- 
haltes der  Bände  als  auch  des  Ansehens  der  Anstalt,  wo  sie  er- 
s(;beinen.  Gbs.  (Lp.) 

• 

E.  Catalan.    M^langes  niath^matiques.    Tome  troisi^me. 

Liege  M^m.  XV.  1-275. 

84  vereinigte  Noten  grösseren  oder  geringeren  Umfanges, 
mehr  oder  weniger  wichtig,  über  fast  alle  Teile  der  Mathematik 
(vgl.  F.  d.  M.  XVIII.  1886.  23),  '     Mn.  (Lp.) 


B.  Geschichte  einzelner  Disciplinen. 
R.  A.  Roberts.     Modern  Mathematics.      DabUa  Proo.  (3)  i. 

161-156. 

Eine  kurze  Skizze  der  Principien,  welche  der  Entwickelung 
der  Mathematik  im  gegenwärtigen  Jahrhundert  zu  Grunde  liegen. 
„Der  noodeme  mathematische  Gedanke  wurzelt  hauptsächlich  in 
der  mit  dem  Principe  der  Continuität  verbundenen  Theorie  der 
Projection  und  in  der  Erkenntnis  der  Thatsache,  dass  Winkel 
und  Längen  in  der  euklidischen  Erfahrungsgeometrie  von  einer 
gewissen  absoluten  Curve  zweiter  Ordnung  abhängen.  Auf  der 
algebraischen  Seite  hat  er  die  Theorie  der  linearen  Transforma- 
tionen und  Invarianten  gezeitigt,  zu  denen  wir  die  Erkenntnis 
des  Wertes  der  Homogenei'tät  und  der  aus  ihr  hergeleiteten 
Symmetrie  rechnen  können **.    Neben  diesem  Auszuge  dürfte  der 


26  !•  Abschnitt    Geschichte  aad  PhiloBophie. 

folgende  zur  Kennzeichnung  der  Hauptansichten  der  Skizze  ge- 
nügen: „Es  erscheint  jetzt  die  Theorie  der  lavarianten  and  der 
Übrigen  Erzeugnisse  des  modernen  mathematischen  Gedankens 
als  ein  ebenso  notwendiger  Teil  des  mathematischen  Wissens 
wie  die  Differential-  und  Integral-Rechnung.  Wir  haben  manche 
andere  neuen  Gedanken  in  die  Mathematik  'einfahren  sehen,  wie 
z.  B.  Hamilton*s  Quaternionen  und  die  Grassmann'schen  Metho- 
den; allein  wir  haben  nicht  die  Ueberzeugung,  dass  sie  einen 
notwendigen  Teil  unseres  Wissens  bilden.  In  der  That  hat  sich 
neuerdings  ein  zu  grosses  Bestreben  geltend  gemacht,  solche 
Rechnungen  einzubürgern;  doch  scheinen  sie  in  blosse  Spielereien 
auszuarten,  und  ich  glaube  auch,  dass  sie  nicht  dazu  genützt 
haben,  irgend  welche  neuen  Resultate  zu  erlangen,  sondern  dass 
sie  sich  dem  Streben  danach  als  nachteilig  erweisen.^ 

-  Gbs.  (Lp.) 

F.  Ungbr.  Die  Methodik  der  praktischen  Arithmetik 
in  historischer  Entwickelung  vom  Ausgange  des  Mittel- 
alters bis  auf  die  Gegenwart  nach  den  Originalquellen 

bearbeitet.      Leipzig.  Tenboer.  1888.  XII -i- 240  S. 

Der  Verfasser  verteilt  den  Stoif  in  drei  Perioden,  welche  er 
mit  den  Stichwörtern:  „Einseitige  Gedächtniskultur  oder  Mecha- 
nismus, Betonung  der  beweisführenden  Lehrart,  Verfechtung  von 
Principien^  kurz  kennzeichnet  und  bezw.  von  ca.  1450-1700, 
17004800,  1800  bis  heute  reichen  lässt. 

In  einem  einleitenden  Abschnitt  wird  von  den  Schulverhält- 
nissen des  15..  und  16.  Jahrhunderts,  dann  (S.  35-112)  von  den 
fiber  Arithmetik  handelnden  Schriftstellern  und  dem  Betrieb  dieses 
Wissens-  und  Kunstzweiges  in  jenen  Zeiten  gebandelt,  und  hier 
ist  des  Berichterstatters  „Rechnen  im  16.  Jahrhundert''  als  Vor- 
arbeit und  Modell  deutlich  erkennbar;,  kflrzer  (S.  112-136)  wird 
das  17.  Jahrhundert  abgemacht,  etwas  ausführlicher  (S.  137-173) 
das  18.  und  hier  insbesondere  die  Reform  der  Methode  und  die 
Einführung  des  sog.  Kopfrechnens  berücksichtigt.  Betreffs  der 
dritten    Periode   finden    die   nacheinander  als  Grundlagen  alles 


Capitel  1.    Geechichte.  27 

Bechenunterrichtes  verfocbtenen  Principien  ihre  geschichtliche 
DarstelluDg,  Bämlich  die  Anschauung  (Pestalozzi),  die  allseitige 
Zablbehandlung  (Grube),  das  Zählen  (Knilling),  sowie  bezQglich 
des  angewandten  Rechnens  das  Princip  der  konzentrischen'  Er- 
weiterung und.  der  Einfluss  der  mehr  und  mehr  sich  einbtlrgern- 
den  Zehnteiiung  der  Maasse.  Tn. 


Fr.  Ungkr.     Dhs  älteste  deutsche  Rechenbuch.     Heraus- 
gegeben  und  tibersetzt  von  Fr.  Ungar.       Schiomiich    z. 

XXXIII.  Hl.  A.  125-145. 

Bei  seinen  geschichtlichen  Studien,  deren  Ergebnis  in  der 
oben  besprochenen  Schrift  vorliegt,  stiess  der  Verfasser  auf  die 
seit  1851  wiederholt  gedruckte  Erwähnung  eines  alten,  wohl  in 
oder  kurz  vor  dem  Jahre  1445  in  niederdeutscher  Sprache  abge- 
fassten  „Algorismus'',  d.  h.  einer  Anweisung  f&rs  Ziffernrechnen, 
welche  handschriftlich  erhalten  ist  in  dem  Sammelbande  F.  VII, 
12  der  Baseler  Universitätsbibliothek.  Diese  Anweisung  wird 
hier  abgedruckt,  in  heutiges  Deutsch  übersetzt  und  mit  wenigen 
kurzen  erklärenden  Anmerkungen  begleitet.  Tn. 


P.  D21WIN8KI.     ^Algoritmus*  von  Thomas  Klos.   Lemberg. 

8«.  24  8.  (Polnlacb.) 

Eine  Beschreibung  des  ältesten  in  polnischer  Sprache  ver- 
fassten  Rechenbücbleins  aus  dem  Jahre  1538.  Dn. 


w 

K.  HuNRATH.     Zur  Geschichte  der  annähernden  Berech- 
nung  quadratischer  Irrationah'täten.    Scblömilch  z.  xxxrii. 

Hl.  A.  1-12. 

Der  Verfasser  giebt  hier  als  Nachträge  zu  seiner  1884  unter 
dem  fast  wörtlich  gleichen  Titel  erschienenen  Brochüre  eine  An- 
zahl von  Zahlenbeispielen,  welche  Schriftstellern  wesentlich  des 

16.  und  17.  Jahrhunderts  entnommen  sind  und  ya'4- 6.  entweder 


28  I-  Abschnitt.    Geschichte  ond  Philosophie. 

als  =  a  +  -^ — TT-  oder  als  =  o  +  7^—  behandeln,  aber  auch  Bei- 
2a +1  2a  ' 

spiele  fttr  ^n  =  Yna^  :a.  Tn. 


J.  L.  Heiberg.       Kleine    Anecdota    zur    byzantinischen 
Mathematik.    Schiömiich  z.  xxxiii.  Hl.  a.  16M70. 

Bei  seinem  zur  Herausgabe  von  Archimeds  und  Euklids 
Werken  nötigen  Studium  altgriechischer  .Handschriften  fand 
Heiberg  in  diesen  manche  vereinzelten  Stellen,  welche  der  so 
vernachlässigten  Geschichte  byzantiniacher  Mathematik  dienen 
können  und  "wu  welchen  er  hier  deren  fftnf  im  Urtext  mitteilt 
Die  erste  bezieht  sich  auf  die  platonische  Art  der  Constmction 
zweier  geometrischen  Mittel,  die  zweite  und  dritte  auf  die  ange- 
näherte Quadratwurzelausziehung  und  deren  Durchführung  mittels 
sechzigteiliger  Brüche,  die  vierte  auf  pythagoreische  Deutung 
und  Benennung  der  sieben  ersten  ganzen  Zahlen;  die  f&nfte, 
freilich  spätbyzantinische,  giebt  —  bei  der  Seltenheit  solcher  Dinge 
doppelt  dankenswert  —  einen  griechischen  Rechenknecht  in 
Tabellenform,  nämlich  Addiren,  Subtrahiren  und  Multipliciren  je 
der  Einer,  Zehner,  Hunderter  und  Tausender,  sowie  die  ^,  ^,  j^, 
ii  '"y  ^fachen  der  Zahlen  von  1  bis  10000  bezw.  bis  1000, 
wobei  die  Ergebnisse  durch  Stammbrttche  angegeben  sind. 

Tn. 


E.  Trbgear.     The  natural  history  of  the  Roman  nume- 

rals.        Nature  XXXVIII.  Ö6ö. 

Nachtrag^  zu  einem  Artikel  des  Hrn.  Lymburn  in  Nature 
XXXVI.  555.  Lp. 

P.  Mansion.     Note  historique  sur  Ja  rhg\e  de  m^diation. 

Bibl.  Math.  (2)  II.  36. 

I 

Der  Verfasser  bemerkt,  dass  die  von  Nicolas  Chuquet  ange- 
gebene Approximationsmethode  (Mediationsregel),  von.  welcher 
bisher  keine  Anwendung  später  als  1563  bekannt  war,  auch  von 


Capitel  1.    Geschichte.  29 

Adrian  Anthonisz   um  das  Jahr   1589  benutzt,   und  von  seinem 
Sohne  Adrian  Metius  1611  beschrieben  worden  ist.  E. 


P.  Mansion.     Sur  une  table  du  papyrus  Rbind.    Broz.  s. 

8C.  XII.  A.  44-46. 

Der  Papyrus  Rbind  enthält  eine  Tabelle  zur  Zerlegung  der 

2 
Brflche  von  der  Form  ,^        ^   (von  p  =  2  bis  p  =  49)  in  Teil- 

brtlche.  Unter  allen  möglichen  Zerlegungen  scheint  der  egyp- 
tische  Verfasser  diejenige  gewählt  zu  haben,  welche  zu  einem 
letzten  Bruche  mit  kleinstem  Nenner  führt,  mit  Ausnahme  einiger 
besonderer  Fälle,  in  denen  er  einen  etwas  grösseren,  aber  durch 
&  teilbaren  Kenner  vorgezogen  hat.  Mn.  (Lp.) 


S.  Günther.     Ueber  eine  merkwürdige  Beziehung  zwi- 
schen   PappUS    Unfl    Kepler.     Bibl.  Math.  (2)  ll.  81-87. 

Herr  Günther  berichtet  hier   tlber  einen  Satz  von   Kepler, 
der,  in  moderne  Sprache  übersetzt,  die  Formel 


/ 


sinqpdfjp  =  1 — cos  9) 


0 
enthält.    Ueber  diesen  Gegenstand  hat  Kepler  zweimal  gebandelt. 
An  der  ersten  Stelle  begnügt  er  sich  mit  einem  empirischen  Be- 
weis; er  zeigt  nämlich,  indem  er  seine  trigonometrischen  Tafeln 
benutzt,  dass 

sinr  +  8in2*  +  8in3*+  .••  +8in89'  +  sin90'* 
nicht  allzuviel  von  sin  vers  90^  =  100,000  verschieden  ist,  und 
dass  der  Satz  sich  auch  in  einem  andern  Falle  annähernd  veri- 
ficiren  lässt.  An  der  zweiten  Stelle  aber  giebt  er,  mit  Anwen- 
dung eines  Lemma  von  Pappus,  die  Gründe  an,  warum  die 
Summa  aller  Sinus,  wenn  die  DilQfereuz  der  Bogen  unendlich 
klein  wird;  dem  Sinusversus  in  aller  Strenge  gleich  sei,  also 


r=5« 


lim  2  sin-^  =  sinversqp. 

Was   die  eigentliche   Herleitung    dieses   Satzes    betrifft,   so    hat 
Kepler  sie  nur  andeutungsweise  gegeben;  zwar  hat  Frisch  ver- 


30  ^-  Abachoitt.    Geschichte  and  Philoeophie. 

sucht,  den  wahrscheinlichen  Weg  Kepler's  zu  ermitteln,  aber 
Herr  Gttnther  weist  nach,  dass  dieser  Versuch  eine  entschiedene 
Schwäche  hat,  und  begnügt  sich  mit  der  Thatsache,  dass  Kepler 
wirklich  eine  Summation  vollzogen  hat,  die  einer  modernen 
Integration  genau  entspricht.  E. 


K.  MiWA.      Ueber    die   Einführung    einer    neuen    unab- 
hängigen Variablen  in  Differentialgleichungen.      Tokio 

math.  Ges.  III.  245-248.  (Japanisch.) 

Einige  Beispiele  der  Integration  von  Differentialgleichungen 
durch  Einführung  einer  neuen,  unabhängigen  Variablen. 

_  *        E. 

C.  A.  Bjerknes.     La  tentative  de  Degen  de  g^n^raliser 
le  thöorfeme  d'addition  d'Euler.    Bibi.  Math.  (2)  II.  1-2. 

In  seiner  Biographie  über  Abel  erwähnt  Bjerknes,  dass  der 
dänisch^  Mathematiker  Degen  (f  1825)  das  Additionstheorem 
der  elliptischen  Functionen  zu  verallgemeinern  versucht  hat  In 
dieser  Note  giebt  er  nähere  Auskunft  über  dies  Theorem,  das 
freilich  nur  in  einem  sehr  speciellen  FaÜQ  wahr  ist.  E. 

G.  Enrström.     Sur  un   point  de  rinstoire  du  problfeme 
des  isopörim^tres.     Bibi.  Math.  (2)  IL  38. 

Die  Note  bezieht  sich  auf  die  vou  Johann  BernouUi  der 
Pariser  Akademie  der  Wissenschaften  im  Jahre  1701  übersandte 
Lösung  des  isoperimetrischen  Problems,  die  erst  1706  von  der 
Akademie  veröffentlicht  wurde.  Man  hat  bisher  angenommen, 
dass  die  Lösung  während  der  Zwischenzeit  von  der  Akademie 
aufbewahrt  wurde,  aber  aus  dem  in .  Stockholm  befindlichen 
BernouUi'schen  Briefwechel  geht  hervor,  dass  dies  Manuscript 
schon  den  23.  März  1701  an  Johann  Bernoulli  zurückgesandt 
und  erst  nach  dem  Tode  seines  Bruders  der  Akademie  wieder 
überreicht  wurde.  E. 


Capitel  1.    Geschichte.  31 

L.  Anton.  Geschichte  des  isoperimetrischen  Problems, 
eine  geschichtliche  Darstellung  der  Variationsreohnung 
von  Berhoiilli  bis  Lagrange.    Dies.  Leipzig.  77  s.  8^ 


R.  Klimpert.      Geschichte  der   Geometrie  für    Freunde 
der  Mathematik   gemeinverständlich, dargestellt.      Mit 

100    Figuren.      Stattgart.  J.  Maier.  1888.  160  8. 

Als  Bestandteil  von  Kleyer's  Encyklopädie  der  gesamten 
mathematischen,  technischen  und  exakten  Naturwissenschaften 
will  das  vorliegende  Btiehlein,  wie  es  sagt,  Nichtakademikern 
in  einem  das  Gebiet  der  höheren  Geometrie  nicht  vernachlässigen- 
den, aber  wesentlich  die  Elementargeometrie  berücksichtigenden 
Ueberblick  die  allmählige  Entwickelung  der  Geometrie  vorführen 
und  sucht  dieses  Ziel  zu  erreichen  durch  einen  gedrängten  Aus- 
zug  im  wesentlichen  aus  den  bekannten  Werken  von  Ghasles, 
Arneth,  Cantor,  Hankel  und  Suter,  wobei  viele  Stellen  dieser 
Werke  wörtlich  zur  Anführung  kommen.  Tn. 


G.  LoRiA.  Die  hauptsächlichsten  Theorien  der  Geometrie 
in  ihrer  früheren  und  heutigen  Entwickelung.  Ins 
Deutsche  Übertragen   von  F.  Schütte.     Leipzig.    Tenboer. 

1888.  8<>.  132  8. 

Das  italienische  Original  ward  im  vorigen  Jahrgange  8.  29 
besprochen.  Die  von  Herrn  Sturm  bevorwortete  deutsche  Ueber- 
setzung  bringt  vom  Verfasser  eine  viel  eingehendere  Besprechung 
der  Differentialgeometrie  und  eine  Umarbeitung  der  auf  die  Ge- 
stalt der  Curven  und  Oberflächen  und  auf  die  abzählende  Geo- 
metrie bezüglichen  Teil&,  sowie  eine  reichliche  Vermehrung  der 
Literaturnachweise.  Das  Buch  giebt  so  eine  treffliche  anschau- 
liche Uebersicht  der  hauptsächlichsten  Untersuchungsricbtungen 
der  Geometrie  unserer  Zeit.  Tn. 


32  I-  Abachnitt.     Gescbichte  nod  Philosophie. 

H.-G.  Zkuthbn.     Note  sur  Vusage  des  coordonn^es  dans 
l'antiquitä     et     sur    l'iiivention     de     cet    instrament. 

Kopenb.  Overs.  127-144. 

In  seiDem  Buche  „Die  Lehre  von  den  Kegelschnitten  im 
^  Altertum"  (1886)  hatte  der  Verfasser  den  alten  Griechen  Yer- 
ständnis  und  steten  Gebrauch  von  recht-  wie  schiefwinkeligen 
Coordinaten  bei  ihren  geometrischen  Untersuchungen  zugeschrie- 
ben, während  Günther  (1877)  Fermat  als  den  ersten  bezeichnet, 
der  solche  Kenntnis  und  Einsicht  in- deren  Nutzen  gehabt  habe. 
Gegen  diese  Auffassung,  zur  Verteidigung  seiner  eigenen,  ist  der 
angeführte  Aufsatz  geschrieben:  die  Priorität  Fermat's  Tor  Des- 
cartes  stehe  ja  gar  nicht  fest,  übrigens,  wenn  sie  auch  gesichert 
wäre,  so  sei  Fermat  gerade  durch  sein  eifriges  Studium  des 
ApoUonius  auf  die  Coordinaten  gekommen,  und  die  Art,  wie  er 
sie  verwende,  zeige  deutlich,  dass  er  sie  bei  den  Alten  geschöpft 
habe.  Somit  sei  und  bleibe  wahr,  dass  .,, diese  letzteren  volles 
Bewusstsein  vom  Nutzen  dieses  Hülfsmittels  gehabt,  haben''-, 
Astronomie  und  Geographie  bewiesen  dies  ebenfalls.      Tn. 


E.  Lehmann.     De  la  Hire  und  seine  Sectipnes  conicae.. 

I.    Teil.      Pr.  GymD.  Leipzig  für  1887/88.  Leipiig.  4».  28  S. 

In  dem  Bestreben  die  sog.  neuere  Geometrie  mit  den  Me- 
thoden der  Alten  in  organische.  Verbindung  zu  setzen,  zugleich 
in  Ausführung  des  Gedankens,  diese  Verbindung  für  die  Wende- 
zeit eines  Desargues  und  Pascal  möglichst  augenfällig  nachzu- 
weisen, giebt  der  Verfasser,  da  ja  der  Genannten  Werke  ver- 
loren gegangen,  eine  Bearbeitung  eines  Teiles  des  Hauptwerkes 
von  de  la  Hire  (1640-1718),  welcher  jenen  zeitlich  und  geistig 
nahe  genug  steht.  Lehmann  entnimmt  den  ersten  flinf  und  dem 
siebenten  unter  den  9  Büchern  der  Sectiones  conicae  (aus  dem 
Jahre  1685)  die  wichtigsten  Lehrsätze'  und  Aufgaben  derart, 
dass  so  Grundlage  und  Hauptpfeiler  des  Lehrgebäudes  der  Kegel- 
schnitte deutlich  vor  Augen  treten  und  der  Zusammenhang  mit 
altgriechischen  Ergebnissen  und  mit  heutiger  elementarer  Be- 
handlungsweise    sich    klar   herausstellt.     Auf  wenigen    Blättern 


Oapitel  1.    Geschichte.  83 

sucht  er  so  die  Grundgedanken  von  120  enggedruckten  Folio- 
Seiten  vorzufahren,  veröffentlicht  davon  freilich  in  der  vorliegen- 
den Programmbeilage  zunächst  nur  das  auf  die  beiden  ersten 
Bücher  Bezügliche,  die  Fortsetzung  für  das  nächste  Jahr  ver- 
sparend;  Geschichte,  Methodik  und  Pädagogik  werden  ihm  Dank 
wissen  für  seine  Arbeit.  Tn. 


M.  CuRTZB.     üeber  einen  De  La  Hire  zugeschriebenen 

Lehrsatz.      Bibl.  Math.  (2)  II.  65-66. 

Diese  Note  ist  veranlasst  durch  einen  Aufsatz  von  Herrn 
Le  Paige  im  vorigen  Jahrgang  der  „Bibliotheca  Mathematica^ 
(vgl.  F.  d.  M.  XIX.  1887.  31).  Herr  Curtze  bemerkt,  dass  der 
fragliche  Satz  schon  von  Copernicus  aufgestellt  worden  ist. 

E. 

H.  Schubert.  Die  Quadratur  des  Zirkels  in  berufenen 
und  unberufenen  Köpfen.  Eine  kulturgeschichtliche 
Studie.  [Neue  Folge,  dritte  Serie,  Heft  67  der  Samm- 
lung gemeinverständlicher  wissenschaftlicher  Vorträge, 
herausgegeben    von    Virchow    und    v.   HoltzendorflF.] 

Hamburg.  1888.  8^  40  S. 

Nach  einer  Schilderung  des  hohen  Alters,  des  steten  Reizes 
and  des  Wesens  der  Aufgabe  werden  die  Bemühungen  der  Alten 
und  des  Mittelalters  um  wahre  und  scheinbare  Lösung  derselben 
dargelegt,  es  wird  die  durch  Erfindung  der  Differentialrechnung 
gebrachte  Förderung  der  bezüglichen  Zahlenrechnungen  erläutert 
und  endlich  wird  Über  den  durch  Lambert  (1761)  begonnenen, 
durch  Lindemann  (1882)  vollendeten  Nachweis  der  Unmöglichkeit 
einer  Lösung  berichtet.  Tn. 


H.  Weissenborn.     üeber  die  verschiedenen  Namen  des 
sogenannten  geometrischen  Quadrates.  Bibl. Math. (2)  ii.  37. 

Herr  Weissenborn  stellt  die  yerschiedenen  Namen  zusammen, 
die  im  Mittelalter  dem  geometrischen  Quadrate  gegeben  worden 

FortMbr.  d.  Math.  XX.  1.  3 


34  I*  Abscboitt.    Geschichte  and  Philosophie. 

Bind;   anter  diesen  finden  sich  z.  B.  „Astrolabium^,   ^Gnomon' 
und  sogar  ganz  allgemein  „Instrumentum^.  E. 


G.  LoRiA.     Notizie  storicbe  sulla  geometria  numerativa. 

Bibl.  Math.  (2)  II.  39-48,  67-80. 

Enthält  eine  kurze  Uebersicht  über  die  Geschichte  der  ab- 
zählenden Geometrie.  Als  Vorbereitungen  zur  Entwickelung  der 
abzählenden  Geometrie  rechnet  der  Verfasser  gewisse  Abband- 
lungen und  Sätze  von  Steiner,  sowie  einige  Untersuchungen  über 
ebene  Curven  von  Jonquiöres.  Die  eigentliche  Geschichte  der 
abzählenden  Geometrie  beginnt  erst  mit  Chasles,  dem  Schöpfer 
der  Theorie  der  Charakteristiken  der  Systeme  von  Curven 
oder  Flächen,  welche  Theorie  später  von  ihm  selbst  und  vielen 
anderen  Forschern  ausgebildet  und  auf  neue  geometrische  Ge- 
bilde (z.  B.  Dreiecke)  ausgedehnt  wurde.  Chasles  hat  auch  das 
Verdienst  das  Correspondenzprincip  entdeckt  zu  haben,  eine 
Entdeckung,  durch  deren  Verallgemeinerung  und  Anwendung 
auf  verschiedene  Gebilde  eine  Menge  von  interessanten  Resul- 
taten gewonnen  worden  ist.  Einen  wichtigen  Beitrag  zur  ab- 
zählenden Geometrie  enthalten  die  Abhandlungen  von  Clebsch 
und  Fouret  über  den  Zusammenhang  zwischen  Systemen  von 
ebenen  Curven  und  gewissen  Differential  -  Gleichungen  erster 
Ordnung.  Ferner  ist  die  abzählende  Geometrie  durch  viele  Ge- 
lehrte, unter  welchen  besonders  Halphen  und  Schubert  zu  nennen 
sind,  weiter  entwickelt,  und  durch  die  bekannte  Arbeit  des 
Letzteren:  ^Kalkül  der  abzählenden  Geometrie*^  (1879)  zu  einem 
selbständigen  Zweige  der  Mathematik  erhoben  worden. 

E. 

E.  Gklcich.     Entwurf  einer  Geschichte  der  Gesetze  des 

StOSSes.      Schlomilch  Z.  XXXIII.  HI.  A.  41-58,  81-89. 

Nach  kurzer  Erwähnung  der  Ansichten  von  Aristoteles, 
Galilei  und  Mersenne  Über  den  Stoss  werden  der  Reihe  nach  die 
Anschauungen  und  Schlussfolgerungen  folgender  Autoren  ein- 
zeln besprochen:  Descartes  (Princip.  philos.  Pars  II,  Prop.  46  sq.) 


Gapitel  1.    Geschichte.  35 

and  seine  Schaler,  Marc  Marei,  Wallis,  Wren,  Huygens,  Kästner, 
Lambert,  Euler,  Karsten,  Mariotte  und  NoUet,  Musschenbroek, 
Maupertuis  u.  a.  Das  neunzehnte  Jahrhundert  ist  also  gar  nicht 
berQcksichtigt  worden;  für  die  behandelte  Zeit  nimmt  der  Verf. 
auf  scBon  vorhandene  Darstellungen  nicht  Bezug,  z.  B.  auf 
PoggendorfTs  Geschichte  der  Physik,  Mach's  Mechanik  in  ihrer 
Entwickelung  u.  s.  w.  Das  Gitat  des  Werkes  von  Marc  Marci 
giebt  den  Titel  der  Fortsetzung  vom  Jahre  1648,  nicht  den  der 
ersten  Veröffentlichung  von  1639;  dadurch  erst  wird  die  Angabe 
des  Textes  verständlich,  dass  M.  die  Gesetze  des  Stoffes  dreissig 
Jahre  vor  Wallis,  Wren  und  Huygens  (1669)  veröffentlicht  habe. 

Lp. 

E.  Wohlwill.     Hat  Leonardo  da  Vinci  das  Beharrungs- 
gesetz gekannt?     BibL  Math.  (2)  IL  19-26. 

Durch  Venturi's  Untersuchungen  über  das  Verhältnis  des 
Leonardo  da  Vinci  zum  Beharrungsgesetz  war  man  bisher  anzu- 
nehmen geneigt,  dass  Leonardo  dies  Gesetz  gekannt,  wenngleich 
nicht  ganz  klar  formulirt  habe.  Da  aber  einige  Aussprüche  der 
neuerdings  publicirten  Manuscripte  Leonardo's  sich  mit  dieser 
Auffassung  nicht  in  Einklang  bringen  Hessen,  so  hat  Herr 
Wohlwill  diese  Frage  näher  untersucht,  und  nach  sorgfältiger 
Prüfung  des  zugänglichen  Materials  ist  er  zu  dem  ßesultate  ge- 
langt, dass  Leonardo  das  Beharrungsgesetz  nicht  gekannt  hat. 
Vielmehr  hat  Leornardo  deutlich  angegeben,  dass  auch  da,  wo 
kein  Widerstand  vorhanden  ist,  die  Bewegung  aufhören  wird, 
wenn  ein  gewisser,  von  der  Natur  der  Kraft  abhängiger,  Weg 
zurückgelegt  ist.  Doch  bemerkt  Herr  Wohlwill,  dass  dieses  Re- 
sultat insofern  nur  als  ein  vorläufiges  betrachtet  werden  kann, 
als  viele  Handschriften  noch  unvollständig  durchforscht  sind, 
und  es  also  mOglich  ist,  dass  der  angegebene  Standpunkt 
Leonardo's  in  späteren  Jahren  von  ihm  überwunden  worden 
ist.  E. 

P.  Vbdel.      Prineipet    af    den    mindste    MadestAnd. 

Zeuthea  Tidss.  (5)  VI.  13-22. 

3* 


36  I.  Abschnitt.    Gescbfehte  and  Philosophie. 

Das  PriBoip  des  geringsten  Widerstandes.  Es  werden  die 
verschiedenen  Auffassungen  und  Beweise  von  Moseley's  „principle 
of  least  resistance^  kritisirt,  und  es  wird  versucht,  das  Princip 
aus  Gauss'  ^Princip  des  kleinsten  Zwanges''  herzuleiten.  Zuletzt 
wird  das  Princip  durch  ein  Beispiel  erläutert.  *V. 


F.  Grubk.     Zur  Geschiebte  des  Problems  der  Anziehung 
der   Ellipsoide.      I[.  Teil.     (Laplace    und    Legendre.) 

Schleswig.  Pr.  Königl.  Domschale.  (Nr.  273)  28  S.  4^ 

Der  erste  Teil  der  vorliegenden  Arbeit  ist  1883  ebenfalls 
als  Programmbeilage  erschienen  und  in  F.  d.  M.  XV.  861  ange- 
zeigt worden.  Der  Verfasser  führt  im  Auszuge  folgende  Ab- 
handlungen vor:  1)  Legendre:  Recherches  sur  Fattraction  des 
spheroides  homogenes  (M6m.  des  Sav.  ätr.  X.  1785,  gedruckt 
1783).  2)  Laplace:  o)  Theorie  du  mouvement  et  de  la  figure 
elliptique  des  planetes  (1784).  ß)  Theorie  des  attractions  des 
sph6roides  (Bist,  de  TAc.  Roy.  des  Sc.  1782,  gedruckt  1785). 
y)  M6canique  Celeste.  T.  II,  Livre  VII,  Chap.  I  (1799).  3)  Legendre: 
Memoire  sur  les  integrales  doubles  (Eist,  de  TAc.  Roy.  des  Sc. 
1788).    4)  Laplace:  M^canique  Celeste.  Livre  III,  chap.  II. 

In  der  ersten  Arbeit  findet  sich  die  Anziehung  för  innere 
Punkte  zum  ersten  Male  durch  das  heute  als  Endergebnis  be- 
kannte elliptische  Integral  dargestellt;  für  einen  beliebigen 
äusseren  Punkt  hat  Legendre  ebenda  die  Lösung  nur  beim  Ro- 
tationsellipsoid zum  Abschluss  gebracht.  Die  Verallgemeinerung 
des  Resultates  auf  das  dreiaxige  Ellipsoid,  die  Legendre  in  dieser 
Arbeit  vermutete,  hat  er  erst  in  Nr.  3)  ausgeführt  Zwischen 
beide  Legendre'sche  Arbeiten  fallen  die  unter  2)  von  Laplace 
genannten,  „in  welchen  die  Untersuchungen  über  unser  Problem 
ihren  Höhepunkt   erreicht   haben.     Hier  finden  wir  nämlich  den 

;  ersten  Beweis    von    der   allgemeinen  Gültigkeit  des  Maclaurin'- 

schen  Satzes'^.    Für  das  dreiaxige  Ellipsoid  hat  demnach  Laplace 

I  zuerst  die  Anziehung  bestimmt,  die  ein  äusserer  Punkt  erleidet. 

(Vgl.  Heine,  Handbuch  der  Eugelfunctionen.     Vorrede  zur  ersten 
Auflage.)  Lp. 


Gapitell.    GeBobichte.  37 

A.  Hbllbr.      Die  bewegenden  Ideen   in  der  physikali- 
schen  Forschung    des    XIX.   Jahrhunderts.      Math,  na- 

tarw.  Ber.  ÜDgaro.  VI.  200-210. 

In  dieser  Antrittsrede  (Akademiesitzung  yom  16.  April  1888) 
schildert  der  Verfasser  zunächst  kurz  die  wissenschaftlichen  An- 
sichten und  Theorien  vom  sechzehnten  Jahrhundert  an,  und  ftthrt 
dann  näher  aus,  wie  fttr  unser  Jahrhundert  die  Ideen  der  Er- 
haltung und  äquivalenten  Transformation  der  Energie,  ergänzt 
durch  die  Idee  der  Entropie  und  durch  die  Potentialtheorie,  und 
als  zweite  Art  der  Abstraction  die  Theorie  der  Materie  die  Angel- 
punkte des  physikalischen  Denkens  bilden.  Lp. 


Helb  Shaw.     Perpetual  motion.     Natare  xxxvii.  254-256. 

Eine  kurze   Ueber^icht   Ober   die   verfehlten  Versuche,  ein 
Perpetuum  mobile  zu  construiren.  Lp. 


T.  Bbrtklli.     Di  alcune  teorie  e  richerche  elettro-sismiche 
antiche  'e  moderne.    Bodo.  Ball.  XX.  481-542. 

Erstattet  Bericht  Über  ein,  wie  es  scheint,  seltenes  Buch  von 
Sarti  (1783)  und  wiederholt,  diesem  folgend,  alle  die  bis  dahin 
aufgestellten  Vermutungen  Ober  die  Ursache  der  Erdbeben  und 
prOft  sodann  unter  wortlicher  Anführung  vieler  Belegstellen  die 
seitdem  über  den  gleichen  Gegenstand  vorgebrachten  Hypothesen 
und  Theorien.  Das  Verzeichnis  der  behandelten  102  bezüglichen 
Schriftsteller  steht  S.  537-542;  ein  interessantes  Verzeichnis  von 
155  bis  zum  Jahre  1783  stattgehabten  Erdbeben  und  vulkanischen 
ÄasbrQchen  steht  S.  531-535.  Tn. 


A,  M.  Clerke.  Geschichte  der  Astronomie  während  des 
19.  Jahrhunderts.  Gemeinfasslich  dargestellt  von 
A.    M.    Clerke.      Autorisirte    deutsche    Ausgabe    von 

H.    Maser.     Berlin.  Springer.  1889.  XV -1-540  8. 

Uebersetzt  nach  der  zweiten  Auflage  des  1885  erstmals  von 


38  I.  Abschnitt.    OeBchichte  nnd  Philosophie. 

der  Verfasserin  herausgegebenen  Originals,  führt  dieses  anf  einen 
grösseren  Leserkreis  berechnete  Buch  die  seit  des  älteren  Her- 
schel's  Zeiten  gemachten  Fortschritte  der  Wissenschaft  des  Himmels 
vor  Augen,  ausserdem  die  Fortschritte  in*  den  HOlfsmitteln  wie  in 
den  Ergebnissen  der  Himmelsforschung,  und  giebt  zugleich  reich- 
liche Hinweise  auf  die  literarischen  Quellen.  Die  Mitte  des  Jahr- 
hunderts als  ungefähre  Grenzseheide  benutzend,  zerlegt  die  Ver- 
fasserin den  überreichen  Stoff  in  zwei  Abschnitte  von  64+13 
Gapitiln  (auf  153  +  341  Seiten)  derart,  dass  in  jedem  Abschnitt 
zuerst  die  Gesamtauffassung,  dann  die  Lehre  von  der  Sonne, 
hierauf  die  von  den  Planeten  und  Satelliten,  yon  den  Kometen, 
endlich  von  den  Instrumenten  und  von  der  Entwickelung  der 
Forschungshülfsmittel  überhaupt  zur  Besprechung  gelangt  Her- 
schel's  Untersuchungen  über  den  Bau  des  Himmels  bilden  den 
Hauptgehalt  des  ersten  Abschnittes,  die.  Entdeckung  der  Sonnen - 
flecken,  der  Erdmagnetismusperiode  und  der  Spektralanalje  be- 
stimmen den  Charakter  des  zweiteu.  Eine  der  Zeitfolge  nach 
geordnete  Tabelle  von  245  der  wichtigsten  Forschungsergebnisse 
aus  den  Jahren  1774  bis  1887,  sowie  ein  besonderes  Namen- 
und  ein  Sachregister  bilden  den  Schluss.  Tn. 


G,  BiLFiNGER.       Die    babylonische    Doppelstunde;    eine 
chronologische  Untersuchung.    Stuttgart.  1888.  Wildt. 

Während  man  gewöhnlich  auch  die  Sexagesimalteilung  der 
Zeit  auf  die  Bewohner  des  Zweistromlandes  zurQckzufÜhren  unter- 
nimmt, fehlt  es  doch  dafür  an  thatsächlichen  Belegen,  denn  wirk- 
lich nachweisen  lässt  sich  die  Minutenteilung  erst  bei  dem  Araber 
Albiruni  (um  1000  n.  Chr.).  Aus  griechischen  Angaben  sowol 
wie  aus  den  Ergebnissen  der  Keilschriftforschung  scheint  zu 
folgen,  dass  die  Babylonier  als  Normalzeitmass  einen  Zeitraum 
von  zwei  gewöhnlichen  Stunden  betrachteten,  welcher  haspu  oder 
asla  genannt  wird.  Dieser  Haspu  scheint  auch  nach  Griechenland 
übertragen  worden  zu  sein,  denn  es  mangelt  nicht  an  Andeu- 
tungen dafür,  dass  wga  als  Doppelstunde  gebraucht  wurde.  Zu- 
erst kommt  hiefür  der  sogenannte  Papyrus  des  Eudoxus  in  Be- 


Cftpitel  1.    Geschichte.  39 

tracht,  dann  aber  vermochte  der  Verrasser  auch  bei  dem  Bischöfe 
Epipbanius  (IV.  Jahrhundert  n.  Chr.)  an  fünf  verschiedenen 
Orten  einen  Hinweis  auf  die  den  zwölften  Teil  der  scheinbaren 
Umdrebungsdauer  des  Himmels  umfassende  ^Stunde^  zu  erkennen. 
Unsicherer  sind  gewisse  Stellen  bei  Hyginus  und  Ausonius,  be- 
stimmter spricht  sich  wieder  Beda  Venerabilis  aus,  und  ganz 
unzweideutig  sagt  das  Ghronicon  paschale,  das  tropische  Jahr 
betrage  365  Tage  „und  drei  Stunden^.  Beim  Begriffe  „Tag*' 
bemerken  wir  einen  ganz  ähnlichen  Vorgang:  bald  denkt  man, 
wenn  man  dieses  Wort  ausspricht,  an  den  „Lichttag",  bald  an 
die  Zeitdauer,  welche  durch  die  Acbsendrehung  der  Erde  be- 
stimmt ist.  In  Europa  hat  sich  anscheinend  die  Rechnung  nach 
Doppelstunden  niemals  heimisch  gemacht,  sondern  nur  in  Aegypten, 
Vorderasien  und  Mesopotamien,  auf  welch'  letzteres  Land  eine 
an  sieh  schwer  verständliche  Erzählung  des  Achilles  Tatius  von 
der  bei  den  Chaldäern  bestehenden  Identität  zwischen  einem 
Längen-  und  einem  Zeitmasse  hinweist.  Bezeugt  wird  ferner, 
dass  wenigstens  in  früherer  Zeit  auch  der  chinesische  Volltag  in 
zwGlf  gleiche  Teile  zerfiel ;  man  kann  dem  Verfasser  beipflichten 
in  der  Annahme,  dass  diese  Zählweise  aus  Westasien  nach  dem 
fernen  Osten  gelangte,  ohne  deswegen  doch  mit  ihm  der  ge- 
samten Mathematik  und  Astronomie  der  Chinesen  einen  griechi- 
schen (alexandrini sehen)  Ursprung  zuzuschreiben.  Dafür  tragen 
diese  Disciplinen  ein  viel  zu  eigenartiges,  den  Charakter  des 
Volkes  zum  Ausdruck  bringendes  Gepräge.  —  Von  Epping  ist 
neuerdings  die  Existenz  der  Doppelstunde,  deren  Namen  er  jedoch 
kasba  schreibt,  gleichfalls  zugestanden  worden,  indem  nämlich 
gewisse  Keilschrifttexte  Ober  Mondfinsternisse,  deren  Dauer  man 
ja  durch  Nachrechnung  zu  controlliren  im  Stande  ist,  nur  dann 
verständlich  werden,  wenn  man  die  Stunde  zweimal  so  lang 
nimmt,  als  es  heutigen  Tages  gebräuchlich  ist.  6r. 


P.  Tannsrt.     La  grande  ann^e  d'Aristarque  de  Samos. 

Bordeaux  M6m.  (3)  IV.  79-96. 

* 

Der  Verf.  hat  bei   seiner   ersten   Studie  über  Aristarch  aus 


40  I.  Abschnitt.    Geschichte  and  Philosophie. 

SamoB  (Bordeaux  Möm.  (2)  V.  237)  vom  Jahre  1883  eine  ▼on 
GensorinuB  (De  die  natali,  18,  19)  gelieferte  Nachricht  nicht 
beachtet,  weil  die  betreflfenden  Stellen  verderbt  sind.  Sein  grosses 
Jahr,  d.  i.  die  Zeit,  nach  welcher  alle  Gestirne  wieder  zu  ihren 
Anfangsstellungen  am  Himmel  zurflekkehren,  wird  dort  zu  2484 
Jahren  angegeben,  die  Jahresdauer  zu  365|^  Tag  plus  ^^  Tag*. 
Hr.  Tannery  zeigt,  dass  die  Gorrectur  2434  fttr  2484  beide 
Zahlen  völlig  in  Uebereinstimmung  unter  sich  und  mit  der 
chaldäischen  Periode  bringt.  Letztere  Periode  (bei  Geminus  und 
Ptolemaeus)  umfasst  6585^  Tage,  ihr  Dreifaches  oder  der  Exe- 
ligmos  19756,  endlich  der  45  fache  Exeligmos  889020  Tage 
=  2434  siderische  Sonnenjahre  mit  32539  siderischen  Mondum- 
laufen,  274  Umläufen  des  Perigäums,  131  der  Knoten  (32266 
anomalistische,  32670  drakonitische  Umläufe).  Im  weiteren  Ver- 
laufe werden  die  verschiedenen  grossen  Gyklen  des  Altertums 
besprochen,  besonders  auch  die  Frage,  in  wie  weit  bei  ihnen 
wohl  die  Umläufe  der  Planeten  berttcksichtigt  worden  seien ;  der 
Verf.  meint,  eine  verneinende  Antwort  sei  einzig  möglich. 

.  Lp. 

A.  Wittstein.    Historische  Miscellen.   SchiömiichZ.xxxiiL 

Hl.  A.  96-97. 

Enthält  zwei  Richtigstellungen:  die  erste,  gegen  R.  Wolf  ge- 
richtet, weist  dessen  Behauptung  eines  Gebrauches  von  Wasser- 
uhren durch  die  altgriechischen  Astronomen  als  nicht  durch  die 
Ueberlieferung  begrQndet  zurück,  die  zweite  stellt  ein  unrichtiges 
Citat  des  jüngeren  Sädillot  zurecht,  nach  der  A.  Jaubert  eine  eigene 
Abhandlung  über  den  Eompass  zugeschrieben  hatte.  Tn. 


M.  Steinschneider,      üeber    das    Wort    Almanach. 

Bibl.  Math.  (2)  11.  13-16. 

Anschliessend  an  einen  1884  erschienenen  Aufsatz  vom 
Fürsten  Boncompagni  giebt  Herr  Steinschneider  einige  Notizen 
über  das  Wort  Almanach.  Was  die  Herleitung  des,  Wortes  be- 
trifft, muss  er  diese  Frage  ungelöst  lassen,  da  es  sich  weder  im 


Capitel  1.    Geschichte.  41 

Arabischen  noch  im  Hebräischen  findet;  dagegen  weist  er  das 
arabische  Synonymen  „Takwim^  (Tabelle)  in  verschiedenen  la- 
teinischen Arbeiten  ans  dem  Mittelalter  nach.  Betreffs  der  Ein- 
fQbrang  des  Wortes  Almanach  in  die  europäischen  Sprachen  hat 
es  Fürst  Boncompagni  bekanntlich  wahrscheinlich  gemacht,  dass 
dasselbe  durch  den  Titel  der  astronomischen  Tabellen  des 
Prophatius  Judaeus  (1300)  in  Gebrauch  gekommen  sei\  Um  einige 
Beiträge  zur  Entscheidung  dieser  Frage  zu  geben,  führt  Herr 
Steinschneider  16  lateinische  Manuscripte  aus  dem  Mittelalter  an, 
wo  das  Wort  vorkommt.  Leider  unterliegen  die  Datirungen  der 
ältesten  dieser  Handschriften  chronologischen  Zweifeln;  sonst 
wäre  das  Vorkommen  des  Wortes  schon  im  Jahre  1231  bewiesen. 

E. 

Terzo    centenario    dalla    promiilgazione    dal  Calendario 

Gregoriano.     Rom.  Acc  Pont.  d.  N.  L.  Mem.  I.  1-68. 

6.  Alimonda.    L'aureola  della  scienza  alla  chiesa  nella 
riforma  del  calendario.    Ibid.  7-43. 

St.  Fbrrabi.      La   riforma   Gregoriana   del    calendario. 

Ibid.  45-58. 

Die  Accademia  Pontificia  dei  Nuovi  Lincei  hat  am  7.  Juni 
1883  ant^r  dem  Vorsitz  des  Gonte  Ab.  Francesco  Castracane  im 
Verein  mit  den  päpstlichen  Akademien  d'Arcadia  und  Tiberina 
die  dritte  Säcularfeier  der  Einführung  des  gregorianischen  Ka- 
lenders in  der  Basilica  dei  SS.  Lorenzo  in  Damaso  begangen. 
Gegenwärtig  werden  genauere  Mitteilungen  über  die  Feier  ge- 
macht, nämlich: 

1)  Die  zum  Andenken  an  diese  Feier  gestifteten  Inschriften 
(S.  3-6). 

2)  Die  Festrede  des  Kardinals  Gaetano  Alimonda. 

3)  Die  Rede  über  die  historischen  Vorgänge  bei  der  Ein- 
f&hrang  des  gregorianischen  Kalenders  von  Stanislao  Ferrari. 

4)  Verschiedene  Festgedichte.  A.  Qregorio  XIII  perturbatam 
tempornm  rationem  restituenti  gratulatur  Urania.  Lateinische 
Ode  Ton  Hilarius  Alibrandi.    B.  Nella  commemorazione  del  UV 


42  I*  Abschnitt    Geschichte  ond  Philosophie. 

centenario  del  Calendario  Gregoriano.  Italienische  Ode  Ton 
Giov.  Batt  Comm.  Aw.  De  Dominicis  TostL  C.  Vera  lue  ao 
III"«  centenaire  du  calendrier  gr^gorieo.  Fraozösisehe  Ode  von 
Anieet  Digard.  Lp. 


G.  Govi.  ,  Della  invenzione  del  micrometro  per  gli  stru- 
menti  astronomici.    Bonc.  BqU.  XX.  607-622. 

Weist  durch  Nachbildung  einer  Vollmondkarte  und  der 
darauf  enthaltenen  Inschrift  nach,  dass  der  als  Teleskopen-  und 
Mikroskopen- Verfertiger  berühmte  Eustachio  Oivini  (1610-1695) 
im  Jahre  1649  erstmals  das  Okularmikrometer  erfand  und  zur 
Herstellung  seiner  Vollmondkarte,  sowie  zur  Anfertigung  anderer 
astronomischer  Aufnahmen  dasselbe  verwendete.  Tn. 


A.  Pahdb.     Die  theoretischen  Ansichten  über  die  Eni* 
stehung  der  Meeresströmungen.     Pr.  Crefeld.  R-Gymn. 

Hippalus  soll  bereits  die  Meerströmungen  im  indischen 
Ocean  und  deren  Zusammenhang  mit  den  Monsunen  richtig  er- 
kannt haben.  Erst  im  Entdeckungszeitalter  aber  erhielt  man 
eine  ausgebreitetere  empirische  Kenntnis  von  den  progressiven 
Bewegungen  des  Meerwassers,  Eircher  entwarf  die  freilich  noch 
unvollkommene  erste  Stromungskarte,  Franklin  und  Blagden  for- 
derten die  Erkenntnis  durch  Temperaturmessungen  im  Strome 
und  ausserhalb  des  Stromes.  Der  Verfasser  bespricht  sodann, 
hauptsächlich  nach  Z&ppritz,  die  neueren  Ansichten  ttber  Circu- 
lation  des  Meerwassers  im  allgemeinen  und  erörtert  dann  die 
einzelnen  Hypothesen,  welche  hinsichtlich  der  Entstehung  der 
Strömungen  zu  verschiedenen  Zeiten  eine  gewisse  Bolle  gespielt 
haben.  Schilling  vertrat  seine  eigentümliche  Gravitationshypothese, 
Kepler,  Varenius,  Kant,  Reclus  betrachteten  die  Erdrotation  als 
den  hauptsächlichsten  Factor,  wobei  freilich  viel  zu  wenig  daran 
gedacht  wurde,  dass  die  Bewegung  der  Erde  zwar  bereits  im 
Gange  befindliche  Bewegungen  zu  beeinflussen,  nicht  jedoch  eine 


Capitel  1.    Oeflcbichte.  43. 

Bewegung  hervorzurufen  rermag.  Auch  Witte  hat  neuerdings 
bei  seinen  Untersuchungen  Über  den  Golfstrom  der  Achsendrehung 
eine  nach  der  Ansicht  Vieler  zu  einflussreiche  Thätigkeit  zuge- 
schrieben. Maury  nahm  an,  dass  Unterschiede  in  der  Verteilung 
des  specifischen  Gewichtes  resp.  der  Salinitätsstufe  die  eigent- 
liche Ursache  seien,  allein  wenn  schon  hierdurch  der  Anstos  zur 
Bildung  schwächerer  localer  Ausgleichströme  gegeben  werden 
kann,  so  doch  gewiss  nicht  zu  der  der  Strömungen  im  gewöhn- 
lichen Sinne;  Reclus  hat  freilich  einen  rechnungsmässigen  Beleg 
fQr  die  Richtigkeit  dieser  Anschauung  beizubringen  versucht, 
allein  es  fand  sich,  dass  er  den  Betrag  der  jährlichen  Ver- 
dunstung in  den  Tropen  viel  zu  hoch  angeschlagen  hatte.  Die 
Wärmedifferenzen  verschiedener  Stellen  der  Oceane  wollten  als 
Hauptfactor  anerkannt  wissen  Lionardo  da  Vinci,  Buff,  Mtthrj, 
Carpenter,  welch'  letzterer  sein  bekanntes  Wannenexperiment  als 
Analogie  des  Vorganges  in  der  Natur  erdachte.  Dass  die  Winde 
das  Wasser  mit  sich  fortreissen  und  eine  „Driftströmung"  her- 
vorrufen könnten,  daran  war  schon  früher  (Kant,  Rennell,  Mtthiy, 
Groll)  gedacht  worden,  allein  erst  Zöppritz  lieferte  den  über- 
zeugenden Beweis  dafür,  dass  die  Luftadhäsion  und  die  innere 
FlQssigkeitsreibung,  wenn  die  Winde  constant  im  nämlichen 
Sinne  wehen,  bis  in  die  grössten  Meerestiefen  hinab  das  Wasser 
in  translatorische  Bewegung  zu  versetzen  im  Stande  sind.  End- 
lich wird  noch  der  Aspirationsströme  von  Ekman  und  der  Ein- 
wirkungen gedacht,  welche  die  Konfiguration  der  Küsten,  sowie 
das  ungleichförmige  Relief  des  Meeresbodens  auf  die  Gestaltung 
der  Strömungen  ausüben.  Den  Einflus  der  Erdumdrehung  darf 
man,  wie  der  Berichterstatter  meint,  nach  den  Arbeiten  von  P. 
Hoffmann  nicht  mehr  mit  dem  Verfasser  als  fast  unwesentlich 
betrachten.  —  Die  Zusammenstellung  und  Kritik  der  einzelnen 
Anschauungsweisen  erfüllt  den  vom  Verf.  angestrebten  Zweck; 
ein  ganz  vollständiges  Bild  jedoch  gewährt  sie  nicht,  indem 
z.  B.  die  von  Vossius,  Baader,  Blazek  ausgegangenen,  des  ge- 
schichtlichen Interesses  keineswegs  entbehrenden  Erklärungs- 
Tersuche  eine  Stelle  nicht  gefunden  haben.  Gr. 


44  I-  Abschoiit    Oesohiohte  and  Philosophie. 

D.  Mannheimer.      Die  Kosmogonie    bei    den  jüdischen 
Philosophen    des   Mittelalters    von   6aadjah    bis    Mai- 

tnonides.      Dies.  Halle.  35  S.  B^ 


Capitel  2. 

Philosophie  und  Pädagogik. 

A.  Philosophie. 
DooRMANN.      Ueber    Gesetz    und    Gesetzmässigkeit. 

Prog.  GyiDD.  Brieg. 
Doormann  erörtert  eingehend  den  Begriff  der  Gesetzmässig- 
keit und  des  Gesetzes  historisch  und  kritisch  auf  allen  Gebieten 
der  Wissenschaft,  wo  er,  vom  Rechte  aus  ttbertragen,  Anwendung 
gefunden  hat.  Er  deckt  die  gefährlichen  anthropomorphistischen 
Nebengedanken  auf,  die  leicht  mit  dem  Ausdruck  auf  dem  Ge- 
biete der  Naturwissenschaft  yerbunden  werden,  bespricht  die 
engere  und  weitere  Fassung  des  Begriffes  namentlich  im  An- 
schluss  an  RQmelin  und  Mill,  verzichtet  aber  seinerseits  darauf, 
den  Begriff  in  eine  Definition  einzuzwängen.  Der  Begriffsbe- 
stimmung wohnt  eine  eigene  Schwierigkeit  inne,  die  in  der  Ver- 
schwommenheit der  Grenzen  der  Anwendbarkeit  und  in  der  un- 
klaren Vielseitigkeit  liegt,  die  keine  scharfen  Gruppierungen  ge- 
stattet. Was  die  mathematischen  Sätze  betrifft,  so  entscheidet 
sich  Doormann  nicht  recht  zwischen  den  Ansichten  Mills,  der  sie 
als  Gesetze  betrachtet  wissen  will,  und  RQmelins,  der  für  die 
Mathematik  den  Terminus  entschieden  ablehnt.  Der  Sprach- 
gebrauch fordert  die  von  Mill  geforderte  Verallgemeinerung 
nicht,  sondern  beguQgt  sich  mit  den  Ausdrtlcken :  Theoreme  und 
Lehrsätze.  Wo  von  mathematischen  Gesetzen  gesprochen  wird, 
scheint  mehr  eine  Regel  oder  eine  imperativische  Aufforderung 
als  ein  Gesetz  zum  Ausdruck  zu  kommen.  Mi. 


0^ttel2.    Philosophie  and  Pädagogik.  45 

DiBCKBRT.      lieber    das    Verhältnis    des    Berkeley'schen 
Idealismus  zur    Kantischen  Vernunftkritik.      Pr.  Oymn. 

CODltS. 

Dieckert  giebt  in  seiner  Abhandlung  eine  Darlegung  des 
Berkeley'schen  Idealismus  und  der  Eantischen  Vernunftkritik,  an 
die  sich  eine  Vergleichung  und  Kritik  beider  Systeme  anscbliesst 
Bei  der  Darstellung  der  Kantischen  Vernunftkritik  fällt  auf,  dass 
nicht  der  Gedankengang  der  ersten  Auflage  der  Kritik  der 
reinen  Vernunft,  sondern  die  Fragestellung  der  Prolegomena  zu 
Grunde  gelegt  ist^  und  bei  der  Vergleichung  beider  Systeme  ver- 
misst  Referent  die  Hervorhebung  des  Hauptunterschiedes  der- 
selben, dass  Kant  eine  logische,  Berkeley  eine  psychologische 
Untersuchung  führt,  beide  also  von  einem  ganz  verschiedenen 
Ich- Begriff  ausgehen,  jener  von  der  transcendentalen  Einheit  des. 
Bewosstseins,  dieser  vom  persönlichen  Ich.  Die  Ansichten  Dieckerts 
über  die  vollkommene  Uebereinstimmung  Kant's  und  Berkeley's 
in  den  materiellen  Principien  und  die  zur  Kritik  der  Systeme 
im  AnschluB  an  Ueberweg  und  Lange  gegebenen,  sich  gegen  den 
Idealismus  wendenden  Ideen  dürften  jedenfalls  nur  bei  einem  Teil 
der  Leser  Beistimmung  finden.  Mi. 


F.  Claussen.  Kritische  Darstellung  der  Lehren  Berkeley'« 

Über  Mathematik  und  Naturwissenschaften.    Dias.  Halle. 
36  8.  8^ 


BöHRiNGER.      Kant's  erkenntnistheoretischer  Idealismus. 

Freiburg. 

Böhringer  entwickelt  in  sorgfältiger  Analyse  Kant's  Er- 
kenntnistheorie ohne  Rücksicht  auf  die  etwa  in  praktischer  Be- 
ziehung sich  daraus  ergebenden  Consequenzen.  Der  leitende, 
unbedingt  richtige,  tlbrigens  schon  von  Riehl  scharf  betonte  Ge- 
sichtspunkt der  Darlegung  ist  die  Fernhaltung  des  psychologischen 
Vorurteils.  Kant's  Erkenntnistheorie  giebt  keine  Genesis  der 
Vorstellungen  im  einzelnen  Subjekte,  sondern  seine  auf  der 
Analyse  des  Denkobjektes  beruhende  Lehre  muss  als  ein  grund- 


46  ^*  Abschoitt.    Geschieht«  ond  Philosophie. 

legender  Teil  aller  Philosophie  betrachtet  werden.  Von  diesem 
Gesichtspunkt  aas  widerlegt  Böhringer,  dessen  Schrift  allerdings 
nur  wenig  Neues  bringen  kann,  die  Hissverständnisse  in  der 
Beurteilung  des  Kanti«chen  Apriori,  in  der  Lehre  von  den 
synthetischen  Urteilen^  in  der  Deduktion  der  Kategorien,  in  der 
Auffassung  des  empirischen  Realismus  Kant's  und  in  der  Lehre 
vom  Ding  an  sich.  Die  sich  in  den  Zusammenbang  der  Eantiseboi 
Erkenntnistheorie  vortrefflich  hineinfindende  Darlegung  Höh- 
ringer's,  die  in  der  Polemik  überall  massvoll  bleibt,  ist  eine 
empfehlenswerte  Orientierung  über  den  Eriticismus,  die  jedem 
gefallen  wird,  der  in  der  Philosophie  etwas  ausser  der  englischen 
Psychologie  anerkennt  Mi. 


-O.  Riedel.     Die   Bedeutung  des   Dings  an  sich  in   der 
Kan tischen  Ethik.     Pr.  Oymn.  Stolp. 

Riedel  verfolgt  den  Begriff  des  Dinges  an  sich  durch  die 
gesamte  theoretische  und  praktische  Philosophie  Kanl's  in  der 
kritischen  Epoche.  Das  Ding  an  sich  tritt  bereits  in  der  trans- 
cendentalen  Aesthetik  auf  und  wird  hier  durch  den  Begriff  des 
Gegebenseins  bestimmt;  es  ist  steter  Begleiter  auf  dem  ver- 
schlungenen Pfade  der  transcendentalen  Untersuchung  und  wird 
bei  der  Unterscheidung  aller  Gegenstände  in  Phaenomena  und 
Noumena  zum  Grenzbegriff.  In  der  Vorbereitung  und  Ausführung 
der  praktischen  Philosophie  tritt  es  in  den  Vordergrund  der  Er- 
örterung und  verlangt  schliesslich  einen  Platz  in  dem  kritischen 
Systeme  unter  dem  Begriffe  eines  Reichs  der  Zwecke.         Mi. 


H.  Frerichs.      Das    Vorstellen    und    das    Wirkliche. 

Pr.  Realgymn.  Eiseoach. 

Das  Vorsteflen  ist  uns  unmittelbar  gewiss,  aber  das  Wesen 
des  Vorstellens  entzieht  sich  allen  Erklärungsversuchen,  und 
seine  Beziehung  auf  ein  Wirkliches  ist  ungewiss.  Wir  treten 
nie  aus  dem  Kreise  unserer  Vorstellungen  heraus,  und  die  Ur- 
sache der  Vorstellungen  kann  auch  in  etwas  anderem,  als  einer 


Capitel  2.    Philosophie  und  Pädagogik.  47 

Wirklichkeit,  möglicberweise  in  dem  Vorstellen  selbst  enthalten 
sein.  Das  Sein  eines  Wirklichen  lässt  sich  also  nicht  beweisen, 
und  es  ist  denkbar,  dass  nichts  als  unser  Vorstellen  ist.  Aber 
die  Leagnung  der  Wirklichkeit  und  die  Conception  des  reinen 
Idealismus,  nach  dem  die  Welt  nichts  als  meine  Vorstellung  ist, 
lässt  sich  ebensowenig  beweisen,  wenn  auch  nicht  widerlegen, 
und  die  Welt  erscheint  in  dieser  Annahme  keineswegs  einfacher 
erklärt,  als  in  der  naiven  Weltauffassung.  Vielmehr  führt  die 
Unwillkörliehkeit  der  Wahrnehmungen  und  die  relative  lieber- 
einstiromung  der  Urteile  der  Menschen  viel  natürlicher  zur  hypo- 
thetischen Annahine  einer  Wirklichkeit,  und  zwar  eines  Dualis- 
mas, nach  dem  mein  Ich  wirklich  ist  und  ausser  meinem  Ich  ein 
Wirkliebes  ist,  zwischen  denen  eine  Verknüpfung  besteht.  Be- 
greiflichkeit ist  freilich  nicht  Notwendigkeit.  Will  ich  nicht  be- 
greifen, 80  kann  ich  bei  der  idealistischen  Weltanschauung  ver- 
bleiben. Aber  die  Hypothese  einer  .wirklichen  Welt  stammt  aus 
einem  inneren  Bedürfnis  des  Menschen  und  in  der  Praxis  kommt 
man  stets  zur  ursprünglichen  Auffassung  zurück.  So  die  gewiss 
correcten,  aber  keineswegs  neuen  Ausführungen  von  Frerichs. 

Mi. 


S.  ToLVKR  Prbston.      On   some  apparent  contradictions 
at  the  foundations  of  knowledge.   Natarexxxvil.  221-222. 

F.  H.  CoLLiNS.      On  some  unapparent  contradictions  at 
the  foundations  of  knowledge.     Nature  xxxvil.  294. 

Erörterungen  über  Raum  und  Zeit,  ob  Ding  oder  Nichtding 
(entity  or  non-entity)  mit  Bezug  auf  Herbert  Spencer's  „First 
prineiples''.  Nach  Hrn.  T.  P.  ist  Kaum  ein  Nichtding,  das  bloss 
im  Contrast  zur  raumerfüllenden  Materie  empfunden  wird.  Hr. 
C.  bestreitet  dies.  Lp. 

F.Max  Mollbr.    Language-reasou.    NatQreXXXVii. 324-325, 

412-414. 

St.  G.  MiVART.      Reason  and   language.     Nature  xxxvil. 

364-365,  462-463. 


4d  ^  Abschnitt.    Oescbicbto  nnd  Philosophie. 

In  Folge  der  Angriffe,  welche  Hr.  St.  6.  Mivart  gegen  den 
ersten  Aufsatz  auf  S.  323  desselben  Bandes  gerichtet  hatte,  recht- 
fertigt Hr.  Max  Müller  seine  dort  ausgesprochenen  Ansichten, 
indem  er  auf  die  nftheren  Ausführungen  derselben  in  seinem 
Buche  „Science  of  Thoughf*  verweist.  Der  Zusammenhang  die- 
ser sprachphilosophischen  Studien  mit  dem  Jahrbuche  erhellt  aus 
den  fundamentalen  Betrachtungen,  dass  ratio  =  reason,  reasoning  = 
reckoning,  dass  ferner  unser  ganzes  Denken  nach  einem  Citate 
aus  Hobbes  in  Addition  und  Subtraction  bestehe,  indem  die 
affirmativen  Sätze  ein  Addiren,  die  negativen  ein  Subtrabiren 
einer  Vorstellung  von  einem  Begriffe  anzeigen.  Lp. 


J.  E.  Olivkr.     Elementary  uotes.     Ano.  of  Math.  IV.  186-193. 

Der  Gebrauch  der  mathematischen  Zeichen  wird  besprochen, 
und  der  Verf.  macht  Vorschläge  zu  ausgedehnterer  Benutzung 
einer  allgemeinen  und  logisch-mathematischen  Bezeichnung.  So 
soll  das  Gleichheitszeichen  =  mit  einem  Punkte  darüber  =  den 
Sinn  haben  „nähert  sich  dem  Werte  nach  als  Grenze^  wobei 
die  Variable  dem  Gleichheitszeichen  als  Index  angehängt  wird. 
Das  Gleichheitszeichen  mit  einer  Ziffer  als  Index  soll  einen  Ver- 
weis auf  die  Begründung  durch  eine  vorangehende  Gleichung 
bedeuten,  ein  Komma  vor  einem  Gleichheitszeichen  soll  eine 
neue  Gleichungsfolge  einleiten,  z.B.  P  =  ^Q  =^  xR^  =  „S  ist 
zu  lesen:  P  =  Q  auf  Grund  von  Gleichung  (1)  und  P  =  S  wegen 
Gl.  (2)  und  (3),  Q—R  nähert  sich  der  Grenze  Null  (oder  Q/R 
der  Einheit),  wenn  x  seiner  Grenze  zustrebt;  mithin  R  t^  S. 
Ohne  Komma  würde  P  a^  S  sein  und  A  =  S.  Andere  Vorschläge 
übergehen  wir.  Die  so  zu  schaffende  universale  mathematische 
Zeichensprache,  gewissermassen  eine  Pasilingua  mathematica, 
ist  ja  bei  den  englisch  schreibenden  Mathematikern  beliebt;  ob- 
schon  sie  aussichtsvoUer  ist  als  die  gleichartigen  Bewegungen 
auf  dem  allgemein  sprachlichen  Gebiete,  kann  Ref.  sich  doch 
mit  dieser  Einführung  der  Begriffsschrift  in  die  Mathematik  nicht 
befreunden.  Lp. 


Capitel2.    Philosophie  nnd  Pädagogik.  49    ' 

PiGTKIBWICZ.      Algebra   in   der   Logik.      Pr.    Gymn.   Lemberg. 
(PolDisch.) 

Inhalt:  Earze  historische  Einleitung  in  die  formale  Logik, 
Grundsätze  und  Operationen  des  Logikcalculs,  Anwendung  auf 
die  Formen  des  Syllogismus,  logische  Gleichungen,  Beispiele. 

Du. 

E.  Garat.      Los    Matematicas    fuero    de    la    Lögica. 

Madrid.  (1887.)  106  S.  4». 


H.  RiCKERT.     Zur  Lehre  von  der  Definition.   Diee.  Strasa- 

burg.  66  S.  8°.  

Michaelis.     Stuart  Miirs  ZahlbegrifF.      Pr.  ChariotteDschaie 

Berlin. 

St  Mill,  der  empiristische  Psychologe  xar'  i^oxtjv,  dehnt 
seine  skeptische  Auffassung  der  logischen  Grundbegriffe  auch 
auf  die  Grundwahrheiten  der  Arithmetik  aus.  Auch  diese 
Wissenschaft  soll  ausschliesslich  aus  der  Erfahrung  hervorgehen, 
der  Weg  der  Induction  der  einzig  zulässige  sein.  Im  besondern 
wird  also  auch  das  Dasein  reiner  Zahlenbegriffe  geleugnet.  „Zehn 
muss  zehn  Erfahrungsobjecte,  zehn  Körper,  zehn  Töne  oder  zehn 
Pulsschläge  oder  Aehnliches  bedeuten.^  Ueberhaupt  soll  ein  den 
Definitionen  entsprechender  Gegenstand  nicht  existiren.  Diese 
Ansicht  yom  Wesen  der  Arithmetik,  die  übrigens  gegenwärtig 
wohl  nur  wenig  Anhänger  zählen  dürfte,  widerlegt  der  Verf.  im 
Einzelneu  durch  philosophische  Speculationen,  indem  er  nachweist, 
wie  der  ursprünglich  gesunde  Subjectivismus  bei  Mill  durch 
Uebertreibung  zu  Widersprüchen  führt.  My. 


R.  Dbdrkind.     Was  sind  und  was  sollen  die  Zahlen? 

BraQDSchweig.  Vieweg  &  Sohn. 

In  der  neueren  Zeit  tritt  das  Bestreben  mehrfach  hervor, 
der  Arithmetik  eine  festere  Grundlage  zu  geben.  Auch  die  vor- 
liegende Schrift  verfolgt   diesen   Zweck    in    einer    eigenartigen 

FortMhr.  d.  Math.  XX.  1.  4 


50  I-  Abschnitt    Geschichte  ood  Philosophie. 

Weise,  sie  geht  von  yornherein  von  dem  Prineip  aas,  dass  die 
Lehre  von  den  ganzen  Zahlen  und  ihren  Verknüpfungen  einen 
Teil  der  reinen  Logik  zu  bilden  habe,  fahrt  aber  dasselbe  weit 
eingehender  und  präciser  durch,  als  dies  bisher  je  geschehen 
sein  darfte.  Der  Standpunkt  des  Verfassers  wird  am  besten 
mit  seinen  eigenen  Worten  gekennzeichnet:  „Die  Zahlen  sind 
freie  Schöpfungen  des  menschlichen  Geistes,  sie  dienen  als  ein 
Mittel,  um  die  Verschiedenheit  der  Dinge  leichter  und  schärfer 
aufzufassen.  Durch  den  rein  logischen  Aufbau  der  Zahlenwissen- 
schaft und  durch  das  in  ihr  gewonnene  stetige  Zahlenreicb  sind 
wir  erst  in  den  Stand  gesetzt,  unsere  Vorstellungen  von  Raum 
und  Zeit  genau  zu  untersuchen,  indem  wir  dieselben  auf  dieses 
in  unserem  Geiste  geschaffene  Zahlenreich  beziehen^. 

Der  Verfasser  sieht  bei  seinen  Darlegungen  von  specifisch 
mathematischen  Kenntnissen  völlig  ab,  er  wendet  sich  demge- 
mäss  an  jeden  Gebildeten.  Trotzdem  lässt  sich  wohl  nicht 
leugnen,  dass  er  der  Abstractionskraft  des  Lesers  im  Ganzen 
mehr  zumutet,  als  irgend  eine  rein  mathematische  Schrift.  Zum 
Teil  liegt  die  Schwierigkeit  des  Verständnisses  in  der  Form  der 
Darstellung,  die  nach  dem  classischen  Muster  der  Alten  den 
ganzen  Stoff  in  einer  grossen  Anzahl  ganz  allmählich  fortschrei- 
tender Sätze  bewältigen  will.  So  gross  daher  die  Deutlichkeit  im 
Einzelnen  ist,  so  ist  doch  andererseits,  da  hier  jede  geometrische 
Anschauung  fehlt,  eine  grosse  Ausdauer  nöthig,  um  die  Fort- 
schritte der  leitenden  Gedanken  im  Ganzen  übersehen  zu  können. 
Zum  Teil  aber  ist  es  auch  die  grosse  Allgemeinheit  der  Grund- 
auffassung des  Autors.  Dieselben  Grundlagen  reichen,  wie  dem 
Eeferenten  scheint,  auch  hin,  um  auch  weit  höhere  Mannigfaltig- 
keiten, als  die  der  Zahlen,  geeignet  zu  ordnen.  Naturgemäss 
wQrden  sich  dadurch,  bei  ausdrücklicher  Beschränkung  auf  die 
gewöhnlichen  Zahlen,  manche  Vereinfachungen  ergeben. 

Es  kann  demnach  auch  der  Zweck  dieser  Zeilen  nur  sein, 
einige  Grundzüge  der  Schrift  deutlich  hervorzuheben.  Unter 
einem  „Ding"  soll  irgend  ein  Gegenstand  unseres  Denkens  ver- 
standen sein.  Fasst  man  eine  Reihe  von  Dingen  unter  irgend 
einem  gemeinsamen  Gesiciitspuukt  zusammen,  so  erscheinen  sie 


Capitel2.    Philosophie  und  Pädagogik.  51 

als  die  „Elemente"  eines  „Ganzen^.  Nach  Aussonderung  irgend 
welcher  dieser  Elemente  verbleibt  noch  ein  „TeiP  des  Ganzen. 
Zwei  derartige  Inbegriffe  an  Dingen  werden  auf  einander  „be- 
zogen", indem  ihre  beiderseitigen  Elemente  ein-  eindeutig  ein- 
ander zugeordnet  werden;  ist  das  ausnahmslos  möglich,  so  be- 
sitzen beide  Inbegriffe  (Mengen)  „gleiche  Mächtigkeit''. 

Ehe  nun  an  die  Aufgabe  herangetreten  wird,  die  Elemente 
eines  Ganzen  zu  ordnen  und  die  verschiedenen  unter  ihnen 
möglichen  VerknQpfungsgesetze  aufzusuchen,  wird  die  Unter- 
scheidung zwischen  „unendlichen'^  und  „endlichen '^  Mengen  ge- 
lehrt. „Ein  Inbegriff  von  Dingen  ist  unendlich,  wenn  er  mit 
einem  Teile  seiner  selbst  gleiche  Mächtigkeit  besitzt,  im  andern 
Falle  dagegen  endlich^.  Hier  erscheint  also  der  Begriff  des  Un- 
endlichen als  das  Ursprflngliche,  Unmittelbare,  der  des  Endlichen 
als  das  Abgeleitete,  die  Beschränkung,  der  Gegensatz  zum  Un- 
endlichen. Es  erweist  sich  als  nicht  schwer,  diese  Auffassung 
einer  endlichen  Menge  mit  den  üblichen,  empirischen  in  Einklang 
zu  bringen.  Freilich  ist  jetzt  Nichts  mehr  anschauliche  Selbst- 
verständlichkeit, sondern  jede  scheinbar  triviale  Aussage  bedarf 
eines  stricten  Beweises.  • 

Andererseits  wird  nunmehr  die  Definition  des  Unendlichen 
auf  die  Menge  der  natürlichen  ganzen  Zahlen  angewandt.  Dazu 
hat  man  nur  die  ganze  Zahlenreihe  um  eine  Einheit  vorwärts  zu 
schieben,  so  dass  der  Eins  die  Zwei,  der  Zwei  die  Drei  etc.  zu- 
geordnet wird.  Beide  Reihen  besitzen  offenbar  gleiche  Mächtig- 
keit, trotzdem  sie  sich  um  das  Element  Eins  unterscheiden.  Das 
System  der  ganzen  Zahlen  ist  also  ein  unendliches,  da  es  mit 
einem  Teile  seiner  selbst  gleiche  Mächtigkeit  besitzt. 

Umgekehrt  lässt  sich  nur  in  diesem  Sinne  das  Reich  der 
ganzen  Zahlen  von  untenauf  begründen:  man  hat  von  einem  un- 
endlichen Inbegriff  von  Dingen  auszugehen  mit  der  besonderen 
Eigenschaft,  dass  Element  für  Element  einem  solchen  Teile 
seiner  selbst  zugeordnet  werden  kann,  der  sich  von  dem  ursprüng- 
lichen Ganzen  nur  durch  Fehlen  eines  einzigen  Elements  unter- 
scheidet. Dieses  ausgezeichnete  Element,  die  „Einheit^,  geht 
durch  die  vorausgesetzte  Zuordnung    über   in    ein   anderes,    die 

4* 


52  I-  Abschoitt.    Geschichte  nnd  Philosophie. 

„Zwei",  dieses  in  die  „Drei"  u.  s.  f.  Um  von  dem  dabei  zu 
Grunde  liegenden  Begriff  einer  „kettenförmigen  Anordnung^  za 
den  weiteren  Verknüpfungen  zwischen  den  Elementen  übergehen 
zu  können,  wird  jener  Kettenbegriff  zuvor  einer  Verallgemeine- 
rung unterworfen,  die  immer  da  eintritt,  wo  ein  ursprOngliches 
System  auf  einen  Teil  von  sich  u.  s.  w.  „bezogen^  wird. 

Fdr  unsere  Vorstellung  allerdings  sinken  die  gemeinhin 
Zahlen  genannten  Dinge  vermöge  der  erwähnten  Abstractionen 
zu  blossen  Schatten  herab,  dafQr  sind  sie  aber  auch  aller  sub- 
jectiven  Willkür  entzogen,  und,  strengen  rein  logischen  Segeln 
unterworfen,  bieten  sie  für  den  Arithmetiker  völligen  Ersatz  für 
jene  populären  Zahlen.  Inwiefern  freilich  rückwärts  die  Ueber- 
tragung  der  durch  blosse  Denknotwendigkeit  erzielten  Resultate 
auf  die  empirische  Welt  möglich  wird  —  auf  diese,  in  die 
Psychologie  hinübergreifende  Frage  lässt  sich  der  Verfasser  mit 
Absicht  nicht  ein.  My. 

Manlky  Hopkins.      The    cardinal    iiumbers,     with    an 
introdiictory   chapter   on  numbers  generally.       LoodoD. 

Sampson  Low.  1887. 

Anzeige  in  Nature  XXXVIII.  27-28;  hiernach  offenbar  das 
Werk  eines  Dilettanten.  Lp. 

R.  RüHLMANN.     Philosophische  Arbeit  ^üeber  die  Zahl^. 

Diss.  Kiel.  38  S.  8^. 


L.  DE  LA  RiVE.     Sur   la  composition  des  sentiments  et 
la  formation  de  la  notion  de  Tespace.    Gen^ve.  99  S.  4^. 


R.   BocKSCH.     Zur  Rauintheorie  Hermann  Lotze's. 

Dias.  Greifswald.  62  S.  &<>. 


P.  DU  Bois-Reymond.     üeber  die  Unbegreiflichkeit  der 

Ferntraft.     Naturwiss.  Randschaa.  III.  Nr.  14. 


Gapitel  2.    Philosophie  and  Pädagogik.  53 

P.  da  BoisReymond  will  nachweisen,  dass  in  der  Fernkraft 
etwas  mechanisch  Unbegreifliches  liegt,  dass  sie  ein  untrügliches 
Zeugnis  ablege  von  einer  Wirklichkeit,  die  unserer  Erkenntnis 
entzogen  ist.  Zug  und  Druck  sind  zu  Constructionsversuchen  der 
Fernkraft  nicht  benutzt  worden  und  scheinen  auch  dazu  ganz 
ungeeignet.  Die  yerschiedenen  Versuche,  die  Fernkraft  durch 
den  Stoss  der  Aetherteilchen  zu  construiren,  sind  misslungen. 
Alle  Versuche,  unelastischen  oder  nicht  vollkommen  elastischen 
Stoss  zu  benutzen,  würden  zur  Hypothese  eines  beständigen  Ver- 
lustes an  lebendiger  Kraft  führen.  Suchen  wir  uns  mit  dem 
Yollkommen  elastischen  Stoss  zu  behelfen,  so  kommt  bei  ma- 
thematischer  Fassung  des  Problems  gar  keine  Kraft  heraus, 
und  falls  dennoch  eine  Construction  gelingen  sollte,  müsste  doch 
noch  der  elastische  Stoss  selbst  erklärt  werden,  was  wieder  nur 
durch  Fernkräfte  gelingen  könnte.  Im  günstigsten  Falle  würde 
also  die  Construction  der  Fernkraft  nur  durch  Zurückfuhrung 
auf  andere  Fernkräfte  gelingen,  womit  nur  eine  Verschiebung 
des  Problems  erreicht  wäre.  Eine  ausführlichere  Darlegung  des 
Problems  verspricht  der  inzwischen  verstorbene  Verfasser  in  einem 
Buch  über  die  Grundlagen  der  Erkenntnis  in  den  exacten  Wissen- 
schaften zu  geben.  Mi. 


Ostwald.      Die  Energie   und    ihre  Wandlungen.  Leipzig. 

EngelmaDD. 

Ostwald  bespricht  das  Problem  von  der  Natur  und  den  Ge- 
setzen der  chemischen  Verwandtschaft.  Er  constatirt,  dass  sich 
schon  jetzt  eine  grosse  Anzahl  von  guten  Bestätigungen  der  auf 
Grundlage  der  Berthollet'schen  Gedanken  von  Guldberg  und 
Waage  zu  präcis  mathematischer  Form  entwickelten  Theorie  ver- 
zeichnen lässt.  Diesen  Erfolg  verdanken  wir  dem  Verzicht  auf 
die  Fiction  chemischer  Kräfte.  Mit  der  Einsicht,  dass  die 
chemischen  Vorgänge  durch  Umwandelungen  der  persistirenden 
Energie  bedingt  sind,  kam  die  rechte  Erkenntnis  der  chemischen 
Verwandtschaft.  Mi. 


54  I-  AbBchnitt.    Geschichte  nod  Philosophie. 

Wronsky.     Das  lutensitätsgesetz  und  die  Gleichartigkeit 
der  analytischen  Formen  in  der  Lehre  von  der  Energie. 

Frankfurt  a.  0.  Harnecker. 

WroDsky  giebt  eine  leicht  verständliche  und  sehr  einfache 
Darlegung  des  Heimischen  Intensitätsgesetzes  in  fünf  Abschnitteu, 
die  Ausdehnungsarbeit,  die  kinetische  Energie,  die  potenzielle 
Energie,  die  Wärme,  Allgemeines.  Für  eine  beliebige  Energie- 
form gelten,  falls  die  Intensität  mit  J,  die  Quantität  mit  M  und 
die  Capacitätsconstante  mit  c  bezeichnet  wird,  die  Gleichungen 

1)    M  =  cJ',       2)    E  =  i«J;       3)    E  =  ^cJ';      4)    E  =  ^; 

b)  dE=^^dM{J  +  n)\  6)  dE— dE,  ^  A  =  \dU{J ^  J^ 
5')  dE  =  JdM\  &)  dE-dE^  ^  A  =  dM  (J—J,).  Die  Gfll- 
tigkeit  dieser  Gleichungen  reicht  nicht  weiter  als  die  Voraus- 
setzungen, dass  entweder  J  konstant  ist,  oder  dass  zwischen  J 
und  M  eine  durch  die  lineare  Gleichung  M  =^  cJ  ausdrOckbare 
Beziehung  besteht.  Diese  Fälle,  ftlr  welche  die  Helm'sche 
Gleichung  dE  =  JdM  auch  auf  endliche  Grössenänderungen  aus- 
gedehnt werden  darf,  sind  für  die  elementare  Einführung  die 
geeignetsten  und  auch  für  die  Wärmeenergie  anwendbar.  Wronsky's 
Zweck,  das  Studium  der  Heimischen  Schrift:  „Die  Lehre  von 
der  Energie  etc.  Leipzig  1887"  zu  erleichtern  und  zu  fördern, 
ist  vollständig  erreicht.  Mi, 


Frertchs.       Zur    modernen    Naturbetrachtung.      Norden 

H.  Fischer  Nachf. 

Frerichs  bekämpft  in  seiner  Schrift  einen  einseitigen  Mate- 
rialismus als  letzte  befriedigende  Weltanschauung.  Er  stellt  sich 
ganz  auf  den  Boden  der  modernen  Naturwissenschaft,  aber  er 
ergänzt  die  naturwissenschaftlichen  durch  pantheistische  Ideen. 
Die  Schrift  umfasst  vier  Abhandlungen.  In  der  ersten,  „Zur 
monistischen  Naturerklärung",  verneint  Frerichs  die  Frage,  ob 
eine  einheitliche  Weltanschauung  im  Sinne  der  naturwissenschaft- 
lichen Principien  möglich  sei.  Die  Naturwissenschaft  hat  aus 
dem    Princip   der   Materie   mit  Hilfe  der  Atomistik,   der  Kant- 


0ApiteI2.    Philosophie  und  Pädagogik.  55 

Lapiace'schen  Hypothese,  der  Descendenzlehre,  der  Physiologie 
u.  8.  w.  eine  monistische  Weltanschauung  zu  gewinnen  versucht, 
aber  diese  Anschauung  leidet  an  den  Thatsachen  des  geistigen 
Lebens  Schiffbruch.  Wie  aus  dem  Nervenreiz  Empfindung  wird, 
weiss  sie  nicht  zu  erklären,  und  zur  Materie  muss  das  ßewust- 
sein  hinzugefügt  werden.  Auch  muss  zu  der  materiellen  Welt 
ein  schaffendes  und  erhaltendes  Princip  hinzugedacht  werden. 
Aber  die  ganze  Welt  der  Wahrnehmung  ist  nur  ein  subjectives 
Abbild  einer  vollkommneren  Wirklichkeit  und  es  mag,  wo  wir 
bei  den  Schranken  unserer  Erkenntnis  mit  einem  Doppelten  ab- 
schliessend in  Wirklichkeit  eine  Einheit  bestehen,  die  wenigstens 
unser  Gefühl  fordert.  In  der  zweiten  Abhandlung,  „Mechanis- 
mus und  Zweckmässigkeit  in  der  Natur^,  bekennt  sich  Frerichs 
zur  Zahl  derjenigen,  die  eine  teleologische  Naturanschauung 
nicht  für  völlig  verwerflich  halten.  Mit  dem  Darwinismus  ist 
bisher  die  höchste  Stufe  der  mechanischen  Naturerklärung  er- 
reicht, aber  die  mechanische  Naturerklärung  hat  sich,  indem  sie 
die  Teleologie  völlig  verdrängen  wollte,  eine  unzulässige  Verall- 
gemeinerung zu  Schulden  kommen  lassen.  Sie  hat  in  Wahrheit 
nur  das  Wie  und  nicht  das  Weshalb,  nur  das  Einzelne  und  nicht 
das  Oanze  erklärt.  Die  Spanne  Zeit,  die  wir  zurückblickend 
verfolgen  können,  ist  hierzu  nicht  ausreichend,  und  die  wenigen 
Körper,  die  wir  beobachten  können,  sind  nichts  gegen  das  Ganze 
der  Materie.  Ein  inneres  Bedürfnis  treibt  aber  den  Menschen 
dazu,  die  Natur  als  Ganzes  aufzufassen,  das  Ganze  als  einen 
Plan  anzusehen,  nach  dem  sich  das  Geschehen  entwickelt.  Wir 
kommen  freilich  mit  teleologischer  Naturerklärung  nicht  weiter 
als  Kant.  Wir  nehmen  subjectiv  eine  Zweckmässigkeit  an,  aber 
wir  können  sie  nicht  unmittelbar  aus  der  Natur  schöpfen  oder 
das  objective  Correlat  für  unsern  Begriff  nachweisen.  Aber  wie 
der  Mensch,  der  sich  an  einen  Stein  stösst,  an  eine  Wirklichkeit 
glaubt,  so  mag  er  auch,  wenn  er  im  Geiste  immer  wieder  auf 
den  Begriff  des  Zweckes  stösst,  glauben,  dass  auch  diesem  ein 
Wirkliches  zugehöre.  In  der  dritten  Abhandlung:  „Kampf  und 
Entwickelung^  sucht  Frerichs  zu  beweisen,  dass  der  nach  Darwin 
im  Reiche  der  Organismen  überall  bestehende   Kampf   und  die 


56  !•  AbschDitt.    Geschiobta  and  Philosophie. 

durch  ihn  bewirkte  Entwickelung  uns  Dicht  zu  einer  pesfiimiBti- 
sehen  Weltanschauung  nötigt.  Der  Kampf,  der  in  seinen  niederen 
Stadien  rücksichtlos  und  brutal  ist,  mildert  sich  auf  höheren 
Stufen  und  zeitigt  schliesslich  Früchte,  aus  denen  ihm  seine  eigenen 
Gegner  erwachsen.  Es  ist  nur  ein  Mittel  für  die  Zwecke  der 
Natur,  und  nicht  nach  dem  Mittel,  «sondern  nach  dem  Ziele  der 
Entwickelung  müssen  wir  unsere  Weltanschauung  bemessen.  Die 
Entwickelung  deutet  nicht  auf  eine  bloss  zufällige  Vereinigang 
toter  Elemente,  sondern  auf  ein  höheres  lebendiges  Princip  hin. 
Der  ganze  Nachdruck  der  Entwickelung  liegt  nicht  auf  dem  In- 
dividuum, sondern  auf  der  Gesamtheit  Man  mag  das  letzte 
Ziel  in  einer  alles  beherrschenden  Weltintelligenz  sehen,  und 
angesichts  dieses  Zieles  kann  eine  pessimistische,  durch  die 
Forderungen  des  Individuums  veranlasste,  Auffassung  nicht  Stand 
halten.  Wohinaus  aber  überhaupt  das  Ganze  will,  das  bleibt 
uns  freilich  ein  Räthsel.  In  der  vierten  Abhandlung  „zur  Ethik*' 
bespricht  Frerichs  die  aufgestellten  ethischen  Principien.  Er 
verwirft  den  Egoismus  als  Moralprincip,  kritisirt  die  ethischen 
Ansichten  Kant's,  Scbopenhauer's,  Darwin's,  und  findet  zuletzt,  in 
dem  auch  diese  Abhandlung  pantheistisch  ausklingt,  durch  einen 
Uebergang  vom  Wissen  zum  Glauben,  in  dem  All-Einen,  in  Gott, 
den  wahren  metaphysischen  Grund  aller  Moral.  In  der  Liebe 
zu  Gott  wird  die  höchste  Stufe  der  Sittlichkeit  erreicht. 

Mi. 


Frerichs.     Die  Hypothesen  der  Physik     Norden.  H.Fischer 

Nachf. 

Frerichs  giebt  in  seiner  in  zweiter  Auflage  erscheinenden 
Schrift  ein  klares  Bild  von  der  Entwickelung  und  dem  gegen- 
wärtigen Stande  der  Hypothesen,  ohne  die  Grenzen  unserer  Er- 
kenntnis zu  verkennen  und  ohne  die  Möglichkeit  weiterer  Fort- 
schritte zur  einheitlichen  Zusammenfassung  der  Hypothesen  und 
zur  Bildung  einer  Weltanschauung  auf  atomistischer  Grundlage 
zu  leugnen.  Mi. 


Gftpitol  2.    Philosophie  und  Pädagogik.  57 

V.  A.  Julius.     Wetten  en  hypothesen  op  het  gebied  der 

natuurkunde.      Utrecht.  Byleveld.  32  S. 

Rede  beim  Antritt  der  Professur  für  Physik  an  der  Uni- 
versität zu  Utrecht.  Redner  handelt  über  die  Gesetze  und  Hypo- 
thesen auf  dem  Gebiet  der  Physik  und  bespricht  dabei  die  wich- 
tigsten Gesetze  (von  der  Erhaltung  der  Energie)  und  Hypothesen 
(die  von  Newton  und  Huygens  über  das  Licht,  welchen  die  Max- 
weirschc  gefolgt  ist).  Mittels  dieser  Beispiele  beabsichtigt  er 
die  Bedeutung  der  Gesetze  und  Hypothesen  in  das  richtige  Licht 
zu  stellen.  Er  kommt  zu  dem  Schluss,  dass  kein  einziges  Ge- 
setz aus  sich  selbst  im  Stande  ist,  Ober  den  Mechanismus  der 
Erscheinung  aufzuklären,  dass  dies  allein  die  Hypothesen  thun 
können,  jedoch  nicht  die,  welche  der  Phantasie  entspringen,  son- 
dern nur  die,  welche  sich  dem  ernsten  Forscher  durch  gründ- 
liches Studium  der  Thatsachen  aufdrängen.  G. 

F.  Kkrz.    Weitere  Ausbildung  der  Laplace'schen  Nebular- 

bypotbese.      Ein    Nacbtrag.       Leipzig   a.    Berlin.     0.  Spamer. 
VIII  u.  127  8.  gr.  8«  nebst  3  Taf. 

Die  Hypothesen  des  Verfassers,  welche  nach  seiner  Meinung 
eine  consequente  Ergänzung  der  Laplace'schen  Idee  bilden,  sind 
im  Jahrbuche  XVIIL  1886.  38  und  XIX.  1887.  51  besprochen 
worden.  Als  Veranlassung  zur  gegenwärtigen  Schrift  giebt  Hr. 
E.  die  Berichtigung  eines  Versehens  seiner  früheren  Entwicke- 
luDgen  an,  das  kein  Referent  bemerkt  habe;  im  übrigen  wieder- 
holt er  aber  dieselben  Betrachtungen  wie  früher,  also  auch  mit 
denselben  Fehlern.  Da  er  den  Wunsch  äussert,  dass  solche 
Fehler  bezeichnet  werden  möchten,  so  seien  drei  fundamentale 
hier  angezeigt: 

1)  Die  Gesetze  des  Stosses  und  die  der  Erhaltung  der 
Energie  sind  nicht  beachtet  worden.  Auf  S.  22  wird  ganz  ausser- 
lieh  aas  der  Dimension  der  lebendigen  Kraft  imv*  und  der- 
jenigen der  Bewegungsgrösse  mv  vor  dem  Stosse  geschlossen, 
dass  nach  dem  Stosse  die  Geschwindigkeit  ^mv' :  mo  =  |o  übrig 
bleibe,  und  dass  diese  übrig  bleibende  Bewegung  als  Bewegungs* 


58  f-  AbechDÜt.    Geschichte  uDd  Philosophie. 

grosse  ^tnü  sich  in  Wfirme  verwandle.  Bei  der  auf  dieses  falsche 
Resaltat  sich  gründenden  Rechnung  sind  dann  die  Gesetze  der 
mechanischen  Wärmetheorie  über  Temperaturänderung  bei  Aus- 
dehnung von  Gasen  garnicht  berücksichtigt.  (Vergl.  A.  Ritter. 
Anwendungen  der  Mecianischen  Wärmetheorie  auf  kosmologiscbe 
Probleme.     Hannover,   1879). 

2)  Unzulässig  ist  die  Behauptung,  dass  die  feste  Masse  (von 
beiläufig  einer  Grosse  von  500  Erdmassen)  bei  ihrem  Zusammen- 
stosse  mit  der  davon  unversehrt  gebliebenen  Sonnenmaase  sich 
unabhängig  von  dieser  zu  einem  Nebel  auflöse,  dass  dieser  Nebel 
die  Gestalt  eines  nahezu  homogenen  Gaseliipsoids  annehmen  und 
mit  derselben  Geschwindigkeit  wie  die  durch  den  Stoss  erst  in 
Umdrehung  gesetzte  Sonne  rotiren  müsse.  Dies  kann  offenbar 
nur  geschehen,  wenn  man  sich  die  schon  geformte  Gasmasse  als 
starren  Körper  mit  der  Sonne  fest  verbunden  denkt.  Abgesehen 
von  dieser  Annahme  muss  aber  auch  unmittelbar  nach  der  vom 
Verf.  geforderten  Auflösung  der  stossenden  Masse  in  zusammen- 
hanglose Molekeln  jedes  einzelne  derselben  eine  elliptische  Pla- 
netenbahn beschreiben,  nicht,  wie  der  Verf.  seinem  vorgefassten 
Gedanken  zu  Liebe  fordert,  zuerst  um  die  Rotationsaxe  gleich- 
förmig rotiren,  dann  sich  der  Sonne  im  Verbindungsstrahle  nach 
dem  Sonnenmittelpunkte  nähern,  dann  endlich  eine  Planetenbahn 
verfolgen.  Von  den  so  vom  Verf.  zuletzt  geforderten  Planeten- 
bahnen der  einzelnen  Molekel  muss  —  wenn  man  dem  Verf.  wie- 
der bis  dahin  alles  zugiebt,  —  wegen  des  Ausgangspunktes  beim 
Stosse  von  der  'Sonnenoberfläche,  die  Mehrzahl  die  Sonnenober- 
fläche wieder  schneiden,  d.  h.  die  meisten  Teilchen  fallen  zur 
Sonne  zurück. 

3)  Die  Betrachtungen  in  No.  X  über  die  Attraction  einer 
Nebularmasse  sind  falsch,  insbesondere  der  Satz  (S.  16):  „An 
der  Oberfläche  wird  sich  also  die  (Nebular-)  Kugel  verdichten, 
und  ihre  Dichte  nach  innen  hin  abnehmen,  bis  sie  nach  und  nach 
in  die  noch  unverdichtete  Nebularmasse  übergeht.^  Bei  keinem 
kosmischen  Nebel  ist  ferner  bisher  ein  fester  Kern  sicher  ent- 
deckt worden,  obschon  mit  Begier  danach  ausgespäht  ist.  Die 
vom  Verfasser  bekämpfte  Kant'sche  Hypothese  hat  also  die  Er- 


Oapitel  2.     Philosophie  und  Pädagogik.  *  59 

fahruDg    FOr   sich,   die    von    ihm  aufgestellte  wird  durch    keine 
Beobachtung  gestützt.  Lp. 


A.  Rysankk.       Versuch    einer    dynamischen     Krklärnng 

der   Gravitation.      Exner  Rep.  XXIV.  90114. 

Ein  neuer  Versuch,  die  Aetherstosstheorie  zweckentsprechend 
einzurichten.  Der  Verf.  meint,  die  Klippe,  an  der  die  Vorgänger 
gescheitert  sind,  nämlich  die  Proportionalität  der -Gravitation 
mit  der  Masse,  dadurch  glücklich  umschifft  zu  haben,  dass  er 
diesen  zu  erweisenden  Satz  in  die  Prämissen  aufgenommen  hat. 
„Um  endlich  auf  das  Gravitationsgesetz  zu  kommen,  nahm  ich 
meine  Zuflucht  zu  der  nicht  unwahrscheinlichen  Annahme,  dass 
der  Schweräther  auf  deni  Wege  durch  die  Himmelskörper  einen 
Teil  seiner  Energie  und  zwa'r  proportional  der  im  Körper  zurück- 
gelegten Strecke  und  der  daselbst  vorhandenen  Massendichte 
verliere.  Letztere  Annahme  des  Energie  Verlustes  giebt  das  Gra- 
vitationsgesetz vollkommen  wieder  und  kann  als  eine  andere 
Ausdrucksweise  desselben  betrachtet  werden.*'  Lp. 


H.  F.  Th.  Bkyda.  Das  Newton'sche  Gravitationsgesetz. 
Lässt  sich  der  Fall  der  Körper  oder  die  Schwere  der- 
selben aus  einer  Anziehungskraft  der  Erdkörper  er- 
klären?     Bonn.  (Metzler.  Stuttgart).  38  8.  8°. 

Die  neue  Entdeckung  steht  auf  S.  18:  „Wo  bleibt  denn  nun 
die  Anziehungskraft  und  dazu  bei  den  Weltkörpern  die  ihnen 
angedichtete  Tangentialkraft?  Warum  kann  dieses  beides  nicht 
die  Schwungkraft  des  rotirenden  Weltkörpers  bewirken?  Diese 
Kraft  ist  es,  welche  nach  denselben  Gesetzen  in  weiterer  Ent- 
fernung abnimmt,  wie  es  mit  der  Stärke  des  leuchtenden  Lichtes 
der  Fall  ist;  sie  ersetzt  die  Anziehungskraft  und  vertritt  auch 
zugleich  die  Tangentialkraft;  sie  nur  ist  in  Wirklichkeit  vor- 
handen, die  beiden  anderen  lassen  sich  nimmer  erweisen.^ 

Lp. 


60  I*  Abschoitt.    GeBcbichte  und  Philosophie. 

PiPKR.     Ein  mathematischer  Beweis  der  Unsterblichkeit 
der  Menschen.    Lemgo.  E.  Oble. 

Nach  einer  EioleituDg  über  Wahrscheinlichkeitsrechnung 
schliesst  Piper  folgendermassen:  „Die  Thatsache,  dass  ich  gerade 
in  der  Gegenwart  lebe,  kann  unter  der  Annahme,  ich  lebe  nur 
eine  endliche  Zeit,  nur  aus  dem  Zufall  mittels  einer  unendlich 
geringen  Wahrscheinlichkeit  hervorgegangen  sein;  ich  muss  also 
fQr  diese  Thatsache  eine  andere  Erklärung  suchen,  die  sie  nicht 
mehr  zufällig  erscheinen  lässt;  es  ist  aber  nur  eine  solche  Er- 
klärung möglich,  nämlich  die,  dass  die  Dauer  meines  Daseins 
unendlich  ist.  Es  ergiebt  sich  also  mit  zwingender  Notwendig- 
keit, dass  ich  unsterblich  bin."  Ich  kann  auf  diese  Weise  frei- 
lich nur  meine  Unsterblichkeit  beweisen,  da  nur  für  mich  meine 
gegenwärtige  Existenz  unter  allen  Thatsachen  die  am  meisten 
ausgezeichnete  ist.  Nichts  hindert  jedoch  jeden  anderen  Men- 
schen, dieselbe  Schlussfolgerung  fttr  sich  zu  machen.  „Er  ist 
daher  ebenfalls  unsterblich''.  So  geschrieben  in  Lemgo,  ohne 
Angabe  des  Jahres  der  Entdeckung  dieses  Beweises.         Mi. 


P.  Hampson.      The    Romance    of    Mathematics.     London. 

EUiott  Stock.  (1886). 

Der  vollständige  Titel  ist:  The  Romance  of  Mathematics. 
Being  the  original  researches  of  a  lady  professor  of  Girtham 
College  in  Polemical  Science,  with  some  account  of  the  social 
properties  of  a  conic;  equations  to  brainwaves;  social  forces; 
and  the  laws  of  political  motion.  Anzeige  in  Nature  XXXVIII. 
28-29.  Lp. 

A.  T.  ScHOFiBLD.     Another  world;  or  the  fourth  dimen- 

sion.      London.  S.  Sonnenschein. 

Anzeige  in  Nature  XXXVIII.  363. 


Capitel  2.    Philosophie  nod  Pädagogik.  61 

B.     Pädagogik. 

P.  Mansion.     Sur  le  cours  d'histoire  des  math^matiques 
de  rUniversit^  de  Gand.     Bibl.  Math.  (2)  iL  33-35. 

Seit  1884  liest  Herr  Mansion  zu  Gent  wöclfentlich  eine 
Stunde  über  Geschichte  der  Mathematik.  In  diesen  Vorlesungen, 
die  fbr  die  Studenten  an  der  Normalschule  zu  Gent  obligatorisch 
sind,  wird  jährlich  eine  kurze  Uebersicht  Ober  die  Entwickelung 
der  Mathematik  gegeben,  wobei  aber  zuweilen  besondere  Ab- 
schnitte etwas  ausführlicher  behandelt  werden.  So  hat  Herr 
Mansion  1884-1885  und  1885-1886  der  Geschichte  der  Elementar- 
geometrie  grössere  Aufmerksamkeit  gewidmet,  dagegen  1886-1887 
und  1887-1888  die  Geschichte  der  Infinitesimalrechnung  eingehen- 
der vorgetragen.  Er  hat  dabei  den  Mangel  eines  guten  Hand- 
buches der  Geschichte  der  Mathematik  und  einer  mathematisch- 
historischen Chrestomathie  lebhaft  empfunden,  und  hebt  darum 
am  Ende  seiner  Note  die  Notwendigkeit  hervor,  die  Ausgabe 
solcher  Arbeiten  zu  veranstalten.  (Nachträglich  sei  bemerkt, 
dass  diese  Note  das  „Istituto  Veneto"  veranlasst  hat,  einen  Preis 
von  3000  Lire  für  ein  Compeudium  der  Geschichte  der  Mathe- 
matik  und  eine  dazu  gehörende  Chrestomathie  auszusetzen.) 

E. 

P.    LA    COÜR.       Historisk    Mathematik.      Kjöbenhavn.  PhilipsenB 
Forlag.  VIII -h  374  S. 

Dieses  Buch  „Geschichtliche  Mathematik",  gleichzeitig  ein 
elementares  Lehrbuch  der  Mathematik  und  eine  Geschichte  der 
elementaren  Mathematik,  ist  als  Einleitungsversuch  für  den  ersten 
Unterricht  bestimmt. 

Der  Grundgedanke  des  Verfassers  ist,  dass  der  Anfänger 
die  Mathematik  am  besten  fassen  wird,  wenn  er  die  mathema- 
tischen Sätze  in  der  Ordnung  und  mit  den  Beweisen  ihrer  ge- 
schichtlichen Entwickelung  erlernt.  Dieses  kann  natürlich  nicht 
vollständig  erreicht  werden,  aber  in  vielen  Beziehungen  ist  doch 
der  Verfasser  seinem  Ziele  nahe  gekommen. 


62  I-  Abscboitt.    Geschichte  and  Philosophie. 

Das  Buch  zeigt  zuerst  die  verschiedeneu  Weisen,  in  welchen 
die  ganzen  Zahlen  geschrieben  und  ausgedrückt  werden  können. 
Darnach  werden  die  BrQche  auf  ähnliche  Weise  behandelt 

Der  folgende  Abschnitt  enthält  die  Geometrie;  natürlich  wird 
Yornemlich  die  Entwickelung  der  Geometrie  bei  den  Griechen 
dargestellt.  Es  wird  jedoch  auch  Rücksicht  auf  die  wenigen 
Kenntnisse  genommen,  die  man  von  der  Geometrie  der  übrigen 
Völker  des  Alterthums  hat.  Unter  den  Geometern  der  Griechen 
treten  Pythagoras  und  die  Pythagoräer  vorzugsweise  hervor. 
Im  letzten  Abschnitt  wird  endlich  die  Buchstabenrechnung  und 
die  Lösung  der  Gleichungen  ersten  und  zweiten  Grades  behandelt 
und  in  ihm  werden  hauptsächlich  die  Leistungen  der  Inder  be- 
sprochen. Das  Buch,  welches  der  Verfasser  als  ein  Elementar- 
buch  für  Anfänger  geschrieben  hat,  passt  nach  der  Ansicht  des 
Referenten  besser  für  solche,  die,  ohne  die  Geschichte  der  Ma- 
thematik gerade  zu  studiren,  einen  Ueberblick  über  .die  Geschichte 
der  gesamten  elementaren  Mathematik  zu  erlangen  wünschen. 

V. 

J.  J.  MiLNE.     Companion  to  the  weekly  problein  papers. 

London.  Macmillan  and  Co.  XXVin  +  340S. 

Dieses  Buch  steht  auf  einer  weit  höheren  Stufe,  als  sein  be- 
scheidener Titel  vermuten  lässt.  In  den  „Weekly  problem  papers** 
(London.  Macmillan.  1885)  liefert  der  Verf.  eine  Sammlung  von 
Aufgaben  über  elementare,  für  Candidaten  des  mathematischen 
flaches  passende  Gegenstände  und  giebt  Winke  betreffs  der 
Methoden;  eingehende  Lösungen  dagegen  bietet  das  Werk  „So- 
lutions of  weekly  problem  papers^  (Macmillan).  Das  vorliegende 
Ruch  wendet  sich  an  dieselbe  Klasse  von  Lesern;  indessen  wird 
die  Aufmerksamkeit  besonders  auf  Punkte  gelenkt,  welche  ent- 
weder von  früheren  Schriftstellern  mit  Schweigen  übergangen, 
oder  nicht  mit  der  Ausführlichkeit,  welche  sie  verdienen,  be- 
handelt sind.  Es  besteht  nämlich  aus  kleinen  Abhandlungen 
über  einzelne  Themata  und  aus  Uebungsaufgaben.  Bei  der  Ab- 
fassung des  Buches  ist  Ilr.  M.  von  verschiedenen  Freunden  unter- 
stützt worden,  welche  Abteilungen,  mit  denen  sie  besonders  ver- 


Gapitel  2.     Philosophie  uod  Pädagogik.  63 

traut  waren,  flbernommen  haben,  und  dadurch  ist  der  Wert  des 
Ruches  erhöht  worden.  Als  einen  Teil  des  Inhalts  wollen  wir 
anfOhren :  Die  algebraische  und  geometrische  Lehre  vom  Grössten 
und  Kleinsten;  HQllcurven,  algebraisch  und  geometrisch;  bian- 
gulare  Coordinaten  (von  Hrn.  Genese);  neuere  Geometrie  (von 
Hrn.  T.  C.  Simmons),  ein  besonders  wertvoller  Abschnitt.  Zur 
Erklärung  merken  wir  an,  dass  die  „biangularen  Coordinaten'' 
eines  Punktes  P  in  einer  Ebene  die  Cotangenten  der  Winkel  an 
der  Basis  eines  Dreiecks  sind,  dessen  Basis  die  Verbindungs- 
linie zweier  festen  Punkte  der  Ebene  ist  und  dessen  Seiten  die 
Geraden  sind,  welche  P  mit  den  beiden  Punkten  verbinden. 
[Dieselben  Coordinaten  sind  schon  öfter  gebraucht;  vgl.  Ritsert 
F.  d.  M.  XV.  1883.  594  u.  XVII.  1885.  690-  Lp.].  Ausdrücke 
för  die  Cartesischen  Coordinaten  von  P  durch  die  biangularen 
Coordinaten  werden  leicht  gefunden.  Die  Anwendungen  auf  die 
Gerade  und  die  Kegelschnitte  werden  gegeben.  Das  Buch 
dürAe  auch  fQr  andere  als  für  diejenigen,  an  welche  es  sich 
zanächst  richtet,  von  grossem  Nutzen  sein.  Gbs.  (Lp.) 


G.  MoRERA.     L'insegnameuto  delle  scienze  matematiche 

nelle    üniversitä.      DisCOrsO.      Annuario  d.  R.  üniv.  di  Genova. 


A.  GiLLE.     Herbart's  Ansichten  über  den  mathematischen 

Unterricht.      Dies.  Halle.  50  S.  8®. 


On  the  teaching  of  arithmetic.  Bdiub.  M.  s.  Proc.  vi.  89-102. 
Ein  von  einem  Ausschusse  der  Edinburgher  Mathematischen 
Gesellschaft  verfasster  Bericht  Über  das  Rechnen  in  der  Theorie 
aod  Praxis.  Er  enthält  Ansichten  betreffs  des  zu  lehrenden 
Stoffs  und  der  besten  Unterrichtsweisen  unter  den  folgenden 
Rubriken:  1.  Ausdrücke.  2.  Masse  und  Constanten.  S.Methoden. 
4.  Berechnung.  5.  Theorie.  6.  Bindeglieder,  oder  Begriffe,  die 
mr  höheren  Mathematik  hinüberleiten.  7.  Allgemeine  Ratschläge. 

Gbs.  (Lp.) 


64  ^-  AbBchoitt.    Geschichte  aod  Philosophie. 

A.  LoDGB.     The  mnltiplication  and  division  of  concrete 

quantities.     Natore  XXXVIII.  281-283. 

Ein  Vortrag  in  der  Association  for  the  improyement  of 
geometrical  teaching  über  das  Rechnen  mit  benannten  Zlahlen, 
insbesondere  über  Gleichungen  zwischen  ihnen.  „Meine  An- 
schauung betreffs  der  Zahlengleichungen  ist  die,  dass  die  auf- 
tretenden Zahlen  nur  kurze  Methoden  zur  Feststellung  von  Ver- 
hältnissen sind,  und  dass  solche  kurzen  Methoden  bei  der  Be- 
handlung praktischer  Beispiele  ungemein  nützlich  sind,  dem 
Lernenden  aber  zum  Begreifen  der  grundlegenden  Principien 
eines  Gegenstandes  nicht  helfen.*'  Lp. 


J.  WoLSTBNHOLMts.      Exaiuples   for   practica   in  the  use 
of  seven  figure  logaritbms.      For  the   use  of  schools 

and   Colleges.      London.  Macmillan  and  Co.  VI-h57S. 

Eine  sehr  nützliche  Sammlung  von  Beispielen  für  alle,  die 
im  Gebrauche  der  Logarithmen  Genauigkeit  und  Gewandtheit 
zu  erlangen  wünschen.  Die  Resultate  sind  jeder  Aufgabe  beige- 
fügt. Ref.  hat  eine  beträchtliche  Anzahl  durchgerechnet  und  nur 
in  einem  Beispiele  einen  Fehler  gefunden.  Gbs.  (Lp.) 


H.  Müller.  Besitzt  die  heutige  Schulgeometrie  noch 
die  Vorzüge  des  Euklidischen  Originals?  Eine  Be- 
trachtung  von   H.   Muller.      Met«  u.  Diedenhofen.  Scriba  (1888). 

feo.  16  S. 

Verfasser  beantwortet  die  aufgeworfene  Frage  mit  ent- 
schiedenem Nein,  da  die  heutige  Schulgeometrie  die  Euklidi- 
schen Grundlagen  verlassen  habe;  somit  y,hat  die  Reform  jeden- 
falls in  denjenigen  Veränderungen  volle  Berechtigung,  welche 
die  Herstellung  der  Einheit  zwischen  den  Grundlagen  und  dem 
Aufbau  des  Systems  bezwecken".  Tn. 


CapitelSI.    Philosophie  and  Pädagogik.  65 

Ä.  H.  Blünt.     Euclid's  method,  or  the   proper  way  to 

treat  od   geometry.      Shepshed.  Freeman. 

Anzeige  in  Nature  XXXVIII.  363. 


L.  Hbinzb.     Der  Vorbereitungs- Unterricht  in  der  Geo- 
metrie in  Quinta.     Pr.  Eoeiphöf.GymD.  Königsberg  i.Pr.  26  S.  4°. 

Der  Verf.  gestaltet  seinen  Unterricht  im  engsten  Anschluss 
an  den  „Wortlaut*'  der  preussischen  Gircularverfügung  vom  März 
1882  und  polemisirt  namentlich,  da  diese  Verfügung  nur  vom 
Zeichnen  spricht,  gegen  das  Vorzeigen  körperlicher  Modelle. 

R.  M, 


0.  ScHLöMiLCH.      Zum  Unterricht    in    der    analytischen 
und  der  descriptiven  Geometrie.     Hoffm.  z.  xix.  241-246. 

Um  mit  Schülern,  welche  die  analytische  Geometrie  des 
Raumes  nicht  kennen,  die  ebenen  Schnitte  krummer  Flächen 
untersuchen  zu  können,  geht  Verf.  von  den  Gonstructionen  der 
descriptiven  Geoi&etrie  aus  und  wendet  nachher  die  analytische 
Geometrie  der  Ebene  auf  jene  Gonstructionen  an.  Als  Beispiel 
werden  Schnitte  eines  elliptischen  Kegels  und  beliebiger  Um- 
drehangsflächen  ausgerechnet.  ^  Lg. 


A.  HusMANN.     Zur  Einführung  in  die  Physik.    Pr.  GymD. 

PetriDnm  za  Brilon.  19  S. 

,,Wenn  man  den  physikalischen  Unterricht  ohne  weiteres 
mit  den  in  den  Lehrplänen  ftir  die  höheren  Schulen  (1882)  der 
Secanda  zugewiesenen  Disciplinen  „Magnetismus,  Electrioität, 
Wärme,  chemischer  Gursus*'  beginnt,  so  wird  man  bald  auf  ge- 
wisse Schwierigkeiten  stossen,  die  darin  bestehen,  dass  man  zur 
Erklärung  der  zu  besprechenden  Erscheinungen  Begriffe  heran- 
ziehen muss,  welche  dem  Schüler  noch  nicht  bekannt  sind  und 
deren  Erläuterung  nur  auf  breiterer  Grundlage  erfolgen  kann.'' 
Im  2.  Teil  zeigt  Verfasser  als  die  hauptsächlichsten  der  vorer- 

FortMhr.  d.  Math.  XX.  1.  Ö 


6g  I.  Abscbnitt    Geschichte  und  Philosophie. 

wfthDten  Begriffe  den  Luftdruck,  das  archimedische  Prineip  und 
das  specifische  Gewicht  und  geteingt  dann  zur  Aufstellung  einer 
Disposition,  die  im  wesentlichen  mit  dem  (abgedruckten)  Plan 
d'j^tudes  des  Lycöes  in  Frankreich  übereinstimmt  Im  2.  Teil 
wird  dann  die  erste  Hälfte  des  Stoffes  ausführlich  behandelt  und 
zwar:  I.  Feste  Körper  §  1  Festigkeit,  §  2  Elasticität  IL  FIfis- 
sige  Körper  §  3  Fortpflanzung  des  Druckes,  §  4  Gesetz  der 
kommunicirenden  Röhren,  §  5  Bodendruck,  §  6  Druck  nach  oben, 
§  7  Seitendruck,  §  8  Archimedisches  Prineip. 

Die  zweite  Hälfte  (IIL  luftförmige  Körper  §  9  bis  §  18, 
IV.  Verhalten  der  drei  Körperarten  zu  einander  §  19  und  20) 
ist  einem  der  folgenden  Programme  vorbehalten.  —  Referent 
fahrt  seit  langer  Zeit  nach  ungefähr  demselben  Plan  seine  Schüler 
in  die  Physik  ein  und  hat  daher  die  vorliegende  Arbeit  mit 
Interesse  gelesen.  Nur  ein  Bedenken  ist  ihm  aufgestossen:  wie 
wird  der  Verfasser  ohne  eingehende  Behandlung  der  Fundamental- 
begriffe „Gewicht,  Hebel  und  V?'age*'  fertig?  Lg. 


F.  Ludwig.    Weitere  Kapitel  zur  mathematischen  Botanik. 

Hoffm.  Z.  XIX.  321-338. 

Im  Anschluss  an  einen  früheren  Artikel  in  Hoffm.  Z.  XIV 
werden  hier  die  Zellteilung  und  der  gesetzmässige  Aufbau  der 
Bacillarienbänder,  sowie  das  Vorkommen  bestimmter  Zahlen  bei 
den  Organen  höherer  Gewächse  und  das  Vermehrungsgesetz  des 
Fibonacci  behandelt  Lg. 

0.  Kaesbbjsro.  Beiträge  zur  Geschichte  des  natur- 
wissenschaftlichen Unterrichts  in  den  Schalen  Deutsch- 
lands von  seinen  ersten  Anfangen  an  bis  zum  Beginne 
des  neunzehnten  Jahrhanderts.     Diss.  Leipzig.  63  S.  8«. 


P.  WiLDFEüER.      üeber  die  Anfänge  des  physikalischen 
Unterrichts  in  der  Volksschule.     Dies.  Leipzig.  26  S.  8^ 


Zweiter  Abschnitt 

A  1  g  e  b  r  a, 

Capitel  L 

Gleichungen.   (Allgemeine  Theorie.   Besondere 
algebraische  und  transcendente  Gleichungen.) 

E.  Illigens.      Zur    Weierstrass*  -  Cantor'schen    Theorie 
der  Irrationalzahlen.     Matb.  Ann.  xxxili.  105-I6O. 

G.  Cantor.      Bemerkung   mit   Bezug    auf  den   Aufsatz 

von  Illigens.      Math.  Ann.  XXXni.  476. 

Herr  Weierstrass,  wie  Herr  Gantor  führen  die  irrationalen 
Zahlen  in  die  Arithmetik  ein,  indem  sie  dieselben,  zunächst  rein 
formal,  unbegrenzten  Folgen  von  rationalen  Zahlen  (die  gewissen 
Beschränkungen  unterliegen)  „zuordnen^,  und  auf  Grund  geeig- 
neter Definitionen  des  Gleich-,  Grösser-'  und  Eleinerseins  zeigen, 
wie  mit  diesen  neuen  Grössen  gerechnet  wird.  Herr  Illigens 
erhebt  nun  dagegen  den  Einwand,  ob  überhaupt  die  so  einge- 
f&hrten  neuen  „Zahlen^  in  irgend  einer  Weise  eine  Vielheit  oder 
Quantität  ausdrücken,  „ob  sie  nicht  vielmehr  blosse  Zeichen  für 
das  Gegebensein  einer  Zahlreihe  sind,  sodass  Quantitätsbezeich- 
Duogen  auf  sie  anzuwenden  gar  keinen  Sinn  habe*',  und  meint, 
diese  Fragen  yerneinen  zu  müssen.  Er  will  selber  keine  neue 
Definition  aufstellen,  sondern  will  nur  an  dem  Postulat  festge- 
I^ten  wissen,   dass  die  irrationalen  Zahlen  eine  Quantität  be« 

5* 


68  I^<  AbBchnitt.     Algobra. 

zeichnen  müssen.  Denn  z.  B.  bei  x*  =  3  sei  die  rechte  Seite 
der  Ausdruck  fttr  eine  Vielheit,  also  müsse  auch  die  linke  durch 
eine  Vielheit  ausgedrückt  werden. 

Herr  Gantor  giebt,  wie  natürlich,  darin  Herrn  J.  Recht,  dass 
seine  irrationalen  Zahlen,  ebenso  wie  die  Weierstrass'schen  keine 
concreten  Grössen  seien,  und  dass  die  Begriffe  Gleich,  Grösser 
und  Kleiner  nur  in  übertragenem  Sinne  aufzufassen  sind.  An- 
dererseits könne  man  trotzdem  mit  Hülfe  dieser  abstracten  Ge- 
dankendinge eigentliche  concreto  Grössen  (z.  B.  Strecken)  quan- 
titativ genau  bestimmen. 

Herr  Illigens  verlangt  in  der  That,  wie  dem  Referenten 
scheint,  das  Unmögliche:  er  erkennt  die  Irrationalzahlen  als  ver- 
schieden von  den  rationalen  an,  und  will  doch  aus  dem  Gebiete 
der  letzteren  nicht  heraustreten.  Hy. 


B.  Christoffkl.     Lehrsätze   über  arithmetische   Eigen- 
schaften der  Irrationalzahlen.    AnnalidiMat.  (2)  XV.  253-276. 

Der  Verfasser  constatirt  zunächst,  dass  eine  gemeinsame 
arithmetische  Eigenschaft  der  Irrationalzahlen  vor  ihm  nicht  be- 
kannt gewesen  sei,  wodurch  sich  das  Streben  Mancher  erkl&ren 
lasse,  den  Irrationalzahlen  eine  selbstständige  Existenz  abzu- 
sprechen. Er  giebt  in  dieser  Arbeit  thatsächlich  eine  solche 
Eigenschaft,  ein  merkwürdiges  Periodicitätsgesetz,  und  zieht 
daraus  die  Folgerung,  dass  nicht  nur  die  ganzen  Zahlen,  son- 
dern  auch  die  rationalen  und  irrationalen  als  Ergebnis  ein  und 
derselben  Art  von  „echter**  Abzahlung  angesehen  werden  können. 

Die  Irrationalzahlen  (f)  lassen  sich,  im  Gegensatze  zu  den 
rationalen,  am  einfachsten  indirect  dadurch  definiren,  dass  es 
kein  ganzes  vielfaches  i^*  von  j  giebt,  das  selbst  eine  ganze 
Zahl  wäre.  Dagegen  lässt  sich  immer  aus  nj  die  grösste  ganze 
Zahl  [nj]  =  G(n)  absondern  und  dadurch  nj  zerlegen  in  die  bei- 
den Teile: 

nj  =  [nj]  +  (nj)  =  (7(n)  +  (nj). 
Da  es  nur  darauf  ankommt,   ob  für  irgend  ein  ganzzahliges  n 
der  Rest  (nj)  verschwinden  kann,  so  kann  man  sich  auf  Zahlen 


Oapitel  1.    GleiohangeD.  69 

j  zwischen  0  and  1  beschränken.  Durch  Gombination  der  drei, 
den  Factoren  m,  n,  m  +  n  entsprechenden  Zerlegungen  kommt 
sofort: 

G(m+n)^G(m)--G(n)  =  (nvH(r^)-{(m+n)i\  =  e^^.,, 

wo  g^n  nur  gleich  Null  oder  gleich  Eins  sein  kann.  Speciell 
för  CT  =  1  wird: 

G(n+l)-6(n)  ^  gi^  =  Qn 

und  nach  Addition  der  succ.  für  n  :=  2,  3,  . . .  n  so  entstehenden 
Gleichungen: 

9ns  =  (9m  +  gm+l  H h  ^m+n-l)  — (ffi +Ö',  H ^Qn^l)  =   jj- 

Das  hierin  liegende  Gesetz  ist  die  Grundlage  der  weiteren  Ent^ 
Wickelungen.  Aus  der  vorletzten  Relation  lässt  sich  bald  die 
eigentliche  Bedeutung  der  Alternative  p»  =  0  oder  1  entnehmen: 
Im  ersteren  Falle  findet  beim  Uebergange  von  («;)  zu  {(»»+l)j} 
eioe  Zunahme,  im  letzteren  dagegen  eine  Abnahme  statt  und  um* 
gekehrt.  Es  ist  flbersichtlicher,  statt  der  Zeichen  0,  1  die  Sym- 
bole c  (crescendo!)  und  d  (decrescendo!)  zu  schreiben.  Man 
lässt  nun  die  Zahl  n,  von  Eins  beginnend,  beliebig  wachsen,  so 
ergiebt  sich  eine  aus  den  Elementen  c  es  0,  d  =  1  in  bestimmter 
Aufeinanderfolge  gebildete  Reihe: 

welche  „die  Charakteristik  von  j^  heisst 

4 

Schon  ein  Beispiel,  etwa  j  =  V^— 1,  zeigt  eine  au£fallende 
Periodicitätserscheinung  der  Charakteristik,  es  wird  nämlich: 

I  II  II  I  II 

C  =  (cd)  {(cdXccdj]  [((^dXc^))  (cd)  \(cdX^^  ' 

III 
(III II III)  (IV III IV)  etc. 

IV^         V 

Kan  könnte  man  hier  noch  versucht  sein,  das  Fortschreitungsgesetz 
der  einzelnen  Gruppen  I,  II,  III,  IV,  V  etc.  auf  Rechnung   des 

eiofaehen  Eettenbruchs  zu  setzen,  in  den  sich  y2— 1  bekanntlich 
(mit  dem  oonstanten  Nenner  2)  entwickeln  lässt. 


70  n.  Abschnitt.    Algebra. 

Die  Cbarakteristik  einer  Zahl  j  ersetzt  diese  selbst,  wie 
auch  ihre  ganze  Restreihe  (sogar  in  Bezug  auf  die  numerische 
angenäherte  Ausrechnung  derselben)  vollkommen.  Wie  schwierig 
indess  eine  derartige  Rechnung  selbst  in  den  einfachsten  Fällen 
bereits  ausfällt,  zeigt  die  Lösung  der  Aufgabe,  eine  Irrational- 
zahl j  mit  einer  ganzen  Zahl  n  zu  multipliciren,  i.  e.  aus  der 
Charakteristik  von  j  diejenige  von  nj^  oder,  was  auf  dasselbe 
hinauskommt,  des  Restes  {nj)  herzuleiten. 

Das  oben  betonte  „Grundgesetz"  jeder  Charakteristik: 
g,^  z=.  0  oder  1 ,  lässt  die  Charakteristiken  in  zwei  Arten  tren- 
nen, eine,  welche  mit  c  beginnt,  und  in  welcher  niemals  d  auf 
d,  und  eine  zweite,  welche  mit  d  beginnt,  und  in  welcher  nie- 
mals c  auf  c  folgen  kann.  Diese  ^complementären"  Charak- 
teristiken gehören  einfach  zu  complementären  Zahlen  j,  d.  h. 
solchen,  deren  Summe  gleich  Eins  ist 

Der  Verfasser  geht  nunmehr  zur  Aufstellung  des  eigentlichen 
Bildungsgesetzes  jeder  Charakteristik  über. 

Dasselbe  stützt  sich  zuvörderst  auf  die,  wiederum  unmittel- 
bar dem  ^Grundgesetze^  zu  entnehmende  Doppel  -  Bemerkung, 
dass,  wenn  mit  s—1  die  Anzahl  der  c  bezeichnet  wird,  mit  denen 
die  Charakteristik  C  beginnt,  (C  =  c*-* d  . . .,  wo  «  =  1,  2,  . .. 
sein  kann,)  einmal  in  C  nirgendwo  mehr  als  s  Elemente  c  auf- 
einander folgen  können,  sodann,  dass  auf  jedes  d  mindestens 
«— Imal  c  folgt.  Mit  anderen  Worten:  C  ist  aus  irgend  einer 
(unbegrenzten)  Folge  von  Gruppen  Cj  =  c*-*d  und  d,  =  c'rf  zu- 
sammengesetzt. Dabei  ist  übrigens  s  nichts  anderes  als  der 
erste  Nenner  der  Kettenbruchentwickelung   von  j.     Setzt   man 

demgemäss  j  =  ,    so    lässt   sich   ein   sehr  einfacher   Zu- 

sammenhang zwischen  den  Charakteristiken  C  von  j  und  C^  von 
j\  ermitteln.  Ersetzt  man  nämlich  in  C^  jedes  Element  c  durch 
die  Gruppe  c,,  und  jedes  Element  d  durch  die  Gruppe  dp  und 
setzt  dem  Ganzen  noeh  die  Gruppe  c^  einmal  voran,  so  entsteht 
C  selbst,  oder  in  Zeichen: 

C(c/d)=c.C,(c,/d,). 
Durch   wiederholte   Anwendung;  dieses  Processes  resultirt  das 


Gapitel  1,    Gleichnngen.  71 

BilduDgsgesetz  von  C:  „Ist,  in  einen  Eettenbruch  entwickelt, 
die  Irrationalzahl  j 

nnd  bildet  man  der  Reibe  nach  die  Aggregate: 

d,  =  &d,      d,  =  Cj'd,,      d,  =  cjd,,  . . ., 
80  bat  man  ftlr  die  Charakteristik  C  von  j: 

O  —  C,  Cj  Cj  C j  •  •  •    • 

Hit  geringen  Modificationen  lässt  sich  das  Gesetz  auf  die  Rational- 
zahlen  übertragen.  Die  Entwickelung  der  Charakteristik  C  von 
den  Irrationalen  j  hängt  dann  aufs  Engste  zusammen  mit  der- 
jenigen der  Charakteristiken  der  successiven  rationalen  Näherungs- 
werte des  Eettenbnichs  j. 

Das  Eigentflmliche  des  Gesetzes  besteht  in  einer  Art  perio- 
discher Einscbachtelung  der  einzelnen  Gruppen  c^  d,,  c,,  ^sj  •  • « 

Es  mag  dem  Referenten  gestattet  sein,  seiner  eigenen  Auf- 
fassang dieser  unstreitig  hervorragenden  Arbeit  mit  einigen 
Worten  Raum  zu  geben. 

Zunächst  scheint  ihm  nicht  deutlich  zu  sein,  wie  der  Ver- 
fasser eine  eigentlich  „arithmetische"  Eigenschaft  der  Irrational- 
zahlen definirt  wissen  will  Wenn  darunter  eine  positive,  mit 
alleiniger  Hülfe  der  ganzen  Zahlen  auszudrückende  Eigenschaft 
verstanden  sein  soll ,  so  ist  doch  wohl  z.  B.  der  bekannte  Satz, 
demzufolge  jede  Irrationalzahl  zwischen  0  und  1  auf  eine  einzige 
Art  in  einen  unbegrenzten  Eettenbruch  mit  positiv  ganzzahligen 
Nennern  entwickelt  werden  kann  und  umg.,  sicher  als  eine 
„arithmetische"  Eigenschaft  zu  bezeichnen.  In  der  That  ist  das 
Charakteristikengesetz  des  Verf.  im  Wesentlichen  als  eine  Fort- 
bildang  des  genannten  Satzes  anzusehen,  die  im  besonderen  das 
Verhältnis  des  Eettenbruchwertes  zu  den  Werten  seiner  Nähe- 
rungsbrüche in  einer  sehr  prägnanten,  neuen  Art  fixirt. 

Der  Referent  betrachtet  daher  die  Sätze  des  Verfassers  mehr 
als  einen  wesentlichen  Beitrag  zur  Theorie  der  Eettenbrüche, 
wie  denn  auch  Aufgaben  der  Art:  die  Summe  oder  das  Produet 
zweier  Eettenbrüche  wieder  als  Eettenbruch  darzustellen,  auf 
seiner  Grundlage  der  Lösung  näher  gerückt  sind. 


72  IL  Abtehnitt.    Algebra. 

Aof  alle  Fftlle  wird  in  dem  yerwickelten  Gebiete  der  Irra- 
tionalzahlen yor  der  Hand  der  subjectiven  Anffassntig  noch  ein 
ziemlicher  Spielraum  erlaubt  sein.  My. 


L.  Baur.     Zur  Theorie  der  Dedekind'scheu  Ideale. 

Math.  ADD.  XXXII.  151-156. 

Die  im  Titel  genannte  Theorie  ist  von  den  Herren  Dedekind 
und  Weber  in  einer  bekannten  Arbeit  entwickelt  worden  (F.  d. 
M.  XIV.  1882.  352).  Der  Verfasser  giebt  derselben  eine  ein- 
fachere und  concretere  Gestalt  in  Verfolgung  eines  Gedanken- 
ganges, den  H.  Dedekind  in  dem  Supplement  XI  der  Dirichlet'- 
sehen  Vorlesungen  tiber  Zahlentheorie  augegeben  hat.  Man  kann 
nämlich  einen  Modul  [a,,  a,  ...  a«]  in  mannigfachster  Weise  um- 
formen, ohne  seinen  Inhalt  zu  ändern.  So  z.  B.,  wenn  unter 
den  a  mehrere  ganze  rationale  Functionen  einer  Veränderlichen 
vorkommen,  ist  es  erlaubt,  sie  durch  ihren  grössten  gemein- 
schaftlichen Teiler  zu  ersetzen.  Darauf  gründet  sich  der  wichtige 
Hülfssatz:  Bilden  die  n  „ganzen"  Functionen  co^,  w^  ...  cti«  eine 
„Basis ^  eines  algebraischen  „Körpers",  so  kann  eine  von  ihnen 
stets  gleich  1  gesetzt  werden.  My. 


K.  ScHWERiNG.     Untersuchungen  über  die  Nonnen  com- 

plexer   Zahlen.     Acta  Math.  XI.  205-296. 

Bei  diesen  Untersuchungen  wird  weniger  Gewicht  auf  die 
Zusammenstellung  der  Factoren  in  gewisse  Unterproducte,  als 
auf  die  Reduction  der  Frage  nach  der  Entwickelung  von  Pro- 
ducten  conjugirter  Factoren  einer  gewissen  Gliederzahl  auf  solche 
mit  geringerer  Gliederzahl  gelegt.  Dabei  treten  als  besonders 
wichtig  die  „Kummer'schen  Kongruenzen^ 

^1^1  +öa^9+  •••  +CLm^m  ^0  (mod  k) 

hervor,  wobei  die  a?,,  •••  a?,«  gesuchte  positive  ganze,  die  öj,--  o« 
gegebene  positive  oder  negative  ganze  Zahlen  sind. 

So  lassen  sich   die  Fragen  nach  der  gesamten  Gliederzahl 


Gapitel  1.    Gleichangeo.  73 

des  entwickelten  Aasdruckes 

(a,  + \-and  ^  (öja  +  Ö8«^H hömöO)      . 

nach  der  Zahl  der  Glieder  desselben  Ausdrucks,  welche  alle  m 
Elemente  enthalten,  nach  den  Coefficienten  des  Products  ftlr 
m  =  3  u.  8.  w.  bestimmen.  No. 


C  A.  Laisant.     Constructions  graphiqoes    de  nombres 
transcendants.     Soc.  Pbiiom.  M§m.  63-68. 

Die  einzelnen  Glieder  einer  convergenten  Potenzreihe  einer 
complexen  Variabein  z  werden  auf  Grund  des  bekannten  Ver- 
hältnisses je  zweier  aufeinanderfolgenden  in  der  z  =  x  +  iy-EhenQ 
mit  bekannter  Anwendung  ähnlicher  Dreiecke  als  Punkte  dar- 
gestellt In  manchen  Fällen  wird  dann  die  Gonvergenz  der  Reihe 
zu  einer  unmittelbar  anschaulichen  Tatsache,  so  bei  der  Expo- 
nential-  und  logarithmischen  Beihe.  Daran  knüpfen  sich  wie- 
derum graphische  Lösungen  bekannter  Aufgaben,  so  z.  B.  (mit 
Hfllfe  der  ersteren  Beihe)  den  Winkel  zu  finden,  dessen  zuge« 
höriger  Bogen  (vom  Einheitskreise)  eine  gegebene  Länge  hat. 

My. 

L.  Eronecker.     Zur  Theorie  der  allgemeinen  complexen 
Zahlen  und  der  Modulsysteme.     Berl.  Ber.  429-438,  447-465, 

557-578,  595-612,  983-1016. 

Referat  folgt  im  nächsten  Bande  nach  Beendigung  der  Arbeit. 


K.  Hensbl.      Ueber    die  Darstellung    der  Zahlen    eines 
Gattungsbereiches   für    einen    beliebigen   Primdivisor. 

Krooecker.  CHI.  280-237. 

Herr  Hensel  knüpft  an  seine  frühere  Arbeit  (J.  flir  Math.  CI; 
F.  d.  M.  XIX.  1887.  68)  an,  um  die  Frage  zu  entscheiden,  ob 
es  in  dem  Gattungssystem  (G)  mod.  P  stets  ein  Fundamental- 
System  von  k  Zahlen  giebt,  welches  durch  conjugirte  Functionen 

«7,  fpp,  •••ir'^"^  gebildet  wird.    Es  zeigt  sich,  dass  dies  tatsäch- 
lich der  Fall  ist,  und  der  Beweis  liefert  gleichzeitig  ein  brauch- 


74  n.  Abschnitt    Algebra. 

» 

bares  Verfahren   zur   Bestimmung   der  Fondamentalzahlen   nnd 
lässt  ferner  auch  ihre  Anzahl  finden.  No. 


F.  Mertens.      üeber  die  Ermittelung  des  Teiles   einer 
ganzen  ganzzahligen    Function   einer  Veränderlichen. 

Wien.  Ber.  XCVII.  618-621. 

Die  Arbeit  schliesst  sich  an  die  bekannte  Kronecker'sche  Me- 
thode an  (Festschrift.  S.  11),  scheint  aber  die  bezfiglichen  Unter- 
suchungen des  Herrn  Runge  (J.  f.  Math.  IC)  nicht  zu  kennen. 

No. 

F.  Hertens.      Ein   Beweis    des   Fnndamentalsatzes    der 

Algebra.     Wien.  Ber.  XCVII. 

Der  Beweis  für  die  Existenz  von  Wurzeln  algebraischer 
Gleichungen  wird  so  gefQhrt,  dass  eine  Methode  geliefert  wird, 
durch  die  man  rationale  complexe  Zahlen  erhält,  welche  die  Be- 
dingungen eines  Grenzprocesses  erfUIlen  und  fflr  x  eingesetzt 
der  gegebenen  ganzen  Function  Werte  erteilen,  deren  Normen 
von  vorgeschriebener  Kleinheit  sind.  Um  dies  durchzufahren 
wird  ein  Wert  tr  bestimmt,  welcher  eine  gewisse  Bedingung 
hinsichtlich  des  Moduls  der  gegebenen  Function  erfflllt;  dadurch 
kann  man  mit  Hülfe  der  Newton'schen  Näherungsmethode  rationale 
complexe  Werte  ableiten,  welche  der  Function  Werte  mit  rasch 
abnehmenden  Nonnen  erteilen.  No. 


A.  HuRwiTz.      Ueber  diejenigen  algebraischen   Gebilde, 
welche  eindeutige  Transformationen  in  sich  zulassen. 

Math.  ADD.  XXXII.  290-308. 

Der  Herr  Verf.  fasst  die  hauptsächlichsten  Resultate  seiner 
Untersuchung  in  die  Sätze  zusammen :  1)  Jede  eindeutige  Trans- 
formation eines  algebraischen  Gebildes  in  sich  ist  periodisch, 
d.  h.  bildet  man  von  irgend  einer  Stelle  P  ausgehend  die  Reibe 
P,  /*',  P",  •-,  in  welcher  jede  Stelle  der  unmittelbar  yorhergehen- 
den  entspricht,  so  schliesst  sich  die  Reihe,  indem  stets  etwa  die 


Capitel  1.    Oleiohnogen.  75 

(« + !)*•  Stelle  F<»>  mit  der  Ausgangsetelle  P  identisch  ist.  2)  Die 
Periode  n  einer  eindeutigen  Transformation  eines  algebraischen 
Gebildes  in  sich  kann  eine  gewisse  von  dem  Geschlecht  p  ab* 
hängende  Grenze  nicht  überschreiten.  Der  grösste  Wert,  welchen 
n  anBehmen  kann,  ist  nämlich  10(p— 1).  3)  Jedes  algebraische 
Gebilde,  welches  eine  eindeutige  Transformation  in  sich  von  der 
Periode  n  besitzt,  lässt  sich  durch  eine  Gleichung  der  Gestalt 
F(s",s)  =  0  definiren  und  zwar  so,  dass  zugleich  die  eindeutige 

7  in 


Transformation  durch  die  Formeln  *'  =  e  «  «,  js'  =  a  angegeben 
wird.  No. 

F.  J.  VAN  DEN  Berg.     Nognaaals  over  afgeleide  wortcl- 

punten.      Nieuw  Arch.  XV.  100-164. 

Fortsetzung  der  frfiheren  Untersuchungen  des  Verfassers 
aber  denselben  Gegenstand,  nämlich  ttber  die  abgeleiteten  Wurzel- 
punkte (Siehe  F.  d.  M.  XVL  1884.  S.  76).  Zunächst  wird  die 
Aufgabe  von  einem  aligemeinen  Gesichtspunkt  aufgefasst,  in- 
sofern das  regelmässige  Vieleck,  auf  welches  die  Wurzelpunkte 
sieh  beziehen,  durch  ein  anderes  ersetzt  wird,  welches  in  und 
am  zwei  Kreise  beschrieben  werden  kann,  und  alsdann  werden 
die  Wurzelpunkte  die  Eckpunkte  eines  willkürlichen  Vielecks, 
welches  in  und  um  zwei  Kegelschnitte  beschrieben  werden  kann. 
Ebenso  wie  bei  der  früheren  Betrachtung  beginnt  Verfasser  mit 
einigen  statischen  Eigenschaften  in  Bezug  auf  das  Gleichgewicht 
ron  Kräften,  welche  an  den  Eckpunkten  eines  Vielecks  angreifen. 
Von  da  kehrt  er  zu  seinem  Gegenstand  mit  dem  Satz  zurück, 
dass  jeder  Wurzelpunkt  der  Abgeleiteten  einer  Gleichung  cha- 
nikterisirt  wird  als  ein  solcher  Punkt,  an  dem  Kräfte,  welche 
nach  allen  Wurzelpunkten  der  Gleichung  selbst  gerichtet  und 
omgekehrt  proportional  den  Abständen  von  diesen  Punkten  sind, 
einander  das  Gleichgewicht  halten.  Der  wichtigste  Satz,  zu  dem 
Verfasser  gelangt,  ist  der  folgende:  Wenn  die  Wurzelpunkte 
einer  Gleichung  die  Eckpunktq  eines  in  und  um  einen  Kegel- 
sehnitt  beschriebenen  Vielecks  sind,  und  die  Potenzen  von  je 
2wei  aufeinander  folgenden  Wurzelpunkten  sich  wie  die  anliegen- 


76  II-  Absohnitt    Algebra. 

den  Segmente  verhalten,  in  welche  ihre  Seite  dnrch  den  Be- 
rtthrungspunkt  geteilt  wird,  so  bestehen  die  Wnrzelpankte  der 
abgeleiteten  Gleichung,  ausBcr  den  ursprQngliohen  Wurzelpunkten, 
aus  den  Brennpunkten  der  Kegelschnitte,  welche,  sei  es  den 
Seiten,  sei  es  den  Diagonalen  derselben  Ordnung  des  Vielecks 
eingeschrieben  werden  können ;  hierzu  kommt  f ttr  den  .Fall  eines 
geraden  Vielecks  noch  der  gemeinschaftliche  Durchschnittspunkt 
seiner  Hauptdiagonalen.  In  einer  Nachschrift  wird  dieser  Haupt- 
satz der  Untersuchung  nochmals  erweitert  und  auf  analytischem 
Wege  durch  Liniencoordinaten  ausgedrückt.  G. 


F.  J.  VAN  DEN  Berg.  De  constructie  -  figaur  Voor  de 
oplossing  van  een  stelsel  lineaire   vergelykingen ,   be- 

SChouerd   als   Configuratie.       Amst  Versl.  en  Meded.   (3)    V. 
267-288. 

Die  vorliegende  Abhandlung  schliesst  sich  an  eine  Arbeit 
von  Hrn.  J.  de  Vries  über  ebene  Configurationen  an.  Hier 
werden  sie  für  ein  System  linearer  Gleichungen  benutzt,  ein 
Gegenstand,  den  Verfasser  bereits  früher  behandelt  hat  (Siebe 
F.  d.  M.  XIV.  1887.  89).  Ausführliche  Berechnungen  zeigen 
sodann,  wie  die  Construction  der  Wurzeln  von  eiaem  System 
von  Gleichungen  durch  Anwendung  besonderer  Configurationen 
vereinfacht  werden  kann.  Zum  Schluss  werden  auch  einige 
Eigenschaften  von  Determinanten,  die  auf  den  Gegenstand  Be- 
zug haben,  mitgeteilt.  G. 

C.  IsENKRAHE.  Ucber  die  Anwendung  iterirter  Func- 
tionen zur  Darstellung  der  Wurzeln  algebraischer  und 
transcendenter  Gleichungen.     Math.  add.  xxxi.  309-3t7. 

'  Der  Herr  Verfasser  legt  die  algebraische  oder  transcendente 
Gleichung  in  der  Form  x  =  f(x)  zu  Grunde,  geht  von  einem 
Werte  x^  aus,  bildet  a?,  =  f(x^\  rc,  =  f(x^)^  ...  und  findet,  dass 
diese  Iteration  nur  dann  gegen  einen  festen  Wert  f«  =  f(?a) 
convergirt,  wenn  ir(?a)|<l  ist;  die  Convergenz  dahin  ist  um 


Gapitel  1.    Gleichungen.  77 

80  schneller,  je  kleiner  dieser  Modal  ist;  $«  wird  nnr  von  Einer 
Seite  erreicht,  wenn  f'i^a)  positiv  ist,  dagegen  nähern  sich 
*ii,  ««+1, ...  von  beiden  Seiten,  wenn  TCW  negativ  ist;  die 
Iteration  der  Function  x  =  (f(x)  —  xf{x)):(\  —  f(x))  föhrt  je 
nach  den  verschiedenen  Anfangswerten  x^  zu  sämtlichen  reellen 
und  complexen  Wurzeln  der  Gleichung;  u.  s.  w.  Durch  diese 
interessanten  Resultate  sind  die  früheren  Untersuchungen  des 
Herrn  E.  E.  Hoffmann  und  des  Referenten  (vgl.  F.  d.  M.  XII. 
1880.  75;  XIX.  1887.  75)  zum  Abschluss  gebracht.  No. 


J.  DoLBNiA.      Sur    le    critfere    de  Galois   concernant  la 
r^solubilit^   des   äqnations   alg^briques   par  radicaux. 

NouT.  Ann.  (3)  VII.  467-485. 

Einfache  und  klare  Darlegung  der  bezüglichen  Theoreme, 
welche  von  dem  Aberschen  Satze  über  die  Darstellung  der  Wur- 
zeln auflösbarer  Gleichungen  ausgeht  und  durch  einfache  sub- 
stitationentheoretische  Theoreme  zum  Ziele  führt.  No. 


Ob.  Hermitb.     Sur  un  memoire  de  Laguerre,  concernant 

les  ^quations  alg^briques.      Rom.  Acc.  Pont.  d.  N.  L.  Mem. 
m.  156-164. 

Herr  H.  beweist  den  von  Laguerre  gegebenen,  F.  d.  Math. 
1880,  S.  71  besprochenen  Satz  auf  directem  einfachen  Wege 
und  fügt  einige  wichtige  Bemerkungen  hinzu.  Ko. 


J.  P.  SöDERBERG.  Demonstration  du  thöorfeme  fonda- 
mental  de  Galois  dans  la  thdorie  de  la  räsolution 
alg^briqae  des  öquatious.    Acta  Math.  XL  297-302. 

Es  wird  die  Existenz  der  „Galois'schen  Gruppe*'  einer  Glei- 
chung abgeleitet.  No. 


78  n.  Abschnitt    Algebra. 

F.  Kühki:n.  Ueber  die  Galois'sche  Gruppe  der  Gleichung 
27.  Grades,  von  welcher  die  Geraden  auf  der  allge- 
meinen Fläche  dritter  Ordnung  abhängen.      Diea.  Mar- 

borg.  31  S-  8^ 


H.  W.   Lloyd  Tanner.      A   graphic    representation    of 
the  theoremfi  of  Sturm  and  Fourier.    Meas.  (2)  x viii.  95-99. 

Der  Verf.  giebt  eine  Methode  zur  Erläuterung  des  Sturm'- 
sohen  Satzes  über  die  reellen  Wurzeln  algebraischer  Gleichungen ; 
dieselbe  vermittelt  eine  klare  Vorstellung  von  der  Art,  wie  die 
Verteilung  der  Zeichen  von  Wurzel  zu  Wurael  sich  ändert.  Die 
Werte  von  x,  der  Unbekannten  in  einer  vorgelegten  Gleichung, 
werden  längs  einer  horizontalen  Linie,  der  rp-Axe  verteilt.  Ober- 
halb dieser  Linie  wird  die  Zeichenebene'  durch  Parallelen  zur 
X'kxe  in  Streifen  zerlegt.  Jeder  der  Stürmischen  Functionen 
wird  ein  Streifen  zugeeignet,  aufeinander  folgende  Functionen 
haben  ber.achbarte  Streifen.  Die  Function,  deren  Wurzeln  auf- 
zusuchen sind,  erhält  den  obersten  Streifen,  und  die  anderen 
Functionen  werden  der  Reihe  nach  darunter  gestellt.  Die  Zeich- 
nung wird  nach  rechts  und  links  durch  verticale  Striche  abge- 
grenzt, welche  den  betrachteten  Grenzwerten  von  x  entsprechen. 
Der  jeder  Function  zugehörige  Streifen  wird  durch  vertical  auf- 
wärts gc'/.ogene  Linien  von  den  Punkten  der  x-Axe  aas  weiter 
eingeteilt,  welche  die  reellen  Wurzeln  der  Function  bedeuten. 
In  jedem  so  erhaltenen  Flächenstücke  ist  das  Zeichen  der  Func- 
tion bestimmt,  in  den  Nachbarstücken  eines  Streifens  sind  die 
Zeichen  entgegengesetzt  (falls  die  entsprechende  Function  nicht 
zufällig  gleiche  Wurzeln  hat).  Wenn  jeder  Streifen  nach  dieser 
Weise  bezeichnet  ist,  so  werden  diejenigen  verticalen  und  hori- 
zontalen Striche,  welche  Flächen  von  entgegengesetzten  Zeichen 
trennen,  dicker  ausgezogen.  Diese  dicken  Striche  bilden  eine 
Anzahl  zusammenhängender  gebrochener  Linien,  welche  der  Verf. 
Wech  ellinien  (change-lines)  nennt.  Es  wird  gezeigt,  dass  jede 
Wech&ülinie  den  einen  Endpunkt  an  der  linken  Grenze,  den 
andere  .  entweder  an  der  oberen  oder  rechten  hat.    Dies  ist  nun 


Capitel  1.    Gleiehnngen.  79 

der  Sturm'scbe  Satz;  denn  die  Anzahl  der  Wechsellinien,  welche 
eine  Verticale  treffen,  ist  die  Anzahl  der  Zeichenwechsel  in  dem 
Systeme  Stürmischer  Functionen  f&r  den  entsprechenden  Wert 
von  X, 

Der  Verf.  betrachtet  auch  die  Anwendung  dieses  Diagramms 
auf  den  Fourier^schen  Satz,  und  er  bestimmt  die  Anzahl  voll- 
ständiger Stürmischer  Diagramme,  welche  zu  einem  Polynom 
gegebenen  Grades  gehören.  Der  Zusammenhang  des  Diagramms 
mit  Besultanten   und   Discriminanten  wird  ebenfalls  angegeben. 

Glr.  (Lp.) 

Haube.      Sur    le    thäor&me  et  les  foDctions  de   Sturm. 

J.  de  Math.  ep4c.  (3)  II.  28-35,  51-57,  76-80. 

Auszug  aus  den  Eronecker'schen  Untersuchungen.        No. 


Correspondance.     Noav.  Add.  (3)  Vli.  302-303. 

Ein  Abonnent  macht  auf  einige  Ungenauigkeiten  aufmerk- 
sam, die  sich  in  dem  Aufsatze  von  J.  CoUin:  Sur  le  thöoreme 
de  Sturm,  Nouv.  Ann.  (3)  VI.  266;  (F.  d.  M.  XIX.  1887,  70) 
finden.  No. 

Aü6.  PoüLAiN.     Thöorfemes  sur  les  öqnations  algebriques. 

J.  de  Math.  sp^c.    (3)    II.    80-83,  99-101,  123-127,  145-150,  169-172, 
193-196.  217-220. 

Hßrr  Poulain  beschäftigt  sich  mit  der  von  Newton  gegebenen 
Regel:  Die  Anzahl  der  imaginären  Wurzeln  von 

ajX*-|-fi.a,x"-*-j--4j — 5 — a,a5«-*-| +  nOt^^iX  +  On  =  0 

ist  entweder  gleich  der  Anzahl  der  Zeichenwechsel  der  Reihe 

oder  um  eine  gerade  Zahl  grösser.  Er  beweist  dieselbe  für 
n  =  3,  4,  5  und  liefert  einige  Erweiterungen,  die  darauf  hinaus- 
laufen, dass  die  Regel  auch  dann  noch  gilt,  wenn  die  CoeiB- 
eienten  mit  gewissen  Zahlen-Factoren  der  Reihe  nach  multiplicirt 
werden.  No. 


80  IT*  Abiehnitt.    Algebra. 

AüG.  PoüLAiN.     Th^or^mes  sur  les  ^quations  alg^briqnes 
et  les  fonctions  qnadratiqaes  de  Campbell.     C.  R.  cvi. 

470-473. 

Die  in  der  eben  besprochenen  Arbeit  abgeleiteten  Resultate 
werden  ohne  Beweis  mitgeteilt.  No. 


E.  Lampe.     Solution  of  question  7341.    Ed.  Time«  XLViii. 

106-107. 

Die  Lösung  der  Gleichungen  (vgl.  F.  d.  M.  XVII.  1885. 
76): 

y»(y-fa  — aj)  =  a,    «?(»  +  «  — y)  =  6,    «y(«+y  — «)  =  c 
kommt  zurück  auf  die  der  kubischen  Gleichung  (wo  p  =  xys): 

4p'— (6c-f  ca+a6)p— -ofcc  =  0. 
Ist  2bc  =  ab  +  ac,  so  sind  die  drei  reellen  Werte  von  x  einander 


gleich  und  unabhängig  von  p,  nämlich  y^(6  +  c).  Lp. 


Fr.  Hofmann.     Sur  l'existence  de   trois  racines  röelles 
de  r^quation  qui  d^termine   les  axes  principaux  d'un 

CÖne.      Nonv.  ADD.  (3)  VII.  90-97. 

Die  Existenz  der  ersten  reellen  Wurzel  wird  aus  dem  un- 
geraden Grade  der  Gleichung  geschlossen;  die  beiden  anderen 
folgen  dann  durch  eine  einfach  geometrische  Construction. 

No. 

F.  Hofmann.     La  Solution   g^om^triques  de  Täquation 
du  qaatri&me  degr^.     Nonv.  Add.  (3)  Vli.  120-133. 

Die  Wurzeln  der  Gleichung 

a^x^  +  ia,x^y  +  6a^x*y^  +  4ta,xy*  +  ay  =  0 
seien  rr:y  =  ^j,  A„  A„  l^]  diese  können  als  4  Gerade  gedeutet 
werden,  welche  die  Parabel  y^—x  =  0  ausser  im  Nullpunkt  in 
4  Punkten  schneiden.     Die  Schar  der  Kegelschnitte  durch  die- 
selben ist 

a^aj'+4a,  «y-f /uy'  +  (6a,-^)a?  +  4a,y  +  a^  =0. 


Oftpitel  1.    OleichoDgeo.  gl 

Durch  die  Lösung  einer  Gleichung  dritten  Grades  kann  ^  so  be- 
stimmt werden,  dass  der  Kegelschnitt  in  ein  Geraden-Paar  zer- 
fällt Der  weitere  Weg  zur  Lösung  der  Gleichung  vierten  Grades 
ist  dann  ersichtlich.  No. 


J.  J.  Sylvester  and  J.  Hammond.     On  Hamilton's  nurn- 

bers.      Part  IL     Lond.  Phil.  Trans.  GLXXIX.  65-72. 

Fortsetzung  einer  früheren  Arbeit  (s.  F.  d.  H.  XIX.  1887. 
80).  Der  (weitergezählte)  §  4  hat  den  besonderen  Titel:  Fort- 
führung der  asymptotischen  Entwickelung  fftr  Hypotenusenzahlen 
auf  eine  unendliche  Anzahl  von  Gliedern.  Berichtigt  wird  die 
Entwickelungsform,  welche  im  dritten  Abschnitte  angenommen 
war  ffir  p  —  9,  die  Hälfte  irgend  einer  Hypotenusenzahl,  nach 
Potenzen  von  9— r,  der  Hälfte  der  yorangehenden,  und  das  ge- 
wonnene Endergebnis  ist: 

p-q  =  (g-ry  +  iiq^r)i+^(q-r)  +  ^(q-r)l 

d.   b.   hinter   yier    unregelmässigen    Gliedern    folgt   ein.   regel- 
mässiger Teil,  der  aus  einem  Factor  ü(9~0^  ^^^   ^^^  ^^^^^ 

Reihe  besteht,  deren  allgemeines  Glied  -0— Ö— 0      wt. 

Cly.  (Lp.) 


F.  Brioschi.     Sopra  una  trasformazione  delle  equazioni 

del   quintO  grado.     AnnsH  d!  Mat  (2)  XVI.  181-189. 

Ist  f(x^^  x^)  eine  binäre  Form  fünften  Grades,  für  welche 
/  ==  i(f/)^  sei,  so  besitzt  sie  drei  Covarianten  p,  g,  r  dritter 
Ordnung  der  Grade  3,  5,  9.    Man  hat 

Ferner  besitzt  f  3  Invarianten  der  Grade  4,  8,  12 

A  =  i(IO„    B  =  (/«)„    C  =  i(iiim),. 

Fortoehr.  d.  Mmth.  \X,  l,  6 


82  II-  AlitekDitt.    Algebra. 

Bezeichnet  man  mit  J  die  Discriminante  von 

80  ist  ^/  =  l6(i*«-144B). 

Hermite  hat  die  Gleichung  fllnften  Grades  durch 

trAnsformirt    Hier  gesehiebt  die  Transformation  dureh 

Es  entsteht 

y'— 10Äy«+40Cy»+5(iilC+5ß*)y+4(iilÄ»+fi4*C-54ÄC)=0. 

Setzt  man 

,  =  ^(12y  +  4), 

80  hat  man  die  bekannten  ftlnfwertigen  Kronecker'schen  Func- 
tionen.   Setzt  man 

_  ^    A  JLAL 

80  entsteht  fttr  £  =  0 

»»+10»"  +  45»  +  «  =  0;l=  -241/3  V7^n[. 

Es  werden  die  charakteristischen  Eigenschaften  der  Formen  fest- 
gestellt,  ftlr  welche  B  =  0  ist.  No. 


F.  Brioschi.     Principii  di  una  teoria  sulla  trasformazione 
delle  equazioni  algebriche.     Anoaii  di  Mat.  (2)  xvi.  329-334. 

Wie  im  vorherbesprochenen  Aufsatze  schon  angedeutet  ist, 
will  Herr  Brioschi  die  Theorie  der  Transformationen  auf  die  der 
Formen  grQnden,  Er  geht  von  dem  Hermite'sche  Satze  aus: 
„Sei  f(xyy)  eine  Form  der  Ordnung  n  und  ^(«,  y)  eine  ihrer 
Covarianten  der  Ordnung  (n  —  2\  dann  sind  die  Coefficienten 
der  durch  y  =  V'  (a:,'l) :  f]g(x^  1)  transformirten  Gleichung  f(a;,  1) =0 
sämtlich  Invarianten  von  f(x,  y).**  Hierah  knttpft  der  Verfasser 
die  von  ihm  selbst  gegebenen  Sätze:  Ist  nv  eine  Wurzel  von 
f(x)  =  0  und  f(jr)  ==  {x—Xr)(p(x)^   dann  lässt  sich  jede  C!ova- 


Gapitel  1.    GleichnDgeo.  83 

riante  yon  f(x)  der  Ordnung  m  und  des  Grades  p,  in  welcher 
statt  X  gesetzt  wird  ov,  als  ganze  rationale  Function  der  Cova- 
rianten  der  Ordnung  m-|-p  und  des  Grades  p  von  q>(x)  darstellen, 
und  jede  Invariante  des  Grades  p  durch  Covariantei^  der  Ord- 
nii«g  p  und  des  Grades  p  von  tpOe).  Es  wird,  um  diese  Sätze 
anzuwenden,  eine  Methode  abgeleitet,  um  für  x  =  Xr  die  Werte 
der  Coyarianten  und  die  der  Invarianten  von  f(x)  als  Functionen 
der  Coyarianfen  und  der  Invarianten  von  g>(x)  zu  bestimmen. 
Als  Beispiel  zu  der  aufgestellten  Theorie  wird  der  Fall  n  =  6 
bebandelt.  No, 

-  -    ■  -  ■  -         — 

F.  .Bbio8Chi.      La    forma    normale    delle    equazioni   del 

sestO  grado.      Bom.  Acc.  S^Rend.  (4)  lY.  301-305,  485*489. 

Als  Kormalform  einer  Gleichung  u(x)  =  0  sechsten  Grades 
wird  diejenige  bezeichnet,  in  welcher  u(x)  =0  durch  die  Sub- 
stitution 

^-  ä 

fibergeht,  wobei  Xr(r  =  1, ...  6)  die  Wurzeln  von  u(x)  =  0  und 

bedeuten.  In  der  ersten  Kote  werden  die  Goefficienten  der 
Kormalförm  bestimmt,  indem  die  transformirte  Gleichung  als 
Resultante  zweier  anderer  aufgefasst  wird;  in  der  zweiten  wer- 
den die  Werte  der  Wurzeln  (i,...!«  der  transformlrten  Gleichung 
untersucht.  _______  N^* 

H.  Maschre.     La   risoluzione   della   equazione  di  sesto 

grado. 
F.  Brtoschi.  Osservazioni  siiUa  precedente  comunicazione. 

Rom.  Acc.  S.  Rend.  (4)  IV.  181-184. 

Beide  Mitteilungen  führen  die  allgemeine  Gleichung  sechsten 
Grades  auf  die  Form 

6* 


84  11.  Abschnitt.    Algebra. 

zarflck,  welche  in  der  Arbeit  des  Herrn  Haschke  (lieber  die 
lineare  Gruppe  der  Borchardt'schen  Moduln.  Math.  Ann.  XXX. 
F.  d.  M.  XIX.  1887.  140)  gefanden  wurde.  Die  seehs  Wurzeln 
ffi^'-llt  erscheinen  ausgedrückt  durch  die  1.  c.  gegebenen  Func- 
tionen qfjtf;  von  vier  Grossen  «,,.«.^(4,  welche  als  ^«Functionen 
definirt  sind,  die  zu  einer  binären  Form  sechster  Ordnung  ge- 
hören, deren  Invarianten  durch  a,  /?,  7,  d  dargestellt  werden. 

No. 

F«  Brioschi.    Siir  T^quation  du  sixi^me  degrä.   Acta  iiAth. 

XII.  83-101. 

Diese  Arbeit  bringt  die  ausfQhrliche  Darlegung  der  in  der 
eben  besprochenen  Note  des  Herrn  Brioschi  gegebenen  An- 
deutungen. Der  Herr  Verfasser  geht  von  den  Invarianten  einer 
binären  Form  sechsten  Grades  aus,  bespricht  die  Jacobi'sche, 
die  Gajley'sche  und  die  Malfatti'sche  Resolvente,  transformirt 
die  allgemeine  Gleichung  sechsten  Grades  in  ihre  Normalform 
(siehe  obenl),  und  zeigt,  wie  dieselbe  mit  Hülfe  hjperelliptischer 
Functionen  aufgelöst  werden  kann.  No. 


F.  WiLSHAüs.     üeber  die  algebraische  Auflösbarkeit  der 
Gleichungen  achten  Grades.    dIss.  Marburg.  40 S.  8^ 


Halphbn.     Correspondance.      Nou?.  Ann.  (3)  Vir.  204. 

Es  seien  die  Polynome  An  bestimmt  durch 

ii,  ==  a?'ii,_2— (2«— l)2l„«i;      ii,  =«  — L 
Dann  liefert  y  =  An&^.x'^  d\e  Lösung  der  Riccati'schen  Gleichung 

\  dx       \       X*        ^    P- 

A2n\-i  =^  0  hat  eine,  A^  =  0  hat  keine  reelle  Wurzel.  Es  wird 
eine  Bestimmung  der  Discriminate  von  An^  sowie  die  symme- 
trische Function  n{xa  +  Xß)  gegeben.  No. 


Capitel  1.    Oleiehuogen.  85 

M.  d'OcAGNE.     8ur   les  ^uations  alg^briqnes  h,  racines 
toutes  reelles.     0«  R.  OVI.  73i-7d2. 

Unter  K^  werden  die  Zahlen  yerstanden,  welche  den  Be- 
dingungen 

ÜTJ,  =  1,       Km  =  1)      Ä^  =  pKtn-^i  -{-Km-l 

genQgen,  unter  qp^+i  das  Polynom 

Ist  dann  Z  =  0  eine  Gleichung  des  Grades  p  mit  nur  reellen 
Wurzeln,  dann  hat  auch 

bei  beliebigem  m  nur  reelle  Wurzeln.  No. 


G«  FouRET.  Sur  une  source  d'^quations  alg^briques 
ayant  toutes  leurs  racines  rdelles.  0.  B.  OVI.  11351139. 

G.  FouRET.  Sur  certains  types  d'dquations  alg^briques 
ayant  toutes  leurs  racines  reelles.    C.  B.  OVI.  1220-1222. 

Hat  die  Gleichung 

a^a?»-f  flj «*"*  +  «,«*•■'*  +  •••  +0»  =  0 
nur  reelle  Wurzeln,  so  bat  die  Gleichung 

in  der  /"("^(x)  ein  Polynom  vom  Grade  n  +  k  bedeutet,  mindestens 
n  reelle  Wurzeln;  besitzt  sie  dann  mehr,  so  ist  die  Differenz  eine 
gerade  Zahl. 

In  der  zweiten  Note  bemerkt  Herr  Fouret,  dass  der  Satz 
im  Wesentlichen  schon  von  Hermite  gegeben  worden  ist,  und 
fbhrt  ein  anderes  Theorem  an,  mittels  dessen  man  aus  zwei 
Gleichungen,  die  beide  nur  reelle  Wurzeln  besitzen  eine  dritte 
Yon  derselben  Eigenschaft  ableiten  kann.  No. 


Ch.  B.     Solution  de  la  question  d'algfebre  proposöe  pour 
Tadmission    k    l'^^cole  Normal^    supdrieure    en    1888. 

Nonv.  Ann.  (3)  VII.  314-317. 


86  IT.  AbachniU.    Algebra. 

Befriedigt  das  Polynom  f{x)  identisch  die  Gleichung 

dann  sollen  die  Coefficienten  von  f{x\  nach  Potenzen  yon(iär — a) 
geordnet,  bestimmt  werden;  die  Bedingungen  der  Realität  der  Wur- 
zeln sollen  gesucht  werden  und  gezeigt  werden,  dass  die  Wurzeln 

zwischen  a  -  ^"^^^^  |  6  |  und  a  +  }®^^|  6  |  liegen. 

No. 

N.  Madsbn.     Rakkendviklinger  af  Rödderne  i  Ligningen 

a?"4-Oa:  +6  =  0.     Zeuthen  Tidsa.  (5)  VI.  33-39. 

Der  Verfasser  zeigt,  wie  man  mittels  der  Beihenentwicke- 
lungen  von  Lagrange  und  Laplace  immer  alle  Wurzeln  der 
Gleichung  ^^4-0^  +  ^  =  0  in  convergente  Reihen  entwickeln 
kann.  Er  giebt  in  jedem  Falle  den  Ausdruck  des  allgemeinen 
Gliedes  der  Reihe.  V. 


D.  Amanzio.     Intorno  ad  una  funzione  isobarica.    AtH  deir 

Accademia  Pontaniana.  XVII.  85-107. 

Diese  Arbeit  kann  als  ein  Beitrag  zu  den  Untersuchungen 

über  die  transcendenten  Gleichungen  besonderer  Art  bezeichnet 

werden.    Der  Verfasser  geht  von  der  Betrachtung  einer  gewissen 

(isobarischen)  Function  f(p,#)  aus,  welche  auf  die  folgende  Weise 

erklärt  wird:   Seien  a^^a^.,.^an^p  beliebige  gegebene  Grössen; 

$  eine  ganze  Zahl;  aj,a„...,ofii  eine  Auflösung  der  diophantischen 

Gleichung 

a,4-2a, +  "-4-ficrn  =  «; 

dann  ist  f(p,«)  gleich  der  Summe  aller  Grössen  von  folgendem 

Typus: 


(p-|.,)ai+a,+-+a^-l  _fL?l_  _^ « 


• .  • 


dass  alle  Glieder  von  f{p^s)  dasselbe  Gewicht  s  haben,  ist  aus 
dieser  Definition  ersichtlich.  Die  in  Rede  stehende  Function  be- 
sitzt noch  viele  andere  wichtige  Eigenschaften;  man  hat  z.  B. 

1=0 


( 


Oapitel  1.  '  GleiohoDgeD.  87 

und  die  anendliche  Reibe 

ist  die  p**  Potenz  der  anderen 

Aber  das  Interessanteste  an   ihr  ist  ihr  Auftreten  bei  der  Auf- 
lösung der  Gleichung 

a,»  +  a,»'+  •••  -fö«**  =  log . 

Man  kann  nämlich  beweisen,  dass  sie,  falls  die  Reihe 

0)        a?  +  ^(p,lK  +  ^(p,2)x»+... 
conyergent  ist,  eine  Wurzel  jener  Gleichung  darstellt;  allgemeiner 
wflrde  die  Reibe 

^+  -^fiP,  1)^H  ^f(p,  2)a:«+  .-., 

unter    der    Voraussetzung   der  Convergenz,    eine    Wurzel    der 

Gleichung 

1  z 

a,a  +  a,»'+  ...  +  a„»»  =— -log  — 

n  CD 

darstellen. 

Die  Bestimmung  der  Convergenzbedingungen  der  Reihe  (1) 

und  die  Erforschung  der  besonderen   Gleichung  a«"*  =  log 


X 

bilden  den  Schlass  der  Arbeit.  La. 


Ch.  Hsrmitb,  A.  R.  Johnson,  D.  Edwardbs.     Solutions 

of  question  9072.     Ed.  Times.  XLVIII.  21-22. 

Die  Gleichung 

_  (x  +  a+iy  +  1  . 

in  der  a  eine  reelle   Constante   bedeutet,   hat  nur  eine  einzige 
reelle  Wurzel,  von  demselben  Vorzeichen  wie  a,  von  absoluter 

Grösse  <  /(l  +  ^2).  Lp. 

C.  W.  Baur.     Symmetrische  und  cyklische  Behandlung 
einer  algebraischen  Frage.     Bokien  Mitt.  ii.  181-186. 


8g  II.  Abschnitt    Algebra. 

Zwischen  drei  Unbekannten  bestdieti  zwei  lineare  Glei- 
chungen; die  Werte  der  Unbekannten  werden  durch  cyklische 
Ausdrtlcke  der  Coefficienten  dargestellt.  —  Anwendung  auf  den 
Schnitt  einer  centrisehen  Fläche  zweiten  Grades  mit  einer  EugeL 

No. 

D.  M.  Sbnsenio.     Numbers.  symbolized.     An  elementary 

algebra.     New  York.  315  S. 


E.  A.  BowsBR.     College  algebra.     With  numerous  exam- 

ples.      New  York. 

E.  A.  BowsER.      Academic    algebra.      With    numerous 

examples.      New  -  York. 


P.  Andre.  Exercices  d'alg^bre,  probl^mes  et  tbdor&mes. 
Enonc^s  et  Solutions  ddvelöpp^es  des  questions  pro- 
posdes  dans  les  cours  d'algfebre  no.  4  et  no.  3  ainsi 
que  dans  l'alg^bre  de  Tenseignement  special.     4®  dd. 

Paris.  480  S. 

J.  Schumacher.  Zur  Theorie  der  quadratischen  Glei- 
chungen.    Schweinfort  57  8.  8*. 


6.  Z.  Beggio.     Complementi  d'algebra   per  gli    allievi 

degli   IstitUti   Tecnici.      Torino.  Paravia. 

Recension  von  P.  Cassani  io  Yen.  At.  Ri?.  (3)  i.  122-123 


F*  Gambarpella.      Lezioni    di    algebra  complementare. 

Livorno.  Giasti. 


Capitel  2.    Theorie  der  Formen.  89 


Capitel  2. 
Theorie  der  Formen, 

E.  B.  Elliott.      Od    pure    ternary    reciprocants,    and 
fanctions  allied  to  them.     Lood.  m.  S.  Proe.  xix.  6-23. 

Der  VQrfaafler  hat  in   früheren  Arbeiten  gezeigt,   dass  die 

* 

reinen  teroären  Reciprokanten  solche  homogene  und  isobare 
Functionen  der  Differentialquotienten  einer  Function  a  nach  den 
beiden  unabhängigen  Veränderlichen  Xj  y  sind,  welche  identisch 
verschwinden,  wenn  man  gewisse  Differentiationsprocesse  auf 
dieselben  anwendet.  Fflr  diese  Differentiationsprocesse  (anni- 
hilators)  i2^,  i2„  F^,  F,  werden  die  Beziehungen 

fl,F,-F,fl.  =0, 

ß,F,-F,fl,  =0, 

ß,  F,  -  F,  fl,  =  F„ 

ß.F,-F,fi,  =  F, 
abgeleitet  and  aus  diesen  Beziehungen  folgen  dann  eine  Reihe 
von  Sitzen  über  teroftre  reciprokante  Bildungen  und  insbesondere 
Qber  die  Erzeugung  solcher  Bildungen  aus  Semiinvarianten  ge- 
wisser bin&rer  Formen.  Ht. 


E.  B.  Elliott.     Od  cyclicants,   er  ternary  reciprocants 

and  allied  functions.      Lood.  M  S.  Free.  XIX.  377-405. 

An  Stelle  der  Ausdrucke  „temäre  Eeciprokante*'  und  „reine 
temäre  Reciprokante''  braucht  der  Verfasser  die  Ausdrücke 
gCyklikante*'  und  „reine  Cyklikante''.    Die  Formen 

wo  allgemein 

1         dr^'% 


bedeutet,  nennt  der  Verfasser  „cyklikogenitive  Formen  zweiter, 
dritter  etc.  Ordnung**.    Eine  Semiinvariante  der  cyklikogenitiVen 


90  YV-  4^M%intt,    Algebra. 

FormeD,  welche  flberdies  der  Differentialgleichang 

genOgt,  hei88t  eine  Semicyklikante  und  eine  Covariante  der 
cyklikogenitiven  Formen,  deren  Leitglied  eine  Semicyklikante 
I8t,  heisst  eine  Cocyklikante.  Von  diesen  reciprokanten  Bildungen 
gelten  die  beiden  folgenden  Sätze:  I.  £ine  reine  Cyklikante  re- 
producirt  sich  bis  auf  einen  nur  von  den  ersten  Ableitungen  ond 
von  den  Substitutionscoefficienten  /,  m,  n,  p,  f,  m\  n\  p%  V\  m*\ 
fi!\  p''  abhängigen  Factor,  wenn  man  die  Veränderlichen  der 
linearen  Transformation 

«  =  «  ^mY  +nZ  +p, 
y  =  r  JC +ifiT +n'Z +p', 

z  =  r'X+m'T+ii"Z+p" 

unterwirft.  II.  Eine  reine  Semicyklikante  (beziehungsweise  Cocy- 
klikante) bleibt  ungeändert  bei  Anwendung  der  specielleren  Trans- 
formation 

X  ==  IX  -{-mY  +iiZ-f  p, 

y  =  PX+m'Y+n'Z+p', 

s  =  n"Z+p". 

Es  folgen  Anwendungen  auf  die  Integration  von  solchen  Diffe- 
rentialgleichungen,  welche  man  erhält,  wenn  man  reine  Cykli- 
kanten,  Semicyklikanten  oder  Cocyklikanten  gleich  Null  setzt. 

Ht. 

A.  Bbrry.      Siaiultaneous   reciprocants.      Qaart.  J.    xxiii. 

260-288. 

Die  Arbeit  beschäftigt  sich  mit  denjenigen  Functionen, 
welche  zu  den  gewöhnlichen  Reciprokanten  in  der  Beziehung 
stehen,  wie  die  Simultaninvarianten  zweier  binären  Grundformen 
zu  den  Invarianten  einer  einzelnen  Grundform.  Legen  wir  näm- 
lich zwei  Paare  von  Veränderlichen  x,  y  und  x\  y*  zu  Grunde 
und  transformiren  dieselben  durch  die  nämliche  (orthogonale, 
lineare  oder  lineargebrochene)  Substitution,  so  wird  eine  simul- 
tane Reciprokante   von  a?,  y  und  x\  y*  definirt  als  eine  ganze 


Gapitel  2.    Theorie  der  Formen.  91 

and  rationale  Fanction  von 

dy       d*y  ',     ,     dy^      d^ 

^'  ^'    dx'  llx^'  •••'     "^^  ^'    dx''    da^^'  •    •' 

welche  nach  Ausftihrung  jener  simultanen  Transformation,  abge- 
sehen von  einem  Factor,  ungeändert  bleibt.  Der  Verfasser  stellt 
die  notwendigen  and  hinreichenden  Bedingungen  dafQr  auf,  da- 
mit eine  Fanction  jener  Grössen  eine  simultane  Reciprokante  ist, 
und  geht  dann  auf  die  Beziehungen  dieser  Theorie  zu  der  Theorie 
der  simultanen  Invariauten  binärer  Orundformen  ein.  Die  an- 
gewandten Methoden  sowie  die  gefundenen  Resultate  entsprechen 
den  bekannten  Sätzen  der  Theorie  der  gewöhnlichen  Reciprokanten. 

Ht. 

P.  A.  MacMahon.     The  algebra  of  multi-linear  partial 
differential  Operators.     Lond.  M.  s.  Proc.  xix.  112-128. 

Die  Arbeit  ist  eine  Fortsetzung  der  Untersuchungen  des 
Verfassers  über  die  Differentiationsprocesse  (^,  v;  m,  la)  (vergl. 
F.  d.  M«  XIX.  1887.  94).  Die  successiye  Anwendung  zweier 
solcher  Processe  P  und  Q  wird  mit  (P)  (Q)  bezeichnet  (äussere 
Mnltiplication);  dieser  Process  (P)  {Q)  lässt  sich  zusammensetzen 
aus  den  beiden  folgenden  einfacheren  Processen:  nämlich  aus 
der  symbolischen  (inneren)  Mnltiplication  von  P  und  Q,  welche 
mit  (P(?)  bezeichnet  wird,  und  zweitens  aus  der  sogenannten 
symbolischen  Addition  von  P  und  Q,  welche  mit  (P+G)  be- 
zeichnet wird.  Die  Bedeutung  der  beiden  letzteren  Processe  ist 
aus  der  Identität 

(P)(0)  =  (PO)+(P+(?) 

ersichtlich.  Es  werden  die  entsprechenden  Formeln  für  drei 
und  mehr  Processe  aufgestellt.  Die  in  diesem  Gebiete  herrschen- 
den Rechnungsgesetze  weisen  eine  Beziehung  auf  zu  der  Berech- 
nung der  symmetrischen  Functionen  von  beliebig  vielen  Grössen 
a,  /9,  ....  Man  erkennt  diese  Beziehung^  wenn  man  die  be- 
kannte Formel 

oder  bei  Benutzung  der  in  der  Theorie  der  symmetrischen  Func* 


92  II-  Abschnitt    Algebra. 

tionen  ttblicben  Symbolik 

(0(m)  =  (/m)  +  (/+m) 
mit  der  obigen  Formel  f&r  die  Processe  P  und  Q  vergleicht. 

Ht 

A«  Capelli.  RIcerca  delle  operazioni  invariantive  fra 
piii  Serie  di  variabili  permutabili  con  ogni  altra  ope- 
razione  invariantiva  fra  le  stesse  serie.     NapoliBend.  (2) 

IL  45-46. 

Capelli.  Una  leggi  di  .reciprocitk  per  le  operazioni 
invariantive  fra  due  serie  di  variabili  n"®-    NapoHBend. 

(2)  IL  189-194. 

In  der  ersten  Note  setzt  der  Verfasser  seine  früheren  Unter- 
suchungen (vgL  F.  d.  M.  XVIII.  1886.  92,  u.  XIX.  1887.  107 
u.  108)  über  die  Differentiationsprocesse  von  der  Gestalt 

Uggy  =  a?,  — ^- 1-  a?,  -3 1-  •••  -f  X. 


fort  und  dehnt  die  früher  f&r  zwei  Reihen  von  Veränderlichen 
gefundenen  Sätze  auf  beliebig  viele  Beihen  von  Veränderlichen 
aus.  Es  wird  angegeben,  wie  man  aus  Differentiationsproeessen 
von  der  Gestalt 

solche  Operationen  zusammensetzen  kann,  welche  mit  jedem  an- 
deren Operationsprocesse,  also  insbesondere  mit  D^yy ...,  Dg^^  >•• 
vertauBcbbar  sind. 

In  der  zweiten  Note  kommt  der  Verfasser  wieder  auf  den 
Fall  von  zwei  Veränderliehenreihen  zurück  und  betrachtet  ins- 
besondere solche  aus  D««}  ^«sn  t>y^  Dyy  zusammengesetzte  Ope- 
rationen, in  denen  jedes  Glied  den  Factor  Z>^  im  Ganzen 
ebensooft  als  den  Factor  Dy^  enthält.  Von  einer  solchen  Ope- 
ration wird  gezeigt,  dass  sie  ihren  Wert  nicht  ändert,  wenn 
man  überall  in  I>^  und  Dy«  die  Indices  x,  y  mit  einander  ver- 
tauscht und   gleichzeitig   in  jedem  Gliede  die  Beihenfolge  der 

Differentiationsprocesse  umkehrt.    So  ist  beispielsweise 

n»  n«  ni  n»  n*   —  n*  n»  nf  n»  n»  n* 

*^xy  ^yy  *^yx  ^xx  '-^xy  —  ^yx  ^xx  ^xy  ^yy  *'y»'  **»•• 


Gapitel  2.    Theorie  der  Formen. 


93 


A.  Gapelli.  Ricerca  delle  operazioui  invariantive  fra 
piii  Serie  di  variabili  permutabili  con  bgni  altra  ope- 
razione  invariaDtiva  fra  le  atesse  serie.     Atti  della  Reale 

Acc.  delle  Sciease  Fis.  e  Mat.  di  Napoli  (2)  I.  17  S. 

Diese  Arbeit  hängt  mit  den  früheren  Aufsätzen  des  Ver« 
fassers:  Sopra  ia  permutabilita  delle  operazioni  invariantive  (Kap. 
Rend.  XXV.  134-141;  F.  d.  M.  XVIII.  1886.  92)  und:  Osser^ 
vazioni  sopra  le  relazioni  ehe  possono  aver  hiogo  identicamente 
fra  le  operazioni  invariantive  (Nap.  Rend.  (2)  I.  110-15;  F;  d. 
M.  XIX.  1887.  107-8)  zusammen,  sowie  auch,  wenn  gleich  doch 
nicht  80  eng,  mit :  Fondamenti  di  una  teoria  generale  delle  forme 
algebriche  (Rom.  Acc.  L.  Mem.  (3)  XII.  529  598)  und:   lieber 

■  ff 

die  Zurflckfahrung  der  Caylej'schen  Operation  Si  auf  gewöhn- 
liche Polar-Operationen  (Math.  Ann.  XXIX.  331-338;  F.  d.  M. 
XIX.  1887.  151).  Sie  beschäftigt  sich  mit  der  Bestimmung  der 
allgemeinsten  invarianten  Operation,  welche  mit  jeder  anderen 
Operation  von  derselben  Beschaffenheit  vertauschbar  ist,  jedoch 
mit  der  Beschränkung,  dass  jeder  Term  der  zu  untersuchenden 
Operation  höchstens  eine  einzige  Derivation  in  Bezug  auf  jede 
Reihe  von  Variabein  enthalten  soll.  Sind  die  n  Variabeln- 
reihen : 


X  —  flp, ,  a?j,' .  • .,  Xfi"] 


•» 


•U  =  «!,,«„ 


.  •  •,  tl^ 


gegeben,  bezeichnet  J  eine  ganze  rationale  Function  mit  con- 
8tanten  Coefficienten,  und  setzt  man: 

d     .         d      .         .         d 


^«  =  9.  ^äT-  +  ?.  ^äT-  +  *  •  •  +  ?/• 


^1 


öp. 


Öp^' 


SO  ist: 


J  =  J(Da.a. ,    Dxy,    Dyx»    ^W)  •  •  0 


die  allgemeinste  invariante  Operation,  und  es  handelt  sich  nur^ 
noch  darum,  die  Form  von  J  derart  zu  bestimmen,  dass  J  den 
anfangs  gestellten  Bedingungen  genügt.    Dazu  setzen  wir: 


Uxu*,.» 


Xtf%"U 


^tfxy       "lyyj       •••»      *^>IU} 


"lox)      "tayj     •••?       "ttn<7 


Ux^  i/yij . .  •  t/uto^ 


94  H.  AbBchoUt     Algebra. 

wo: 

HülfsveräDderliche  sind,  und  die  Entwickelang  der  Determinante 
derart  geschehen  soll,  dass  in  jedem  Oliede  die  Factoren  nach 
derselben  Aufeinanderfolge  der  Colonnen,  denen  sie  angehören, 
geordnet  sind.  Die  Operation  fT^y...«  =  i?«  ist  vertanschbar,  so 
auch  die  Operation: 

flfi— 1  =  fly»...«  +fi«»  ...«+ ••• 

d.  i.  die  Summe  der  Operationen  ff  bei  welcher  jedesmal  eine 
Variable  weggelassen  wird ;  nnd  dieselbe  Eigenschaft  kommt  den 
auf  analoge  Weise  definirten  Operationen 

ZU.  Die  Operationen  ff,,  ff,, .. .,  ff»  sind  linear  unabhängig,  und  die 
allgemeinste  Operation  von  der  verlangten  Beschaffenheit  ist: 

Q  =  a^+a,ff,  +  a,ff,+  .-  +  a»ff„, 


wo 

cr,,a„flr„ ...,  er«  willkuruc 
Man  kann  aber  Q  unter 
Ist 

be  uonetanten  sino. 
zwei  andere  Formen  setzen. 

tfn(Q)  = 

D^  +  Q 

Dy, 

■            •            • 

D^ 

•         •          • 

...    D„ 

•  •  •       '^yu 

•  •        •         '         • 

» 

»«. 

D^ 

• 

SO  wird  bewiesen,  dass  ffn(^)  fttr  jeden  Wert  von  q  eine  ver- 
tauschbare Operation  ist,  und  wenn  man: 

ff«(p)  =  ^"+p-**r,+^«-2Ä,  + . .  +i?- 

setzt,  wo  Kn  =  ffn(0)  =  ff»,  so  sind  üT,,  ff,, ...,  JT»  vertauschbare, 
linear  unabhängige  Operationen,  woraus  folgt,  dass  ff,,  ff„  ...,  ff. 
durch  dieselben  linear  ausgedrückt  werden  können.  Anderer- 
seits kann  jede  ff»(p)  durch  1,  ff«(0),  ffn(l),  ...,  ff»(fi— 1)  mit 
Hülfe  der  Lagrange'schen  Interpolationsformel  ausgedrückt  wer- 
den. Folglich  kann  die  allgemeinste  Operation  Q  auf  die  Form 
einer  linearen  Function,  entweder  von  ff„ff„...,  ff»,  oder  von 
Ar„/ir„..., /f»,  oder  endlich  von  ff» (0), ff» (1),...,  ff» (n  —  1)  ge- 
bracht werden. 


Capitel  2.    Theorie  der  Formen.  95 

Betrachten  wir  zum  Beispiel  die  Caylej'Bche  Operation: 

fl  =  5+-^-^-^ ^. 

—  9x,    öy,    9»,         du» 

Es  ist  p  =r  n;  fi  ist  bekanntlich  vertauschbar  mit  jeder  Operation 
Dp^  wo  p  und  9  yerschieden  sind,  und: 

wo  &  irgend  eine  ganze   Zahl   ist,    ist  vertauschbar  mit  jeder 
Operation  Dpp  oder  Dpq.    Man  findet: 

0»  =  ff,(-.A.f  1).  ir,(-.A  +  2).  ....  ir,(-l).  ffn(0); 
benutzt  man  aber  die  Formel: 

woraus  folgt: 

ff.(e+A).  ir»(e+A-i) JBr,(e+A--t) 

=  («y  ...«)-*  ff,,  (e),  HnQf—l) ffn(p— t)(a;y...M)*, 

so  ergiebt  sich: 

ff«(l).  ff,(2) ffn(Ä)  =  (xy  ...  ti)-*0A(«y ...  «)*  =  n^Qcy  ...  ti)*, 

oder: 

^.^      ff,(->A+l>    gn(-A) gn(-2).    g,(-~l).    Hn(0)f 

{xy  ...  ii)* 
=  ff,(l).  ff,(2)  ...  ffn(&)r^ — ^-^ä]i  wo  /"  ®5«®  beliebige  Func- 
tion bezeichnet.  Vi. 


Ä.  R.  FoRSYTH.      Invariants,    covariants    änd    quotient- 
derivatives  associated  with  linear  differential  equations. 

Lood.  Pbil.  Trans.  CLXXIX.  377-489. 

Die  Arbeit  behandelt  ein  j^Sjstem^  (engl,  „sef*)  von  Inva- 
rianten und  Covarianten  linearer  üiflferentialgleichungen  (oder 
auch  Formen)  einer  allgemeinen  Ordnung.  Das  System  wird 
als  vollständig  nachgewiesen,  d.  h.  es  wird  gezeigt,  dass  jede 
Covarianten-Function  von  gleichem  Typus  als  eine  Function  der 
Glieder  des  Systems  ausgedruckt  werden  kann,  wobei  die  einzigen 
zur    Bildung   des    Ausdrucks    erforderlichen    Operationen   rein 


96  H-  AbschoiU.    Algebra. 

algebraisch  sind,  die  DilfFerentiation  also  nicht  einschliessen.  Die 
Transformationen,  denen  die  Differentialgleichungen  unterworfen 
werden,  sollen  nach  Voraussetzung  die  allgemeinsten  sein,  welche 
mit  der  Erhaltung  ihrer  Ordnung  und  ihres  linearen  Charakters 
verträglich  sind;  sie  ergeben  sich  somit  als  eine  lineare  Trans* 
formation  der  abhängigen  Veränderlichen  und  eine  beliebige 
Transformation  der  unabhängigen.  Die  Covarianten-Eigenscfaaft 
der  betrachteten  Functionen  besteht  in  der  Bedingung,  dass,  wenn 
fttr  die  transformirte  Gleichung  dieselben  Functionen  gebildet 
werden^  sie  denen  ftlx  die  ursprQngliche  Gleichung  gleich  sind, 
abgesehen  von  einem  Factor  (ßzIdxYy  wo  %  und  «  bezw.  die 
neue  und  die  ursprüngliche  unabhängige  Veränderliche  bedeuten. 

Den  grösseren  Teil  der  Abhandlung  bilden  Untersuchungen 
über  die  Formen  der  Functionen,  über  ihre  Unabhängigkeit  und 
Ober  Methoden  zu  ihrer  Bildung,  Tabellen  f&r  die  Functionen 
sind  nicht  berechnet  worden;  meistenteils  werden  die  Ausdrücke 
für  die  Functionen  in  ihren  Formen  als  mit  der  Differential- 
gleichung associirt  gegeben, .  wenn  diese  in  einer  impliciten  all- 
gemeinen kanonischen  Form  angenommen  ist,  und  nur  in  ver- 
einzelten Fällen  werden  die  Functionen  in  Verbindung  mit  einer 
ezpliciten  allgemeinen  Form  gegeben.  Der  erste  Abschnitt  ist 
eine  historische  Einleitung,  in  welcher  Verweisungen  auf  frühere 
Autoren  gegeben  werden:  Cockle,  Laguerre,  Brioschi,  Malet, 
Halphen;  insbesondere  werden  einige  der  von  Ralphen  in  seiner 
bekannten  Abhandlung  und  in  einem  sich  anschliessenden  Auf- 
satze mitgeteilten  Resultate  erörtert. 

Die  in  den  acht  Abschnitten  der  Arbeit  abgehandelten  Gegen- 
stände sollen  in  aller  Kürze  aufgezählt  werden.  1.  Geschichte« 
2.  Fundamentale  Invarianten.  3.  Abgeleitete  Invarianten.  4. 
Associirte  Veränderliche.  5.  Identische  und  gemischte  Coneomi- 
tanten.  6.  Anwendung  auf  Differentialgleichungen  zweiter,  dritter 
und  vierter  Ordnung.  7.  Quotienten-Ableitungen.  8.  Das  in  den 
Abschnitten  2,  3  und  5  erhaltene  System  von  Goncomitanten  ist 
algebraisch  vollständig. 

Es  erscheint  zweckmässig,  auf  die  bemerkenswerte  Gestalt 
der  im  zweiten  Abschnitt  betrachteten  Invarianten  0  hinzuweisen. 


Capitel2.    Theorie  der  Formen.  97 

Diese  werden  zunächst  ftlr  eine  Differentialgleichung  vt^  Ordnung 
von  folgender  Form  berechnet: 


da*   '       '   da»    '       »    ds 

in  der  das  zweite  Glied  fehlt,  und  der  allgemeine  Ausdruck  be- 
steht erstens  aus  einer  Anzahl  linearer  Functionen  der  Goeffi- 
cienten  P  und  Ableitungen  in  Bezug  auf  %  und  zweitens  aus 
Gliedern  zweiter  und  höherer  Ordnung  in  diesen  selben  Grössen; 
jedoch  besteht  die  Eigentümlichkeit,  dass  alle  diese  Glieder 
zweiter  und  höherer  Ordnung  den  Factor  P,  enthalten  und  darum 
verschwinden,  sobald  P,  =  0  ist,  mit  anderen  Worten  für  die 
kanonische  Form 


in  der  das  zweite  und  das  dritte  Glied  fehlen,  eine  Form,  auf 
welche  die  allgemeine  Gleichung  durch  eine  simultane  passende 
Vertauschung  der  abhängigen  und  unabhängigen  Veränderlichen 
zurückgeführt  werden  kann.  In  Bezug  auf  diese  kanonische 
Form  betrachtet,  sind  die  fraglichen  Invarianten  also  lineare 
Invarianten. 

Die  im  vierten  Abschnitte  eingeführten  associirten.  Veränder- 
lichen sind  die  Werte  von  Determinanten,  welche  aus  den  par- 
ticulären  Lösungen  ti„  ti,,  m„  ...  der  Differentialgleichung  und 
aus  den  Ableitungen  dieser  Grössen  nach  %  gebildet  sind.  So 
sind  die  associirten  Veränderlichen  erster  Klasse  die  aus  der 
Matrize 

t*l)      «2)      W3>      ••• 

**!?      **!>     *'a»     •  •  • 
gebildeten    Determinanten,   die    der    zweiten    Klasse    aus    der 

Matrize 

•j"     «"     •/' 

«1»       W2,       «3» 

t*i,     ni,     «i, 

«1,       «2,       «3, 

iL  8.  w.,  und  im  fünften  Abschnitte  finden  wir  die  allgemeine 
Folgerung,  dass  das  Aggregat  geeigneter,  mit  einer  Differential- 

FortMhr.  d.  Hath.  ZZ.  1.  7 


98  n.  Abachnitt    Algebra. 

form  oder  -Gleichung  associirten  CoDComitanten  aus  drei  Klassen 
besteht : 

A.  Invarianten,  welche  Functionen  der  GoefScienten  der 
Form  oder  Gleichung  sind. 

B.  Identische  Covarianten,  welche  1)  Functionen  der  ab- 
hängigen Variable  und  ihrer  Ableitungen  sind  (die,  wofern  sie 
von  hinreichend  hoher  Ordnung  sind,  sich  in  gemischte  Cora- 
rianten  verwandeln,  wenn  sie  mit  der  Differentialgleichung  asso- 
ciirt  werden),  und  2)  Functionen  der  associirten  abhängigen 
Variabein  und  ihrer  Ableitungen;  aber  jede  Function,  welche 
mehr  als  eine  abhängige  Variable  enthält,  ist  zusammengesetzt. 

G.  Gemischte  Govarianten,  welche  Functionen  der  abhängigen, 
ursprQnglichen  und  associirten  Variabein  sind  (aber  nicht  mehr 
als  eine  abhängige  Variable  enthalten)  und  ausserdem  von  den 
Invarianten  und  ihren  Ableitungen. 

Sobald  das  vollständige  System  nicht  zusammengesetzter 
Invarianten  und  das  vollständige  System  nicht  zusammengesetzter 
identischer  Govarianten  in  jeder  der  abhängigen  Variabein  bei- 
behalten werden,  so  bestehen  die  unabhängigen  nicht  zusammen- 
gesetzten gemischten  Govarianten  nur  aus  den  Jacobi'schen  De- 
terminanten erster  Ordnung  von  irgend  einer  Invariante  und 
jeder  der  unabhängigen  Variabein  der  Reihe  nach. 

Cly.  (Lp.) 

A.  R.  FoRSYTH.      A    class    of    functional    invariants. 

Lood.  R.  S.  Proc.  XLIIl.  431-433. 

Auszug  aus  einer  in  den  Phil.  Trans,  für  1889  später  ver- 
öffentlichten Abhandlung.  Gly.  (Lp.) 


A.  R.  FoRSYTH.     Homographic  invariants  and   quotient 
derivatives.     Mess.  (2)  xvii.  154-192. 

Die  in  dieser  Abhandlung  niedergelegten  Untersuchungen 
sind  zu  dem  Zwecke  unternommen  worden,  die  Beziehung  auf- 
zufinden, in  welcher  eine  Functionsklasse,  die  sogenannten 
Quotienten  -  Ableitungen,    zu   den   Reciprocanten   stehen.     Diese 


Gapitel  2.    Theorie  der  Formen.  99 

Quotieoten-AbleituDgen  haben  ausser  anderen  Eigenschaften  die, 
covariant  zu  sein  für  eine  horoographische  Transformation  der 
abhängigen  und  der  unabhängigen  Veränderlichen  bei  gleich- 
zeitiger Anwendung  derselben,  und  daher  auch  bei  getrennter. 
Aus  ihren  Gestalten  ergiebt  sich  jedoch  offenbar,  dass  ihr  Be- 
stand nicht  die  vollständige  Schar  solcher  Functionen  ausmacht; 
somit  war  es  des  Verfassers  erstes  Ziel,  diese  vollständigen 
Scharen  für  jede  der  Gombinationen  der  homographischen  Trans- 
formation zu  erhalten.  Functionen  von  d^  in  dieser  Arbeit  be- 
trachteten Arten  hat  zuerst  Hr.  Rogers  angegeben  (Lond.  M.  S. 
Proc.  XVII.  220-231,  F.  d.  M.  XVIII.  1886.  90);  dieser  hat  je- 
doch,  abgesehen  von  dem  Falle  der  ersten  Art,  seine  Forschung 
auf  die  Herleitung  der  partiellen  Differentialgleichungen  be- 
schränkt, denen  die  Functionen  genügen,  weil  die  Ableitung 
homographischer  Beciprocanten  sein  Gegeiv  t3i^  war. 

Der  einfachste  Weg   zur   Gewinnung   der  Quotienten-Ablei- 
tungen  ist   der   folgende.     Man    betrachte    beispielsweise   eine 

Gleichung  dritter  Ordnung  —izr  =  0,     deren     Stammgleichung 

u  =  A  +  Bx  +  Cx*  ist;  ferner  sei  y  der  Quotient  zweier  ver- 
schiedenen Lösungen  u^  und  ti,  dieser  Gleichung,  sodass  yu^  =  ti,. 
Da  nun  die  Ableitungen  von  u  von  der  dritten  Ordnung  an  ver- 
schwinden, so  ist: 

uy  +  3y"u[+3y'  «'/ =  0, 
«i»^+4y'"tiH-6»"fil'  =  0, 
«,y^  +6»^V|*i-l-W'iii'=0, 

mithin  ergiebt  sich  durch  Elimination  von  tij,  ui,  ui  (wenn  man 
noch  untere  Indices  als  Differentiationszeichen  benutzt): 

yi    3y»     3y, 

y*   4y.     6yf    =o, 

y»    5y,    lOy, 

eine  Differentialgleichung  fünfter  Ordnung;  ihre  Stammglei- 
chung ist: 

A  +  Bx  +  Cx^ 


[y»«]«  = 


y  = 


D+Ex  +  Fx* 


100 


iL  AbBchDitt    Algebra. 


[yi  «li  = 


Die  Function  [y,  x]  heisst  die  kubiBche  Quotienten- Ableitung. 
Die  Gleichung  zweiter  Ordnung  d*u/dx^  =  0  fQhrt  ebenso  auf 
den  wohlbekannten  Schwarz'schen  Differentialausdruck 

y,    2y, 
»•     3y, 

die'  Gleichung  vierter  Ordnung  d*u/dx^  =  0  führt  auf  eine  ebenso 
gpbildete^Quotienten- Ableitung  vierter  Ordnung: 

Va     4y,      6y,      4y, 

y»   5y4    lOyi   lOy, 

y.     6»,     15y,    20y, 

y,     7y.     21  y,     35y, 
u.  8.  w.    Die  Eigenschaft  der  homographischen  Invarianz    wird 
durch  die  Gleichung  gegeben: 

ray  +  b     ex^fl  _  (ad  —  bcy     (gx  +  /^)^' 
Icy  +  d  '  gx  +  h Jn^  (eh-^-fg^'    (cy  +  d)"" 

Noch  viele  andere  Eigenschaften  der  Functionen  werden  eben- 
falls ermittelt.  Glr.  (Lp.) 


[y,  «L  = 


[yi^]- 


J.  Derüyts.     Sur    la   diff^rentittion   inutuelle  des  fonc- 
tions  invariantes.    Beig.  Bull.  (3)  xvr.  207-215. 

C.  Le  Paigb.     Rapport    ibid.  149-150. 

Folgerungen  aus  der  folgenden  Bemerkung,  die  zwar  sehr 
einfach  ist,  aber  dennoch  nicht  gemacht  zu  sein  scheint.  Es  sei 
/  eine  derartige  Invariantenform,  dass 

/(0',(?",...)  =  <»^/(9',?",...) 

ist;  dann  folgt  mit  Notwendigkeit: 

/(p',p",...)  =  <j*/(p',p",...), 

wenn  die  T  mit  Hülfe  der  p  sich  ebenso  ausdrucken  lassen  wie 
die  Q  mittels  der  q.  Der  Ausdruck  /(p',p", ...)  besitzt  die 
Invarianteneigenschaft,  wenn  sich  die  in  den  p  enthaltenen 
Grössen  als  ganze  Functionen  von  Grössen  ausdrücken  lassen, 
welche  den  in  q  enthaltenen  analog  siud,  und  wenn  ausserdem 
die  Grössen  P,  abgesehen  von  einer  Potenz  von  d,  dadurch  er- 


Oapitel  2.    Theorie  der  Formen.  101 

halten  werden,   dass   man   in    den  p  die  Grossen  q  durch  ihre 
transfonuirten  Q  ersetzt.  Mn.  (Lp.) 


J.  Dkrüyts.    Sur  quelques  propri^tfe  des  transformations 

lin^aires.      Belg.  Bali.  (3)  XVI.  576-589. 

Verallgemeinerung  der  Ergebnisse  aus  der  obigen  Abhand- 
lung. Mn.  (Lp.) 

S.  LiB.     Die  BegriflFe  Gruppe  und  Invariante.     Newcomb. 

Am.  J.  XI.  182-186. 

Die  Arbeit  richtet  sich  gegen  einen  Brief  von  Halphen, 
welcher  in  einer  Abhandlung  von  Sylvester  (American  Journal  IX) 
abgedruckt  ist.  In  diesem  Briefe  betrachtet  Halphen  eine  Schar 
von  algebraischen  Transformationen 

^k  =  fkip^U  ...j^«;  ^1»  •••>  ^r)  (*  =  1?2,  ...,ll) 

mit  r  Parametern  a^^,..^ar  zwischen  den  Veränderlichen  x^^.,.^Xn 
und  x[^.,.yXn  und  fragt  nach  allgemeinen  Kriterien  dafttr,  ob 
eine  solche  Schar  von  Transformationen  Invarianten  besitzt« 
Nach  der  Definition  von  Halphen  bestimmen  jene  Transforma- 
tionen eine  Gruppe,  wenn  sich  aus  den  beiden  Gleichungen 

«i  =  /*(*!?  •••»  ^n\  öj?  ...>  flr)  /L  _   1    9  «\ 

durch  Elimination  der  Grössen  xj^  Relationen  von  der  Gestalt 

Xi  =  A(^i»---f*i;  ^U--M  ^r)  (*  =  1,2,...,  fl) 

ergeben.  Der  Verfasser  hält  diese  Definition  fQr  unzureichend; 
er  führt  femer  aus,  dass  Halphen  im  Laufe  seines  Briefes  Ter- 
schiedene  Annahmen  macht,  welche  wirkliche  Beschränkungen 
des  ursprünglich  aufgestellten  Problems  sind,  und  dass  er  selbst 
das  so  beschränkte  Problem  nicht  völlig  erledigt.  Insbesondere 
wendet  sich  der  Verfasser  gegen  die  Behauptung  von  Halphen, 
dass  ein  System  von  Transformationsgleichungen  der  obigen 
Art,  aus  welchem  sich  durch  Elimination  der  Parameter  a^...,  Or 
genau  n — r  Relationen   zwischen    den  x^  und  x'k  ergeben,   nur 


102  II.  AbflcbDitt     Algebra. 

dann  genau  n — r  unabhängige  Invarianten  besitzt,  wenn  es  in 
seinem  Sinne  eine  Gruppe  bestimmt  Ein  sebr  einfaches  Bei- 
spiel lehrt  die  Unrichtigkeit  dieser  Behauptung.  Die  Trans- 
formation 

x[  =  ar,  -f  a,  xi  =  — «, 

erfüllt  nflmlicb  jene  gestellten  Bedingungen  und  doch  bestimmt 
dieselbe,  wie  man  leicht  einsieht,  keineswegs  in  dem  Halphen'schen 
Sinne  eine  Gruppe.  Ht. 

P.  Mansion.     Sur  la  d^finition  des  invariants  et  cova- 

riants.     Bmx.  S.  tc.  XIIA.  47-49. 

Wenn  eine  Function  F(l)  der  Coefficienten  und  Variabein 
eines  Stammsystems  algebraischer  Formen  immer  zugleich  mit 
derselben  Function  F(2)  der  neuen  CoefScienten  und  der  neuen 
Variabein  des  tran^formirten  Systems  dieser  algebraischen  Formen 
Null  ist,  so  ist  F(2)  =  T.  JF(1),  wobei  T  eine  Potenz  der  Trans- 
formations-Determinante bedeutet.  Hn.  (Lp.) 


L.  Maurkr.     lieber   allgemeinere  Invarianten  -  Systeme« 

Manch.  Ber.  103-150. 

Nehmen  wir  an,  die  rationale  homogene  Function /(a^pX,,...,««) 
von  n  Veränderlichen  werde  durch  die  umkehrbare  lineare  Sub- 
stitution 

yi  =  JS  ax^x^  (A  =  1,  2, . . .,  n) 

in  sich  selbst  transformirt,  so  flihrt  die  unter  Vermittelung  jener 
Substitutionsformeln  fUr  alle  Werte  von  or^,  x„  ...,  Xn  identisch 
erfttllte  Gleichung 

zu  einem  System  S  von  algebraischen  Gleichungen,  denen  die 
Substitutionscoefficienten  a^^  genflgen  mflssen.  Durch  diese  Glei- 
chungen S  ist  eine  Anzahl  von  irreduciblen  algebraischen  Ge- 
bilden definirt  und  der  Verfasser  zeigt,  dass  es  unter  diesen 
Gebilden  stets  eines  und  nur  eines  giebt,  dem  das  Wertsystem 

axfi  =  0  (A  $  ^),    au  =  1 


Oapitel  2.    Theorie  der  Formen.  103 

• 

angehört,  d.  b.  unter  dessen  Substitutionen  die  identische  Sub- 
stitution yorkoromt.  Die  durch  dieses  irreducible  algebraische 
Gebilde  bestimmte  Substitutionengruppe  kommt  bei  der  vor- 
liegenden UntejsuchuDg  allein  in  Betracht.  Indem  der  Verfasser 
jene  Identität  f(x)  =  f(y)  in  Differentialgleichungen  umsetzt  und 
dabei  auf  die  Untersuchung  von  vollständigen  Systemen  linear 
unabhängiger  Differentialgleichungen  —  wie  sie  in  der  von  Lie 
begrfindeten  Theorie  der  Transformationsgruppen  eine  Hauptrolle 
spielen  —  gef&hrt  wird,  zeigt  es  sich,  dass  eine,  tn  unabhängige 
Parameter  enthaltende  Substitution  stets  aus  m  sogenannten  „ele- 
mentaren^ d.  h.  solchen  Substitutionen  zusammengesetzt  werden 
kann,  deren  GoefGcienten  nur  von  einem  Parameter  abhängen. 
Die  Untersuchung  einer  solchen  elementaren  Substitution  wird 
mit  Htllfe  der  Weierstrass*schen  Theorie  der  Elementarteiler 
durchgeführt,  indem  der  Verfasser  dieselbe  auf  die  „Fundamental- 
determinante ^ 

c,,     r,     Cj„  . . .,    Ci«, 


anwendet,  wo  c,,,  c^,,  ...,  c^n  gewisse  durch  die  Zusammen- 
setzung der  Gruppe  bestimmte  Zahlen  sind.  Es  ergiebt  sich 
nun,  dass  die  Coefficienten  der  elementaren  Substitution  in  zwei 
Fällen  als  rationale  Functionen  eines  Parameters  darstellbar 
sind:  nämlich  dann,  wenn  entweder  jene  Fundamentaldeterminante 
gleich  r~  ist,  oder  wenn  sie  nur  Elementar tei  1er  erster  Ordnung 
hat,  and  wenn  ausserdem  die  Werte  von  r,  für  welche  sie  ver- 
schwindet, sämtlich  ganze  Zahlen  sind.  Die  diesen  beiden  Fällen 
entsprechenden  Coefficientensysteme  ^n,  Cj„  . . .,  c^  werden  „von 
der  ersten  und  zweiten  Art**  genannt.  Es  gelingt  dann  auf 
Grand  der  Eigenschaft  der  Substitution,  vermöge  welcher  die- 
selbe f^x^y  0?,,  . . .,  Xn)  in  sich  tlberfflhrt,  den  Nachweis  zu  führen, 
dass  auf  die  beiden  erwähnten  Fälle  jeder  andere  Fall  zurück- 
kommt Das  schliessliche  Ergebnis  ist  der  folgende  Satz:  Wird 
eine  homogene  und  rationale  Function  f  der  Veränderlichen 
a?j,  X,,  ...,  Xn  durch  eine  lineare  Substitution,  von  deren  Coef- 


104  IL 

6eieiiteo  m  TerfDgbar  bleibeii,  in  sich  mUmI  trmnsfomiiii,  so  ge- 
nllgt  me  m  linear  miabhäiipgen  partiellea  Differenlialgleidmigeii 
Ton  der  Gestalt 

-f  f  ^^"^^^  =  0,  (i  =  1,  2, . ..,»), 

deren  CoefGeienten  d    yon  der  ersten  oder  Ton  der  zweiten  Art 

sind«  Und  umgekehrt,  genfigt  die  homogene  Fnnetion  f  genau 
m  und  nicht  mehr  Differentialgleichungen  der  angegebenen  Art, 
so  wird  sie  durch  eine  lineare  Substitution,  deren  CoefSeienten 
sich  als  rationale  Functionen  von  m  unabhängig  yeriloderlichen 
Parametern  darstellen  lassen,  in  sich  selbst  transformirt  £nd- 
lieh  geht  der  Verfasser  noch  auf  das  Problem  der  Zusammen- 
setzung zweier  Substitutionen  ein  und  beweist,  dass  die  zusammen- 
gesetzte Substitution  dadurch  entsteht,  dass  man  fflr  die  Para- 
meter gewisse  algebraische  Functionen  der  Parameter  der  beiden 
ursprünglichen  Substitutionen  einsetzt  Der  Verfasser  spricht  die 
Behauptung  aus,  es  liesse  sich  beweisen,  dass  bei  geeigneter 
Wahl  des  Parametersystems  diese  Functionen  rational  sind. 

Ht 


F.  Klbin.     Ueber  irrationale  Coyarianten«   Gott  N.  191-194. 

Der  Verfasser  weist  auf  die  allgemeine  Aufgabe  hin,  bei 
einer  in  irrationaler  canonischer  Gestalt  zu  Grunde  gelegten 
Form  innerhalb  des  durch  diese  canonische  Gestalt  gegebenen 
Rationalitätsbereiches  Covarianten  zu  suchen  und  erläutert  diese 
Problemstellung  an  dem  Beispiele  der  ternären  Form  vierter 
Ordnung.  Diese  Form  lässt  sich  bekanntlich  erstens  in  die 
Gestalt 

bringen,  wo  9^^  <p„  9),  quadratische  Formen  sind,  und  zweitens 
in  die  Gestalt  einer  vierreihigen  symmetrischen  Determinante 

wo  a^p  a^^J  ...,  a^^  lineare  Formen  bedeuten. 

Was  die  erstere  Darstellung  anlangt,  so  bleibt  dieselbe  bis 


Gapitel  2.    Theorie  der  Formen.  105 

auf  einen  Factor  ungeändert,  wenn  man  für  (f^^  q>^^  9),  Aus- 
drücke folgender  Art  setzt: 

ft  =  f*'(9>i+2LM,a?,+^^,+iW,^,]9>i,+l>,«i  +  /',^,  +  ^,a?,]>,), 

wo  Ar,  ju,  /M,,  ^„  fi^  irgend  welche  Constante  bedeuten.  Dem- 
entsprechend sind  als  Covarianten  der  in  der  ersteren  canoni- 
schen Gestalt  zu  gründe  gelegten  Form  f  diejenigen  und  nur 
diejenigen  simultanen  Covarianten  der  drei  quadratischen  Formen 
7i>  7si  7s  einzusehen,  welche  bei  den  erwähnten  Umsetzungen 
ungeändert  bleiben  und  im  Uebrigen  in  den  Coefficienten  dieser 
Formen  qp,,  9),,  9,  rational  sind. 

Die  zweite  canonische  Gestalt  der  biquadratischen  Grund- 
form f  bleibt  ungeändert,  wenn  man  die  Vertikalreihen  der 
Determinante  irgendwie  linear  combinirt  und  hierauf,  entsprechend 
dem  symmetrischen  Charakter  der  Determinante,  die  nämlichen 
linearen  Combinationen  der  Horizontalreihen  einführt.  Um  dem- 
nach Covarianten  der  in  der  zweiten  canonischen  Gestalt  zu 
Grunde  gelegten  Form  f  zu  erhalten,  bilden  wir  solche  Cova- 
rianten der  10  ternären  Linearformen  a^,  welche  bei  jenen  Com- 
binationen ungeändert  bleiben,  und  diese  Covarianten  ihrerseits 
sind,  wie  man  leicht  erkennt,  nichts  anderes  als  die  von  ^j,  ^,,  ^,,  ^^ 
freien  Covarianten  der  ternär-linearen  und  quaternär-quadratischen 
Grundform 

F  =  Si^atk^i^k  =  f^x^l  =  bgß\  =  • '  •. 
Es    ist    somit    beispielsweise    agbxCxd^iaßydy    in    symbolischer 
Schreibart  eine  Covariante  von  der  gesuchten  Beschaffenheit. 

Ht. 

•  ^ _  _ 

A.  B.  F0R8TTU.     The  differential  equations  satisfied  by 
concomitants  of  quantics.     Lond.  M.  s.  Proc.  xix.  24-46. 

In  der  Invariantentheorie  der  Formen  von  n  Veränderlichen 
ist  es,  wie  schon  Clebsch  hervorgehoben  hat,  notwendig,  die 
Unterdeterminanten  der  aus  n  Veränderlichenreihen  gebildeten 
Determinante  ebenfalls  als  selbständige  Veränderliche  einzuführen. 


106  II.  AbschDitt.    Algebra. 

Dieser  Forderung  entsprechend  stellt  der  Verfasser  zanftcbst 
einige  Relationen  zwischen  jenen  Unterdeterminanten  aaf;  diese 
Relationen  ergeben  sich  durch  Anwendung  eines  von  SylTcster 
herrührenden  Determinantensatzes  und  sind  von  der  Gestalt 
ÖÖ)  =  20fn^  a)p,«,  wo  ©,  (D,  Qfn^y  Op^  geeignet  ausgewählte 
Unterdeterminanten  von  der  nämlichen  Reihenzahl  bedeuten.  Die 
weiteren  Abschnitte  der  Arbeit  beschäftigen  sich  mit  der  Auf- 
stellung der  Differentialgleichungen,  denen  die  Invarianten  einer 
Grundform  genügen.  Die  dabei  befolgte  Methode  läuft  auf  die 
Anwendung  des  Princips  der  infinitesimalen  Transformation  hin- 
aus: der  Verfasser  nimmt  die  lineare  Transformation  in  der 
Gestalt 

an  und  berechnet  dann  die  Aenderungen,  welche  in  Folge  dieser 
Transformation  die  Veränderlichen  d.  h.  jene  Unterdeterminanten 
und  die  Goefficienten  der  vorgelegten  Grundform  erleiden,  wobei 
er  nur  die  in  den  Substitutionscoefficienten  trj(^^0  linearen 
Zusatzglieder  berücksichtigt.  Beispielsweise  ergeben  sich  ffir  die 
Invarianten  O  der  quaternären  Form 

die  folgenden  Differentialgleichungen: 

^^^  dO  dO    .  dm  dO  dO 

^^^  eo  dO  ,        dO  dm  dO 

_^_^  dm  dm   ,  dm  dm  dm 

^^^  dm  dm   .  dm  dm  dm 

^^^  dm  dm   ,  dm  dm  dm 

^^^  dm  dm   ,  dm  dm  dm 

22Sqa,^,,,,^^-^^=  x,  ^  +P..  -q^  -p„  "äj^-^^  5^7» 

wo  die  Veränderlichen  p  die  Liniencoordinaten  und  die  Ver- 
änderlichen u  die  Ebenencoordinaten  bedeuten.  Ht 


Capitel  2.    Theorie  der  Formen.  107 

A.  Voss,     üeber  einen  Satz  aus  der  Theorie  der  Formen. 

Mfineb.  Ber.  15-20. 

Die  Note  enthält  einen  Beweis  für  den  folgenden  von  Gordan 
herrührenden  Satz:  Wenn  F  =  (a,6yC,  . . ./  in  symbolischer 
Schreibweise  eine  Form  der  p  Veränderlichenreihen 

darstellt,  und  wenn  dann  F  als  wirklichen  Factor  die  r^  Potenz 
der  Determinante  (xys...)  enthält,  so  ist  der  symbolische  Aus- 
druck des  anderen  Factors  von  F  gleich  der  r^^  Potenz  der 
Determinante  (abc . . .),  multiplicirt  mit  einer  numerischen  Con- 
stanten. Zugleich  ergiebt  sich  eine  Erweiterung  dieses  Satzes 
auf  solche  Formen,  deren  symbolischer  Ausdruck  von  der  Gestalt 

F  =  «Ol.  ...7«C6;.  fc«.  .../H^ci  ...y^ ...  ist.  Ht. 


F.  Mbrtens.      Invariante  Gebilde  von  Nullsystemen. 

Wien.  Ber.  XOVII.  519-587. 

Denkt  man  sich  in  dem  Ausdrucke 
die  Substitution 

t  =  1,2,3,4 
ausgeführt,  so  geht  derselbe  in  den  Ausdruck 

ober.  Der  Verfasser  versteht  nun  unter  einem  invarianten  Ge- 
bilde 0  des  Nullsystems  (a,xy)  oder,  was  auf  dasselbe  hinaus- 
kommt, des  linearen  Gomplexes 

KP)    =   «U  Pu+^U  Pll+Ö,4  Pl2+  -   +  «1,  PS4 

eine  ganze  Function  der  Grössen  a^^,  a,«,  cr,^,  ...,  a^,,  der 
Ebenencoordinaten  ti,,  v,,  ti„  u^,  und  der  Punctcoordinaten 
«I,  o;,,  a?„  «^,  welche  einer  Identität  von  der  Gestalt 


108  II.  AbsehDiU.    Algebra. 

genOgt,  WO  G  in  ganzer  Weise  von  den  Coefficienten 

(a,S»l  (a,fi»),  (a,C^), ...  (0,^17) 
des  transformirten  Nullsystems  und  von  den  Ausdrfleken 

^h  «171 H^  «*i  C^»??*)»  (S«C*),  (?'7^*),  (?>??«) 
und  zwar  nur  von  diesen  Ausdr&cken  abh&ngt  Legt  man  fQnf 
Nullsysteme  a,  6,  c,  d,  e  zu  Grunde,  so  erhält  man  folgende 
invarianten  Gebflde:  zunächst  die  15  „Nullsysteminvarianten'^ 
(a,a%  (a,6),  (a,c), ...  (d^e)^(e^e)^  ferner  die  aus  Punctcoordinaten 
allein,  sowie  die  aus  Ebenencoordinaten  allein  gebildeten  Deter- 
minanten (a;d?'a;"x"'),...,  (uu*u*'u'^')^..,  und  schliesslich  die  „Punct- 
ebeneninvarianten" 

^Xi^X)  •••}  ^X)  **«'»  •  •  • 

(o-i#),  u'j  +  (a-tt),  11;  +  (a-u),  u; +  («••»),<,.. . 


(^a'b'c'd'e'u)^u\  +  •••  -f(«*fc'c'd'e'ii)^ai,..., 

wo  {a'x\^  (o'*)8i  (ö^a^X»  (^'^)4  d'®  Coordinaten^  der  Nullebene 
des  Punctes  x-,  {a'u\^  {^'^\i  (^'^Xi  (^'uX.die  Coordinanten  des 
NuUpunctes  der  Ebene  u  in  dem  Nullsystem  a  bedeuten  und  in 
entsprechender  Weise  die  weiteren  Bezeichnungen  zu  verstehen 
sind.  Es  folgt  der  Nachweis  dafür,  dass  jedes  invariante  Ge- 
bilde @  mit  beliebig  vielen  Reihen  von  Punct-  und  Ebenencoor- 
dinanten  als  ganze  und  rationale  Function  der  eben  aufgezählten 
Invarianten  darstellbar  ist.  Sind  sechs  Nullsysteme  a,  b,  c,  d,  e,  f 
gegeben,  so  erhält  man  das  volle  Invariantensystem,  wenn  man 
auf  die  vorigen  Invarianten  alle  möglichen  Aggregate  der 
Operationen 


(^4-)=^«^4:+^-4r+-+^^' 


3e„ 


Capitel  2.    Theorie  der  Formen.  109 

anwendet  and  aosserdem  die  Invariante 


(abcdef)  = 


»14  ÖJ4  ^14  »21  ö»l  <»I3 

^4  ^4  ^4  K  ^I  *12 

•  •               •               •  •  • 

•  •              •               •  •  • 

•  •               •               •  •  • 


ri4       /S4       184       ras      #si       ria 

binzufQgt.  Sind  mehr  als  Bechs  Nullsysteme  gegeben,  so  lassen 
sich  die  invarianten  Gebilde  derselben  als  Summen  von  Gebilden 
darstellen,  .welche  mittelst  der  den  obigen  entsprechenden  Opera- 
tionen aus  invarianten  Gebilden  von  sechs  Nullsystemen  abge- 
leitet sind.  Zum  Schlüsse  werden  einige  besondere  Fälle  hervor- 
gehoben; so  ist  z.  B.  für  drei  Nullsysteme,  drei  Ebenen  und  drei 
Funkte  das  vollständige  System  invarianter  Gebilde  aus  72  Formen 
zusammengesetzt.  Ht 

D.  HiLBERT.      Zur  Theorie    der  algebraischen   Gebilde. 

Gott  Nachr.  400-457. 

Der  Verfasser  eröffnet  hiermit  eine  Reihe  von  Noten,  welche 
auf  hervorragende  Punkte  in  der  Theorie  der  algebraischen  Ge- 
bilde, insbesondere  auf  die  Fragen  nach  der  Endlichkeit  von 
zugehörigen  Invariantensystemen,  sowie  auf  den  Zusammenhang 
zwischen  den  charakteristischen  Zahlen  eines  solchen  Gebildes 
(Ordnung,  Geschlecht,  Bang  etc.)  ein  neues  Licht  zu  werfen  ge- 
eignet sind.  Als  Grundlage  dient  der  Satz,  dass  ein  jedes  In- 
dividuum einer  unendlichen  Reihe  von  Formen  (von  n  Veränder- 
liehen  x^yX^  ...  Xn)  sich  linear  und  ganz  aus  einer  endlichen  An- 
zahl von  ihnen  componiren  lässt,  mittels  Coefficienten  a,  die 
selbst  wiederum  Formen  der  x  sind,  mit  dem  wesentlichen  Zu- 
sätze, dass  der  Rationalitäts-  (resp.  Integritäts-)  Bereich  fQr  die 
CoefBeienten  der  a  der  nämliche  ist,  wie  der  für  die  Coefficienten 
der  vorgelegten  Formen.  Der  Satz  ist  auf  mehrere  Beihen 
solcher  Formen  ausdehnbar. 

Der  Beweis  wird  von  n  auf  « + 1  geführt. 

Darauf  stQtzt  sich  der  Nachweis  des  allgemeinen  Satzes, 
dass  ein  beliebiges  System  von  Grundformen  mit  beliebig  vielen 
Veränderlichen  (und  Beihen  von  Veränderlichen)  ein  „endliches" 


110  II-  Abscboitt.    Algebra. 

Invariantensystem  besitzt.  Die  anendliche  Zahl  von  Inyarianten 
lässt  sich  nämlich  leicht  in  einer  solchen  Reihe  anordnen,  auf 
die  der  obige  Satz  angewandt  werden  kann.  Die  Goef&cienten 
a  können  selbst  wiederum  in  Invarianten  flbergefQhrt  werden 
durch  Verallgemeinerung  des  bekannten  (Glebsch'schen)  Processes 

^  ^  da  dß da  dB    ^^^   "'  "''  '*"  '*•    *'®   Coefficienten    der 

linearen  Substitution  sind).  Damit  ist  aber  der  Satz  bewiesen. 
Daraus  lassen  sich  weitere,  algebraische  wie  geometrische 
Gonsequenzen  ziehen.  So  z.  B.  der  Satz,  dass  ein  endliches 
System  von  Invarianten  nur  eine  endliche  Zahl  von  irreducibeln 
„Syzygien*'  besitzt,  und  ähnliche.  My. 


1).  HiLBERT.      Ueber    die    Endlichkeit    des   Invarianten- 
systems   für   binäre  Grundformen.     Math.  Ann.   xxxiii. 

223-226. 

Denkt  man  sich  eine  binäre  Form  f  als  Product  ihrer 
Linearfactoren  aiX-\-ßiy^  so  ist  eine  Invariante  von  f  eine 
ganze  Function  der  Determinanten  (aß)  von  gewissen  vorge- 
schriebenen Eigenschaften.  Der  Nachweis  der  Endlichkeit  des 
Invariantensystems  von  f  reducirt  sich  auf  zwei  bekannte  ein- 
fächere  Hülfssätze  von  ähnlichem  Gharakter,  einmal,  dass  ein 
System  von  linearen  und  homogenen  diophantischen  Gleichungen 
eine  endliche  Anzahl  positiver  Lösungen  besitzt,  durch,  die  jede 
weitere  Lösung  ausdrttckbar  ist,  sodann,  dass  irgend  eine  ganz- 
zahlige Potenz  einer  algebraischen  GrOsse  oi  sich  aus  einer  end- 
lichen Anzahl  solcher  Potenzen  zusammensetzen  lässt  Die  Zu- 
sammensetzung ist  beidemal  eine  lineare  mit  rationalen  Coeffi- 
cienten.    My. 

D.  HiLBERT.     Ueber  binäre  Formen  mit  vorgeschriebener 
Discriminante.     Math.  Add.  XXXI.  482-492. 

D.  HiLBERT.     Ueber  Büschel  von    binären  Formen   mit 
vorgeschriebener   Functionaldeterminante.       Math.  Ano. 

XXXIII.  227-236. 


Gapitel  2.    Theorie  der  Formen.  1 1 1 

Beide  Arbeiten  sind  weitere  Aasftthrangen  von  Noten,  die 
xuerst  in  den  Leipz.  Berichten  erschienen,  und  über  die  im  Wesent- 
lichen bereits  im  XIX  Bande  dieser  Zeitschrift  berichtet  worden 
ist  My. 

R.    WüLFINGHOFF.      InvarlantenrechüUng.     Pr.  Leibniz  -  Gymn. 
Berlin. 

Die  Arbeit  hat  dQn  Zweck,  für  die  Berechnung  der  zwischen 
den  Invarianten  und  Covarianten  einer  binären  Grundform  statt- 
findenden Relationen  eine  Methode  anzugeben,  welche  auch  in 
complieirteren  Fällen  brauchbar  ist.  Indem  der  Verfasser  von 
dem  allgemeinen  symbolischen  Ausdrucke  für  die  Invariante  aus- 
gebt, gelangt  er  auf  rechnendem  Wege  zu  dem  Satze,  dass  jede 

Covariante  C^  gleich  einer  ganzen  Function  gewisser  Covarianten 
F,,  jP„  F,,,  F,,  Fj,,  ...  niedrigsten  Grades  ist,  dividirt  durch  eine 
geeignete  Potenz  der  Grundform  F^,  und  zwar  ist 

FP'^Ct  ==  SaF^F'Fy  F*  F*  .... 
wo  die  Exponenten  den  beiden  Bedingungen 

a-f-2a?  +  3y +  2a  4"  3t«-i-'"     =p 

genfigen.  Für  die  Rechnung  mit  Covarianten  genügt  es  bekannt- 
lich, die  Leitglieder  (d.  h.  die  CoefScienten  der  höchsten  Potenzen 
einer  Ve[änderlichen)  allein  zu  berücksichtigen  und  die  Methode 
des  Verfassers  kommt  nun  darauf  hinaus,  in  dem  obigen  An- 
sätze auf  der  rechten  Seite  die  ZahlencoefGcienten  q  so  zu  be- 
stimmen, dass  die  Summe  durch  eine  möglichst  hohe  Potenz  des 
ersten  Coefficienten  a^  von  F^  teilbar  wird.  Auf  diesem  Wege 
drfickt  der  Verfasser  mehrere  Invarianten  und  Covarianten  der 
binären  Formen  3*«',  4*^'  und  5'*'  Ordnung  als  Functionen  jener 
elementaren  Covarianten  F^,  F„  F,i,  F^,  F^,  aus.  Mit  Hülfe 
dieser  Ausdrücke  wird  insbesondere  eine  Reihe  von  weiteren 
Relationen  zwischen  den  Invarianten  und  Covarianten  der  binären 
Grundform  5^'  Ordnung  hergeleitet.  Ht. 


112  II.  Abschnitt.    Algebra. 

E.  Pascal.  Sopra  un'  applicazione  del  metodo  per 
esprimere  una  forma  invariantiva  di  una  binaria  cubica 
mediante  quelle  del  sistema  completo.      Napoli  Bend.  (2) 

II.  67-72. 

Die  Resultante  A  einer  binären  Form  n^'  Ordnung 

f  =s  a*  =i  b"*  =  cz 

und  der  cubischen  Form  (p  ^  p^q^  r^  ist,  als  Function  der  Coef- 
ficienten  der  Linearfactoren  p«,  9«,  r^  ausgedrückt,  gleich 

(paY  (jqbf  (rcy . 

Durch  Umformung  ergiebt  sich  hieraus  ein  Ausdruck  von  der 
Gestalt 

wo  cxfty  gewisse  Zahlencoefficienten  und  Ai^y  gewisse  Govarianten 
der  cubischen  Form  q)  allein,  also  ganze  Functionen  der  vier 
fundamentalen  invarianten  Gebilde  <]p,  ^,  Q,  R  sind.  Die  An- 
wendung auf  den  besonderen  Fall  n  =  4  liefert  eine  Resultante 
einer  biquadratischen  und  cubischen  Form  in  der  Gestalt 

wo 

gesetzt  ist.  HL 


£.  Pascal.     Sopra  alcune  forme  invariantive  del  sistema 
di  due  binarie  biquadratiche.    Napoli  Bend.  (2)  ii.  402-409. 

E.  Pascal.     Sopra  certi  covarianti  simultane!  dei  sistemi 
di  due  quarticbe  e  di  due  quintiche.      Aonali  di  Hat  (2) 


XVL  85-99. 


J 


Oapitel  2.    Theorie  der  Formen.  ]  13 

Die  beiden  Arbeiten  beschäftigen  sieh  mit  der  Aaswertung 
besonderer  von  Gordan  in  die  Theorie  zweier  binären  Formen 
von  gleicher  Ordnung  eingeftlhrten  Covarianten.    Setzen  wir 

wo  f  und  q>  binäre  Formen  von  der  n^'^  Ordnung  sind,  so  führt 

das  Problem  der  Darstellung  der  Resultante  R  =  TI (rirk)(SiSk) 
auf  eine  Reihe  von  Covarianten  der  folgenden  Gestalt : 

G  =  n (riVi)  (SiSkyixSix  (ijÄ  =  0, 1, 2, . . . ,  »  —  2), 

fit 
0  =  n  (r,rjk)  {Si$i)ru  Viy  *„*fy  (i,fc  =  0, 1,2; . . . ,  n  —  3), 


Diese  Covarianten  werden  in  den  Fällen  n  =  4  und  n  =  5  auf 
Ueberschiebungen  der  Grundformen  f  und  q>  zurQckgefllhrt  und 
dann  durch  die  fundamentalen  Invarianten  ausgedrückt.  Jene 
Covarianten  liefern  zugleich  Kriterien  für  die  Existenz  mehrerer 
gemeinsamer   Linearfactoren.    So   gelten   für   den   Fall    zweier 

» 

biquadratischen  Grundformen  f  und  9),  wenn 

16         *  3  9 

gesetzt  wird,  die  folgenden  Tbatsachen:  @  =  0  ist  die  notwendige 
und  hinreichende  Bedingung  dafür,  dass  f  ^  0  und  9  =  0  zwei 
gemeinsame  Wurzeln  besitzen  und  @  =  0,  <Z>,  ==  0  sind  die  Be- 
dingungen für  die  Existenz  dreier  gemeinsamer  Linearfactoren 
jener  Grundformen.  Ht. 

E.  Pascal.  Su  di  an  teorema  sul  calcolo  simbolico 
nella  teoria  delle  forme  binarie.     Bau.  o.  xxvi.  33-88. 

E.  Pascal.  Aggiunte  alla  nota  intitolata:  sopra  un 
teorema  sul  calcolo  simbolico  nella  teoria  delle  forme 
binarie.     Batt.  G.  xxyl  102-103. 

E.  Pascal.  Sopra  un  teorema  fondamentale  nella  teoria 
del  calcolo  simbolico  delle  forme  binarie.     Rom.  acc.  l. 

fieod.  (4)  lY.  119-124. 

Fortidir.  d.  Math.  XX.  1.  8 


114  II-  Abschnitt.    Algebra. 

Die  erste  Note  enthäU  einen  neuen  Beweis  des  Gordan'schen 
Satzes,  dass  im  binären  Formengebiete  jeder  symbolische  Aus- 
druck, welcher  identisch  verschwindet,  in  Teile  zerlegt  werden 
kann,  von  denen  jeder  einzelne  einen  Factor  vom  Typus 

(abXcd)  +  (acXdb)  +  (ad)  (6c) 
enthält.  Die  zweite  Note  fQgt  eine  auf  die  Anzahl  dieser  Teile 
bezügliche  Bemerkung  hinzu,  und  in  der  dritten  Note  wird  der 
Satz  auf  Formen  von  n  Veränderlichen  erweitert.  Bezeichnen 
wir  mit  a^,  a,,  . . .,  6^,  &„  . . .;  x^^  x„  . . .,  y,,  ^si  •  •  •  beziehungs- 
weise die  Reihen  von  Coefficienten  und  Variablen  derart,  dass 
die  linearen  Grundformen  von  der  Gestalt 

flu,  =  «n^ii+flia^ii  +  •••  +  ßin^m 

anzunehmen  sind,  so  verschwinden  identisch   die  folgenden  in- 
varianten Ausdrücke 

9 

t 

2^(— l)'"*(rt<4.iai+2 . . .  Oi-i )  (a<6, 6,  . . ,  fe«-.i), 

i 

(a^a^  . . .  (i„)(j?^aj,  . . .  x„) — (ou^a^x, . .  .  ctnx^\ 
I 
2:(— l)***(^<+iar,+2  . . .  a;,-i,)a,., 

2;(— l)"*(«.+i  ir,+2  . . .  Xi^i)  (Xiy^  y^  ...  y^.j). 
(•=  1,  2,  ...,  n  +  i) 
Der  Verfasser  beweist  nun,  dass  jeder  andere  aus  fi- reihigen 
Determinanten  und  Linearfactoren  gebildete  Ausdruck,  welcher 
identisch  gleich  Null  ist,  stets  in  Teile  zerlegt  werden  kann, 
von  denen  jeder  einen  Ausdruck  von  obigem  Typus  als  Factor 
enthält.  Der  Beweis  wird  zunächst  für  n-\-l  Reihen  von  Coef- 
ficienten und  eine  Reihe  von  Veränderlichen  geführt  und  dann 
mittels  einer  von  Capelli  herrührenden  Verallgemeinerung  der 
bekannten  Gordan'schen  Reihenentwickelung  symbolischer  Aus- 
drücke  auf  den  allgemeinen  Fall  ausgedehnt.  Ht. 


E.  Pascal.  Sopra  le  relazioni  che  possono  siissistere 
identicamente  £ra  formazioni  simboliche  del  tipo  in- 
variantivo  nella  teoria  generale  delle  forme  algebriche. 

Rom.  Acc.  L.  Mem.  (4)  V.  375-387. 


C&piieI2.    Theorie  der  Formen.  115 

I 

G.    BaTTAGLINI,    E.    BfiXTI.      Relazione.       Daeelbst.  374. 

Beweis  des  folgenden,  in  einer  früheren  ^ote  (Soprä  an 
teorema  fundamentale  nella  teoria  del  ealeolo  simbolico  delle 
forme  binarie,  Rom.  Acc.  L.  Rend.  (4)  IV.  119-124;  vgl.  deii 
vorigen  Bericht)  ausgesprochenen  Satzes:  Ist  eine  irreductible 
(d.  b.  in  Factoren  von  derselben  Beschaffenheit  nicht  zerlegbare), 
nach  jeder  Coefficienten-  und  Variabeinreihe  homogene  invariante 
Bildung  n  identisch  gleich  Null,  so  kann  sie  auf  eine  Summe 
von  Aosdrflcken  zurttckgeffthrt  werden,  deren  jeder  mindestens 
eine  aus  la^uter  Elementen  von  TI  bestehende  Null-Identität  als 
Factor  enthält.  Als  Null -Identitäten  werden  die  fünf  folgenden 
bekannten  Relationen  bezeichnet: 

«     .         - 

a 

(a^a^  . ,,  «;)  (a?,  a?,  . . .  a?«)  —  ^  +  «lar.fla*, .  •  •  «n*^  =  0, 

a 

2 ±  (a;,«,  . . .  »,)  a,,  ^,  =  0, 

X 

2:±(x^x^  . . .  Xn)(xn^iy,y^  . . .  y„_i)  =  0. 

Hier  bedeutet  2!+  (bezw.  2!+)  die  Summe  aller  Ausdrücke, 

welche  aus  dem.  niedergeschriebenen  entstehen,  wenn,  man  die 
Symbole  a  (bezw.  x)  auf  jede  mögliche  Weise  vertauscht,  und 
das  Plus-  oder  Minuszeichen  nimmt,  jenachdcm  die  betreffende 
Permutation  aus  einer  geraden  oder  ungeraden  Anzahl  von  Trans- 
positionen besteht. 

Der  Satz  wurde  schon,  wie  der  Verfasser  angiebt,  für  «  =  2 
von  Gordan  (Vorlesungen  über  Invariantentheorie  II.  S.  132), 
fbr  fi  =  3  von  Study  (Ueber  ternäre  lineare  Formen,  Math.  Ann. 
XXX.  120-126;  Bericht  in  F.  d.  M.  XIX.  1887.  129-130)  be- 
wiesen.  Vi. 


R.  Perkin.  Sur  Hdentitd  des  p^ninvariants  des  formes 
binaires  avec  certaines  fonctions  des  d^riv^es  uni- 
laterales de  ces  formes.     s.  M.  F.  Ball.  xvi.  82-ioo. 

8* 


116  n.  AbBchnitt.    Algebra. 

Der  Verfasser  knflpft  an  eine  Arbeit  des  Referenten  (vgl. 
F.  d.  M.  Bd.  XVII.  1885.  84)  an  und  beweist  von  neuem  den 
dort  aufgestellten  Satz,  dass  jede  Invariante  und  Corariante  einer 
binären  Form  f  gleich  einer  ganzen  und  rationalen  Function  der 
Form  f  und  der  einseitigen,  d.  L  in  Bezug  auf  eine  Veränder- 
liche allein  genommenen  Differentialquotienten  f^ ,  f„  f^^  ...  von 
f  ist.  Um  diesen  Ausdruck  in  den  einseitigen  Differential- 
quotienten zu  erhalten,  hat  man  nur  nötig,  in  dem  Leitgliede 
der  vorgelegten  Covariante  statt  der  Coefficientcn  der  bin&ren 
Form  die  entsprechenden,  mit  gewissen  Zahlen factoren  multi- 
plicirten  Differentialquotienten  von  f  einzusetzen,  und  in  Folge 
dieses  Umstandes  Iftsst  sich  der  Satz  auf  die  Aufgabe  anwenden, 
die  ganzen  und  rationalen  Integrale  gewisser  Difllerentialgleichun- 
gen  zu  finden,  deren  linke  Seite  die  Veränderliche  selbst  nicht 
explicite  enthält  Der  Verfasser  betrachtet  femer  sogenannte 
„Semicovarianten*^,  d.h.  solche  Functionen  der  einseitigen  Diffe- 
rentialquotienten, welche  nicht,  wie  die  Invarianten,  schon  nach 
einmaliger,  sondern  erst  nach  mehrmaliger  Anwendung  des  Diffe- 
rentiationsprocesses 

f —  +  /;—  +  ••• 

identisch  Null  ergeben.  Schliesslich  dehnt  der  Verfasser  die 
Untersuchung  auf  Formen  mit  mehr  Veränderlichen  aus,  wobei 
er  auf  diejenigen  Sätze  eingeht.  Ober  welche  bereits  in  diesem 
Jahrbuche  Bd.  XIX.  132  referirt  worden  ist.  Ea  folgen  als  Bei« 
spiele  einige  Darstellungen  von  Invarianten  ternärer  Formen  als 
Function  von  den  nach  zwei  Veränderlichen  genommenen  (zwei- 
seitigen) Differentialquotienten.  Ht. 


E.  ÜESARO.     Calcul  des  sous-invariants.    Noav.Ano.  (3)  vii. 

464-467. 

D'Ocagne  hat  bemerkt,  dass,  wenn  man  a,  als  Function 
einer  Veränderlichen  f  betrachtet,  deren  successive  Differential- 
quotienten  a,,  a„  a,,  ...  sind,  der  Ausdruck 

dPla, 


Gapitol2.    Theorie  der  FormeD.  117 

eine  Semiinyariante  der  binfiren  Form 

wird.  Der  Verfasser  beschäftigt  sieb  mit  der  wirklichen  Berech- 
nung dieser  Semiinvarianten  ^p  und  der  zwischen  denselben  und 
den  fundamentalen  Semiinvarianten 

bestehenden  Relationen.  Ht. 


M.  d'Ocagne.     Sur  les  syst^mes  de  p^ninvariants  prin- 
cipaux  d'uue  forme  binaire.      S.  M.  F.  Ball.  xvi.  Ib3-187. 

Hit  Hälfe  der  Semiinvarianten 

Vp  =  ^^-^  (p  =  2,  3,  . . .,  II) 

lässt  sich  jede  andere  Semiinvariante  der  nämlichen  binären 
Grundform  rational  darstellen,  so  dass  im  Kenner  nur  eine  Potenz 
von  a^  anilritt    (Vgl.  das  vorige  Referat.)  Ht. 


M.  d'Ocagne.  Note  sur  les  syst&mes  de  pdninvariants 
principanx  des  formes  binaires.  Bmx.  s.  sc.  xii  b.  185-189. 
Zusatz  zu  einer  im  vorangehenden  Bande  erschienenen  Note 
(F.  d.  M.  XIX.  1887.  119).  Der  Verf.  weist  nach,  wie  man  in 
der  Hälfle  der  Fälle  manche  Haupt-Semiinvarianten  der  Formen 
durch  einander  ausdrOcken  kann.  Hr.  Cesaro  hat  die  Aufgabe 
f&r  die  anderen  Fälle  gelöst.  Mn.  (Lp.) 


J.  Dkruyts.     Sur  les  semi-invariants  de  foroies  binaires. 

LiöS«  M6m.  (2)  XV.  Note  I  11  S.,  Note  11  8  S. 

Zusätze  zu  früheren  Arbeiten.  Mn. 


J.  Pbtbrsrn.     Om  binäre  Formers  Kovarianter.  Zeathen 

TidBS.  (6)  VI.  152-186. 

Dieser  kleine  Aufsatz  bildet  eine  Fortsetzung  von  zwei  Auf- 


118  IL  AbscfaDitt.    Algebra. 

• 

Sätzen  in  Zeuthen's  Tidss.  aus  den  Jahrgängen  1880-1881,  welche 
von  den  Covarianten  der  binären  Formen  handeln.  Der  Coef- 
licient  des  ersten  Gliedes  einer  Covariante  wird  eine  Halb- 
invariante genannt,  durch  welche  bekanntlich  die  Covariante  be- 
stimmt ist. 

Werden  in  einer  solchen  Halbinvariante  a^,  a„  ...,  a.  (die 
CoefScienten  einer  binären  Form  n*«^  Ordnung)  durch  0,  «,,  . . ., 
On- 1  ersetzt,  so  erhält  man  eine  Halbinvariante  einer  binären 
Form  (fi— 1)^'  Ordnung.  Werden  nun  auf  diese  Weise  alle  die 
den  Halbinvarianten  Ä  einer  Form  n^^'  Ordnung  entsprechenden 
Halbinvarianten  Ä  einer  Form  (n— 1)***^  Ordnung  gebildet,  so 
bilden  sie  nicht  das  vollständige  System  der  Halbinvarianten 
einer  Form  (n— !)*•'  Ordnung.  Es  ist  aber  leicht  zu  zeigen, 
dass,  wenn  alle  Ä'  als  ganze  Functionen  einer  endlichen  Anzahl 
unter  ihnen  dargestellt  werden  können,  dasselbe  mit  den  Ä  statt- 
findet. 

Der  Verfasser  zeigt  darnach,  wie  einfach  die  Endlichkeit 
bei  dem  zu  einer  binären  Form  dritter  oder  vierter  Ordnung  ge- 
hörenden Formensystem  bewiesen  werden  kann.  V. 


Stroh,     üeber  einen  Satz  der  Formen theorie.     Matb.  Add. 

* 

XXXI.  441-443. 

Der  Verfasser  beweist  den  Cayley'schen  Satz  über  die  An- 
zahl der  zu  einer  binären  Form  f  gehörigen  linear  unabhängigen 
Covarianten  vom  Grade  g  in  den  CoeiBcienten  von  f  und  vom 
Gewichte  p,  auf  Grund  der  Gordan'schen  Theorie,  wie  folgt: 
Zunächst  sind  die  aus  g  verschiedenen  binären  Formen 

und  aus  einer  weiteren  Form  (p^j  gebildeten  Covarianten 

von  einander  linear  unabhängig,  wie  man  erkennt,  wenn  man 
alle  Formen  als  Potenzen  linearer  Formen  specialisirt.  Aus  den 
Formen  Ai  werden  diejenigen  Formen  ausgewählt,  für  welche 
^j  =  ^8  =  • '  •  =  ^j/  ist.    Bildet  man  dann  aus  jeder  solchen  Form 


Capftel  2.    Theorie  der  Formen.  119 

und  den  aus  ihr  durch  Permutation  der  /  hervorgehenden  Formen 
die  Summe,  so  entsteht  ein  System  von  symmetrischen  Gova- 
rianten,  welche  ebenfalls  linear  von  einander  unabhängig  sind 
und  auch  unabhängig  bleiben,  wenn  man  nachträglich  die  Formen 
f  einander  gleichsetzt.  Indem  nun  der  Verfasser  andererseits 
die  so  erhaltenen  Covarianten  als  Summen  von  Ueberschiebungen 
der  Covarianten  von  f  über  tp  auffasst,  gelingt  schliesslich  der 
Nachweis,  dass  es  unter  allen  Covarianten  g^^  Grades  von  f, 
deren  Gewicht  p  nicht  übersteigt,  genau  Np  linear  unabhängige 
giebt,  wo  iVp  eben  jene  Zahl  der  ganzzahligen  Lösungen  von 

p  =  Xj  +  X,  +  •  •  •  +  Ap,     *!  >  A,  ^  . . .  >  A^ 

bedeutet.  Die  Differenz  Np—Np^i  ist  folglich  die  Zahl  der  linefHr 
unabhängigen  Covarianten  vom  Grade  g  und  dem  Gewichte  p, 
und  da  die  Zahl  Np  dieselbe  ist  wie  die  Zahl  der  ganzzahligen 
Lösungen  der  Gleichungen 

fi,  +2^,  +3^,  H +  ^^^  ==  p, 

80  ist  die  Uebereinstimmung  mit  dem  Cayley'schen  Satz  offen- 
bar. Ht 


Stroh.       üeber   die  asyzygetischen  Covarianten   dritten 
Grades  einer  binären  Form.     Math.  Ann.  xxxi.  444-454. 

Ordnet    man    die    sämtlichen    aus    drei    binären    Formen 

f,  =  aj,  f,  =  b"^,  f,  =  c"'  zu  bildenden  einfachen  Ueber- 
schiebungen vom  Gewichte  g  in  drei  Gruppen 

JI-      (ifiJ    fi)aii    /",)/?,)       ((/i>    Qat-U    /1)a+1i    •••? 

m«  Gfg»  A)a,»  U)ßi'i   ((fn  AX-i»  AWi»  '"} 

60  sind  die  Formen  jeder  Gruppe  unter  sich  linear  unabhängig. 
Dagegen  zwischen  den  Formen  der  verschiedenen  Gruppen  be- 
stehen Relationen  von  der  Gestalt 


120  ^I-  Abschnitt.    Algebra. 

WO  a^j  ap),  a^)  Zahlencoefficienten  bedeuten.    Auf  Grand  dieser 

Relationen  zeigt  der  Verfasser,  dass  man  aus  jenen  drei  Gruppen 
y+l  linear  unabhängige  Formen  derart  auswählen  kann,  dass 
sich  jede  andere  Form  durch  diese  linear  ausdrücken  lässt 
Dabei  bedeutet  y  die  Zahl  <y— e, — «,-^«,,  wo  «<  =  p— «<  statt 
negativ  stets  Null  zu  nehmen  ist.  Indem  der  Verfasser  diese 
Ergebnisse  auf  den  Fall  dreier  gleichen  Formen  f  anwendet,  er- 
hält derselbe  folgenden  Satz:  Unter  den  Govarianten  dritten 
Grades  ((^,  O^ai  f)fi  sind  alle  diejenigen,  ftlr  welche 

linear  unabhängig,  und  alle  übrigen  sind  durch  sie  linear  aus- 
drttckbar.     Die  Zahl  jener  Formen  ist  für  ein  gerades  e  gleich 

[^]  -  [^] 

und  für  ein  ungerades  e  gleich 

wo  [  ]  eine  ganzzahlige  Abrundung  anzeigt.  Zum  Schlüsse 
wird  gezeigt,  wie  der  letztere  Satz  so  erweitert  werden  kann, 
dass  er  auch  für  Govarianten  von  höherem  Grade  anwendbar  ist 

Ht. 


Stroh.  Ueber  eine  fundamentale  Eigenschaft  des  üeber- 
schiebungsprocesses  und  deren  Verwertung  in  der 
Theorie  der  binären  Formen.    Math.  Ann.  xxxiii.  6I-108. 

Wird  die  Ueberscbiebung  zweier  binären  Formen  f  und  q> 
nicht  als  Process,  sondern  als  eine  Verknüpfung  aufgefasst,  so 
unterliegt  diese  Verknüpfungsart  folgenden  Gesetzen:  I.  dem 
distributiven  Gesetze,  welches  sich  in  der  Formel 

ausspricht ;  II.  dem  commutativen  Gesetze  (in  erweiterter  Fassung) 

III.  dem  associativen  Gesetze,  d.  h.  es  gilt  die  Formel 

i 


Gapitel  2.    Theorie  der  Formeo.  121 

welche  aassagt,  dass  in  jeder  Ueberschiebung,  die  aus  drei 
Formen  ^,  ^,  x/f  gebildet  werden  kann,  die  Art  der  Zusammen- 
fassung  der  drei  Formen  gleiehgültig  ist,  wenn  nur  an  Stelle 
einer  Ueberschiebung  ein  Aggregat  der  anders  gebildeten  Ueber^ 
sehiebungen  gesetzt  wird.  Auf  der  Anwendung  der  letzten 
Formel,  in  welcher  ci  gewisse  Zahlencoefficienten  bedeuten,  be- 
ruht im  wesentlichen  die  weitere  Untersuchung.  Was  zunächst 
den  Fall  von  drei  binären  Formen  f^  /*,,  f,  anbetrifft,  so  lassen 
sich  diese  nur  auf  folgende  drei  Arten  zu  Ueberschiebungen  zu- 
sammenfassen 

((A,  a)a,  nu  C(fv  n)h  f,)Mi  c(f.i  /;)a,  fi)A- 

Die  Summe  X-^-fi  =  g  heisst  das  „Gewicht"  der  Ueberschiebung, 
und  alle  Ueberschiebungen  von  gleicher  Zusammenfassung  der 
Formen  und  von  gleichem  Gewichte  werden  in  ihrer  Gesamtheit 
eine  „Gruppe"  genannt.  Beispielsweise  giebt  es  fBr  das  Gewicht 
3  die  folgenden  drei  Gruppen 

((fMMo^   i(fM..fX  iifJ.WX   iifvfXQv 

aUXf.\i     ((fnf.)„A)n     iifMJX     iifMoJX 

or.,/;).,ft)«,  ((A,/;)„A)n  a/;,/;)./.),,  C(U^)o.ür 

Was  den  Zusammenhang  zwischen  jenen  Formen  anbetrifft,  so 
folgt  ohne  Schwierigkeit  der  Satz:  Die  Ueberschiebungen  jeder 
za  drei  Formen  gehörigen  Gruppe  sind  unter  sich  linear  unab- 
hängig, and  jede  Ueberschiebung  einer  Gruppe  kann  durch  die- 
jenigen jeder  anderen  zugehörigen  Gruppe  linear  ausgedrückt 
werden.  Genau  der  entsprechende  Satz  gilt  ftlr  beliebig  viele 
Formen  ^j,  f„  ...,  f^.  Auch  die  Anzahl  der  Formen  einer 
Gruppe  wird  bestimmt;  sie  ist  nur  von  dem  Gewichte  g  und  von 
den  Ordnungen  n^,  n,, ...,  n^  jener  Formen  abhängig,  also  f&r  alle 
zasammengehörigen  Gruppen  die  nämliche  und  ergiebt  sich  als 

der  Coefficient  von  x^  in  der  Entwickelung  des  Ausdruckes 

(l_a;«h-H)(i_a:»h-H)  ...  (l-j^^^+i) 

Bisher  wurden  nur  sogenannte  ,,einfache''  Ueberschiebungen  be- 
trachtet, d.  h.  solche,  in  denen  jede  Form  f  nur  einmal  vor- 
kommt Indem  der  Verfasser  mehrere  Formen  f  einander  gleich- 
setzt, ergeben  sich   entsprechende  Sätze  für  sogenannte  „mehr- 


122  n.  Abschnitt.    Algebra. 

fache**  Ueberscbiebungen,  in  denen  jede  Form  wiederholt  auf- 
tritt. Aus  diesen  Entwickelungen,  in  denen  insbesondere  auch 
auf  die  Theorie  der  Sylvester'schen  Sysyganten  eingegangen 
wird,  seien  folgende  beiden  Sätze  erw&hnt:  Zu  jeder  inyarianten 
Form  K  einer  binären  Form  f  von  höherem  als  dem  3*^  Grade 
in  den  Coefficienten  gehört  eine  Syzygante,  welche  das  Glied 
Kf*  enthält.  Zu  jeder  invarianten  Form  A  3**°  Grades,  welche 
nicht  Functionaldeterminante  ist,  gehört  eine  Syzygante,  die  den 
Term  Äf^  enthält.  Als  Beispiel  für  die  entwickelte  Methode 
giebt  der  Verfasser  das  volle  System  der  irreduciblen  Syzyganten 
fUr  die  23  Invarianten  und  Govarianten  einer  binären  Form  5'*' 
Ordnung.     Die  Zahl  der  Syzyganten  dieses  Systems  ist  18. 

Ht 

G.  ToRBLLi.     Della  trasforaiazione  cubica  di  una  foiToa 

binaria    cubica.     Atti  d.  Acc.  PootaDiana.  Napoli.  XVII f.  215-225. 

Zufolge  eines  bekannten  Satzes,  den  Clebsch  in  seiner  Ab- 
handlung ausgesprochen  hat:  „Ueber  die  partiellen  Differential- 
gleichuDgen,  welchen  die  absoluten  Invarianten  binärer  Formen 
bei  höheren  Transformationen  genQgen^  (Gott.  Abb.  XV),  kann 
jede  kubische  Transformation  einer  binären  Form  dritter  Ordnung 
durch  eine  lineare  Transformation  ersetzt  werden.  Unter  An- 
wendung dieser  Betrachtung  unternimmt  Hr.  Torelli  die  Aus- 
führung der  Transformation 

(1)  y.fti-»,«J=o 

an  der  Form  cl.  Zu  diesem  Zwecke  ersetzt  er  sie  durch  die 
lineare  Transformation 

(2)  y,/?x-y.«x  =  0, 

wo 

a.  =  (aKyiJcyc^--(cKy{Jaya^, 

ß,  =  (bKy{jcyc,^icKy{jbyb^ 

und  ^J,  Ki  die  fundamentalen  Govarianten  der  Form 

61  =  (6c)  ( cd)  {ab)  a^  6^.  c^ 

sind.    Er  zeigt,  dass  die  Anwendung  der  Transformation  (2)  auf 
die  gegebene  Form  das  Resultat  ergiebt,  auf  welches  die  Trans- 


Gapitel  2.    Theorie  der  Formen.  123. 

formation  (1)  ffthrt,  multiplicirt  mit -g|- YP',  wo  Y  «((?«')"  und 

P  die  OiscriminaDte  der  Form  ÖJ  ist.    (S.  das  folgende  Referat.) 

La.  (Lp.) 


G.  ToRELLi.     Della  trasformazione  cubica.    Atti  d.  Acc.  pod- 

taoiana.  XVIII  und  Palermo  Read.  IL  165171. 

Bildet  man  aus  den  drei  binären  kubischen  Formen  ai^  bl^  cl 
die  kubische  simultane  Covariante  0%  =  {ah){hc){ca)axbxCx  und 
bezeichnet  dann  die  quadratische  und  die  kubische  Coyariante 
Ton  Ol  beziehungsweise  mit  J|,  Kl^  so  besteht  die  Identität 

otxbl—ßxctl  =  yxol, 
wo 

a,  =  (aür)'(Jc)'c,-(ciQ'(z/a)'a,, 
ß^  =  (bK)\dcyc^--(,cK)\^byK, 
y,  =  (aür)'(./6)'&,-.  {bK)\dayax 

zu  setzen  ist.    Aus  dieser  Identität  folgt,  dass  die  durch  Elimi- 
nation von  ^i,^,  aus  den  Gleichungen 

c»  =0  und  y^bl  —  y^al 
sieh   ergebende   Resultante  ^  sich   von   der  Resultante    Xy  der 
Gleichungen 

c»  =  0  und  y,ßx-y^Ox  =  0 
nur  um  einen  constanten  Factor  unterscheidet.    Stellt  man  sich 
daher  die  Aufgabe,  die  binäre  kubische  Form  cl  der  kubischen 

Transformation     ^'    =      '    zu  unterwerfen,  so  ist  offenbar,  dass 

y^         bl 

es  zur  Lösung  dieser  Aufgabe  nur  der  Ausführung  der  linearen 

Transformation  — ^  =  -^  bedarf.    (S.  das  vorangehende  Re- 

y%  Rx 

ferat.)  Ht. 

G.  PiTTARELLi.     Sullc   forme  appartenenti  all'  ottaedro. 

Rom.  Acc.  L.  Rend.  (4)  IV.  509-513. 

Zwischen    der   Oktaederform  F  (d.   h.   der   Covariante  6^^ 
Ordntrng  einer  allgemeinen   binären  Form  4*«'  Ordnung),  ihren 


124  II.  AbachoiU.    Algebr». 

Covarianten  H  =  (F,F)^,  T  =  (F,  Jl),  und  der  Invariante  A  =  {F,F)^ 
besteht  die  Relation 

Setzt  man  nun 


«.  =  -^.«.=(4-)*^*. 


K-Tf)*''^*  =  V(S?-«J)I, 


18 
80  wird 

18 
und 

(l.df,-l.d|.)  =  8(-A.)Vr(«,d«,-*,d».), 

(^xdx) 
d.  h.  das  Differential     *Z1     wird  durch  jene  TransformatioD  in 

VF 

2*  (SdS) 

das  elliptische  Differential — r- —-=======— mit  verschwin- 


8(4)*  Vdf-fpi. 


18 

dender  Invariante  g^  ttbergeftlhri 
Setzt  man  zweitens 

|.=Hi,    |.  =  -(4)*F. 

80  wird 

und 

6  (—1^      -i 

d.  h.  das  Differential  — 4 wird   durch  jene   Transformation 

yw 

in  das  elliptische  Differential 


2»V-1       (|rf§) 


<47  ''^'^ 


18 
mit  verschwindender  Invariante  g,  ttbergefllhrt  Ht 


Gapitel  2.    Theorie  der  Formeo.  125 

6.  PiTTARBLLi.  Ititomo  alla  trasformazione  del  differen- 
ziale  ellittico  effettuata  per  mezzo  della  rappresenta- 
zioue    tipica    delle    forme    binarie   di  3^  e  4'^  grado. 

Rom.  Acc.  L.  Send.  (4)  IV.  703-705. 

Von  Herrn  Brioschi  stammt  eine  Vereinfachung  her  in  der 
Ableitung  der  von  Herrn  Hermite  angegebenen  Transformation  des 
eUiptischen  Integrals  erster  Gattung  in  die  typische  Normalform 

.  Die  bez.  Substitution  war  vom  vierten  Grade 

in  der    ursprünglichen  Variabein  x.     Der  Verf.   ersetzt   dieselbe 
durch  eine  nur  lineare,  mit  Anwendung  von  Polarenprocessen. 

My. 

R.  Russell.     Geometry  of  the  quartic.     Lond.  M.  8.   Proc. 

XIX.  56-67. 

Die  vier  Wurzeln  einer  biquadratischen  Gleichung  werden 
als  Punkte  in  der  Ebene  der  complexen  Zahlen  gedeutet  und 
aas  der  Lage  dieser  Punkte  mittelst  geometrischer  Construction 
die  Warzelpunkte  der  Hesse'schen  Govariante  und  der  Govariante 
6^'  Ordnung  abgleitet.  Beispielsweise  sind  die  sechs  Wurzel- 
pankte  der  letzteren  Govariante  durch  folgende  Eigenschaft  be- 
stimmt: Wenn  man  von  einem  dieser  sechs  Punkte  das  aus  den 
vier  Wurzelpunkten  der  vorgelegten  Gleichung  gebildete  Viereck 
mittelst  reciproker  Radien  transformirt,  so  verwandelt  sich  das- 
selbe in  ein  Parallelogramm.  Ht. 


G.  Maisano.      Die   Steiner'sche  Govariante   der  binären 

Form    &^^  Ordnung.     Math.  Aoo.  XXXL  493-506. 

Die  Steiner'sche  Govariante  S  einer  binären  Form  &^^  Ord- 
nong  f  wird  mittelst  symbolischer  Rechnung  durch  die  funda- 
mentalen Invarianten  und  Govarianten  der  Grundform  f  ausge- 
drackt.  Der  Verfasser  findet  überdies,  dass  ebenso  wie  S  auch 
die  Govariante  \bm—4tAl^  gleich  Null  gesetzt,  die  notwendige 
mid  hinreichende  Bedingung  fQr  die   Existenz  eines  dreifachen 


126  n.  Abschoitt.    Algebra. 

Linearfactors  der  Grundform  liefert.    Wegen  der  Bed^utung^  yon 
S,  HS,  Ay  l  vgl.  das  folgende  Beferat.  Ht 


E.  d'Ovidio.      II  covariante  Steineriano   di    una    forma 
binaria  del  6^*  ordine.    torino  Atti  XXIV.  164-176. 

Unter  der  Steiner'schen  Covariante  S  der  binären  Form  G'*' 
Ordnung  f  versteht  der  Verfasser  die  Discriminante  der  Polare 
at  a^f  wobei  diese  als  binäre  Form  von  %  allein  aufgefasst  wird. 
Die  Steiner*sehe  Covariante  ist  daher  von  der  S**"  Ordnung  und 
mit  Benutzung  des  bekannten  Ausdruckes  für  die  Discriminante 
einer  binären  Form  5^^'  Ordnung  ergiebt  sich  durch  symbolische 
Rechnung  der  Wert 
3'S  =  -  3'5'^' - 2  .  3» .  5«  i4fc ^  -  3' .  5 .  A'k* 

-(2\3  A'  +  2\3'B)fl+2* .  A'  H  +  2\S'  Afmi-2\3*fu, 
wo 

B  =  (f,a  k  =  (f,a,  ^  =  (f,a,  ^  =  (*,*)„  B  =  (k,k\, 

zu  setzen  ist.  Der  Ausdruck  stimmt  mit  demjenigen  überein, 
welchen  Maisano  (vgl.  das  vorige  Referat)  gefunden  hat.  Das 
identische  Verschwinden  von  S  ist  die  notwendige  und  hin- 
reichende Bedingung  dafür,  dass  die  Form  f  einen  dreifachen 
Linearfactor  enthält.  Ausserdem  berechnet  der  Verfasser  in  ent- 
sprechender  Weise  die  Discriminante  der  Polare  ai  aj  sowie  die 
Discriminante  alal\  es  ergeben  sich  für  diese  Discriminanten 
die  Werte 

i^Af^py^^k'  und  ^hAr-\fp-kBk, 
wo  p  =  (fjÄ),  ZU  setzen  ist.  Das  identische  Verschwinden  des 
ersteren  dieser  beiden  Ausdrücke  giebt  die  Bedingung  für  das 
Auftreten  eines  vierfachen  Linearfactors  in  f,  und  das  Verschwin- 
den des  zweiten  Ausdruckes  ist  die  Bedingung  für  das  Auftreten 
eines  fünffachen  Factors.  Ht 


P.  Gordan.     Die  Discriminante  der  Form   1^^  Grades 

f  =  al.      Math.  Ann.  XXXI.  566-600. 


Gapitel  2.    Theorie  der  Formen.  127 

Der  Verfasser  drückt  mit  HOlfe  symbolischer  RechnuDg  die 
DiscrimiDante  der  binären  Form  a^  =  b^  =3  ...  als  ganze  rationale 
Function  der  fundamentalen  Invarianten  dieser  Grundform  aus. 
Der  dabei  befolgte  Gedankengang  wird  in  der  Einleitung  vom 
Verfasser  selbst  kurz  skizzirt  und  entspricht  der  Methode,  deren 
sich  der  Verfasser  früher  bei  den  Formen  4'«*^,  5'®'  und  6*"  Ord- 
nung bedient  hat.  Ist  a^  ein  Doppelfactor  von  a^,  su  bestehen 
die  beiden  Gleichungen 

(aaya^  =  0,    (acr)*a,  =  0, 

welche  in  den  CoefScienten  von  a^  vom  Grade  sechs  sind.  Aus 
diesen  lassen  sich  nach  Bözout  und  Cayley  sechs  Gleichungen 
vom  Grade  fünf  in  a  herstellen,  welche  man  aus 

(aay(ab)b%  =  0 

erhält,  wenn  man  die  linke  Seite  durch  a«  dividirt.  Diese  sechs 
Gleichungen  werden  durch  Ueberschiebungen  so  mit  einander 
combinirt,  dass  sich  mittelst  Division  von  a^  Gleichungen  4*®" 
Grades  in  den  Coefficienten  von  a^  ergeben.  So  fortfahrend, 
gelangt  der  Verfasser  schliesslich  zu  quadratischen  Gleichungen, 
aus  denen  die  Elimination  der  Coefficienten  von  a^.  möglich  ist. 
Es  ergiebt  sich  auf  diese  Weise  die  Endgleichung 

972        .    J  8569   ...    2768    .  10653         .     1488 


}72        ,   J  8569    .,  .     2768    .  10653 


5 


03 


.     3627             20505             7425         ,„.„        ,   _„  _ 

-\ 2 — ^" 2 — ^" 2~^"  "^  ^*^^"  +  ^^^ ''"  —  "• 

Hierin  ist,  wenn  man 
setzt, 

« 

Die  linke  Seite  der  obigen  Endgleichung  ist   vom  Grade  12  in 
den  Coefficienten  der  Grundform  f,  und  da  sie,  wie  der  Verfasser 


128  If-  AbaehDitt.    Algebra. 

mit  Hülfe  der  speciellen   Form  x]+lx\xl  —  lx\x\  +  xl  zeigt, 
nicht  identisch  verschwindet,  so  ist  sie  die  verlangte  Discriminante. 

Ht. 

V.  Gall.     Das    vollständige  Formensystem  der  binären 

Form   7*«''  Ordnung.     Math.  Ann.  XXXI.  318.836. 

Das  von  Gordan  aufgestellte  volle  System  der  invarianten 
Formen  für  die  binäre  Grundform  7**'  Ordnung  ^  =  ai  enthält 
mehrere  Invarianten  und  Covarianten,  welche  reducibel  sind,  d.  b. 
durch  niedere  Bildungen  ganz  und  rational  dargestellt  werden 
können.  Der  Verfasser  zählt  die  von  Gordan  aufgestellten 
Formen,  nach  dem  Grade  in  den  Coefficienten  der  Grundform  f 
geordnet,  auf  und  giebt  bei  jedem  Grade  die  möglichen  Reduc* 
tionen  an.  Das  schliesslich  erhaltene  volle  Invariantensystem 
besteht  aus  33  Invarianten,  deren  Grade  in  den  Coefficienten 
bis  zur  Zahl  30  ansteigen,  und  aus  120  Covarianten,  unter  denen 
die  Covariante  TJ*  =  (f, (/",/),),  diejenige  von  der  höchsten  Ord- 
nung in  den  Veränderlichen  ist.  Ht 


V.  Gall.      Die    ineduciblen  Syzyganten    zweier   simul- 
tanen kubischen  Formen.    Math.  Ann.  xxxi.  424-4i0. 

Das  volle  Invariantensystem  zweier  kubischen  Grundformen 
al  und  ai  besteht  aus  26  Formen.  Für  diese  Formen  stellt  der 
Verfasser  eine  grosse  Zahl  von  irreduciblen  Syzygien  auf,  d.  h. 
von  Identitäten,  welche  nicht  durch  lineare  Combination  aus 
Identitäten  niederer  Grade  erhalten  werden  können.  Die  linken 
Seiten  der  gefundenen  Syzygien  (die  sogenannten  Syzyganten) 
enthalten  sämtlich  Glieder  von  der  Gestalt  GiGk^  wo  Gi  und  Gk 
zwei  Formen  des  Systems  sind,  und  aus  diesem  Umstände  folgt 
notwendig  ihre  Irreducibilität.     Bei  der  Rechnung  leisten  die  bei- 

den  Processe  d  =  Soi-^ — und  d  =  Soi-^ — gute  Dienste,  in- 

dem  ihre  Anwendung  auf  bekannte  IdentitHten  zu  neuen  Identi- 
täten fahrt.  Ht 


Oapite)  8.    Theorie  der  Formeo,  129 

V.  Call.     Die  Syzyganten    zweier    simultanen    binären 
biquadratischen  Formen.    Math.  Ado.  xxxiii.  197-222. 

Unter  den  28  invarianten  Formen  des  vollen  Systems  zweier 
binären  biquadratischen  Formen  a«  und  ai  giebt  es  15  Covarianten 
C,  und  C^  von  der  2*~  und  4**"  Ordnung  in  den  Veränderlichen. 
Der  Verfasser  stellt  zunächst  die  üeberscbiebungen 

(C„C;)„  (C„C,),     und    (C^CJ, 
als  Functionen  jener  28  Formen  dar,  wobei  sich  die  Rechnung 
durch  geeignete  Anwendung  der  Processe 

d  =  2a,^,  d  =  2Ji-^ dJ  =  (abyalbl) 

ausserordentlich  vereinfacht.  Nach  Berechnung  dieser  Functional- 
determinanten  geben  die  bekannten  allgemeinen  Identitäten,  wie 
z.  B.  die  Identität 

die  Mittel  an  die  Hand,  für  jene  28  invarianten  Formen  Syzyganten 
zu  berechnen.  Doch  behält  der  Verfasser  die  Aufstellung  des 
vollen  Systems  der  irreduciblen  Syzyganten  —  und  diese  Auf- 
gabe bildet  in  der  That  bei  derartigen  Untersuchungen  notwendig 
den  Mittelpunkt  des  Interesses  —  einer  späteren  Veröffentlichung 
vor.  Ht. 


L.  ScHBNDBL.     Verschiedene  Darstellungen    der  Besul- 
tante  zweier  binären  Formen.     Schiomiich  z.  xxxiii.  1-13, 

65-77. 

Die  Arbeit  untersucht  die  Resultante  zweier  binären  Formen 
mittelst  einer  besonderen  combinatorisch-symbolischen  Methode, 
welche  vom  Verfasser  bereits  wiederholt  in  frtlheren  Arbeiten 
(vgl.  F.  d.  M.  XIX.    1887.   135)  angewandt  worden  ist. 

Ht. 


E.  d'Ovidio.      Sopra    alcuni    invariant!    di    due    forme 
binarie  degli  ordini  5e2o5e3ein  particulare  sul 

risultaute  di  esse.       Memorie  d.  Soc.  ital.  delle  Scienze   (detta 
dei  XL).  IV. 

FactMhr.  d.  Math.  xz.  1.  9 


I 


130  n.  Abschnitt.    Algebriu 

E.  d'Ovidio.      Sopra  aicuni  invarianti  di  due  forme  bi- 
narie    degli    ordini    5  e  4  e    sul    risultante    di    esse. 

Rom.  Acc.  L.  Mem.  (4)  IV.  607-622. 

Eine  wichtige  Aufgabe  bei  der  Untersuchung  der  Invarianten 
eines  Paares  binärer  Formen  ist  die,  den  Ausdruck  ihrer  Resul- 
tante als  Function  der  fundamentalen  Invarianten  des  Paares  zu 
finden.  Dieselbe  wird  von  Hrn.  d'Ovidio  in  den  beiden  zu  be- 
sprechenden Arbeiten  für  die  Fälle  gelöst,  in  denen  die  eine 
der  Formen  (f)  vom  fünften,  die  andere  (9))  vom  zweiten,  dritten 
oder  vierten  Grade  ist.  Zu  diesem  Behufe  fängt  er  mit  der 
Untersuchung  der  Invarianten  an,  durch  welche  die  Resultante 
auszudrücken  ist  (ihre  Grade  in  den  Coefficienten  der  gegebenen 
Formen  ermittelt  man  aus  der  Betrachtung  der  Grade  der  Re- 
sultante); hierauf  kann  er  den  gesuchten  Ausdruck  mit  unbe- 
stimmten Zablcoefficienten  hinschreiben,  deren  Werte  durch  be- 
sondere Annahmen  über  die  Formen  f,  g>  bestimmt  werden. 
Folgendes  sind  die  auf  diesem  Wege  erreichten  Ergebnisse: 

1.  Die  beiden  gegebenen  Formen  seien 

/"  =  aj  =  6«  =  ..,,  qp  ==  aj  =  /J|  =  ..., 
J  die  Discriminante  von  9,  und  indem  man  unter  7^^«  oder  /„<« 
u.  s.  w.  eine  Invariante  m^*"  Grades   in    den   Coefficienten    von 
/",  /u^*"  Grades  in  denen  von  (p  versteht,  setze  man 

r],  =  (a6r(aa)(6o),     /„  =  (a6)'(«o)'(M)'(«y)(*y), 

Dann  kann  man  als  Resultante  von  f  und  qt  die  Function 

nehmen. 

2.  Sei  f  =  aj  =  6*  =  ...,  qp  =  cfj  =  /?i  =  ...;  man  nenne 
die  Hessiana  ^/  =  JJ  =  ^ii*  =  ...,  P  die  Invariante  von  y. 
Ausserdem  setzen  wir 

t  =r  (abYa^K, 
/.,  =  -(abyCacXbcXcay, 
/,.  =  (aanaßXarXßyy, 

/„  =  {abnaa)ibßXaßyi    r„  =  («6)'(ao)'(6/?)', 
I,,=(aay(bßy(cry(ady(bey(cd(ceyj[,=(aaXianajyCaJ'y; 

!'•,  =  {ac)\aay(bßy(byy(cYXcjy. 


Capitel  3.    Theorie  der  Formon.  131 

Dann  ist  der  gesnehte  Ausdrock  der  Resultante: 

162  P/„  +  2/„(81/„  - 125/;,)  +  8/„  +  243/;.  + 108/;'.. 

3.  Endlich  sei  f  =  a*  =  b*  =  ...,  y  =  «♦  =  /J«  =  ...  Die 
beiden  Invarianten  von  g>  seien  i  und  ij,  ihre  beiden  Gorarianten 
•X  =  ii  =  X'J  =  ...,  d  =  01  =  6'%  =  ...    Ferner  setze  man 

H  =  H*  =  B','  =(a6)*aJ6', 

t  =  t|  =  ii'  =  (abyo,b^, 
/  =  e  =  (ia)uai;  T=n  =  iaB)a*Bl, 

A  =  (aby(edy{ac)(bd), 
A,  =  (abyicd)\aaXbaXcaXda);  I\,  =  (Hiy(Hay, 

'»  =  WO'X)*;  r„ =(ffi)'(ffx)« ;  /;', =-(aO'(a«)'(*«)(W. 

/V;  =  (Bay(Hßy(ißy, 
/;,  =  (ßa)\Hßy(ißy;  r;,  =  (HH'yCHayaH'xy-, 

/':,  =  (flB)Xffr)'(iI)»;  /iv  =  (ffX)«(ffB)»(.a)', 

A»  =  (aa)«(6Ä*(cy)*(rfd)«(ae)(6e)(ceX''e), 
/;.  =  (aX)'(fcAT(ao)(6o)(ia)', 

/';,  =  (Hay(B'ay(Hxy(H'x'y, 

n\  =  (.aayCbßy(BYy{aX)ibX){BX)\ 

/JT  =  (ax)\ix)\ady(iey, 
n,=^(.aey(Td){Tay{rßy. 

Als  Resultante  der  beiden  Formen  /',  tp  können  wir  dann  die 
folgende  Function  nehmen: 

(/«+-^y^':.  +  i6.7/;'.-4.9/';;+^^/jv  +  i6.ii/7.) 

,(      4.7.31        ,     6.23  4.6271  2M1.47      \ 

"*"^        27.5     *•"*"      3        "         9.7      ""^    9.5.7     «V 

/     4.3259.        4. 13*. 239,        4.31733   „      3.13.167     \ 
"^V     9.25.7  "        27.5.7     '*^   27.5.7     "  5.7       "/' 

/ 61. 3491  2.5.17.37   „  \  , 

+V27.25.7    ♦'"•'         81  'V* 

,     8821      . 

+  '93?r^*'- 

Inbetreff  der  anderen  vom  Verfasser  im  Laufe  der  Unter- 
suchang  aufgestellten  Resultate  verweisen  wir  auf  die  Abhand- 
lungen selbst.  La.  (Lp.) 

9* 


132  n.  AbtehoHt    Algebra. 

A.  B.  FoRSYTH.  Systems  of  reduced  simultaneoas  ter- 
nary  forms  equivalent  to  a  given  ternary  form,  which 
involves  several  sets  of  variables.    Qaart.  J.  xxiii.  102-138. 

Wenn  es  sich  um  die  Untersuchung  und  Aufstellung  von 
Invarianten  eines  Systems  von  ternären  Grundformen  handelt, 
welche  mehrere  Reihen  der  Veränderlichen  «,,  a:„  «,  sowie  der 
contragredienten  Veränderlichen  ti,,  ti,,  u,  enthalten,  so  kann 
dieses  Grundformensystem  nach  einem  bekannten  Satze  von 
Clebsch  stets  ersetzt  werden  durch  ein  System  von  Formen, 
welche  nicht  mehr  als  eine  einzige  Reihe  von  Veränderlichen 
jeder  Art  enthalten.  Die  Gesamtzahl  der  unabhängigen  Coeffi- 
cienten  der  Formen  des  letzteren  Systems  muss  notwendig  über- 
einstimmen mit  der  Zahl  der  unabhängigen  Goefficienten  des 
ursprünglichen  Formensystems.  So  besitzt  beispielsweise  die 
Form  Vj^Sg,  neun  Goefficienten  und  das  äquivalente  System  be- 
steht aus  der  Form  r^^^«  mit  sechs  Goefficienten  und  der  Form 
(r^u)  mit  drei  Goefficienten.  Unter  den  Formen  des  äquivalenten 
Systems  können  auch  Formen  auftreten,  welche  der  Differential- 
gleichung 


genügen,  ein  Umstand,  in  Folge  dessen,  wie  man  sieht,  die  Zahl 
der   i  («  +  1)  (»  +  2)  (m  +  1)  (m  -f  2)    willkürlichen   Goefficienten 

der  Form  r"««  sich  um  :J^fi(n-f  l)m(i»  + 1)  vermindert.  So  be- 
steht für  die  Function  rlsy  mit  18  Goefficienten  das  äquivalente 
System  aus  der  Form  r|  s,,  mit  10  Goefficienten  und  der  jener 
Differentialgleichung  genügenden  Form  r^irsu)  mit  9  —  1  =  8 
Goefficienten.     In  derselben  Weise  werden  für  die  Formen 

die  äquivalenten  „reducirten''  Systeme  aufgestellt  und  bezüglich 
der  Zahl  der  in  den  einzelnen  Formen  auftretenden  unabhängigen 
Goefficienten  untersucht.  Ht 


Capitel2.    Theorie  der  Formen.  133 

F.  DiNGBLDEY.  Die  Concomitanten  der  ternäreu  kubischen 
Formen,  insbesondere  der  Form  Xixl—4xl+g2xlx2']-gixl. 

Math.  Aon.  XXXI.  157.176. 

Nachdem  der  Verfasser  der  Uebersieht  halber  eine  ver- 
gleichende ZusammenstelluDg  der  verschiedenen  in  den  Arbeiten 
von  Aronhold,  Cayley,  Clebsch,  Gordan  und  Gundelfinger  ange- 
wandten Bezeichnungen  für  die  invarianten  Formen  der  ternären 
kubischen  Form  gegeben  hat,  werden  sämtliche  34  invarianten 
Formen  (Invarianten,  Covarianten,  Contravarianten  und  Zwischen- 
formen) der  kanonischen  Form  f=x^xl  —  4a?J  +g^xlx^  +  g^ x] 
berechnet,  d.  h.  als  Functionen  von  x^^  x,,  x^]  m^  u^,  u^ ;  ^„  ^3  aus- 
gedrückt. Schliesslich  werden  jene  34  invarianten  Formen  auch 
för  die  specielle  kubische  Form  f  =  ax^xl'-  Abxl  berechnet, 
und  es  wird  gezeigt,  wie  man  mit  Hülfe  gewisser  von  diesen 
Ausdrücken  die  Gleichung  einer  beliebigen  Curve  dritter  Ordnung 
mit  Rückkehrpunkt  in  jene  kanonische  Gestalt  ax^  xl  —  Aibxl  =  0 
transformiren  kann.  Ht. 


F.  Mertens.     üeber  die  invarianten  Gebilde  einer  ter- 
nären  kubischen  Form.       Wien.  Ber.  XCVir.  437-518. 

Die  Arbeit  behandelt  die  zuerst  von  P.  Gordan  mittelst 
symbolischer  Rechnung  erledigte  Aufgabe,  fUr  eine  kubische 
ternäre  Form'  das  System  derjenigen  invarianten  Gebilde  (Inva- 
rianten, Covarianten,  Gontravarianten,  Zwischen  formen)  aufzu- 
stellen, durch  welche  jedes  andere  invariante  Gebilde  ganz  und 
rational  ausdrückbar  ist.  Die  Methode  schliesst  sich  in  der 
Hauptsache  an  diejenigen  Entwickelungen  an,  welche  in  einer 
früheren  Arbeit  (vgl.  F.  d.  M.  Bd.  XIX.  1887.  131)  dem  Ver- 
fasser zum  Beweise  des  Satzes  dienten,  wonach  die  Invarianten 
eines  Systems  von  Grundformen  dadurch  entstehen,  dass  man 
auf  eine  ganze  homogene  Function  der  Coefficienten  der  trans- 
formirten  Grundformen  gewisse  Differentiationsprocesse  so  oft 
anwendet,  bis  das  Resultat  von  den  Substitutionscoefficienten  frei 
wird.*  Die  einzelnen  Schritte  der  Rechnung  sind  durch  die 
folgenden  Ergebnisse  bezeichnet:   Zunächst   wird   gezeigt,   dass 


134  II-  Abschnitt«    Algebra. 

alle  invarianten  Gebilde  der  ternären  kubischen  Form,  mit 
(iijo:,  +  w,a?, -f  iigar,)'"  muUlplicirt,  wo>  den  Exponenten  des  Ge- 
bildes, d.  h.  eine  gewisse  dem  Gebilde  eigene  ganze  Zahl  be- 
zeichnet, als  ganze  Functionen  von  16  besonderen  invarianten 
Gebilden  der  Grundform  darstellbar  sind.  Diese  16  Gebilde 
steigen  in  Bezug  auf  die  Coefficienten  der  kubischen  Form  bis 
zum  7^°  Grade  an.  Hieraus  darf  man  keineswegs  JBchliessen, 
dass  alle  invarianten  Gebilde  der  Grundform  durch  diese  16  Ge- 
bilde in  ganzer  Weise  ausgedrückt  werden  können,  da  es  sehr 
wohl  ganze  Functionen  der  16  Gebilde  giebt,  welche  durch 
u^x^-{'U^x^-\-u^x^  teilbar  sind,  ohne  dass  der  Quotient  wieder 
eine  ganze  Function  jener  16  Gebilde  wäre.  Die  16  invarianten 
Gebilde  werden  ferner  zu  einem  gewissen  Systeme  von  21  in* 
Varianten  Formen  ergänzt,  mit  deren  Hülfe  in  Verbindung  mit 
u^x^^\■u^x^  +  u^x^  nicht  nur  alle  invarianten  Gebilde  vom  flxpo- 
nenten  0,  sondern  überdies  noch*  alle  überhaupt  möglichen  in- 
varianten Gebilde  der  ersten  sieben  Grade  in  ganzer  Weise  zu- 
sammensetzbar sind.  Hieraus  ergiebt  sich  schliesslich  das  volle 
luvariantensystem.  Dasselbe  besteht  im  ganzen  aus  34  invarianten 
Gebilden,  welche  in  Bezug  auf  die  Coefficienten  der  Grundform 
bis  zum  12'^  Grade  ansteigen.  Ht 


J.  Deruyts.     Sur  la  th^orie  des  foniies   alg^briques  k 
un  nombre  quelconque  de  variables.      Beig.  Boll.  (3)  xv. 

951-980. 
C.   Le    PaIGE.      Rapport.      ibid.  935-937. 

Eine  wichtige,  aber  in  Kürze  kaum  zu  besprechende  Arbeit, 
in  welcher  der  Verfasser  die  (bisher  nur  für  die  binären  Formen 
durchforschte)  Theorie  der  Semiinvarianten  und  Semico  Varianten 
auf  Formen  mit  einer  beliebigen  Anzahl  von  Variabein  ausdehnt 

Mn.  (Lp.) 

W.  Gross.  Ueber  dieCombinanten  binärer  Formensy steine, 
welche    ebenen    rationalen    Gurven    zugeordnet  'sind. 

Math.  Ann.  XXXII.  136-150. 


Capitel  2.    Theorie  der  Formen.  135 

Ein  Aaszug  aus  der  Doctordissertation  des  Verfassers,  über 
welche  bereits  in  F.  d.  M.  XIX.  1887.  708  berichtet  worden  ist. 

My. 

G.  Frobeniüs.  üeber  die  Jacobi'schen  Covarianten  der 
Systeme  von  Berührungskegelschnitten  einer  Curve 
vierter  Ordnung.    J.  far  Math.  CHI.  139-183. 

Siehe  Abschnitt  IX.  My. 


H.  Schwarz.     Ein  Beitrag  zur  Theorie  der  Ordnungs- 

tjpen.     DisB.  Halle.  H.  W.  Schmidt. 

Siehe  Abschnitt  VIII.  My. 


K.   E.  J.  Keil.     Covarianten  eines  ebenen  Systems,  be- 
stehend aus  einem  Kegelschnitt  und  mehreren  Geraden. 

Dias.  GieaaeD.  19  8.  49. 


E.  Meyeb.  Die  rationale  ebene  Curve  vierter  Ordnung 
und  die  binäre  Form  sechster  Ordnung.    Königsberg  i.  Pr. 

40  S. 

G.  Battaglini.  Intorno  ad  nn'  applicazione  della  teoria 
delle  forme  binarie  quadratiche  all'  integrazione  dell'e- 
qaazione   differenziale  ellittica.      Atti  della  Reale  Acc.  delle 

Scienze  Fis.  e  Mat.  di  Napoli.  (2)  II.  11  S. 

Abdruck  aus  Batt.  G.  XXIV.  128-140  (Bericht  in  F.  d.  M. 
XVm.  1886.  97-98).  Vi. 

—  -  -.  — 

6.  Battaglini.     Sülle  forme  binarie  bilineari.    Atti  della 

Reale  Acc.  delle  Scienze  Fis.  e  Mat.  di  Napoli.  (2)  II.  14  S. 

Abdruck   aus   Batt.   G.  XXV.  281-297  (Bericht  in  F.  d.  M. 
XIX.  1887.  126).  Vi. 


136  II-  AbschoiU.    Algebra. 


Gapitel  3. 

Elimination  und  Substitution,  Determinanten, 

symmetrische  Functionen. 

J.  ViVANTi.       Ein    Satz     aus    der    Eliminatioustheorie. 

Schlomilch  Z.  XXXIII.  184-185. 

G.  LoRiA.     Zur  Eliminationstheorie.     Schiömiich  z.  xxxm. 

357-358. 

Herr  Vivanti  bildet  aus  /*  =  a^»"»  -^ ,  g  =  b^s^  -{ —  die 

beiden  Gleichungen  b^f—a^g  =  0,  b^nf—a^g  =  0  vom  (m — IJ^ 
Grade  und  gebt  von  diesen  zu  zwei  Gleichungen  (m— 2)**°  Gra- 
des, . . .  auf  dieselbe  Art  über.  Dies  wird  dazu  benutzt,  um 
zwei  Gleichungen  mit  derselben  Resultante  zu  erhalten,  wie  f,  g 
sie  haben,  deren  CoefBcienten  in  gewissen  Coefficienten  a,  b 
linear  sind. 

Herr  Loria  macht  darauf  aufmerksam,  dass  die  Sylvester'- 
sche  Eliminations-Methode  diese  und  allgemeinere  Resultate  ein- 
facher liefert.  No. 

H.  Laurent.     Sur  la  thöorie  de  r^Iimination.    Nouv.Ado. 

(8)  VII.  60-65,  116-119. 

Die  Resultante  A(y)  zweier  Gleichungen  der  Grade  m^n^m 

(1)        <p(x,y)  =  0,    V^(x,y)  =  0 

wird  folgendermassen  gebildet:  Man  bestimmt  die  Reste  von 
ff,  x,q>^  x^q>^  ...,  af^-^q>  durch  xp  und  eliminirt  aus  diesem 
Systeme  a?,  a?',  ...,  aj*~* .  —  Ä(y)  wird  vom  Grade  m .  n  in  y,  und 
jede  rationale  Function  einer  Lösung  von  (1)  wird  in  die  Form 
einer  ganzen  Function  des  Grades  ntfi— 1  einer  Wurzel  von 
A  =  0  sich  bringen  lassen.    Liegt  dann  noch  eine  dritte  Gleichung 

vor,  so  kann  man  dieselbe  Methode  benutzen,  um  y  zu  eliminiren, 
indem    man   x   ^^^  j^^^    Form    bringt,    dann    die  Reste   von 


Gapiiel  3.    ElimiDation  a.  SabBtiiatioo,  DetermiDanten  etc.         137 

X»  y«Xi  y^'X}  •••  y*"""*.X  bildet,  die  bei  der  Division  durch  R 
bleiben,  und  dieses  lineare  System  behandelt. 

Die  bei  mehrfachen  Wurzeln  nötigen  Aenderungen  der  Me- 
thode übergehen  wir. 

In  der  zweiten  Note  wird  angegeben,  wie  man  die  Reste, 
welche  notwendig  sind,  direct  berechnen  kann.  No. 


E.  PoMET.  Sur  le  plus  grand  commun  diviseur  de  deux 
polynömes  entiers.  Nouv.  Add.  (3)  vii.  ee-po,  407-427. 
Es  sollen  die  notwendigen  und  hinreichenden  Bedingungen 
für  die  Existenz  eines  grössten  gemeinsamen  Teilers  zweier 
ganzen  Functionen  aufgestellt,  der  Teiler  und  die  beiden  Quo- 
tienten sollen  berechnet  werden.  Zuerst  wird  die  Euler-Bözout- 
Sylyester'sche  Methode  discutirt,  sodann  die  B^zout-Cauchy'sche. 
Eingehende  Untersuchung  der  hierbei  auftretenden  Determinanten 
and  ihrer  Unterdeterminanten.  Sn. 


R.  Perrin.  Sur  la  relation  qui  existe  eutre  p  fonctions 
enti&res  de  (p— 1)  variables,    c.  r.  CVI.  I7b9-I79i. 

R.  Perrin.  Sur  les  crit^ria  des  divers  genres  de 
Solutions    multiples     communes     k     deux     ^quatious. 

C.  R.  CVII.  22-24. 

R.  Perrin.  Sur  les  eritöria  des  divers  genres  de  Solu- 
tions multiples  communes  k  trois  ^quations  k  deux 
variables,     c.  r  cvii.  219-221. 

Ist  fi  die  Resultante  von  «  =  0,  o  =  0,  ir  =  0,  wobei  die 
absoluten  Glieder  dieser  Functionen  a,  6,  c  sein  mögen,  und 
bezeichnet  man 

so  ist,  wie  sehr  einfach  bewiesen  wird : 


138  n.  Abschuitt.    Algebra. 

Aus  dieser  Formel  werden  manche  interessante  Schlüsse  gezogen. 
Man  kann  sie  z.  B.  nach  den  Variabein  x,  y^  %  diffcrentiiren  und 
erhält  so  neue  Relationen,  die  fttr  die  Eliminationstheorie  nütz- 
lich sind. 

Stellt  man  die  Formel  ftlr  zwei  Fnntionen  ii,  o  einer  Va- 
riabein X  her,  welche  gemeinsame  Factoren  haben,  z.  B. 
u  =  a^ß^n^y  V  =  a^ßo^^  wo  a,  ß  lineare  Factoren  sind^  während 
tij,  Oj  zu  einander  teilerfremde  Polynome  bedeuten,  so  wird 
ft  =  0,  und  daraus  folgt,  dass  rechts  kein  einzelnes  Glied  vor- 
kommen kann,  welches  a  oder  ß  in  niedrigerer  Potenz  enthält, 
als  alle  anderen  Glieder  dies  thun.  Daraus  folgt  R^^  =  B^^ 
=z  R^^  =  Ä^j  =  Äj^  =1  Äjj  =  0;  das  Verschwinden  der  ersten 
5  Werte  folgt  schon  aus  dem  Lagrange'schen  Theorem-,  R^^  =0 
ist  neu.  Die  oben  erwähnte  Differentiation  nach  x  liefert  noch 
3äJ,  — 4Ä,oÄ„  =  0.  In  einer  Tabelle  werden  für  u  =  a'ß^u^, 
f)  =  af'ß^v^  bis  zu  x  +  A  =  4,  ^-f  v  =  4  die  entsprechenden  'Re- 
sultate angegeben. 

Die  dritte  Note  behandelt  den  Fall  von  3  Polynomen  u^  o,  w 
in  Xy  y\  aus  der  Formel  werden  die  Bedingungen  dafür  abge- 
leitet, dass  u  =  0  durch  eine  gegebene  Anzahl  der  gemeinsamen 
Punkte  fttr  0  =  0,  to  =  0  geht..  Es  zeigt  sich:  Teilt  man  die 
rechte  Seite  der  Gleichung  in  homogene  Gruppen  nach  u,  o,  tr, 
dann  ist  die  Gruppe  niedrigsten  Grades  mit  nicht  verschwinden- 
den Coefficienten  in  9  lineare  Factoren  zerlegbar,  welche  bez. 
den  9  gemeinsamen  Punkten  der  drei  Curven  entsprechen. 

No. 


E.  Netto.     Untersuchungen  aus  der  Theorie  der  Sub- 
stitutionen-Gruppen.    J.  für  Math.  Olli.  321-336. 

Der  Verfasser  geht  von  der  Bemerkung  aus,  dass  das  Haupt- 
ergebnis einer  Arbeit  von  Hrn.  Frobeuius  (J.  für  Math.  CI)  als 
eine  bedeutsame  Verallgemeinerung  einer  früher  von  ihm  auf- 
gestellten Formel  aufzufassen  sei,  und  sucht  nun  umgekehrt  wie- 
der über  den  Inhalt  der  Frobenius'schen  Arbeit  hinauszugehen. 

Dahin  gehört  zuvörderst  der  Satz,   dass  das  fc- fache  aller 


Capiiel  3.    Bliminatioo  u.  SabstitatioD,  Determinaüten  etc.         139 

Cykel  fc^  Ordnung,  die  in  einer  beliebigen  Gruppe  H  vorkommen, 
ein  Vielfaches  der  Ordnung  4  der  Gruppe  ist.  Herr  Frobenius 
hatte  sich  auf  den  Fall  &  =  1  und  transitive  Gruppen  beschränkt. 
Daran  schliessen  sich  Fragen  der  Art,  wann  die  Anzahl  aller 
Substitutionen  aus  n  Elementen,  welche  keinen  Cyklus  von  k  Ele- 
menten besitzen,  durch  k  teilbar  ist.  Dazu  muss  k  eine  Prim- 
zahl sein.     Das  Verhältnis   der   eben   erwähnten  Anzal^l  zu  n! 

nähert  sich  mit  wachsendem  n  einem  eigentQmlichen  Grenzwert, 

i_ 
nämlich  e^  u.  s.  f.  • 

Im  besonderen  geht  der  Verfasser  zuletzt  auf  Gruppen  ein, 

deren  Ordnung   die  Potenz   einer  Primzahl  p   ist.      Das  Haupt- 

resultat   ist   hier,    dass  jede  Gruppe  der  Ordnung  p^  und  des 

Grades  p^  eine  Untergruppe  der  Ordnung  p^~~^  besitzt.     Bei  Hrn. 

Frobenius  war  wiederum  der  Satz  bereits  fQr  transitive  Gruppen 

bewiesen  worden.  My. 

L.  Sylow.     Sur  les  groupes  transitifs  dont  le  degrö  est 
le  carr6  d'un  nombre  premier.     Acta  Math.  XI.  201-206. 

Herr  Sylow  bat  gezeigt  (Math.  Ann.  V),  dass,  wenn  p'"  die 
höchste  Potenz  der  Primzahl  p  ist,  welche  die  Ordnung  einer 
Gruppe  G  teilt,  diese  Ordnung  von  G  gleich  p^'/r  (np-f  1)  ist, 
wo  n  durch  p  nicht  geteilt  werden  kann;  dass  ferner  G  eine 
Gruppe  H  der  Ordnung  p"^^  enthält  und  diese  eine  dritte  Gruppe 
/  der  Ordnung  p*^;  dass*  endlich  die  Anzahl  solcher  in  G  ent- 
haltenen Gruppen  der  Ordnung  p"*  gleich  (tip  -{- 1)  ist.  Diese 
Zahl  allgemein  zu  ermitteln,  wäre  von  Wichtigkeit.  In  der  vor- 
liegenden Arbeit  wird  das  Problem  für  den  Fall  gelöst,  in 
welchem  der  Grad  der  Gruppe  p'  ist;  die  Formen  von  J,  H 
werden  bestimmt;  die  Grösse  der  Zahl  n  unteräucht;  es  werden 
hieraus  Folgerungen  gezogen,  die  sich  auf  die  Primitivität  und 
die  Nicht-Primitivität  von  Gruppen  stützen.  No. 


H.  Maschke.  Ueber  eine  quaternäre  Gruppe  von  51840 
linearen  Substitutionen,  welche  die  ternäre  Hesse'scbe 
Gruppe  als  Untergruppe  enthält.     Gott.  N.  78-86. 


140  n*  Abschnitt.    Algebra. 

Es  handelt  sich  um  eine  zuerst  von  Herrn  Witting  besprochene 
Gruppe,  deren  erzeugende  Substitutionen  in  sehr  einfacher  Form 
gegeben  werden.  Für  die  in  ihr  enthaltene  ternäre  Hesse'sche 
Gollineationsgruppe  wird  das  volle  Formensystem  aufgestellt, 
welches  sich  aus  fünf  Formen  zusammensetzt.  Ebenso  wird  f&r 
die  Gesamtgruppe  dasselbe  Resultat  erreicht,  hinsichtlich  des 
Beweises  aber  auf  eine  spätere  Mitteilung  verwiesen.         Ko. 


A.  Cavley.     On  the  theory  of  groups.      American   J.    XL 

139-157. 

Die  Arbeit  giebt  fQr  die  Gruppen  von  n  Permutationen, 
denen  n  Dinge  unterworfen  sind,  eine  graphische  Darstellung. 
Jedem  Dinge  wird  ein  Punkt  in  der  Ebene  zugeordnet  und  jede 
Substitution  wird  dargestellt  durch  einen  die  n  Punkte  verbin- 
denden  Weg  von  bestimmter  Farbe,  welcher  aus  einem  oder  aus 
mehreren  geschlossenen  Polygonen  besteht,  je  nachdem  die  dar- 
zustellende Substitution  eine  cyklische  ist  oder  sich  in  mehrere 
cyklische  Substitutionen  zerlegen  lässt.  Durchläuft  man  einen 
Weg  von  bestimmter  Farbe  in  entgegengesetzter  Richtung,  so 
erhält  man  die  reciproke  Substitution.  Es  werden  nun  bis  zu 
91  =  12  die  in  Rede  stehenden  Permutationen  derart  untereinander 
geschrieben,  dass  die  n'  Buchstaben  die  Felder  eines  Quadrates 
ausfüllen.  Hieran  schliesst  sich  die  Ausführung  der  Zeichnungen 
für  die  einzelnen  Fälle.  Ht 


G.  FoGLiNi.     Delle  sostituzioni  e  della  loro  applicazione 
delle  equazioni  algebriche.      Rom.  Acc.  Pont.  d.  H.  L.  Mem. 

III.  3-90. 

Die  Abhandlung  liefert  nicht  das  Mindeste  an  neuen  Metho- 
den, Anschauungen,  Resultaten.  Es  ist  eine  Zusammenstellung 
der  elementaren  Eigenschaften  der  Substitutionen  nebst  der  An- 
wendung auf  die  Gleichungen  der  Grade  2,  3,  4.  No. 


Capitei  8.    EUmiDatloD  n.  SnbstitotloD,  Determinanten  eto.         141 

E.  GouRSAT.     Sur  les   Substitut! ons  orthogonales  et  les 
diTisions  rdguli^res  de  l'espace.   c.  r.  OVI.  1786-1789. 

Jeder  linearen  Substitution  von  vier  Variabein,  welche  eine 
quadratische,  homogene  Form  unverändert  lässt,  kann  man  eine 
lineare  Substitution  einer  gewissen  Form  entsprechen  lassen, 
derart,  dass  die  Aufsuchung  der  linearen  orthogonalen  Substitu- 
tionsgruppen endlicher  Ordnung  von  vier  Variabein  sich  auf 
diejenigen  linearen  Substitutionen  von  jener  Form  zurückführen 
lässt.  Jeder  solchen  endlichen,  orthogonalen  Substitutionsgruppe 
kann  man  eine  regelmässige  Einteilung  des  Raumes  in  eine  end- 
liche Anzahl  von  Regionen  zuordnen.  Diese  können  zu  den 
regulären  Figuren  im  Räume  von  vier  Dimensionen  in  Beziehung 
gesetzt  werden.  No. 

C.  Clapibr.     Solution. 

L.  Lew.     Note  d'algfebre.     J.  de  Math«  spec.  (3)  n.  249-252, 

274-275. 

Der  einfachste  Fall  eines  Noether'schen  Satzes  über  die 
Schnittpunkte  zweier  Curven  wird  in  der  ersten  Arbeit  falsch, 
in  der  zweiten  richtig  bewiesen.  No. 


B.  Marggrafp.     üeber  primitive  Gruppen  mit  transitiven 
Untergruppen  geringeren  Grades.   DiBs.  Gieseen.  3i  8.  8o. 


Th.  Muir.     The  theory  of  determinants  in  the  historical 
Order  of  development.     Bdinb.  Proc.  XV.  481-544. 

Fortsetzung  früherer  Abhandlungen  (vgl.  F.  d.  M.  XVIII. 
1886.  111,  XIX.  1887.  145).  Der  vorliegende  Teil  beendigt  die 
Besprechung  von  Gauchy's  Arbeit  aus  dem  Jahre  1812.  Nach 
einer  kurzen  Rückschau  auf  die  Periode  von  1693-1812,  w&hrend 
welcher  nach  des  Verfassers  Bemerkung  fast  jeder  bedeutungs- 
volle Fortschritt  von  französischen  Mathematikern  herrührt,  und 
hinter  einer  synoptischen  Tabelle,  welche  die  allmählichen  Fort- 


142  I(.  AbMkäitt.    Algtbra. 

schritte  in  der  Theorie  w&hrend  dieser  Periode  anfweist,  fährt 
der  Verf.  in  der  Besprechung  der  Abhandlungen  und  Schriften 
fort,  verfasst  von  Gergonne  (1813),  Wronski  (1815),  Desnanot 
(1819),  Cauchy  (1821),  Scherk  (1825),  Schweins  (1825),  Jacobi 
(1827).  Cly.  (Lp,) 

Th.  Muir.     An  incorrect  footnote  and  its  consequences. 

Natore  XXXVII.  246-247.  438-439 
R.    COPBLAND.      Nature  XXXVII.  343-344. 

In  den  fünf  Auflagen  von  Baltzer^s  Determinanten  pag.  1 
wird  eine  Schrift  „Demonstratio  eliminationis  Cramerianae"  dem 
Mollweide  zugeschrieben.  Dieselbe  ist  ohne  Bezeichnung  des 
Verfassers  mit  dem  Titel  erschienen  (Leipzig  1811):  Ad  memoriam 
Eregelio-Sternbachianam  in  auditorio  philosophorum  die  XVIII. 
Julii,  MDGCCXI.  h.  IX.  celebrandam  inyitant  ordinum  Acade- 
miae  Lips.  Decani  seniores  caeterique  adcessores  —^Demonstratio 
eliminationis  Gramerianae'.  Ihr  Verfasser  ist  aber  nicht  Mollweide 
sondern  De  Prasse.  .  Lp. 

F.  A.  y  C.  M.  MoKALKS.     Teorla  elemental  de  las  deter- 
minantes  y   sus   principales  aplicaciones  al  algebra  y 

la  geometrfa.       Buenos  Ayres.  M.  Biedona. 

Anzeige  in  Nature  XXXVIIL  537-538. 


Th.    Muir.       Nomenclature     in     determinants.       Natur« 

XXXVIII.  589. 

Der  Verfasser  tritt  mit  Bezug  auf  die  Anzeige  des  Toran- 
gehenden  Werkes  für  Beibehaltung  der  alten  gebräuchlichen 
Namen  ein  und  spricht  sich  gegen  unnötige  Einführung  neuer 
Benennungen  aus.  Lp. 

A.  PowEL.    Anwendung  der  Determinanten  in  der  Schale. 

Pr.  Realgymn.  Gambinneo. 

Darstellung  ohne  besondere  Eigentümlichkeit.  No. 


Capttel  3.    EHmlDatloD  n.  6abatHnt{on>  PetermtDanten  eto.  143 

W.  Thomson.     Introduction  to  deteiminants,   wlth  nu- 
merous  examples.     Bdiobargh. 


W.  ScHKiBNER.     Mathematische  Bemerkungen.    Leipz.Ber. 

1-13. 

Diese  BemerkuDgen  sind  AaszQge  aus  Briefen  an  R.  Baltzer; 
sie  beziehen  sich  auf  dessen  „Determinanten*' -Buch  sowie  die 
„allgemeine  Arithmetik"  und  geben  eine  Reihe  von  Zusätzen, 
Veränderungs-  und  Verbesserungs- Vorschlägen.  No. 


F.  J.  Stüdnicka.      Neue  Ableitung  des   dritten    Funda- 
mentalsatzos  der  Determinantentheorie.    Casop.  xvir.  193. 

(Böhmiscb.) 

Wenn  man  den  Laplace'schen  Zerlegungssatz  als  erstes, 
die  Multiplicationsregel  als  zweites  Haupttheorem  der  Lehre  von 
den  Determinanten  hinstellt,  so  bildet  die  Formel,  welche 
das  Verhältnis  von  gegebenen  Determinanten  und  zugehörigen 
Subdeterminanten  zum  adjungirten  System  ausdrückt,  den  dritten 
Fundamentalsatz.  Sowie  nun  der  zweite  Satz  direct  aus  dem 
ersten  (nach  Gordan),  ebenso  wird  der  dritte  aus  dem  zweiten 
abgeleitet,'  wohingegen  derselbe  in  vorliegender  Abhandlung  ohne 
Verwendung  des  Multiplicationstheorems  und  zwar  auf  Grund- 
lage einer  vom  Verfasser  früher  (siehe  F.  d.  M.  XII.  1880.  114) 
gelieferten  Transformationsformel  unter  Zuhilfenahme  des  ersten 
Hanpttheorems  entwickelt  wird.  Std. 


B.  J.  Claskn.  Sur  une  nouvelle  m^thode  de  r^solntion 
des  öquations  unfaires  et  sur  lapplication  de  cette 
methode  au  calcul  des  d^terminants.     Broz.  S.  sc.  XIIB. 

251-281. 
P.   MaNSION.      Rapport,      ibid.  A.  50-59. 

Aus  den  beiden  ersten  Gleichungen  (1,),  (1,),  (la),(l4),  (IJ: 
(10        OiX  +  hiy  ^  Ci%  +  diU  +  e<c  =  /< 


144  If-  Abaohnitt.    Algebra. 

erhält  man,  wenn  man  a,&,  — a,bj  =  (ab)  setzt: 

(2,)        (ab)y  +  (ac):i  +  (od)  «  +  (ae)ü  =  (nH, 
danach : 

(2,)        —(ab)x  +  (bc)%  +  (bd)u  +  (be)f>  =  (bß. 
Aus  (2,),  (2,),  (1,),  danach  aus  (3.)  und  (2,),  aus  (3,)  und  (2.) 
eitet  man  her: 

(3,)        (afcc)»  +  (abd)u  +  (abc)o  =  (oft^, 

(3,)     -  (abc)y  +  (acd)u  +  {aee)v  =  {acf^^ 

(3,)        (a6c)x  +  (bcd)u  +  (6cOt>  =  (6cf), 

wo  (abc)  die  Determinante  IS'+a,6,c,  bedeutet.     Aus  (IJ,  (3,), 

(3,)f  (SJ    eliminirt    man    leicht    o;,  y,  «   und  findet,    wenn  man 

-i«,  6,^,^4  =  (a6cd)  setzt: 

(4J  (aAcd)  M  4-  (aftce)©  =  (abcf)^ 
u.  8.  w.  Alle  Eliminationen  erfolgen  durch  Addition  und  Sub- 
traction  bei  der  Aufsuchung  der  Gleichungen  (2,),  (3,),  (4^), ...; 
sie  gelingen,  weil  die  Goefficienten  der  aus  den  Gruppen  (2), 
(3),  (4)  zu  eliminirenden  Unbekannten  gleich  sind.  Die  Elimi- 
nation, welche  die  Gleichungen  (2,),  (3J  und  (3,),  (4,),  (4,)  und 
(4,)  giebt,  geschieht  auch  durch  Addition  und  Subtraction,  aber 
ausserdem  schafft  man  durch  Division  einen  nutzlosen  Factor 
fort,  der  bei  den  Rechnungen  auftritt.  Dies  beruht  auf  dem 
Satze  (^abc  ...  gkl)  {abc  ...  gh)  =  (abc  ...  gk)  (abc  ...  9O  — 
{abc  ...gl)  (abc  . . .  ghk). 

Bei  dieser  Art  der  Darstellung  der  Lösung  der  linearen 
Gleichungen  sind  alle  Rechnungen  umkehrbar,  so  dass  die 
Verification  der  Endwerte  nicht  nötig  ist,  wie  in  dem  Falle,  wo 
man  die  Determinanten  anwendet.  Die  Erörterung  der  F&lle 
der  Unvereinbarkeit  und  der  Unbestimmtheit  macht  sich  ganz 
natürlich.  Unter  dem  praktischen  Gesichtspunkte  ist  die  neue 
Methode  oder  die  „Methode  der  gleichen  Goefficienten"  forder- 
licher als  die  gewöhnliche  Methode.  Sie  liefert  ausserdem  das 
Mittel,  eine  beliebige  Determinante  schneller  als  durch  Zerlegung 
in  Unterdeterminanten  zu  berechnen.  Hr.  Glasen  verwendet  zur 
Darstellung  seiner  Theorie  die  Methode  der  unbestimmten  Goeffi- 
cienten, ohne  auf  die  Determinanten  zurückzugreifen. 

Mri.  (Lp.) 


Capitel  3.    BliminatioD  n.  SabstitatioD,  Determioanten  etc.         145 

A.  8.  Flirt.     A  brief  control  for  general  Solutions  of 
normal  equations.     Aod.  of  Math.  IV.  182-185. 

Von  den  „NoriDalgleichungen"  der  Ausgleichungstheorie  wird 
hier  nur  der  Umstand  gebraucht,  dass  ihr  Coefiicienten- System 
symmetrisch  ist.    Findet  dies  bei 

statt,  so  wird  als  Kontrolle  der  aus  der  Determinantentheorie  so- 
fort ersichtliche  Satz  verwendet 

n  =  2!^xxOxX' 


x,A 


No. 


A.  H.  Anglin.      On   certain  theorems  mainly  connected 

with   alternantS   (IT).     Edinb.  Proc.  XV.  381-396. 

Fortsetzung  eines  früheren  Aufsatzes  über  denselben  Gegen- 
stand in  Edinb.  Proc.  XIII.  (F.  d.  M.  XVIII.  1886.  115). 

Cly.  (Lp.) 

A.  H.  Anglin.     Alternants  which  are  constant  roultiples 
of  the  difiPerence-product  of  tbe  variables.     £diub.  Proc. 

XV.  468-476. 

Bezweckt  eine  Verallgemeinerung  gewisser  in  der  voran- 
gebenden Abhandlung  enthaltenen  Sätze  betreffs  ganzer  Func- 
tionen allein.  Cly.  (Lp.) 

Th.  Mdir.     On  a  simple  class  of  alternants  expressible 
in  terms  of  simple  alternants.    Edinb.  Proc.  XV.  298-308. 

Bezieht  sieh  auf  Determinanten  von  etwas  allgemeinerer 
Form  als 

9>(ö),    x(o),    ... 

9>(*),    X(6),     ... 

•  .         • 

a  .  • 

auf  welche  der  Käme  „Alternanten"  bisher  beschränkt  worden 
ist  Cly.  (Lp.) 

Fortadir.  d.  Math.  XX.  1.  10 


l 


146  If*  Abschnitt    Algebra. 

Th.  Muir.      On    vanishing  aggregates   of   determinants. 

Bdinb.  Proc.  XV.  96-105. 

Der  Artikel  bezieht  sich  auf  eine  Abhandlung  von  Herrn 
Eronecker:  „Die  Subdeterminanten  symmetrischer  Systeme" 
(Berl.  Ber.  1882.  821-824,  F.  d.  M.  XIV.  111),  ferner  auf  Ar- 
beiten der  Herren  Runge,  Mehmke  und  Sehende).  Es  werden 
mannigfaltige  Beispiele  von  identisch  verschwindenden  Summen 
von  Subdeterminanten  gegeben.  Als  ein  Beispiel  diene  das 
Theorem  7 :  Aus  irgend  zwei  Determinanten  n^'  Ordnung  Ä  und 
B  bilde  man  zuerst  ein  System  von  n  Determinanten,  von  denen 
jede  in  einer  Zeile  mit  A  und  in  den  übrigen  mit  B  tiberein- 
stimmt, danach  ein  zweites  System,  in  welchem  jede  in  einer 
Zeile  mit  B  und  in  den  Übrigen  mit  A  übereinstimmt,  dann  ist 
die  Summe  der  Determinanten  des  ersten  Systems  gleich  der- 
jenigen des  zweiten.  Cly.  (Lp.) 


G.  LoRiA.     Nota  SU  una  classe  di  determlnanti.    Bau.  o. 

XXVI.  329-333. 

Es  tverden  die  Werte  der  Determinanten  bestimmt,  die  aus 
der  Matrize  entstehen: 

■*)  '^n  '^n    i»  •  •  •  1  '^i 
*»  '*'«)  '*'>»  ^i^  '••?"'« 


"■■1  '^«j  ""«j  '^m  •  •  •)  '''-• 


No. 


A.  Tarleton.  On  a  new  method  of  obtaining  the  con- 
ditions  fulöUed  when  the  harmonic  deterrainant  equa- 
tion  has  equal  roots.     Dublio  Proc.  (3)  l.  io-i5. 

Die  Determinante  J  =  |pa  — i//*|  (»?*  =  1, 2, 3, ...,  fi)j8t 
die  Discriminante  von  U—XV^  wo  I/und  K zwei  Formen  zweiten 
Grades  von  n  Veränderlichen  sind.  Wenn  V  immer  positiv  ist, 
kann  es  durch  eine  lineare  Transformation  als  die  Summe  der 
Quadrate    der   n  Veränderlichen  ausgedrückt  werden.    Wird  ü 


Capitel  3.    Elimination  n.  Sabstitation,  Determinanten  etc.        147 

in  eine  Fanction  dieser  selben  Veränderlichen  transformirt,  so 
wird  die  Determinante: 

ji         Pij»  Pji — *i  ''-i  P^n 

J  =       ,  .            .       . 

•  •  •       • 

•  •  •       • 

pl«)  P7ni  '••1    P<m — ^ 

Setzt  man  in  dieser  Determinante  Pn  ^-^ifPtt  — -^s) ...  an  die 
Stelle  von  Pi,  — A,p„— i,  .-.,  indem  unter  ^,,-<^„...  Func- 
tionen von  l  verstanden  werden,  so  gehe  üf  in  ii'  über.    Somit: 

dl  ~dui,     dl   +ö^,    dl    ^•••' 

welche  Gleichung  unter  der  Voraussetzung  ^,  =  ^,  =  . . .  =  A 
flbergeht  ia: 

wenn  man  mit  Jn  in  bekannter  Weise  die  Unterdeterminanten 
von  ^  bezeichnet.  Nun  wird  durch  die  Betrachtung  des  Systems 
Ton  n  linearen  Grleichungen 

Pu«i+P2t«»H Kp**— ^)«tH f-Piu«»  =  0   (*  =  1, 2,  ...,ii) 

gezeigt,  dass,  wenn  l  eine  Wurzel  von  J  =  0  ist,  alle  Determi- 
nanten Jkk  dasselbe  Zeichen  haben;  ist  also  ihre  Summe  Null, 
so  moss  jede  einzelne  Null  sein.  Mithin  muss  für  eine  zweifache 
Wurzel  von  //  =  0  jede  Unterdeterminante  von  J  verschwinden. 
Die  Untersuchung  lässt  sich,  wie  gezeigt  wird,  leicht  auf  den 
Fall  von  m  gleichen  Wurzeln  ausdehnen.  *Gb8.  (Lp.) 


Marchand.     Discussion  de  V^quation  en  s.     Nouv.  Ann.(3) 

VIL  431-435. 

Es  handelt  sich  um  die  Gleichung 

F(s)  =  \a„i-€^xs\  =  0. 
Der  ausgesprochene  Satz    ist   aber,  wie  die  allgemeine  Theorie, 
ebenso  wie  einfache  Beispiele  zeigen,    falsch,    dass  nämlich  die 
Existenz  einer  mehrfachen  Wurzel  von  F($)  =  0  das  Verschwin- 
den von  Unterdeterminanten  nach  sich  ziehen  soll.  No. 

10* 


148  I^  Absciinitt.    Algebra. 

Wkill.     Sur  une  forme  du  däterminant  de  Vnndermonde. 

Nouv.  Ann.  (3)  VII.  427-429. 
Es  ist 

wenn    Sp  die  Summe  der  Producte  von  je  p  der  Grössen 
bedeutet.  No. 

Raimondl     Un   teorema   sui  determinanti  di  differenze. 

Batt.  O.  XXXI.  185-187. 

Die  Zeilen  einer  Determinante  n^  Ordnung'  werden  so  be- 
stimmt, dass  die  erste  Zeile  die  Glieder  einer  arithmetiscben 
Reibe  (n—  1)^^  Ordnung  sind,  die  zweite  die  Glieder  jlirer  ersten 
Differenzenreihe,  u.  s.  f.,  die  letzte  die  Constanten  Glieder  c  der 
(yi  — l)^^**  Differenzenreihe;  dann  ist  der  Wert  der  Determinante 
gleich  c"+'.  No. 

K.  Weihrauch.      Ueber  gewisse   Determinanten.     Schio- 

milch  Z.  XXXIII.  126-128. 

Es  werden  die  Werte  von 
Cjy  =  I  l,cosxit,8inirfcjCOs2xjb, sin2a?jt, ...,  sin(y  —  l)^*,  cosy^Ti^  |, 
Sfy  =  I  l^cosxk^s\nxk^coi2xjc^  sin2a;jk, ...,  sin  (v  —  1)«^,  sinyxib  | 
bestimmt.    Bezeichnet  man 


so  ist 


2»'— 1    2v  «.. «.  8r 

P,,  =  n    17  sin    \    *,  a  =  £x^ 


a  =  (~  1)'2«''^»''+'  P,K .  Bin  -|-, 
Si,  =  (-l)'->2*'''-»''+»/'a,.C08-J-. 


No. 


F.  G.  Teixbiba.    Demonstration  d'une  formule  de  Waring. 

Noav.  ADD.  (3)  VII.  882-384. 

Die  bekannte  Waring'sche  Formel  wird  nach  einer  von  Hm. 
M.  d'Ocagne  benutzten  Methode  abgeleitet.  No. 


Capitel  3.    ElimiDatioo  u.  Sabstitation,  DetormiDanteo  eto.        149 

J.  MoucHBL.     Correspondance.     Noav.  Add.  (3)  vir.  400. 
Es  sei  i^aa  =  $kn  dann  ist 

|,4-2a«|  =  (-l)-»2»-^  (11-2).  I  ort].    (t,k  =  l,...,n). 

No. 

J.  Hekmks.     Determinanten   bei    wiederholter  Halbirung 
des  ganzen  Winkels.     Hoppe  Arch.  (2)  vi.  276-293. 

Es  sei  a  =  27^:2*"  und 

« 

Dy  =  |cos(Ä.i.Ä)I,    (x,A  =  1,3,5, ...,  (2*^-2 -1)), 

dann  ist  D^  für  v^3  eine  Potenz  von  2,  verschwindet  aber  für 
den  doppelt  so  grossen  Wert  des  Winkels.     Es  findet  sich 

Dy  =  (2'^-*)3'"*.  No. 


6.  Brunsl.      Sur    les    raoines    des   matrices  z^roidales. 

0.  R.  OVI.  467-470. 

Die  n^  Wurzel  aus  der  zeroidalen  Matrize  kann  als  lineare 
Function  von  |ii(n  — 1)  Matrizen  angesehen  werden,  deren  Ele- 
mente ^n(it— 1)  Constanten  enthalten;  ebenso  viele  Constanten 
treten  als  Coefficienten  der  linearen  Function  auf.  Es  werden 
einige  Eigenschaften  der  constituirenden  Matrizen  abgeleitet. 

No. 

A.  KuMAMOTO.     Zur  Theorie  der  „Matrices*    Tokio  Math. 

Ges.  III.  153-161.    (Japanisch.)  E. 


A.  BucBHBiM.     Note  on  matrices  in  involution.    Mose.  (2) 

XVIII.  102-104. 

Nimmt  man  zwei  Matrizen  n^'  Ordnung  a  und  b,  so  sind 
die  11*  Producte  von  der  Form  a*b^  im  allgemeinen  asyzygetisch. 
Sind  sie  aber  syzygetisch,  so  sagt  man,  a  Und  b  seien  in  Invo- 
lution. Diese  Definition  rührt  von  Hrn.  Sylvester  her;  derselbe 
hat  den  Satz  ausgesprochen,  die  notwendige  und  hinreichende 
Bedingung  daftlr,  dass  zwei  Matrizen   in  Involution    stehen,  sei 


150 


IT.  AbachDÜt.    Algebra. 


die,  dass  ein  latenter  Punkt  (vgl.  F.  d.  H.  XVII.  1885.  108)  der 
einen  in  dem  («— 1)-Punkte  liegen  mOsse,  welcher  durch  n  —  1 
der  latenten  Punkte  der  anderen  bestimmt  ist.  Zweck  der  gegen- 
wärtigen Notiz  ist  eS;  diesen  Satz  direct  zu  beweisen. 

Glr.  (Lp.) 

W.  J.  C.  Sharp,   D.  Edwardks.     Solution   of  qucFtion 

8940.     Ed.  Times  XLIX.  133-136. 

Es  sei 
S     =  o«'  +  by*  +  ca'  +  2/yÄ + 2mzx  +  2nxy+2pxu>  '{-2qyw  +2nu>^ 
P,„  =  ax,x^  +  6y,y,  +  ca,»,  +  /(y,»,  +  a,y,)  -f  •  •  • , 
so  ist 


Vi  y,  y, 

».       ».      «3 
IT,    IT,   fO, 


«  +  •..-[.  2L 


Ä,     Ä,     Ä, 

• 

»1 ».  »1 

ar,    sr,  «, 

W,  U>,  IT, 
Xj    «,    X, 


+ 


Vi  STf  yt 

wo  il, ...,  L, ...  die  ersten  Unterdeterminanten  der  Discriminante 
von  S  sind.  Lp. 


W.  J.  C.  Sharp,    D.   Edwardks.      Solution   of  question 

8970.      Ed.  Timee  XLIX.  136-138. 

Man  bezeichne  mit  X,  Y,  Z,  TT,  U  die  aus  der  Matrize 

I  X^yx^MtCn  Wx  I  (x  =  1,  2,  3,  4) 

hervorgehenden  Determinanten,  mit  F,(x  =  1,2,3,4)  die  Werte 
der  quinären  quadratischen  Form  K,  wenn  statt  (^,y,2,cP)«)  in 
V  gesetzt  wird  (j^x^yx,»»,«?»,««);  ferner  werde  S,,,  für 


i('^.-:^+y.^ +  •••)»'. 


(^J?. 


gesetzt,  so  ist 


^y» 


i<i 


l>S 


1)3 


I «I  1*4 

1*3  3«4 


S...      »^s 


Si4 


=  ^x»4-By'+ 


^1.4       Sj.«        ^1,1        ^4 

wenn  A,  B, . . .  die  ersten  Unterdeterminanten  von   V  sind. 

Lp. 


Capitel  3.     Blimioation  a.  SabstitatiOD,  DetermiDaDten  etc.        151 


8.  DiCKSTBiN.  Ueber  die  Eigenschaften  und  einige  An- 
wendungen der  Wronßkinne.  Prace  mat.-riE.  I.  5-25.  (Pol- 
nisch.) 

Eine  Wronskiane  heisst  nach  Muir  (A  Treatise  on  the 
Theory  of  Determinants,  1882.  S.  224)  die  von  Wrenski  in  die 
Wissenschaft  eingeführte  und  später  mehrfach  von  anderen  unter- 
suchte Differentialdeterminante 


y^.'^ 


yy' 


yi" 


j,f-0      yU-.) 


y(-.) 


C^M  y>»  •  •  -j  y«  ß'^d  Functionen  von  x  und  yW  =  -tt^)- 

Die  Schrift  enthält  eine  ausführliche  Darstellung  der  wichtigsten 
Sätze  Aber  diese  Determinante  und  ihre  Anwendungen  auf  die 
Theorie  der  linearen  Differentialgleichungen.  Dn. 


T.-J.  Stibltjes.     Sur  une  g^n^ralisation  de  la  formale 
des  aecroissements  finis.    S.  M.  F.  Ball.  XVI.  loo-iis. 

Bezeichnet  man  mit  f,  g^  h^  h  vier  reelle  Functionen,  welche 
selbst  ebenso  wie  ihre  ersten,  zweiten  und  dritten  Ableitungen 
endlich  und  stetig  sind,  und  benennt  man  den  Quotienten 


1  xx^  x^ 

1    »  iS'  Ä* 

1  /  /'  /» 


=  ^, 


/■(*)  9(^)  AC«)  K^) 
m  9(y)  h(y)  k(y) 
/•(O     j7(0     Ä(*)     Ä(^) 

m  9(0  Ko  Aco 

so  ergiebt  sich  für  diesen  Quotienten  der  Wert 

f(x)      g(x)      h(x)      k(x) 

r(i)   9'a)   Ä'(5)  Ä'(ö 

r'M     9'Xi)      h\ri)    A"(i7) 

r"co  i?'"(ö  Ä'"(ö  *'"(?) 

Hieraus   werden   weitere   Schlüsse   für   den  Fall  gezogen,    dass 
ar,  y,  s,  t  sich  derselben  Grenze  a  nähern.  No. 


A  = 


1 


11213! 


a?<§  <  y 

«<  J7  <  a 


152  IT.  Absohnitt.    Algebra. 

E.  C.  Valentiner.  Om  Betingelserne  for,  at  der  mellem 
tre  hele  rationale  Polynomier,  der  ene  homogene  af 
fiamme  Grad  i  tre  Variable  findes  en  identisk  Ligning. 

Zeuthen  Tidsa.  VI.  (5)  49-52. 

Sind  /■„  ^„  f,  drei  homogene  Polynome  «*•"  Grades  der 
Variabein  a^:x^:  a;„  so  besteht  die  notwendige  und  hinreichende 
Bedingung  dafür,  dass  zwischen  ihnen  eine  identische  Gleichung 
vorhanden  ist,  in  dem  identischen  Verschwinden  ihrer  Jacobi'schen 
Function.  V, 

S.  Tebay,  D.  Edwardes,  Prince  de  Polignac.     Solution 

of  question    9325.     Ed.  Times  XLIX.  79. 

Sind  AjBjC  die  Flächenwinkel  an  der  Basis  eines  Tetraeders, 
X,  y,Z  ihre  bezüglichen  Gegenwinkel,  ferner 

T,  ==  (1  — cos'JJ— cos'C—cos'X— 2cosBcosCcosJ[)*, 
entsprechend  T,  und  T,,  so  ist 

TjTjCosX+rjTjCOsY  +  TjT^cosZ  =  1  —  cos"il  — cos'Ä  — cos'C 

—  cos  B  cos  Ccos  X  —  cos  Ccos  A  cos  Y — cos  il  cos  B  cos  Z 

+  cos  X  cos  Ycos  Z.  Lp. 


J.  Neuberg.     Solution  of  question  9 1 56.    Ed.TimeaXLViii. 

91-92. 

Sind  a,  b,  c,  d  die  Hohen  eines  Tetraeders  ABCD\  a,  /9,  /,  d 
die  Winkel  seiner  Seitenflächen  mit  einer  Ebene  E\  p  der  Ab- 
stand des  Gentrums  der  Umkugel  zu  ABCD  von  £,  so  befriedigt 
jeder  Punkt  P  von  E  die  Relation 

Analytischer  Beweis  mit  Hülfe  von  Determinanten.  Ist  P  ein 
Punkt  ausserhalb  E,  so  ist* der  Abstand  des  Punktes  P  von  E 
gleich  der  halben  Differenz  der  beiden  Seiten  der  obigen  Gleichung. 


W.  J.  C.  Sharp,  J.  Wolstbnholme.     Solution  of  question 

2109.     Ed.  Times  XLVIU.  177-178. 


Capitel  3.    Elimiaatioo  u.  Subatitatioo,  OetermiDanteD  etc.        153 

Hr.  Sharp  beweist  unter  Bezugdkhme  auf  seine  Arbeit  „On 
the  properties  of  simplicissima«  (F.  d.  M.  XIX.  1887.  837)  den 
folgenden,  früher  einmal  von  Hrn.  Wolstenholme  zum  Beweise 
gegebenen  Satz  mit  Hülfe  von  Determinantensätzen :  Sind 
ilj,  .4,,  ii„  A^j  A^  fünf  feste  Punkte  des  Raumes,  P  ein  beliebiger 
Punkt;  Fj,  F,, .  . .  die  Volumina  der  Tetraeder  A^  A^  A^  A^  u.  s.  w. 
mit  solchen  Vorzeichen,  dass  F,  +  F,  -[-  F,  +  F^  +  K^  =  0,  so  ist 

(1)     F,.  PAl  +  F,.  PA]  +  V,.  PAl  +  F,.  PAl  +  F,.  PA] 

unabhängig  von  der  Lage  von  P.  Sind  C^,  C„  C,,  C^,  C^  die 
Mittelpunkte  der  Umkugeln  jener  Tetraeder,  rj,r„r„rj,rj  ihre 
Radien,  so  ist 

^   CA*     r'     =Q'   r,(C,A\-rl)  =  V,(C,Al-rl)  =  ... 

^x  ^n  —  'X 

=  :2  F,.  PAl.  {%  =  1,  2,  3, 4, 5). 

In  Bezug  auf  den  Satz  selbst  ist  auf  die-  Abhandlung  des 
Herrn  Frobenius  zu  verweisen  „Anwendung  der  Determinanten 
auf  die  Geometrie  des  Masses""  (J.  für  Math.  LXXIX.  223;  F. 
d.  M.  VI.  1874.  381),  wo  Möbius  (Bd.  XXVI.  desselben  J.)  als 
Entdecker  angegeben  ist.  Lp. 


A.  Catlbt.     Note .  on  the  relation  between  the  distances 
of  five  points  in  space.     Hess.  (2)  xvni.  1CX)-102. 

In  Lagrange's  Schrift  „Solutions  analytiques  de  quelques 
problemes  sur  les  pyramides  triangulaires^  (Berlin,  Mämoires, 
1773;  Oeuvres  IIL  677)  kommt  der  folgende  Ausdruck  für  die 
Beziehung  zwischen  den  gegenseitigen  Abständen  von  fQnf  Punkten 
im  Baume  vor: 

4^Y=a(a  +  f-i7)'  +  a'(ö'+/'-^7  +  «'V  +  /^-ff")' 

+  2/?(a' +  f  -  i;')K + /^-^'O  4- 2/?'(a  +  A- (;)(a"  +  A -  (/") 

Diese  Formel  identificirt  der  Verf.  mit  seiner,  im  Jahre  1841  in 
der  Form  einer  Determinante  gegebenen  Relation. 

Glr.  (Lp.) 


154  II.  Abschnitt.    Algebra. 

A.   E.   Rahnsbn.      Sur  ^quelques    propriet^s    des    d^ter- 
minants,  appliqudes  ä  une  question   de  geotn^trie  ä 

n  dimensions.      Delft.  Ann.  de  rÄc.  Polyt.  IV.  104-139. 

An  erster  Stelle  werden  einige  allgemeine  Eigenschaften 
der  Determinanten  und  Matrizen  abgeleitet.  Nachher  werden 
sie  angewendet  auf  die  folgende  in  die  Geometrie  von  n  Dimen- 
sionen gehörige  Aufgabe:  Den  geometrischen  Ort  der  homologen 
Punkte  in  zwei  gleichen  oder  symmetrischen  Figuren  von  n 
Dimensionen  zu  bestimmen.  Alsdann  werden  die  Beziehungen 
abgeleitet,  welche  die  Coordinaten  eines  beliebigen  Punktes  der 
einen  Figur  in  denjenigen  des  homologen  Punktes  der  anderen 
ausdrücken.  Zwei  Figuren  sind  gleich,  wenn  der  Abstand  zweier 
beliebigen  Punkte  der  einen  gleich  dem  der  homologen  Punkte 
der  anderen  sind.  Je  nachdem  die  Hauptdeterminante  gleich 
ist  +1  oder  — 1,  sind  die  Figuren  gleich  oder  symmetrisch. 
Zwei  gleiche  Figuren  von  n  Dimensionen  haben  bei  endlichem 
Abstände  einen  Raum  von  n  —  2k  Dimensionen  gemein  oder  bei 
unendlichem  Abstände  einen  solchen  von  n — 2k — 1  Dimensionen. 
Zwei  symmetrische  Figuren  von  n  Dimensionen  haben  bei  end- 
lichem Abstände  einen  Raum  gemein  von  n— *2fc— 1  Dimensionen 
oder  bei  unendlichem  Abstände  einen  solchen  von  n  —  2k—2 
Dimensionen.  Die  verschiedenen  Fälle,  die  hierbei  eintreten 
können,  werden  näher  betrachtet.  Schliesslich  werden  die  er- 
haltenen Resultate  an  Figuren  von  2  und  3  Dimensionen  geprüft, 
welche  demnach  in  der  Ebene  oder  im  Raum  liegen.        6. 


A.  BoucHBR.      Du   d^terininant  quadrilat^re.      Paris.  Gau- 

thier- Villars  et  Fils.  80. 


I).  HiLBKRT.     üeber  die  Discriminante  der  im  Endlichen 
abbrechenden  hypergeometrischen  Reihe.    J.fürMath  cm 

337345. 
Wenn  die  hypergeometrische  Reihe  fiberhaupt  im  Endlichen 
abbricht,   so   wird   sie   zu   einer   binären  Form  f  =  a"  mit  den 


Capite]  3.    ElimiDatioo  a.  SobBÜtation,  Oetermioanten  etc.        155 

CoefBcienten 

ß(ß+l)  . . .  (ß+i-1) 

Fflbrt  man  homogene  Variable  x^,  x^  ein,  so  ergiebt  sich  zu- 
Yörderst  aus  der  Differentialgleichung  der  Reihe,  dass  die  Form 
f  überhaupt  nur  die  Linearftfctoren  o;,,  x„  fl;,4-^9  mehrfach  auf- 
weisen kann.  Durch  Anwendung  specieller  linearer  Transforma- 
tionen Yon  /",  welche  bekannten  Umformungen  der  Reihe  ent- 
sprachen, resultirt  für  die  Discriminante  D  von  f  der  Ausdruck: 

/>  = 

(y+«-l)"-^(y+n-2)»  . . .  y»«-»  ' 

der  bereits  früher  yon  Hrn.  Stieltjes  auf  anderem  Wege  ge- 
wonnen worden  ist. 

Der  Verfasser  macht  eine  Anwendung  auf  die  Losung  der 
Aufgabe,  zu  entscheiden,  wie  viele  reelle  Wurzeln  die  Gleichung 
/"  =  0  für  beliebig  gegebene  reelle  Werte  der  Parameter  ß  und 
Y  besitzt.  Mj. 

Fr.  Mkybr.     Ueber  Discriminanteu  und  Resultanten  von 
Singularitätengleicbungen.     Gott.  N.  74-77. 

Die  Discriminanteu  und  Resultanten  der  Singularitätenglei- 
cbungen müssen  in  eine  Anzahl  rationaler  Factoren  zerfällbar 
sein,  deren  Verschwinden  ausdrückt,  dass  von  den  vorher  ge- 
trennt auftretenden  Singularitäten  irgend  welche  zusammenrücken. 
Hieran  knüpft  der  Verfasser  die  Frage:  Sind  die  Punktcoor- 
dinaten  einer  rationalen,  ebenen  Curve  Rn  durch  ein  System  von 
drei  binären  Formen  it^'  Ordnung  gegeben 

so  sollen  die  Discriminanteu  und  Resultanten  für  Wendepunkte, 
Spitzen,  Doppelpunkte,  Doppeltangenten  in  Factoren  zerlegt 
werden,  welche  in  den  dreireihigen  Coefßcientendeterminanten  d 
der  fi{X)  rational  sind,  aber  in  gleicher  Weise  nicht  weiter  zer- 
legt werden  können.  Eine  Tabelle  enthält,  ohne  Beweise,  die 
Resultate  der  Untersuchung.  No. 


156  II.  Abschnitt    Algebra. 

K.   Lachlan.      On   certain  Operators  in  connection  with 
Symmetrie  fuuctiouR.     Lond.  M.  S.  Proc.  XIX.  294-299. 

Die  Note  ist  eine  Ergänzung  «iner  früheren  Arbeit  des  Ver- 
fassers (vgl.  F.  d.  M.  XIX.  1887.  152).  Mit  Hülfe  der  dort  an- 
gewandten Operationssyrabole  werden  gewisse  symmetrische 
Functionen,  z.B.  ^aTlr,..^  Sa*b^g...h,  durch  die  elementar- 
symmetrischen  Functionen  der  Grössen  a,  b,  ...,  A  ausgedrfickt 

Ht 

P.  A.  MacMahon.     Symmetrie  functions  and  the  theory 

of  distributions.      Lood.  M.  S.  Proc.  XIX.  220-256. 

P.  A.  MacMahon.     Memoir  on   a  new  theory   of  Sym- 
metrie functions.      American  J.  XI.  1-36. 

In  diesen  beiden  Arbeiten  geht  der  Verfasser  aus  von  dem 
folgenden  „Reciprocitätstheorem^:  Setzt  man 

x,  =  (2>,+(n«i, 

^4  =  (4)«.  +  (31)x.x,  +(2')x\  +  (21>,«J  +  (V)x*, 
so  ist  der  Goefficient  von 

in  der  Entwickelung  des  Productes  X^/X^J^*...  gleich  dem 
Coefficienten  von 

in  der  Entwickelung  des  Productes  Xi',  Xl'^X^jf,...  Dabei  bedeutet 
das  Symbol  (p^r...)  die  symmetrische  Function  Sa^b^tf ...  der 
Grössen  a,  b,  c,  ...  und  beispielsweise  für  (pppsjr...)  ist 
(p'yV  '. . .)  gesetzt.  Aus  der  Zahl  der  weiteren  Theoreme  sei 
noch  der  folgende  in  jenen  beiden  Arbeiten  behandelte  Satz  er- 
wähnt.   Die  symmetrische  Function  (A/iv  . . .)  ist  ausdrückbar  mit 

Hülfe  der  „Separationen"  von  (X,  i,  A,  •  •  •  f^i f*jf«a  •  •  •  ''i  •'i*'«  •  •  Oi 
wo  A„  A„  A„  ...;  /ij,  ju„  /u„  ...;  v„  v„  y„  ...  ganze  Zahlen 
sind,  deren  Summe  beziehungsweise  A;  fi]  v ...  ist.     Dabei  ver- 


Capitel  3.    ElimioatioD  n.  SabstitatioD,  DetermiDanteo  eto.        157 

• 

steht  man  beispielsweise  unter  den  „Separationen*'  von  (p,  q,  r, 
f,  i)  Produete  von  der  Gestalt  (pg)(r«)(0,  Cp?O(*0-  Dieses 
Theorem  führt  im  besonderen  auf  den  bekannten  Satz,  dass 
eine  jede  symmetrische  Function  sich  ganz  und  rational  durch 
die  elementarsymmetrischen  Functionen  darstellen  lässt.  An  die 
beiden  erw&hnten  Sätze  knüpft  der  Verfasser  eine  weitläufige 
Untersuchung  über  die  Darstellbarkeit  symmetrischer  Functionen 
und  ihre  zweckmässige  tabellarische  Anordnung.  Ht. 


P.  A.  MacMahon.     The  eliminant  of  two  binary  quan- 

tics.       Qnart.  J.  XXIII.  189-143. 

Der  Verfasser  drückt  die  Resultante  von  zwei  binären  For- 
men mit  Hülfe  der  Partitionssymbole  (pqr  . . .)  aus,  betreffs  deren 
man  das  vorige  Referat  vergleiche.  Beispielsweise  ist  die  Resul- 
tante der  kubischen  Form  a,«*— a,a;'4-a,a;-~l  und  der  quadrati- 
schen Form  x'—A^x+A^  gleich  dem  Ausdrucke 

l-(l)A,  +  (2)A,+(nAl-(2l)A,A,-(V)A\ 

+  (2*)A\+(2V)A,A\-(2n)AlA,  +  (2')Al, 

wo  die  Klammersymbole  auf  die  symmetrischen  Functionen  der 
Wurzeln  der  Gleichung 

x^—a^x^  +  a^x—a^  =  0 
zu  beziehen  sind.  Ht. 


Dritter  Abschnitt. 

Niedere  und  höhere  Arithmetik 

Gapitel  L 

Niedere  Arithmetik, 


Th.  Spirker.      Lehrbuch    der   Arithmetik    und    Algebra 
mit  Uebungsaufgaben.     3.  verbesserte  Aufl.    Aag.  stein. 

Potsdam.  398  S. 

Ref.  hat  die  yorzfiglichen  Spieker'schen  LehrbOcher  seit 
längeren  Jahren  im  Unterrichte  erprobt  und  sich  namentlich  tlber 
die  stetigen  Verbesserungen  gefreut,  welche  dieselben  mit  jeder 
neuen  Auflage  bringen.  Auch  in  der  vorliegenden  Arithmetik 
sind  wesentliche  Fortschritte  gemacht.  Die  kubischen  Gleichungen 
sind  in  §  308  bis  312  durch  die  allgemein  für  Gleichungen 
höherer  Grade  gültigen  Sätze  eingeleitet  und  in  §  324  bis  339 
durch  die  Behandlung  der  numerischen  Gleichungen  ergänzt 
worden.  Abschnitt  23:  „Entwickelung  der  Functionen  in  unend- 
liche Reihen"  ist  ganz  neu  hinzugekommen.  Ueberall  sind  die 
Grenzen  und  Anforderungen  des  Unterrichts  gewahrt,  so  z.  B. 
werden  die  irrationalen  Wurzeln  der  numerischen  Gleichungen 
nur  mit  der  regula  falsi  und  den  beiden  lläherungsmethoden  von 
Newton  und  Lagrange  bestimmt,  die  unendlichen  Reihen  durch- 
weg nach  der  Methode  der  unbestimmten  Coefficienten  entwickelt 
und  ihre  Convergenz  mit  Hülfe  weniger  vorangeschickter  Sätze 


Gapitel  1.    Niedere  Arithmetik.  159 

uDtersQcht.    Durch  AuBmerzung  von  Druckfehlern  und  Versehen 
der  frfiberen  Auflagen  hat  das  Buch  gleichfalls  gewonnen. 

Lg. 

C.    E.    EnHOLTZ.      Reine   Arithmetik.    T,.      Aaraa.  Saaerlaoder. 

Hit  dieser  Lieferung  (IX.  Elementare  Zahlenlehre  (Fort- 
setzung). X.  Gemeine  Brüche.  XI.  Beziehungen  zwischen  systema- 
tischen und  gemeinen  Brüchen.)  schliesst  der  erste  Band  dieses 
Werkes  (s.  F.  d.  M.  XIX.  158) :  Es  ist  zunächst  für  den  mathemati- 
schen Unterricht  am  aargauischen  Lehrerseminar  bestimmt,  es  soll 
ausserdem  den  im  Amte  stehenden  Lehrern  an  Primär-  und  Secun- 
därschulen  ein  Erg6nzungsbuch  sein  und  auf  mancherlei  methodische 
Fragen  Antwort  geben.  Diesem  Zwecke  entspricht  die  grosse  Aus- 
führlichkeit der  Darstellung,  sowie  die  besondere  Berücksichtigung 
des  Rechnens  mit  bestimmten  Zahlen.  Wz. 


K.  Lbmbke,  Seminar] ehrer.     Allgemeine  Arithmetik  und 
Algebra   in  ihrer  Beziehung  zu  einander  und  zu  den 

höheren  bürgerlichen  Rechnungsarten.    Hiastorff.  Wismar. 

170  S. 
'Es  werden  Seite  1—70  die  Gleichungen  l*«"  und  Sl*«"  Grades 
mit  einer  und  mehreren  Unbekannten,  70-94  die  Logarithmen, 
94-170  Zinseszins-  und  Rentenrechnungen  behandelt.  Am  Schlüsse 
sind  auf  19  Seiten  Tabellen  zur  Berechnung  der  Zinseszinsen 
angefügt.  Die  Methode  des  Verfassers  ist  folgende:  Er  wählt 
Musterbeispiele  aus  Meier-Hirsch,  rechnet  dieselben  bis  auf  das 
kleinste  Detail  vor,  unter  steter  Angabe  der  in  Verwendung 
kommenden  Sätze  aus  seiner  eigenen  allgemeinen  Arithmetik 
und  schreibt  dann  die  Nummern  der  Aufgaben  aus  Meier-Hirsch 
und  Pleibers  Elementarmathematik  auf,  welche  ebenso  gerechnet 
werden.  Nicht  überall  hat  der  Herr  Verfasser  erreicht,  was  er 
sich  in  der  Vorrede  vorgenommen.  Er  will  „selbständiges, 
streng  logisches  Denken  und  Arbeiten  erzielen'',  bei  der  Lüsung 
der  Gleichungen  aber  geht  sein  Bestreben  dahin,  „die  Begründung 
durch  arithmetische  Lehrsätze  mehr  und  mehr  zurückzudrängen 


160  I^I-  Abschnitt    Niedere  nnd  höhere  Arithmetik. 

und  das  Verfahren  zu  einem  rein  meehanisehen  zu  machen^ 
(cf.  S.  5  und  8).  —  Ausserdem  ist  das  Buch  nicht  frei  von 
Druckfehlern,  die  namentlich  dem  Anfänger  das  Studium  des- 
selben erschweren,  so  finden  sich  z.  B.  in  jedem  der  Beispiele 
10  und  11  S.  46  und  47  je  drei  solcher  Fehler.  Lg. 


F.  Fischer.  Anfangsgründe  der  Mathematik  zum  Ge- 
brauche an  höheren  Schulen.  I.  Arithmetik  und  Al- 
gebra.    LeipBig.  Fr.  W.  GruDOW.  190  S.  gr.  8^  (1887.) 

Der  Inhalt  ist  in  vier  Abschnitte  von  allerdings  sehr  un- 
gleichem Umfange  gegliedert.  Der  Abschnitt  I  (S.  2-121)  be- 
handelt die  sogenannten  sieben  Rechnungsarten,  der  Abschnitt  II 
(bis  S.  159)  die  algebraischen  Gleichungen  der  ersten  vier  Grade, 
Abschnitt  III  (S.  160-186)  die  Reihen  mit  Einschluss  derjenigen 
für  die  Logarithmen  und  Ereisfunctionen,  Abschnitt  IV  (S.  187 
bis  189)  die  Euler'sche  Methode  fQr  die  Lösung  diophantischer 
Gleichungen  ersten  Grades  mit  zwei  Unbekannten.  Die  Aus- 
stattung ist  sehr  gut.  Lp. 

G.  Taschjstti.      Trattato  di   aritmetica  razionale  per  la 

IV   e    V   classe   del   ginnasio.     Palermo.  Bemo  SaDdroD.  * 


D.  A.  CoEN.     L'Aritmetica  Razionale  richiesta  dal  pro- 
grammi  ministeriali  per  il  Ginnasio  Superiore.   VieeoEa. 

Tip.  G.  Borate. 

Lacroix.     Elements    d'Algfebre.      25®    ödit.,    revue    par 

PrOÜHET.      Paris.  Gauthier-Villara  et  Fils.  S». 

Lacroix.     Complöment  des  ^ßl^juents  d'Alg^bre.   7^  ädit. 

Paris.  Gaathier-Yillars  et  Fils.  8». 


A.  NüNEZ  DE  CouTo.     Tratado  de  arithmetica  theonco- 

practica.     Madrid.  (1886-1887).  435  S. 


Capiiel  1.    Niedere  Arithmetik.  161 

H.  Servus.     Sammlung   von  Aufgaben   aus   der   Ärith- 
metik  und  Algebra.     3  Hefte,      Leipzig.  Teubner.   47,   öi 

n.  94S. 

Verfasser  hält  es  nicht  fOr  angebracht,  einem  Schüler  von 
vornherein  eine  Sammlung  von  Aufgaben  aus  der  gesamten 
Arithmetik  in  die  Hände  zu  geben,  da  dieselbe  aus  jedem  Gfe^ 
biete  nur  eine  beschränkte  Anzahl  von  Aufgaben  bringen  kann, 
falls  sie  nicht  zu  umfangreich  und  zu  teuer  werden  soll.  Er 
lässt  daher  drei  Hefte  von  geringerem  Umfange  und  Preise  er- 
scheinen, von  denen  Heft  I  die  vier  Species,  Heft  II  Quadrirung 
und  Kubirung  von  Summen,  Zerlegung  in  Factoren,  Heben  der 
BrQche,  Proportionen  u.  s.  w.,  Quadrat-  und  Kubikwurzeln, 
Heft  III  Potenzirung,  Radizirung  und  Logarithmirung  behandelt. 

Lg. 

M.   Fetscheb.      Arithmetisches.      Auflösungen    zu    den 
arithmetischen  Aufgaben  aus  den  ReallehrerprUfungen 

in    Württemberg.       Stuttgart.  J.  B.  Metzler.  84  S. 

Das  Buch  löst  die  Prüfungsaufgaben  aus  den  Jahren  1860 
bis  1886,  soweit  sie  im  Gorrespondenzblatt  fttr  die  Gelehrten- 
und  Sealschulen  Württembergs  veröffentlicht  sind,  sämtlich  ohne 
Beihfllfe  der  Algebra  durch  einfache  Schlussfolgerungen.  Wie 
dasselbe  mit  der  Behandlung  von  Aufgaben,  welche  nur  fflr  die 
alten  Masse,  Münzen  und  Gewichte  Wert  hatten,  „einem  wirk- 
lichen Bedürfnisse  entgegen kommf^,  ist  nicht  recht  einzusehen. 
Die  Lösungen  sind  oft  umständlich ;  so  wird  die  Regel  für  die 
Teilbarkeit  der  Zahlen  durch  7  auf  1^  Seiten  hergeleitet,  anstatt 
sie  neben  der  für  11  und  13  mit  der  Bemerkung  zu  erledigen, 
dass  1001  durch  diese  Zahlen  teilbar  ist.  Zur  Vergleichung  ist 
häufig  auf  Bücher  ä  4,  3  und  2  Bändchen  hingewiesen,  welche 
der  Verfasser  im  Verein  mit  Prof.  Stockmayer  für  12-15jährige 
Schüler,  jedes  mit  einem  „Schlüssel^  versehen,  herausgegeben 
hat     Ein  Anhang  giebt  noch  20  Uebungsaufgaben.  Lg. 


Portoehr.  d.  Math.  XX.  1.  11 


Ig2  nr.  Abschnitt.    Niedere  aod  höhere  Arithmetik. 

A.  MoROPP.  Regeln  und  Erläuterungen  zum  Rechnen, 
nebst  Skizze  eines  Ijehrgangs  und  Masstafel.  Zum 
Gebrauch   an  Gymnasien    und  anderen  Mittelschulen. 

Bamberg.  Bachoer.  fi.  M. 


F.  ÄMODBO.     Correlazione  fra  i  teoremi  delje  operazioni 

sui  numeri  interi.      Besso  Per.  mat.  in.  69-75,  103-lOS. 

Es  giebt,  nach  einer  nichts  weniger  als  neuen  Bemerkung 
des  Verfassers,  eine  gewisse  Correlation  zwischen  den  Sätzen 
Qber  die  Addition  und  denjenigen  über  die  Multiplication,  so  dass 
die  letzteren  sich  aus  den  eroteren  nach  Ersetzung  des  Wortes 
Summe,  Summand,  Coefficient,  . . .  durch  Product,  Factor,  Expo- 
nent, . . .  ergeben.  Um  diesen  Zusammenhang  zu  veranschau- 
lichen, richtet  der  Verfasser  die  betreffenden  Sfttze  auf  zwei 
Golumnen  derart  ein,  dass  die  Sätze  über  Addition  links  und 
die  entsprechenden  über  Multiplication  daneben  rechts  sich  be- 
finden. Vi. 


M.  Gremigni.     Le  proprietk  della  somma  e  della  diffe- 
renza  estese  ai  polinomi  algebrici.      Beaso  Per.  mat  IIT. 

161-167. 

Beweis  der  Gommutativität  und  Associativität  einer  Summe 
von  positiven  und  negativen  Zahlen.  Vi. 


Jos.  Kaspr.     üeber  die  Bestimmung  der  dritten  Potenz 
und  Wurzel  aus  dekadischen  Zahlen.      Casop.  XVII.  28. 

(Böhmisch.) 

Enthält    eine    diesbezügliche    praktische    Verwendung    der 
Identität 

(a  +  by  =  a'  +  3(a  +  b)ab^b\  Std. 


G.  Giuliani.    Sopra  un  teorema  della  divisione  algebrica. 

Beeso  Per.  mat.  III.  39-40. 


Capitel  1.    Niedere  Arithmetik.  153 

Beweis  durch  vollständige  Induction  fttr  die  Formel: 

+ (oy"  +  fcy*  ~^  H h  «'y' + «y  +  /")• 

Vi. 

E.  Sadun^     Coudizioni  di  divisibilitk  d'un  poliuomio  per 

un  binomio   della   forma  X^'—tf.     Beeeo  Per.  mat.  III.  129-136. 

n 

Der  Best  der  Teilung  von  f(x)  =  ^c<«*-»  durch  af^-a"  ist 

wo: 

hier  bezeichnet  k  die  grösste  Zahl,  für  welche  0  ^  n  —  tr  <  r, 
und  jeder  Goefficient  c,  dessen  Index  negativ  ausfällt,  soll  als 
der  Null  gleich  betrachtet  werden.  Die  Bedingungen  fttr  die 
Teilbarkeit  von  f(x)  durch  ü^—a^  sind  demgemäss: 

Ti  =  0  (t  =  1,2,  ...,r). 

Es  ist  ferner  zu  beachten,  dass,  wenn  f(x)  durch  af—ar  teilbar 
ist,  flT  in  Cn-r+i,  c»^r+s,  -  •  -,  ^  aufgcht  und  die  Form  mT+d  hat, 
wo  01  irgend  eine  ganze  Zahl  und  d  ein  positiver  Teiler  von 
Km)  ist.  Vi. 

F.  GiUDiCE.     Suir  estrazione  di  radice  approssimata  dai 
numeri  aritmetici.    Besso  Per.  mat  iii.  dd-d6. 

Schreibt  man  a",  6»  statt  a,  6,  so  lauten  die  vom  Verfasser 
aufgestellten  Formeln  so: 

6— (6  — a;-r;; T"  <  V ^^  <  0  —  (5  —  a) -r —, 


wo  0  <  a"  <  a:  <  6*.     Die  untere  Grenze  ist  in  beiden  Formeln 
dieselbe  und  ist  >a;  von  den  oberen  Grenzen  ist  die  erste  ^ 

11* 


164  nr.  AbschDÜt.    Niedere  aod  höhere  Arithmetik. 


X  —  a*  <r     a""^ 


als  die  zweite,  je  nachdem  -j- ==     .,  ,    .    Jedenfalls  ist  die 

zweite  obere  Grenze  <  6.  Ist  also  bekannt,  dass  die  n^  Wurzel 
einer  Grösse  zwischen  a  und  b  liegt,  so  kann  man  dieselbe  durch 
wiederholte  Anwendung  der  angegebenen  Formeln  in  immer 
engere  Grenzen  einschliessen.  Vi. 

Sydney  Lüpton.     The  art  of  computation  for  the  pur- 

poses   of  SCience.     Natare  XXXVIL  237-239,  262-263. 

W.  Ramsay,  Sydnby  Yoüng,  E.  Erskink  Scott,  G.  King, 
The   art  of  computation    for  tbe  pnrposes  of  science. 

Natare  XXXVIL  294-295,  819-320. 


S.  MiBCZNiKOWSKi.     Näherungsrechuung.    Warscban.  s^.  40  s. 

(Polnisch.)  Dn, 

J.   DiEKMANN.      Zur  Auflösung    der    dreigliedrigen  irra- 
tionalen Gleichungen  mit  linearen  Radicandeu.   Hoffmann 

Z.  XIX.  481-48B, 

In  Hoffmann  Z.  XVII  ist  Ober  die  Gleichung 

Vl+4a:-Vl~4«=r4y« 
ein  Streit  entbrannt,  in  welchem  Verfasser  hier  Stellang  nimmt. 
Er  kommt  zu  dem  Resnitat: 

1)  In  den  irrationalen  Gleichungen  sind  die  Wurzelausdrficke 
absolut  zu  nehmen  und  als  zunächstliegende  Unbekannte  zu  be- 
trachten, deren  Werte  sich  selbständig  aus  den  CoefiGoienten  der 
Gleichung  berechnen  lassen. 

2)  Aus  den  Werten  der  Wurzelausdrücke  ergeben  sich  die 
zugehörigen  Werte  von  x.  Lg. 


J.  VAN  Hbngel.  Beweis  des  Satzes,  dass  unter  allen 
reellen  positiven  ganzen  Zahlen  nur  das  Zahlenpaar 
4  und  2   ftir  a  und  b  der  Gleichung  a^  =  6"*  genügt. 

Pr.  Gymn.  Emmerich«  ; 


Capitel  1.    Niedere  Arithmetik.  165 

Bedeuten  r,  n   positive   ganze   Zahlen  >  3,   so  gelten  die 
Ungleichheiten: 

r«>(l  +  -^J  und  2'«>(l  +  -^y. 

In  Folge  der  ersten  können  a,  b  nicht  beide  ^  3  sein,  in  Folge 
der  zweiten  kann  auch  die  grössere  von  beiden  nicht  >  4  sein. 

B.  M. 


G.  Bernardi.  Tavole  dei  quadrati  e  dei  cubi  dei  numeri 
interi  da  1  a  1000  ossia  delle  radici  quadrate  a  ineno 
di  una  unitk  degl'  interi  da  1  ad  1000000  e  delle 
radici  cubiche  a  meno  di  una  unitk  degl'  interi  da  1 
ad  1 000  000  000  con  un  teorema  sopra  la  radice  qua- 
drata  con  dimostrazione  nuova  e  con  un  teorenoa  nuovo 
sopra  la  radice  cubiea  ad  uso  dei  corsi  di  Matematica. 

Parma.  Ferrari  e  Pellegrini.  XXX 11  u.  25  S. 

Das  zuletzt  erwähnte  Theorem  lautet  so: 

Es  sei  a  eine  ganze  Zahl,  k  die  grösste  ganze  Zahl  für 
welche  Ä'<a,  und  bestehe  k  aus  t  Ziffern,  wo  <^2ii4-l.  Be- 
deutet dann  c  die  aus  den  von  links  an  ersten  t — n  Ziffern  von 
k  gebildete  Zahl,  q  den  Quotienten,  r  den  Rest  der  Teilung 
a—  c\  10'"  :  3cM0^,  so  ist  ä  =  c.  10"  +  g  oder  ä  =  c.  10»  +  ?— 1, 
je  nachdem  r=  oder  <3g'c.  10»  +  7'.    Nur  wenn 

(10*-  +  10*)»  -  103*  <  a  <  (10>«  +  lO»)'  - 1, 
hat  man  k  =  cAQ^  +  q—2* 

Ein  analoger  Satz  über  Quadratwurzeln,  welcher  im  vor- 
liegenden Buche  bewiesen  wird,  wurde  schon,  nach  Angabe  des 
Verfassers,  von  Bertrand  (Traitä  d'arithm^tique)  aufgestellt 

Vi. 


H.  WoLFP.  Sätze  und  Regeln  der  Arithmetik  und  AI* 
gebra  nebst  Beispielen  und  gelösten  Aufgaben.  Zum 
Gebrauche  au  Baugewerkenschulen  etc.  Leipzig.  Teoboer. 

IV  u.  102  S.  8». 


166  III-  AbschDiU.    Niedere  und  höhere  Arithmetik. 

E.  Bardey.  Arithmetische  Aufgaben  nebst  Lehrbuch 
der  Arithmetik,  vorzugsweise  für  höhere  Bürgerschulen, 
Realschulen ,    Progymnasien    und    Realprogymnasien. 

5*®  Aufl.      Leipzig.  Teaboer.  X  a.  269  S.  8«. 

E.  Bardbt.  Resultate  nebst  Auflösungen  und  Commentar 
zu  den  arithmetischen  Aufgaben  u.  s.  w.  Leipsig.  Teaboer. 

125  S.  8<>. 

E.  Bardey.  Methodisch  geordnete  Aufgabensammlung, 
mehr  als  8000  Aufgaben  enthaltend,  über  alle  Teile 
der  Elementar- Arithmetik,  vorzugsweise  für  Gym- 
nasien, Realgymnasien  und  Oberrealschulen.   14^«  Aufl. 

Leipzig.  Teaboer.  XIV  a.  330  S.  8^ 

E.  Bardey.  Methodisch  geordnete  Aufgabensammlung. 
Abschnitt  XXII  (S.  121-155)  aus  der  14.  Aufl.,  be- 
sonders  abgedruckt  für  die  Besitzer  der  früheren  Auf- 
lagen.    Leipzig.  Teaboer. 


Capitel  2. 
Zahlentheorie. 

A.    Allgemeines. 

J.  SocHOTZKT.     Höhere  Algebra.    Bd.  II.     Die  Anfangs- 
grunde  der  Zahlentheorie.     St.  Peterebarg.  (Bassiach.) 

Der  enge  Zusammenhang,  der  zwischen  den  algebraischen 
und  den  zahlentheoretischen  Fragen  besteht,  hat  den  Herrn  Ver- 
fasser bewogen,  den  zweiten  Teil  seiner  „Höheren  Algebra"  der 
Zahlentheorie  zu  widmen.  „Die  moderne  Zahlentheorie*',  wie  der 
Verfasser  in  seiner  Vorrede  bemerkt,  „beruht  auf  drei  Principien: 
Pdem  Princip  des  grössten  gemeinschaftlichen  Teilers  (Euklides), 
2^  den  Kettenbrtichen  (Huygens)  und  3°  dem  Princip  Dirichlet's." 


Capitel  2.    Zablentheorie. 


167 


Das  vorliegende  Buch  ist  fast  ohne  Ausnahme  dem  Euklid'schen 
Princip  in  seiner  Anwendung  auf  ganze  Zahlen  und  ganze  Func- 
tionen gewidmet.  Daher  sind  mit  besonderer  Sorgfalt  diejenigen 
Teile  der  Zahlentheorie  auseinandergesetzt,  die  mit  diesem 
Princip  in  nächstem  Zusammenhange  stehen.  Das  Werk  ist  in 
zehn  Kapitel  geteilt. 

Das  erste  Capitel  trägt  den  Titel:  „Das  Princip  des  grössten 
gemeinschaftlichen  Teilers.  Erste  Anwendungen.*'  Nach  der 
Entwickeluug  des  Princips  des  grössten  gemeinschaftlichen  Teilers 
handelt  es  sich  um  seine  Anwendung  auf  die  Zerlegung  der 
Zahlen  in  Primfactoren,  auf  die  Divisoren  d  und  die  Function 
^(iV).  Ausser  dem  gewöhnlichen  Inhalte  werden  auch  Tsche- 
bjseheff'sche  Formeln  für  die  Anzahl  der  Primzahlen  abgeleitet 
und  die  allgemeine  Aufgabe  gelöst,  aus  der  Gleichung: 

d 

WO  die  erste  Summe  über  alle  Divisoren  der  Zahl  JV  erstreckt 
ist,  die  Function  tp  zu  bestimmen,  wenn  die  Function  f  be- 
kannt ist. 

Das  zweite  Capitel  beginnt  mit  der  allgemeinen  Auflösung 
einer  linearen  homogenen  Gleichung  mit  n  Unbekannten  in  ganzen 
Zahlen.  Es  werden  dann  specielle  Methoden  gegeben,  die  folgen- 
den Gleichungen  in  ganzen  Zahlen  aufzulösen: 


.  .  .      ün—l 
•  •  •     ^n—l 


&, 


», 


Ä*»-l 


=  1    und 


a. 


6     b. 


X       0?. 


%       iS. 


*«-! 


=  Ä, 


welche  in  der  Theorie  der  Composition  der  quadratischen  Formen 
(falls  die  Determinante  9^'  Ordnung  ist)  eine  grosse  Wichtig- 
keit haben. 

Das  dritte  Capitel  handelt  von  den  allgemeinen  Eigen* 
Schäften  der  Congruenzen  und  von  der  Klassification  der  Zahlen 
in  Bezug  auf  einen  gegebenen  Modul;  es  werden  verschiedene 
Beweise  der  Theoreme  von  Format,  Euler  und  Wilson  gegeben. 


16g  III.  Abschnitt.     Niedere  and  höhere  Arithmetik. 

Dann  folgt  die  Auflösung  der  Congruenz  ersten  Grades  mit  beson- 
derer Berücksichtigung  der  simultanen  Congruenzen  ersten  Grades. 

Das  vierte  Capitel  behandelt  die  Congruenzen  zweiten  Grades 
flir  primen  Modul,  die  Eigenschaften  der  Symbole  von  Legendre 
und  Jacobi  und  die  Auflösung  der  Congruenz  x'^q  (mod.  p) 
in  einigen  einfachen  Fällen. 

Das  fttnfte  Capitel  trägt  den  Titel:  ^Ueber  die  quadratischen 
Reste    und    Nichtreste.      lieber    die    Auflösung    der    Gleichung 

f— J  =  +  1  und  über  die  Divisoren  der  Form  t* — Da*." 

Das  sechste  behandelt  die  Congruenzen  zweiten  Grades  bei 
zusammengesetztem  Modul. 

Das  siebente  Capitel  beginnt  mit  dem  Theoreme  von  Lagrange 
über  die  Anzahl  der  Lösungen  der  Congruenzen  höherer  Grade. 
Dann  wird  mit  besonderer  Sorgfalt  die  Anwendung  des  Euklid'- 
sehen  Princips  auf  die  Zerlegung  der  Function  in  Factoren  in 
Bezug  auf  einen  Modul  behandelt  und  der  Begriff  der  irreduc- 
tiblen  Function  erklärt.  Am  Ende  des  Capitels  werden  die  An- 
wendungen der  Theorie  auf  die  Congruenzen  höherer  Grade 
im  allgemeinen  und  die  binomischen  insbesondere  auseinander- 
gesetzt. 

Das  achte  Capitel  enthält  die  Theorie  der  primitiven  Wurzeln 
und  die  Theorie  der  Indices  mit  Anwendungen  für  den  Fall  des 
primen  und  zusammengesetzten  Moduls. 

Das  neunte  Capitel  ist  der  Theorie  der  Functionalcongruenzen 
(besonders  binomischer)  gewidmet.  Das  zehnte  beschäftigt  sich 
mit  den  absolut  irreduetiblen  Functionen;  hier  wird  die  Frage 
von  der  Auffindung  der  Divisoren  an  zwei  eingehend  und  sorg- 
fältig ausgearbeitetea  Beispielen  erläutert.  In  den  beiden  letzten 
Capiteln  ist  die  Frage  von  der  Zerlegung  der  Function  a^— 1 
in  irreductible  Factoren,  die  eine  grosse  Wichtigkeit  in  der 
Theorie  der  Kreisteilung  hat,  mit  besonderer  Sorgfalt  erörtert. 
Das  sehr  elegant  geschriebene  Buch  liefert  also  vollkommen  das 
für  die  Behandlung  der  höheren  algebraischen  Fragen  nötige 
zahlentheoretische  Material.  Wi. 


Capitel  2.    Zahleotheorie.  169 

J.  J.  Sylvester.      Note  on  a  proposed  addition  to  the 
vocabulary  of  ordinary  arithmetic.   Natore  XXX Vll.  152-153. 

Da  die  von  Hrn.  S.  erdachten  Benennungen  von  den  Eng- 
ländern vielleicht  weiter  gebraucht  werden,  8o  mögen  sie  hier 
Platz  finden. 

Die  Anzahl  verschiedener  Primzahlen,  welche  eine  gegebene 
Zahl  teilen,  hejsst  ihre  „Vielfältigkeit  oder  Multiplicität"  (mani- 
foidness  or  multiplicity).  Eine  Zahl,  deren  Vielfältigkeit  n  ist, 
heisst  eine  „n-faltige''  Zahl.  Sie  kann  auch  „näre^  Zahl  ge- 
nannt werden;  z.  B.  itlr  n  =  1,  2,  3,  4,  ...  eine  „unitäre^  oder 
primäre,  eine  „binäre*',  „ternäre",  „quatemäre^  . . .  Zahl  Ihre 
Primdivisoren  heissen  die  „Elemente'';  die  höchsten  Potenzen 
dieser  eine  Zahl  teilenden  Elemente  ihre  nComponenten";  die 
Grade  dieser  Potenzen  ihre  „Indices",  sodass  die  Indices  einer 
Zahl  aus  der  Gesamtheit  der  Indices  ihrer  einzelnen  Componenten 
besteht.  Demnach  ist  eine  Primzahl  eine  einfaltige  Zahl,  deren 
Index  1  ist  Der  Nutzen  dieser  Benennungen  wird  an  der 
Fassung  mehrerer  zahlentheoretischer  Sätze,  besonders  über  voll- 
kommene Zahlen  erläutert. 

In  einer  Anmerkung  sagt  der  Verfasser  selbst,  er  erhebe 
den  Anspruch,  der  mathematische  Adam  zu  heissen,  weil  er  den 
Geschöpfen  des  mathematischen  Sinnes  mehr  Namen  gegeben 
habe,  als  alle  Mathematiker  des  Zeitalters  zusammen. 

Lp. 

J.  J.  Stlvestsb.      Oll    certain    inequalities    relatiiig   to 
prime  nunibers.     Natare  xxxvin.  259-262. 

Der  Verfasser  erläutert  zuerst  eine  Methode,  durch  welche 
man  beweisen  kann,  dass  die  Anzahl  der  Primzahlen  unendlich 
ist;  in  ähnlicher  Weise  zeigt  er  dann,  dass  die  Anzahl  der  Prim- 
zahlen von  der  Form  An +  3  und  6ii-t-5  unendlich  ist  (ohne 
dabei  der  Dirichlet'schen  Untersuchungen  Erwähnung  zu  thun). 
Eine  der  erwähnten  Ungleichheiten  ist 

5,~iS,+iS,-iS,  +  ...>loglogAr, 
worin  Si  die  Summe  der  reciproken  i^°  Potenzen  aller  Primzahlen 


170  m*  Abflchnitt.    Niedere  und  höhere  Arithmetik. 

bedeutet,  die  uicht  grösser  als  die  Zahl  N  sind.     Ebenso  ist 

^,~i^,  +  i^,-i^4+->iloglogJV+ilogJ»jv-ilog2, 

worin  2i  die  Summe  der  reeiproken  i^  Potenzen  aller  Prim- 
zahlen qj  von  der  Form  4n-f-3  bezeichnet,  welche  nicht  über  N 
hinausgehen,  und  (^a^,  bedeutet  die  Anzahl  dieser  qj) 

^  9j     yV  ql    J      \  q\,^  J 

Aehnlich  ist  fUr  die  Primzahlen  von  der  Form  6n-f  5: 

0.-iö,  +  i0,-i©,  +  ...>ilogIogJV+ilogilf^-ilog3. 

Hierauf  folgen  Bemerkungen  über  das  Wesen  des  Euklidischen 
Beweises  für  die  Unendlichkeit  der  Anzahl  der  Primzahlen,  mit 
Bezug  auf  eine  Mitteilung  des  Verfassers  in  den  C.  R«  desselben 
Jahres;  ferner  über  einige  Euler'sche  Formeln  und  Beweise  der- 
selben von  Hertens,  wobei  die  Arbeit  von  Gram  (F.  d.  M.  XVI. 
1884.  146)  erwähnt  wird;  endlich  über  die  Grenzen,  innerhalb 
deren  die  Summe  der  Logarithmen  aller  über  N  nicht  hinaus- 
gehenden Primzahlen  liegt,  wobei  auf  Tschebysche£rs  bezügliche 
Formeln  und  auf  einen  Aufsatz  des  Verfassers  im  Phil.  Mag.  XVI. 
251  (1883)  verwiesen  wird.  Lp. 


P.  W.  Preobraschensky.  üeber  die  Anzahl  der  Prim- 
zahlen und  zusammengesetzten  Zahlen  zwischen  ge- 
gebenen Grenzen.     Mosk.  math.  Samml.  XIIL  707-739.  (EUiBsisch.) 

Die  Untersuchungen  des  Verfassers  über  die  Dichtigkeit  der 
Primzahlen  in  verschiedenen  Intervallen  der  Reihe  der  natür- 
lichen Zahlen  führen  ihn  zu  einer  Annäherungsformel  fElr  die 
Anzahl  der  Primzahlen,  welche  eine  gegebene  Zahl  nicht  über- 
steigen.   Es  wird  nämlich  gezeigt,  dass  der  Ausdruck 

X  X 

1 


logaJ— 1  — 


15600 +  iV^ 


logx 

mit  einer  grossen  Annäherung  die  bekannte  Riemann'sehe  Reihe 
reproducirt,  dass  z.  B.  im  Intervalle  der  neun  ersten  Millionen  die  Ab- 


Capitel  2.    Zahlen theorie.  17 1 

weichung  dieser  Formel  yon  der  Riemann'schen  Reihe  niemals 
neun  Einheiten  flbersteigt.  Der  Verfasser  verallgemeinert  seine 
Untersuchnngen,  indem  er  auch  die  Formel  für  die  Ansah!  der 
primären,  d.  b.  durch  ein  Quadrat  nicht  teilbaren  Zahlen  giebt. 

Wi. 

P.  S.  PoRKTZKY.     Zur  Lehre  von  den  Primzahlen. 

Kasao.  Oes.  VI.  52-142.  (Raasisch.) 

Der  Verfasser  bezeichnet  durch  das  Symbol  tfj  (m)  die  mehr- 
deutige Function,  welche  alle  g>(m)  Zahlen  darstellt,  die  kleiner 
als  m^undjmit  m  prim  sind,  und  giebt  für  die  betrachtete  Func- 
tion eine  Formel,  welche  viel  einfacher  ist,  als  die  frflher 
von  Dormoy  und  Duprä  gegebenen.  Für  den  wichtigsten  Fall, 
wo  in  =  2.3.5.7  ...p,  ist  die  Formel: 

tp(2. 3.5.7.. .p)  =  2. 3.5.7... pj  ^   ..litl jf) 

wo  p  eine  Primzahl  und  K  eine  ganze  Zahl. 

Aaf  diese  Formel  gestützt,  erläutert  der  Verfasser  sehr  aus- 
führlich verschiedene  praktische  Methoden  für  die  Auffindung  der 
Primzahlen  mittelst  einer  Verallgemeinerung  des  bekannten 
Eratosthenes'schen  Verfahrens.  Im  besonderen  wird  die  Methode 
betont,  welche  noch  von  Leibniz  empfohlen  wurde  und  auf  der 
Betrachtung  zweier  arithmetischen  Progressionen  1+Gk  und 
5  + 6k  beruht.  Die  Wichtigkeit  der  Einführung  der  Function 
tp(m)  wird  auch  bewiesen  durch  die  Anwendung  auf  andere 
zahlentheoretische  Fragen.  Es  wird  u.  a.  die  Möglichkeit  gezeigt, 
mit  Hülfe  der  Function  xfj  (m)  eine  Primzahl  zu  finden,  welche  jede 
gegebene  Zahl  übersteigt.  Das  Ende  der  inhaltreichen  Abhand- 
lung bilden  die  Untersuchungen  des  Verfassers  über  den  Legendre'- 
scben  Satz:  „Die  Primzahlen  streben  nach  einer  gleichmftssigen 
Verteilung  zwischen  den  verschiedenen  arithmetischen  Progres- 
sionen km — 9^(m)^,  und  über  die  Intervalle  zwischen  zwei  auf- 
einanderfolgenden Primzahlen.  Wj. 


L.  Gegknbaubr.     Note  über  die  Anzahl  der  Primzahlen. 

Wien.  Ber.  XCVII.  374-377. 


172  .  III«  AbschDitl.    Niedere  nnd  höhere  Arithmetik. 

Der  Eaklidisehe  Satz  über  die  Existenz  unendlich  vieler 
Primzahlen  wird  mit  Hfilfe  einer  Function  Or(n)  bewiesen,  welche 
die  Anzahl  aller  ganzen  Zahlen  yon  1  bis  n  angiebt,  welche 
durch  keine  r^  Potenz  (ausser  1)  teilbar  sind.  My. 


R.  Saint- Loup.      Sar    la  repr^sentation   graphique   des 
diviseurs  des  nombres.     0.  R.  OVII.  24. 

Versuche,  das  Sieb  des  Eratosthenes  graphisch  darzustellen. 

Sn. 

J.  Pkrott.      Remarqne  au  snjet  du  theor^me  d'Eüclide 
sur  rinfinit^  du  uombre  des  nombres  premiers.    American 

J.  XI.  99-138. 

Gruppentheoretische  Studien  zur  Theorie  der  Zahlkörper.  Es 
liegt  nur  die  Einleitung  vor,  welche  noch  nicht  auf  das  eigent- 
liche Thema  eingeht.  Sn. 


LoiR.     Caract&re   de  la  divisibilit^  d'un  nombre  par  uu 
nombre  premier  quelcouque   (7,    11,   13,    17,    19,  23, 

29,   31,   .  .  .).     CR.  OVI.  1070-1071. 

Der  Verfasser  empfiehlt,  die  Teil  versuche  nicht  von  links 
nach  rechts,  sondern  von  rechts  nach  links  zu  beginnen,  die 
Einer  durch  Subtraction  eines  geeigneten  Vielfachen  der  Prim- 
zahl wegzuschaffen  u.  s.  f.  Sn. 


C.  A.  Laisant.     Remarques  arithm^tiques  sur  les  nom- 
bres  COmpos^S.      S.  M.  F.  Bull.  XVI.  150-155. 

Anzahl  der  Zerlegungen  einer  ganzen  Zahl  JV  in  k  Faetoren. 
Darstellung^durch  netzförmige  Gebilde  und  mit  Hfilfe  von  Farben. 

Sn. 

F.  W.  PfiBOBBASCHENSKT.      Eiuo  besondere  Art  der  tri- 
gonometrischen Reihen,     Kas.  Ges.  VI.  10-13.  (Rassisch.) 


Gapitol  2.    Zahlentbeorie.  ^  173 

Wenn  9b(x)  =  +1,-1,0,  je  nachdem  sina?  positiv,  negativ 
oder  Null  ist,  so  ist  die  Anzahl  der  Zahlen,  welche  kleiner  als 
m  und  durch  2  und  3  nicht  teilbar  sind,  gleich 

m     .      1  1         /  mn  \ 


+  -9-  +  -ß-««(-T)' 


3     •      2     *     6    "V     3 
oder  gleich  der  darin  enthaltenen  grössten  ganzen  Zahl.      Wi. 


R,  W.  D.  CuRisTiB.     Note  on  perfect  numbers.     Ed.Timea 

XLVIir.  183-191.  (Appendix  IV.) 

Zusammenstellung  der  Eigenschaften  der  vollkommenen 
Zahlen  zur  Ergänzung  der  gewöhnlichen  Lehrbflcher  Ober  Zahlen- 
theorie. Lp. 

J.  J.  Sylvester.     Sur   les  nombres   parfaits.     c.  R.CVI. 

403-405. 

J.  J.  Sylvester.  Sur  une  classe  speciale  des  diviseurs 
de  la  somme  d'une  s^rie  g^omötriqne.  0.  R.  OVI.  446-450. 

J.  J.  Syj^vestbr.  Sur  rimpossibilitö  de  Texistence  d'un 
nombre  parfait  impair  qui  ne  contient  pas  au  moins 
5  diviseurs  premiers  distincts.    c.  R.  GVL  522-526. 

J.  J.  Sylvester.     Sur  les  nombres  parfaits.     CR.  cvi 

641-642. 

Herr  Sylvester  behandelt  die  Frage,  ob  es  ungerade  voll- 
kommene Zahlen  gebe,  mit  Hülfe  von  Eigenschaften  der  Ausdrücke 

g^-^1 
ö-  1    ' 
welche  er  „Fermatiane''  nennt,  und  zeigt,  dass  keine  vollkom- 
menen Zahlen  mit  nur  3;  5,  7  Elementen  existiren.         Sn. 


J.  J.  Sylvester.     Sur  les  nombres  parfaits.  Mathesia  yiiL 

67-61. 

Hit  Anmerkungen   versehener   Abdruck   des  in   G.  R.  GVL 
403-405  erschienenen  Artikels.  Mn.  (Lp.) 


174.  Iir.  Abschoitt.    Niedere  und  höhere  Arithmetik. 

Gl.  Sbrvais.      Sur    leg    nombres   parfaits.      Mathems  viii. 

92-93.  135. 

Wenn  es  eine  yollkoramene  Zahl  mit  n  Primzahlen  giebt,  so 
geht  der  kleinste  dieser  Factoren  nicht  Aber  n  hinaas.  Es  giebt 
keine  vollkommenen  Zahlen,  welche  nur  drei  Primzahlen  ent- 
halten.   Mn.  (Lp.) 

M.  d'Ocagne      Sur  la  d^terraination  du  chiffre  qui,  dans 
la  suite  naturelle  des  nombres,  occupe  un  rang  donu^. 

CR.  CVr.  190-191. 

Einfachere  Erledigung  einer  von  Barbier  behandelten  Auf- 
gabe, vgl.  F.  d.  M.  XIX.  169-170.  Sn. 


J.  J.  Sylvester,  Culley,  R.  W.  D.  Christie.     Solution 

of  question    9112.      Ed.  Times  XLVIir.  48-49. 

Eine  jede  Zahl  kann  als  Summe  auf  einander  folgender 
Zahlen  der  Zahlenreihe  so  oft  dargestellt  werden,  wie  sie  un- 
gerade Factoren  enthält  (z.  B.  l-f2-f3  +  4-f5  +  64-7-f-8  +  9 
=  5  +  6-1-7  +  8  +  9+10  =  7  +  8  +  9+10  +  11  =  14  +  15  +  16 
=  22  +  23  =  45).  Jede  Zahl  kann  durch  eine  Reihe  von  der 
Differenz  2  in  so  vielen  Arten  dargestellt  werden,  wie  Factoren 
vorhanden  sind,  welche  nicht  tiber  ihre  Quadratwurzel  hinaus- 
gehen.    Lp. 

M.  d'Ocagne.     Solution  de  la  question  de  math^matiques 
^lömentaires  proposöe  au  concours  g^nöral    de    1887. 

NoQV.  ADD.  (3)  VII.  449-456. 

Der  vierte  Teil  der  Ebene  ist  durch  Parallelen  zu  den  Axen 
in  gleiche  Quadrate  geteilt  und  diese  sind  in  doppelter  Weise 
numerirt,  zuerst  nach  Art  von  Coordinaten,  sodann  schräg,  vom 
Ursprung  anfangend,  stets  in  gleicher  Richtung.  Die  Relationen, 
welche  sich  zwischen  beiden  Bezifferungsweisen  aufstellen  lassen, 
geben  zu  mancherlei  Aufgaben  Anlass  und  stehen  in  Beziehung 
zu  dem  Newton'schen  Parallelogramm,  welches  bei  der  Unter- 
suchung der  Zweige  einer  Curve  angewandt  wird.  Sn. 


Üapitel2.    Zahlentheorie.  175 

A.  Andrbini.  Sopra  nna  proprietk  singolare  di  alcuni 
nnmeri  dipendente  dal  sistema  particolare  di  numera- 
zione  nel  quäle  8ono  scritti.    Bau.  G.  xxvi.  310-326. 

In  einem  Zablsystem  von  beliebiger  Basis  werden  die  Zahlen 
gesucht,  deren  Vielfache  mit  denselben  (cykliscb  permutirten) 
Ziffern  geschrieben  werden  (z.  B.  im  Decimalsystem  142857). 

Sn. 

O.   SiMONT.      üeber  einige  mit  der  dyadischen  Schreib- 
*    weise   der  ganzen  Zahlen    zusammenhängende   arith- 
metische Sätze.     Math.  ADD.  XXXI.  549-565. 

Sind  1  und  0  die  einzigen  anzuwendenden  Zahlzeichen,  so 
lassen  sich  symbolisch  alle  ungeraden  Zahlen  in  der  Form : 

alle  geraden  in  der  Form 

zusammenfassen,  wo  die  Exponenten  anzeigen  sollen,  wie  oft 
jede  Ziffer  1  oder  0  wiederholt  zu  denken  ist.  Es  werden  nun 
die  Eigenschaften  des  Kettenbruchs 

1 


c,  +  l 


c,  H 

untersucht,  und  gezeigt,  in  welchen  Beziehungen  die  Näherungs- 
werte desselben  zu  gewissen  Zahleneinteilungen  (Linearformen 
u.  a.)  stehen.  Sn. 

C.  A.  Laisant.      Sur   la   num^ration   factorielle,    appli- 
cation  aux  permutations.  S.  M.  F.  Ball.  xvi.  176-183. 

Jede  ganze  Zahl  N  ist  darstellbar  in  der  Form: 
N  =  a„.n!  +  a„_i  .(»—1)1+  •••  +a,  .21-ha,, 
wo  at  unter  kl  liegen  soll.    Mit  Httife  dieser  Darstellungsform 
wird  eine  einfache  Klassification   der  Permutationen  ermöglicht, 
und  weiterhin  werden  einige  Vorteile  fttr  Entwickelungen  von 
Determinanten  erzielt.  Sn. 


176  I'^*  AbBchoitt    Niedere  ood  höhere  Arithmetik. 

0.  ScHLöMiLCH.      Eine    Eigenschaft    der    Binomialcoef- 

ficienten.      Schlömileh  Z.  XXXIU.  190-191. 

G.  ViVANTi.     Ueber  eine  Eigenschaft  der  Binomialcoef- 

ficienten.      Schlomilch  Z.  XXXIII.  358-360. 

„Bezeiohnet  fi  eine  positive  ganze,  k  eine  gerade  Zahl,  so 
ist  das  arithmetische  Mittel  aus  den  V^  Potenzen  der  zu  n  ge- 
hörigen Binomialcoefficienten  immer  eine  ganze  Zahl.*'  Herr 
Schlomilch  stellt  diesen  Satz  auf,  Herr  Vivanti  beweist  ihn. 

Sn. 

A.   I^UGU      Sul    nuniero  dei   numeri   primi  da   1    ad  n. 

Batt.  G.  XXVI.  8S-95. 

Nach  dem  Vorgange  von  Legendre  und  Meissel  wird  die 
gesuchte  Anzahl  auf  eine  in  einem  engeren  Gebiet  enthaltene 
Anzahl  zurückgeführt.  Sn. 


J.  J.  Sylvester.     Preuve  el^inentaire  du   th^or^me  de 
Dirichlet   sur   les  progressions   arithm^tiques  dans  le 
cas  oü  la  raison  est  8  ou  12.    c.  r.  cvi.  1278-1281,  I38ö*i886. 
Als  Nerv  eines  Beweises  für   das  Vorhandensein  unendlich 
vieler  Primzahlen  in   einer   gewissen   Form  kann  nach  Angabe 
des  Herrn  Verfassers  die  Bildung  einer  unendlichen  Progression 
von  ganzen  Zahlen  dienen,  welche  sämtlich  zu  einander  relativ 
prim  sein  sollen,  und  unter  denen  sich  mindestens  eine  wirkliche 
Primzahl  von  der  vorgeschriebenen  Form  findet.    Das  Verfahren 
soll  nicht  nur  für  die  in  der  Ueberschrift  angegebenen  Reihen, 
sondern  auch  für  die  Formen  Ax+l  anwendbar  sein,  und  zwar 
für  Ax+1  einen  unmittelbaren,  füril^  —  l  einen  etwas  umständ- 
licheren Beweis  liefern.  Sn. 


J.  J.  Sylvester.  On  the  divisora  of  the  sum  of  a  geo- 
metrical  series  whose  first  term  is  unity  and  common 
ratio  any  positive  or  negative  integer.     Natare  XXXVIL 

417-418. 


Capitel  2.    Zahlentheorie.  177 

Ueber  die  Divisoren  des  AuBdrucks: 

r-1  ' 
Aus  diesem  Aufsatze  werde  zunächst  eine  neue  Benennung 
erklärt  Alle  algebraischen  Diyisoren  des  Ausdrucks  (Fermatiane 
benannt)  sind  auch  Diyisoren  eines  anderen  von  niederem  Grade 
mit  Ausnahme  eines  einzigen.  Dieser  eine,  so  zu  sagen  der 
„Kern"  (core)  oder  gewöhnlich  der  irreducible  primitive  Factor 
genannt,  wird  als  ,,cyklotomische^  Function  oder  ^^Cyklotom*'  der 
Basis  bezeichnet. 

Der  mit  Hülfe  dieser  Bezeichnung  bewiesene  Satz  lautet: 
9  Die  Summe  einer  geometrischen  Reihe,  deren  erstes.Glied  1 
und  deren  Quotient  irgend  eine  positive  oder  negative,  von  1 
oder  —1  verschiedene  ganze  Zahl  ist,  muss  wenigstens  ebenso 
viele  verschiedene  Primdivisoren  enthalten,  wie  die  Anzahl  ihrer 
Glieder  Divisoren  aller  Arten  enthält;  ausgenommen  ist  der  Fall, 
wenn  der  Quotient  —2  oder  2  und  die  Anzahl  der  Glieder 
gerade  im  ersten  Falle,  6  oder  ein  Vielfaches  von  6  im  anderen 
ist,  in  welchen  Fällen  die  Anzahl  der  Primdivisoren  um  1  ge- 
ringer sein  kann  als  im  allgemeinen  Falle^.  Den  Anstoss  zu 
dieser  Untersuchung  haben  die  Sätze  Ober  die  ungeraden  voll- 
kommenen Zahlen  gegeben.  Lp. 


.    F.  Panizza.     Nota  su  alcune   somme   di   potenze    e  di 

prodotti.      Genova  G.  1888.  8  8. 

Ist  p  eine  ungerade  Primzahl,  und  bezeichnet  man  durch  tt» 
irgend  ein  n-äres  Product  der  Zahlen  1,2,  ...,p  —  1,  durch  JSnn 
die  Samme  aller  solchen  Producte,  u.  s.  w.,,  so  werden  die  folgen- 
den Sätze  bewiesen: 

1.  ^i*  =  J(mod.p)  für*  =  J''^'---'''"^    (mod.p-l). 

2.  2;^*=^j(mod.p)fttrfe=^'^Y"''^'"^- 

3.  ^— =0(mod.p)  fürk  =  1,2,  ...,p-2. 

FortMhr.  d.  Math.  XX.  1.  12 


178  I^I*  Abschnitt.    Niedere  und  höhere  Arithmetik. 

4.    j;nr'=  ~]  (mod.  p)  (tlr  ik  =  J'f ''"f. 

Dazu  ist  Folgendes  za  bemerken:  Die  S&tze  1,2  sind  nicht  neu 
(siehe:  Serret,  Coars  d'alg.  sup.  V  6d.  N.  302);  ferner  kann  man 
den  zweiten  aus  dem  ersten  durch  die  Newton'schen  Formeln 
ganz  einfach  ableiten.     Der  Satz  3  ist  nicht  correct  ausgesprochen, 

denn  JS —  ist  keine  ganze  Zahl;  man  muss  sagen:  Ist  der  Bruch 

£ —  auf  seine   einfachste   Form   gebracht,   so   ist  der  Zahler 

durch  p  teilbar.  Endlich  möge  erwähnt  werden,  dass  der  vom 
Verfasser  aufgestellte  Beweis  des  Wilson'schen  Satzes  nicht  neu 
ist;  er  ist  nämlich  mit  dem  von  Wertheim  (Elemente  der  Zahlen- 
theorie, Leipzig  1887,  S.  186)  für  den  yerallgemeinerten  Wilson'- 
schen  Satz  angegebenen  identisch.  Vi. 


M.  Martone.     Nota  ad  una  dimostrazione  di  un  celebre 
teorema  di  Fermat.    Napoli.  Joveue.  6  s. 

Siehe  den  Bericht  Qber:  Martone,  Dimostrazione  di  un  celebre 
teorema  di  Fermat  (F.  d.  M.  XIX.  1887.  187-88).  Vi. 


C.  Garibaldi.      Nuova   dimostrazione  di  un  teorema  di 
Fermat.    Batt.  G.  xxvi.  197-200. 

Der    Fermat'sche   Salz  a^-*  =  1  (mod.  p)   wird   aus  Eigen- 
schaften des  Binomialcoefficienten 

abgeleitet.  Sn. 

H.  Keferstein,      Eine  Methode    zur    Bestimmung    der 

primitiven  Wurzeln  der  Congruenz  gT^^  ^  l  (mod.p), 

für  einen  reellen  Primzahimodul  p.     Hamb.  Mitt.  8. 256-265. 

Exhaustion  durch  Loschen  aller  Potenzreste,  deren  Exponenten 

den  Teilern  von  p  —  1  entsprechen,  u.  s.  f.  Sn. 


Capitel  2.    Zahlen tbeorie.  179 

Jos.  Mater,     üeber  die  Grösse  der  Periode  eines  un- 
endlichen Decimalbruchs  oder  die  Oongruenz  lO'^l 

(mod.   P).      Pr.  d.  E.  StadienaoBt.  BorghauBeo.  52  S. 

Einheitliche  Bearbeitang  des  bekannten  Materials  mit  ge- 
ringen Zusätzen.  Im  Anhang  zwei  Tafeln,  deren  erste  die  Indices 
von  2  and  5  für  je  eine  angegebene  primitive  Wurzel  aller 
Prinazahlen  und  Primzablpotenzen  unter  1000  enthält;  die  zweite 
ausgedehntere  giebt  an,  welche  Divisoren  von  p  —  1  der  Stellen- 
zabl  des  Decimalbruchs  gleich  werden.  Sn. 


L.  Gegenbaubr.     Note  über   das  quadratische  Recipro- 

citätSgesetZ.     Wien.  Ber.  XCVII.  427-431. 

Erweiterung  des  Geltungsbereiches  für  eine  bestimmte  Fassung 
dieses  Gesetzes.    Neue  Relation  zwischen  grössten  ganzen  Zahlen. 

'_ Sn. 

J.  Hacks.     Scbering's  Beweis    des  Reeiprocitäts  -  Satzes 
für  die  quadratischen  Reste  dargestellt  mit  Hülfe  des 

Zeichens   [x].      AeU  Math.  XII.  109-11L 

Der  Beweis   des   Herrn   Schering   findet   sich    Gott.  Nachr. 
1879,  S.  217  (vgl.  F.  d.  M.  XI.  130).  Sn. 


H.  Bork.     Untersuchungen  über   das   Verhalten   zweier 
Primzahlen   in  Bezug   auf  ihren    quadratischen  Rest- 
charakter.    Di88.  Halle.  21  S.  4^ 
S.  F.  d.  M.  XVII.  1885.  152. 


L.  LiBBETRUTH.      Beitrag    zur    Zahlentheorie.      Pr.  Herz. 

FraDCiBceiiiD  Zerbst. 

Eigenschaften  der  Zahlenreihe: 

Pn  =  xPn-i  —  Pn—2» 

Grösste   gemeinschaftliche    Teiler,    einige   Summirungen,   Rest- 

12* 


180  m*  Abschnitt    Niedere  und  höhere  Arithmetik. 

Systeme,  Zahlen  mit  negativem  Index,  Entwickelang  als  ganze 
Function  von  x^  Beziehungen  zu  den  Näherungswerten  eines 
Kettenbruches.  Sn. 


M.  Fkolow.     Sur  les  egalit^s  k  deux  degr^s.    G.B.  GVII. 

881-832. 

Eigenschaften  der  Zahlengruppen,  welche  den  beiden  Glei- 
chungen 

Ol  +««+'•'  + öl.  =    A^+A^ -}"•'  + An, 

a]  +  al  +  -'  +  ai  =  ^J  +  JJ  +  ...  +  J> 
gleichzeitig  genügen.    (Blosse  Ankündigung).  Sn. 


L.  Gegknbaüer.      Zwei    Eigenschaften    der  Primzahl  3. 

Wien.  Ber.  XOVII   271-276. 

„Das  Quadrat  von  3  ist  die  einzige  Potenz  einer  Primzahl, 
welche  sich  als  Summe  der  a^*°  Potenzen  von  zwei  ganzen  posi- 
tiven teilerfremden  Zahlen  darstellen  lässt,  wo  a  mindestens 
einen  ungeraden  Divisor  (ausser  1)  besitzt.^  —  „Das  Quadrat 
von  3  ist  die  einzige  Potenz,  welche  unmittelbar  auf  die  Potenz 
einer  Primzahl  folgt.^  —  Diese  Sätze  liefern  zugleich  die  Be- 
weise einiger  empirischen  Theoreme  des  Herrn  Gatalan. 

Sn. 


Tb.   Pepin.      Sur    quelques    formules    d'analyse    utiles 
dans  la  tb^orie  des  nombres.    Joam.  de  Math,  (i)  IV.  83-127. 

Die  sehr  umfangreiche  Abhandlung  will  eine  lange  Reihe 
von  Liouville'schen  Formeln  (Journal  (2)  III  u.  f.  bis  X),  welche 
sich  auf  Zerlegungen  von  der  Form: 

aa  +  bß  ==  dd 

beziehen,  im  Zusammenhang  beweisen,  Anwendungen  auf  qua- 
ternäre  quadratische  Formen  u.  dgl.  soll  ein  folgender  Artikel 
bringen.  Sn. 


Capitel  2.    Zahleoiheorie.  181 

N.  Sarkab,  ä.  Martin.     Solution  of  question  9237. 

Ed.  Times  XL VIII.  118*119. 

Drei  rechtwinklige,  inhaltsgleiche  Dreiecke  zu  finden,  deren 
Seiten  gante  Zahlen  sind.  Die  Lösung  wird  allgemein  ange- 
geben, sodann  in  den  kleinsten  Zahlen: 

1)  24,    70,    74;        40,    42,    58;      15,  112.  113. 

2)  120,  182,  218;      105,  208,  233;      56,  390,  394. 

Lp. 

F.  J.  Stüdnicka.      üeber  die  allgemeine  Auflösung  der 
unbestimmten  Gleichung  zweiten  Grades 

axy+x^—y^  =  ±  1- 

Prag.  Ber.  92-95. 

Zusammenhang  der  Reihe  der  Lösungen  mit  den  Näherungs* 
werten  eines  Eettenbruchs.  Sn. 


R.  Marcolongo.     Sulp  analisi  indeterminata  di  2^  grado. 

NoUII»   Batt.  G.  XXVL  63-85. 

Analyse  der  diophantischen  Gleichung: 

Ax^+2Bxy  +  Cy*+F  =zO, 

Vollständige  Literatur.     Ueber  die  frühere  Note  siehe  Batt.  6. 
XXV.  161-173,  F.  d.  M.  XIX.  1887.  182.  Sn. 


B.  H.  Raü,  H.  Plamenewsky,  H.  L.  Orchard.     Solution 

of  question   9111.       Ed.  Times  XL VIII.  48. 

Lösung  der  Gleichung  x^—19y*  =  81  in  positiven  ganzen 
Zahlen.  Lp. 

R.  W.  D.  Christie.     Notes,   Solutions,    and   questions. 

Ed.  Times  XLIX.  159-182.  (Appendix  IV). 

Der  Verf.  hat  hier  eine  grössere  Anzahl  von  Lösungen  ver- 
schiedener Aufgaben  vereinigt,  von  denen  die  Mehrzahl  der 
Zahlentheorie  angehört.    Unter  il,  „diophantischer  Analysis^,  sind 


182  m*  Abschnitt.    Niedere  und  höhere  Arithmetik. 

15  Aufgaben  enthalten.  Der  Abschnitt  B  beschäftigt  sich  mit 
der  Zerlegung  einer  Zahl  in  Quadrate  (12  Aufgaben);  in  C  wird 
die  Auflösung  in  Kuben  behandelt.  In  D  folgen  Lösungen  yer 
schiedenartiger  älterer  Aufgaben,  unter  E  neu  gestellte  Fragen. 

Lp. 

K.  ScHWERiNG.      Eiue   Eigenschaft   der    Primzahl   107. 

Acta  Math.  XI.  119-120. 

Die  Ansicht  des  Herrn  Kronecker  (J.  für  Math.  XCIV. 
359-360),  dass  es  nicht  immer  möglich  sei,  die  aus  der  Theorie 
der  Ereisteilung  bekannten  Ausdrücke  (a,  x^  als  Producte  con- 
jugirter  Factoren  }p  darzustellen,  wird  hier  durch  ein  neues  Bei- 
spiel bestätigt  (vgl.  F.  d.  M.  XIV.  1882.  48-49;  XIX.  1887. 
177-178).  Sn. 

L.  Kroneckbr.  Ueber  die  arithmetischeD  Sätze,  welche 
Lejeune  Dirichlet  in  seiner  Breslauer  Habilitations- 
schrift entwickelt  hat.     Berl.  Ber.  417-423. 

Die  Primteiler  jeder  Form  zweiten  Grades  sind  durch  ge- 
wisse Linearformen  charakterisirt;  bei  «"+1  findet,  wie  Euler 
zeigt,  dasselbe  statt;  Dirichlet  fQhrt  dieselbe  EigentQmlichkeit  bei 

den  Formen  ü^  T«,  welche  durch  (a?+V«)*  =  Ün+VnYi  definirt 
werden,  an  und  bestimmt  die  Primteiler  von  F«,  falls  n  Prim- 
zahl und  von  Un,  falls  n  eine  Potenz  von  2  ist. 

Herr  Eronecker  bebandelt  das  Problem  mit  Hülfe  Yon  Modul- 
systemen auf  rein  arithmetischem  und  ganz  im  absoluten  Ratio- 
nalitätsbereiche der  gewöhnlichen  Zahlen  bleibendem  Wege,  und 
lost  es  in  Überraschend  einfacher  Weise  für  jedes  n  und  z. 
Statt  der  F»  betrachtet  er  den  „primitiven"  Teiler  Gn  von  Vn 
(durch  den  dann  auch  das  Problem  der  Un  gelöst  wird),  und 
setzt  diesen  mit  der  merkwürdigen  Gongruenz  in  Verbindung 

/7(a;-Ä0  =  Fn{x)    (mod.  JF,(»», 

wobei  F„  das  Polynom  der  primitiven  n**"  Einheitswurzeln  be- 
deutet, und  r  ein  vollständiges  System  (mod.  n)  incongruenter 
Zahlen  durchläuft,  die  zu  n  relativ  prim  sind.     Hierdurch  gelingt 


Gapitel  2.    Zahlentbeorie.  133 

es,  die  Primteiler  q  von  (?„,  welche  nicht  in  n  enthalten  sind, 
mittels  der  Congruenz  q^\ — J  (mod.  ti)  zu  charakterisiren. 

No. 


E.  Busche.     Zur    Anwendung    der    Geometrie    auf   die 
Zahlentbeorie.     J.  fär  Math.  oiv.  32-37. 

In  einer  früheren  Abhandlung  des  Verfassers  (J.  für  Math. 
C.  461,  F.  d.  M.  XIX.  1887.  170)  findet  sich  die  Verallgemeine- 
rung einer  Formel  des  Herrn  Hermite,  welche  hier  geometrisch 
abgeleitet  und  auf  complexe  Zahlen  ausgedehnt  wird.  Neben 
ganzen  Punkten  werden  ganze  Strahlen  betrachtet.  Das  Haupt- 
gewicht wird  auf  die  principielle  Bedeutung  der  Methode  gelegt. 

_    Sn. 

E.   Busche.     Ueber  die  Euler'scbe  9)- Function.  Math.  Ann. 

XXXr.  70-74. 

Bezeichnet  q>(x)  die  Anzahl  aller  zu  x  teilerfremden  Zahlen, 
welche  kleiner  als  x  sind,  und  legt  man  der  Zahl  x  alle  Werte 
hij  welche  die  Bedingungen: 

r-f  r  V  a?  ^        r      r 

(y  =  1,  2...,r;    y'  =  1,2,  ...,  rO 
erfiUen,  so  ist 

2q>(x)  =  r .  r' .  d'. 
Diese  Formel  enthält  als  Specialfall  das  bekannte  Theorem  von 
Gaiss,  welches  für  die  qp- Function  charakteristisch  ist. 

Sn. 

E.  Busche.     Ueber  grösste  Ganze.     J.farMath.cm.  118-125. 

Eine  unmittelbare  Ableitung  des  Reciprocitätsgesetzes  ist 
aus  folgender  Modification  des  Gauss'schen  Lemmas  möglich: 
„Die  ungerade  positive  Primzahl  p  ist  quadratischer  Rest  oder 
Nicht'est  der  ungeraden  positiven  Primzahl  9,  je  nachdem  die 

AnzaU  der  Zahlen  l.-|-,  2.-|-, "»,  ^T    » -~-,  welche  zwischen 


184  m*  Abschaut.    Niedere  aod  höhere  Arithmetik. 

einem  ungeraden  und  dem  darauf  folgenden  geraden  Vielfachen 

von  -|-  gelegen  sind,  gerade  oder  ungerade  isf    Diese  Formu- 

lirung,  welche  in  mehrfacher  Hinsicht  einen  Ausblick  auf  das 
biquadratische  Reciprocitätsgesetz  gestattet,  tritt  hier  als  sehr 
specielle  Folge  einer  allgemeinen  Relation  zwischen  Summen 
von  grössten  ganzen  Zahlen  auf.    Es  bezeichne 

a— l<[a]<a    und    a— l<[a]'<a. 
Die  reellen  Functionen  y  =  f^X^)  und  deren  inverse  x  =  f^^(y^ 
seien  zwischen  den  Grenzen  x  =  a  und  x  =  b  endlich,   stetig, 
eindeutig,  b>a,  y  dazwischen  niemals  abnehmend;  F  eine  be- 
liebige Function.    Dann  ist: 

Es  werden  mannigfaltige  Specialisirungen  dieser  sehr  umfassen- 
den Formel  gegeben,  bei  welchen  Analogien  mit  Integralformeln 
hervortreten.  Sn. 


E.  Meissbl.     Ueber  Restsummen.     Pr.  Ober-Reaisch.  Kiel. 
Für  die  Anzahl  der  in  der  Reihe: 


«/f.  'U'-'^h 


enthaltenen  Reste,  welche  unter  einem  vorgeschriebenen  echen 
Bruch  liegen,  wird  eine  scharfe  Formel  und  Näherungsfornsln 
gegeben.  Mittelwert  aller  Reste.  Beziehungen  zur  Gammafunctbn. 
Zahlenbeispiele.  Sn. 

M.  Lerch.     Sur  une  formule  d'arithmdtique.    DarbonxJaii. 

(2)  XII.  100-108. 

M.  Lerch.     Th^orömes  d'arithmötique.    Darbou  Bali.  (2x11. 

121-126. 

M.  Lerch.     Sur  une  formule  d'arithmätique.     c.  r.  CVL 

186-187. 

Die  Divisoren  von  p  .seien  geteilt  in  solche,  welche  gösser 
als  q  und  in  solche,  welche  nicht  grösser  als  q  sind ;  die  inzahl 


Gapitel  2.    Zahlenibeorie.  185 

der   ersteren   sei    tp(pj  9),    die   Anzahl    der    letzteren   x(p,  9). 
Alsdann  lautet  die  Formel  des  Herrn  Lercb: 

2:  [i^(m-aa,  *+a-l)-x(»»— oa,  a)] 

a=U 

+  Ü*[V(«»+ia,  A-l)-;c(m  +  ia,  a)l  =  0. 
1=1 

Diese  Formel  wird  abgeleitet  aus  der  Gleichung: 


r=i  (1— «?•')( l—x«+»')         1— a:«  i,t^i  1— a;"       aSw^i  1— a;«+ 
und  andererseits  zu  der  Formel  des  Herrn  Hermite: 

n— 1 


2!  e(x+—)=z  Efnx) 


in  Beziehung  gesetzt  Zahlreiche  Specialisirungen  ergeben  be- 
sonders Eigenschaften  der  ^-Function,  sowie  einen  Beweis  eines 
Satzes  von  Catalan,  wonach  die  Gesamtanzahl  der  ganzzahligen, 
nicht  negativen  Losungen  der  n  Gleichungen 

fec-|-(a?+l)y  =  **—* 
(*  =  1,  2, ...,  n) 

genau  gleich  n  ist.  Sn. 

A.  Stbnad.     Vier  arithmetische  Lehrsätze.      Casop.  xvii. 

204.  (Böhmisch.) 

Erweitert  Lerch's  Abhandlung  „Deux  thöoremes  d'arith- 
m^tique""  (Prag.  Ber.  1887.  683,  F.  d.  M.  XIX.  168)  um  weitere 
zwei  Sätze,  nämlich 

(II)     iy(«+^,^)  =  «(2n  +  i), 

(IV)      -iV(«-(,, ,)  =  ^^, 

wobei  W(a,  ß)  alle  über  ß  liegenden  Teiler  der  Zahl  a  bezeichnet. 

Std. 

N.  W.   BuGAiBFF.     Sur   les  fonctions   discontinnes   loga- 
rithmiques.     c.  R.  ovi.  1067-1070. 


186  m*  AbachniU.    Niedere  und  höhere  Arithmetik. 

Unter  discontinairlichen  logaritfamischen  Funetionen  ver* 
steht  der  Verfasser  alle  arithmetischen  Functionen,  welche  ein 
dem  logarithmischen  gleichgeartetes  Additionstheorem  besitzen. 
Er  weist  an  einem  sehr  verwickelten  Beispiel  nach,  wie  sieh 
eine  derartige  Grundeigfenschaft. benutzen  Iftsst.  Sn. 


N.  W.  BuGAiBFP.  Die  Eigenschaften  eines  Zahleninte- 
grals nach  den  Divisoren  und  seine  verschiedenen 
Anwendungen.    Die  logarithmischen  Zahlenfunctionen. 

Mosk.  math.  Samml.  XIII.  757-777.  (Rassisch.) 

Es  sei  9(11)  eine  Zahlenfunction,  welche  durch  die  Gleichungen: 
}(1)  =  1,  g(a)  =r  —  1,  q{ab)  =  +1)  q(abc)  =  —1  u.  s.  w.  und 
die  Bedingung  definirt  ist,  dass  sie  fttr  alle  übrigen  durch  ein 
Quadrat  teilbaren  Zahlen  Null  ist.  In  der  Abhandlung  wird  be- 
sonders die  Summe  L(n)  =  2nq{d)  \og{d)  (auf  alle  Divisoren  d 
der  Zahl  n  ausgedehnt)  betrachtet.  Diese  Function  hat  fol- 
gende Eigenschaften:  lr(l)  =  0,  L(a)  =  —  loga,  L(a^)  =  —  log(a), 
L(ja!^ycy^  . . .)  =  L{Qbc  . . .)  =  0.  Ihre  Betrachtung  führt  zum 
Beweise  der  Tschebyschefifschen  Formeln  ftlr  die  Function  0(n), 
welche  die  Anzahl  der  n  nicht  übersteigenden  Primzahlen  giebt 
Die  Eigenschaften  des  Zahlenintegrals  2nq{d)  log(d)  können  auch 
auf  das  Zahlenintegral  2nq(d)  L(d)  ausgedehnt  werden,  wenn 
L(n)  den  Hauptbedingungen  genügt: 

L(l)  =  0,  L(n' .  «")  =  L(n')  +  L(n''). 

Der  Verfasser  nennt   solche  Functionen    „logarithmisch   discon- 
tinuirliche^  Functionen.  Wi. 


N.  W.  BüQAiBFF.  Allgemeine  Methoden  der  Berechnung 
der  Zahlenintegrale  nach  den  Divisoren.  Natürliche 
Klassification  der  ganzen  Zahlen  und  der  discontinuir- 
lichen  Functionen.     Mosk.  math.  Samml.  xiv.  1-45. 

Die   Methode   der   Berechnung   der   Zahlenintegrale,    d.  h. 
der  auf  alle    Divisoren  d  der    Zahl  n  ausgedehnten   Summen 


Capitel  2.    ZahleDtheorie.  187 

^»0(^1  beruht  aaf  der  folgeDden  Regel :  „Um  das  Zahlenintegral 
nach  den  Divisoren  einer  Zahl  n  =  a^b^c^  ...  zu  finden,  setze 
man  anstatt  d  den  Ausdruck  a^'b^'&'  . . .  und  berechne  die 
Summe  nach  a!  von  0  bis  a,  nach  ß'  von  0  bis  ß^  u.  s.  w.** 
Es  werden  viele  Beispiele  gegeben,  welche  diese  Methode  er- 
läutern. So  wird  der  Wert  des  Zahlenintegrals  2nL(d)  ermittelt, 
wo  L(ft)  eine  discontinuirliche  logarithmische  Function  (siehe  das 
vorhergehende   Referat)   ist,    welche   die   Gleichung   befriedigt: 

L(n)  =  Kfi^'b^cr  . . .)  =  xp(a) .  a+xpQi) .  ß+tp{c)  .  y  +  . .  .; 
i^(fi)  ist  eine  willktlrliche  Zahlenfunction.    Man  hat 

2nLCd)  =  i(a+l)  {ß+D  (y+1)  [a^(a)  +  ßtp(b)  +  yxpdc)]. 

Wi. 

N.  W.  BuGAiEPF.     8ur  une  integrale  num^rique  suivant 
les  diviseurs.    *C.  R.  CVI.  652-653. 

Ist  die  Function  V(n)  durch  die  Gleichung  definirt: 

Snl^d)  =  logn, 
(die  Summation  Ober  alle  Teiler  d  der  ganzen  Zahl  n  ausgedehnt), 
so  ist  fQr  jede  Primzahlpotenz 

r(pf)  =  logp, 

für  alle  anderen  Werte  /'(n)  =  0.  Es  sei  ferner  q(n)  eine  nu- 
merische Function  von  der  Eigenschaft,  dass 

9(1)  =+1,     9(a)=-l,     g(a6)=+l,     g(a6c)  = -1, 

verschwinde  also  für  jede  durch  ein  Quadrat  teilbare  Zahl.  Als- 
dann wird 

2nqid)loed=^  -r(n). 

Von  dieser  Gleichung  werden  drei  Anwendungen  gegeben,  von 
denen  zwei  Reihenform  haben,  und  deren  dritte  einen  Ausdruck 
fbr  die  Bernoulli'schen  Zahlen  als  Quotienten  zweier  unendlichen 
Producte  giebt.  Sn. 

E.  Cesaro.     Sur  une  fonction  arithm^tique.      c.  r.   CVI. 

1340-1343. 

Herr  Cesaro  hat  sich  mit  der  im  vorigen  Referat  erwähnten 
Function  V(n)  bereits  früher  beschäftigt.     Er  zeigt  den  Zusammen- 


188  It^'  Abschnitt    Niedere  und  höhere  Arithmetik. 

Lang  derselben  mit  auderen  zahlentheoretischen  Functionen,  leitet 
die  oben  erwähnte  Form  der  Bernoalli'schen  Zahlen  ab  und 
giebt  eine  ähnliche  für  die  Euler'schen  Zahlen;  zum  Schluss 
ruft  er  einen  Satz  von  Halphen  in  Erinnerung,  wonach  die 
Summe 

r(i)+/'(2)  +  ...  +  r(n) 

asymptotisch  gegen  n  convergirt.  Sn. 


E.  Cesaro.     Sur   les   lois    asymptotiques    des   nombres. 

Rom.  Acc.  L.  Bend.  (4)  IV.  452-457. 

Der  Verfasser  stellt  folgende  Verallgemeinerung  eines  Cauchy'- 
sehen  Theorems  auf:  „Es  ist  für  n  =  oo 

lim   aiSi+a,9,  +  '"  +  anen   ^  j.^    at+a,  +  '"  +  an 

*i«j  +  *j*jH H*««»  &i4-^H b  ^n    ' 

wenn  der  zweite  Grenzwert  existirt  und  wenn  das  Verhältnis 
der  Zahlen 

(*i+^  H f-  60«»i+i»    fti«i+^«.  H h  &«€• 

endlich  bleibt,  während  ihre  Differenz  ins  Unendliche  ohne  Oscil- 
lationen  wächst^.  Aus  den  Anwendungen  sei  der  folgende  allge- 
meine Satz  hervorgehoben:  j,Ist  k  der  mittlere  Wert  einer  (stets 
endlichen)  Function  f(n),  so  convergirt  die  fiber  alle  Teiler  von 
n  erstreckte  Summe  der  Werte  dieser  Function  asymptotisch 
gegen  fc  log fi".  Sn. 

E.  Cesaro.      Sur    les    syst^mes    des    nombres    entiers. 

Rom.  Acc.  L.  Reod.  (4)  IV.  457-462. 

Häufigkeitsbestimmungen  für  Zahlen  von  irgend  welchen 
Eigenschaften  innerhalb  eines  irgendwie  definirten  Zahlkörpers; 
Anwendungen  der  im  vorigen  Referat  erwähnten  Sätze. 

Sn, 

E.  Cesaro.     Sur  les  fondements  du  calcul  asymptotique. 

0.  R.  OVI.  1651-1654. 

Jensen.     Observations  sur   une  communication   r^cente 
de  M.  Cesaro.     c  R.  ovii.  81-82. 


Gapitel  2.    Zahlentbeorie.  189 

E.  Gesaro.  Remarques  relatives  aux  objections  faites 
par  M.  Jensen  k  l'une  de  ces  prdcddentes  Commu- 
nications.   C.  R.  CVII.  426-427. 

E.  Gesaro.     ßur  une  proposition  de  la  tb^orie  asymp- 

totique   des   nombres.      Annali  di  Mat.  (2)  XVI.  1 78-180. 

Der  in  diesen  Noten  auftretende  Meinungsunterschied  bezieht 
sich  auf  den  Begriff  der  asymptotischen  Annäherung  und  ist  in 
letzter  Instanz  nur  eine  Differenz  des  Wortgebraucbs.  Herr  Jensen 
nennt  asymptotisch  die  Annftherung  an  eine  feste  Grenze,  fttr 
welcbe  Herr  Gesaro  flberhaupt  keine  neue  derartige  Bezeichnung 
nötig  findet,  während  er  die  Annäherung  des  mittleren  Wertes 
einer  Function  an  eine  feste  Grenze  kurzweg  als  asymptotisch 
bezeichnet  wissen  möchte.  So  ist  also  das  Wort  in  folgenden 
beiden  Sätzen  Cesaro's  zu  verstehen:  „Die  Anzahl  der  mit  einer 
gewissen  Eigenschaft  behafteten  Teiler  von  n  ist  asymptotisch 
zu  logn  multiplicirt  mit  der  Wahrscheinlichkeit,  dass  irgend  ein 
II  dieselbe  Eigenschaft  habe^.  „Die  Anzahl  solcher  Zerlegungen 
von  fi  in  zwei  Factoren,  bei  denen  der  grösste  von  diesen  beiden 
eine  gewisse  Eigenschaft  haben  soll,  ist  asymptotisch  zu  logn, 
multiplicirt  mit  der  Wahrscheinlichkeit,  dass  der  grösste  gemein- 
schaftliche Teiler  irgend  zweier  ganzen  Zahlen  dieselbe  Eigen- 
schaft habe.''  Sn. 


P.  GoYEN.     Higber  arithmetic  and   elementary  mensu- 

ration.      New  York.  360  S. 


J.   Marchand.       La    science    du     nombre    en    g^n^ral. 

LoavaiD.  172  S.  (Antographi^). 


190  1^'-  Abschoitt.    Nieder«  nad  höhere  Arithmetik. 

B.    Theorie  der  Formen. 

C.  Jordan.     Sur   les  transformations   d'une  forme  qua- 
dratique  en  elle^mSme.     Jonro.  de  Math.  (4)  IV.  349-368. 

Es  handelt  sich  um  die  notwendigen  und  hinreichenden 
Bedingungen,  denen  eine  lineare  Substitution  S  genOgen  muss, 
um  eine  quadratische  Form  F  (von  nicht  verschwindender  De- 
terminante) in  sich  selbst  zu  transformiren. 

Ist  F  =  aj  die  Form  und  ^  =  |  a„  — «,  a,,, ...,  aji,  [  =  0  die 
zugehörige  charakteristische  Gleichung,  so  hängt  die  Lösung  der 
Aufgabe  bekanntlich  wesentlich  von  den  Wurzeln  der  Gleichung 
// =  0  ab.  Sind  «,,«„...  die  von  einander  verschiedenen 
Wurzeln  von  ^  =  0,  so  lässt  sich  durch  Einftlhrung  geeigneter 
neuer  Variabeln  die  Substitution  S  nach  Jordan  in  eine  kano* 
nische  Form  bringen,  in  der  die  einer  m, -fachen  Wurzel  t,  ent- 
sprechenden m^  Variabein  einer  und  derselben  „Klasse''  noch  in 
mehrere  „Reihen"  zerfallen  können,  sodass  die  Variabein  jeder 
Reihe  durch  sehr  einfache,  mit  s,  proportionale,  lineare  Func- 
tionen ihrer  selbst  ersetzt  werden.  Die  Anzahlen  der  Individuen 
jeder  Reihe  sind  nebst  den  »  Invarianten  der  Substitution.  Dem- 
gemäss  giebt  es  nur  eine  einzige  kanonische  Form  der  ange- 
führten Art  fttr  S,  und  es  kommt  die  Aufgabe  darauf  hinaus, 
diejenigen  Vertauschungen  der  Variabein  zu  ermitteln,  welche 
jene  Form  von  iS  ungeändert  lassen,  und  dadurch  zugleich  den 
Ausdruck  von  F  möglichst  zu  vereinfachen.  Solcher  Vertau- 
schungen existiren  aber  nur  zweierlei  Arten. 

Untersucht  man  jetzt  den  Einfluss  von  S  auf  J^  mit  Berück- 
sichtigung der  erwähnten  Vertauschungen,  so  folgt  bei  geeigne- 
ter Anordnung  der  Glieder  von  F,  dass  die  charakteristische  Glei- 
chung ^  =  0  eine  reciproke  ist  Sind  demgemäss  «,,  — ; «,,  — ; ... 

die  Wurzeln,  und  («,),  (y, );(«,),  (y,); ...  die  entsprechenden 
Klassen  von  Variabein,  so  zerlegt  sich  F  in  eine  Summe  von 
Formen,   die   bezüglich  je    zweier  zusammengehörigen  Klassen 


Capitel  2.    Zablentheorie.  191 

(x),(y)  bilinear  sind  und  nur,  wenn  eine  Wurzel  +1  oder  —  1 
existirt,  quadratisch  werden  können.  Zugleich  zerlegt  sich  S 
selbst  in  ein  entsprechendes  Product  S'S",  ...,  wo  jede  partielle 
Substitution  nur  die  Variabein  der  beiden  zugehörigen  Klassen 
&ndert. 

Dadurch  ist  die  ursprüngliche  Frage  auf  eine  Reihe  weit 
einfacherer  reducirt. 

Die  erwähnten  partiellen  bilinearen  Summanden  von  F 
weisen  in  ihrer  einfachsten  Gestalt  als  CoefScienten  nur  die 
BinomialcoefGcienten  der  successiven  Differenzen  m  — 1,  m  — 2, 
m  —  3j  etc.  auf.  Die  partiellen  Substitutionen  S\  S'\  •..  lassen  sich 
auf  die  beiden  Elementarformen  zurttckftthren : 

IL  I  »,  ...  Äsfp-i;  tej  ...  <Ä2p_i  I  (/  =  ±1). 

Das  sind  zugleich  die  nothwendigen  und  hinreichenden  Bedin- 
gungen, damit  S  die  Form  F  (die  also  dadurch  völlig  bestimmt 
ist)  in  sich  überführt.  Mj. 

J.  Studnicka.  Neue  Transformation  einer  homogenen 
quadratischen  Form  von  n  Variabelu  in  die  Summe 
von  n  Quadraten.     Prag.  Ber.  256-265. 

Ist  die  vorgelegte  quadratische  Form  f  =  aj,  und  bezeichnet 
Hg  die  Hesse'sche  Determinante  /if^®°  Grades 

so  haben  nach  einem  früheren  Ergebnisse  des  Verfassers  die 
Coefficienten  a  in  der  kanonischen  Darstellung  f  =  Ssx^i  die 
Bedeutung 

ex  =  -^    (ff.  =  1). 

Es  wird  hier  eine  neue  einfache  Ableitung  dieser  Formeln  gegeben, 
welche  ganz  direct  vorgeht  und  sich  auf  eine  Umformung  einer 
symmetrischen  Determinante  stützt,  welche  im  einfachsten  Falle 
lautet: 


192  ni.  Abscbnitt.    Niedere  und  höhere  Arithmetik. 


B.= 


•^11     "it     "!• 

«u  «fj   «n     =  «II 

«II     «11    «M 


«II  «11 

«II   «81  — «l>  «II  «11    «»  —  «?» 


«II  «11 


Auch  im  allgemeinen  Falle  werden  die  Elemente  a^  durch 
gewisse  zweireihige  Determinanten  derselben,  dividirt  durch  a,,, 
ersetzt.  My. 

Valyi.      Zur  Lehre    der    quadratischen  Formen.     Hoppe 

Arch.  (2)  VI.  445-448. 

Das  vielfach  untersuchte  Kriterium  dafür,  dass  eine  quadra- 
tische Form  mit  n  Veränderlichen  durch  lineare  Transformation 
in  eine  andere  mit  m(<n)  Veränderlichen  transformirt  werden 
kann,  bringt  der  Verfasser  in  die  Form,  dass  die  Determinante 
der  Form  nebst  ihren  sämtlichen  „  Diagonaldeterminanten ^  bis 
zum  (m-fl)^"  Grade  incl.  verschwindet.  Dabei  sind  Diagonal- 
determinanten diejenigen,  deren  sämtliche  Hauptdiagonalelemente 
zur  Hauptdiagonale    der   ursprünglichen  Determinante   gehören. 

My.    • 

A.  Mbter.     Ueber  einen  Satz  von  Dirichlet.    J.  far  Math. 

cm.  98-117. 

„Jede  eigentlich  primitive  binäre  quadratische  Form 

deren  Determinante  1>  =  6'  — ac  kein  Quadrat  ist,  stellt  unend- 
lich viele  Primzahlen  dar,  welche  zugleich  in  einer  gegebenen 
mit  den  Charakteren  des  Geschlechts  jener  quadratischen  Form 
verträglichen  primitiven  Linearform  ilfa;-{-iV  enthalten  sind."  Ffir 
die  erste  Hälfte  dieses  Satzes  hat  Herr  Weber  einen  Beweis  ge- 
geben (Math.  Ann.  XX,  301-330;  F.  d.  M.  XIV  141-142);  die 
hier  gegebene  Ergänzung  schliesst  sich  möglichst  eng  an  den- 
selben an.  Sn. 

L.  Geqenbauer.      Notiz    über    gewisse   binäre  Formen, 
durch    welche    sich   keine   Potenzen   von   Primzahlen 

darstellen   lassen.     Wien.  Ber.  XGVII.  368-373. 


Oapltel2.    Z»h]eiith«orie.  193 

Es  wird  bewiesen,  dass  die  binftre  Form: 

WO  die  a  (gewissen  Einschränkongen  unterliegende)  ganze  posi- 
tive Zahlen,  p  eine  ungerade  Primzahl  ist,  bei  positiven  Werten 
der  Variabeln  x^y  keine  Primzahlpotenz  darstellen  kann. 

My. 


H*   J.  8.  Smith.      Memoire    sur    la    repr^sentation    des 
Tiotnbres  par  des    sommes   de   cinq   carr^s.      M^m.  Sat. 

fitr.  (2)  XXIX.  No.  1.  72  8.  (1887.) 

Der  Band  der  Mämoires  des  Sayants  £trangers  mit  den 
wichtigen  preisgekrönten  Arbeiten  der  Herren  Smith,  Minkowski 
und  (s.  Abschn.  VI,  Oap.  7)  Appell  ist  der  Redaction  erst  kurz 
Tor  dem  Drucke  des  gegenwärtigen  Jahrganges  (1888)  zugäng- 
lich geworden.  Um  die  Abhandlungen  nicht  wieder  unbe- 
sprochen  zu  lassen,  beschränken  wir  uns  im  Folgenden  auf  Aus- 
züge aus  denselben. 

Die  Preisschrift  des  leider  zu  frflh  yerstorbenen  herror- 
ragenden  englischen  Oelehrten  hat  das  Motto: 

Quotqoe  quibusque  modis  possint  in  quinque  resolri 
Quadrates  numeri,  pagina  nostra  docet 
Sie  ist  in  17  Artikel  eingeteilt,  von  denen  die  ersten  die  For- 
sebuDgaergebnisse  des  Verfassers  auf  dem  Gebiete  der  quadra- 
tischen Formen  aus  seinen  früheren  Arbeiten  zusammenstellen, 
erläntem  und  ausführen  (Lond.  Phil.  Trans.  CLI,  1861;  GLVII, 
1867;  Lond.  R.  S.  Proc.  XIII,  XVI,  1867).  Aus  den  allge- 
meinen Betrachtungen  werden  im  Artikel  16  die  Folgerungen 
für  die  zu  lösende  Preisfrage  gezogen: 

.Da  die  Form  SxJ  («  =  1,2,3,4,5),  welche  ihre  eigene 
Contravariante  ist,  die  einzige  Klasse  darstellt,  welche  bei  einer 
quinftren  Form  von  der  Determinante  1  existirt,  so  kann  man 
offenbar  aus  den  vorangehenden  Theoremen  einen  Ausdruck  für 
die  Anzahl  der   Zerlegungen   einer    gegebenen  Zahl  M  in  fünf 

Fortachr.  d.  Math.  XX.   1.  13 


194  11^*  Abechnitt.    Niedere  und  hobele  Arithmetik. 

Quadrate  herleiten.  Zu  diesem  Zweeke  ha,t  man  die  Dichtigkeit 
des  einzigen  Genus  oder  der  beiden  Genera  der  quaternären 
Formen  (1, 1,  if)  zu  bestimmen,  welche  durch  f&nf  Quadrate 
dargestellt  werden  können.  Man  bezeichne  mit  y  diese  Dichtig- 
keit,; mit  fi.  die  Anzähl  der  ungeraxlen  Primdivisoren  von  Jlf;.y  sei 
gleich.  0,  1,  2,  je  nachdem.  1)  if  .ungerade  oder  s  2  (med.  4), 
2)  m  =4  (mod.  8),  .3)  «  =  0  (mod.  8);  JV  sei  die  Anzahl  der 
primitiT?en  Darstellungen  von  Jif  durch  fQnf  Quadrate.  Da  die 
Dichtigkeit  der  quinären  Klasse  l/n*i75  ist,  so  ergiebt  sieh  f&r 
iV  der  folgende  Ausdruck : 

AT  =  2*x  JT5><2''+>Xy, 

worin  ^  =:  2^^  ist,  f  einer  der  Coefficienten  der  Tabelle  oder 
die  Sumnie  aus  Zweien  •  dieser  Coefficienten.  '  Alles  kommt  also 
auf'' die  Bestimmung  des  Coeffleientfen  ^'  hihauö.  Sechs' Fälle 
smd  zu-  betrachten: 

I.  Jlf  =  3  (mod.  4)-,  IL  «  =  5  (mod.  8);  III.  M^  1  (tood.  8); 
IV.Af  S2  (mod.  4);  V.  af=4  (mod.«);    VI.  »EsO  (mod.  8). 

I.  ilf  =  3  (mod.  4).  Es  giebt  keine  geraden  Formen,  welche 
(1,  l,Jf)  als  Invarianten  besitzen^  und  folglich  giebt  es  nur  ein 
einziges  Genus,  das  eine  Darstellung  durch  eine  Summe  von 
fünf  Quadraten  zulässt.  £s  ist  also  X'  "»  ^,  dw  h.  ^  =  1,  weil 
ja  für  alle  Genera  f  =  L 

II.  Jlf  ^5  (mod. '8).  Es  besteht  ebensoWoHl  eine  getade 
wie  eine  ungerade  Ordnung  quaternärer  'Formen  mit  d«o  Inva- 
rianten (1^  1,  itf),  und  bei  jeder  dieser  beiden  Ordnungen'  besteht 
ein  Genus  von  Formen^  die  durch  eiüe  Summe  von=  fäaf  Qua- 
draten darstellbar  sind.  •   ' 

Bei  der  geraden  Ordnung  lässt  sich  die  Möglichkeitsbedin- 
gung, der  jeder  Genuschärakter  genügen  muss,   durch  die  Gtei- 

chung(-^;  =  (~l)"  oder      .         .  ; 

a  =  K«;  -  1)(Ö,  - 1)  +  Kö.  -  1)(ö;  - 1) 

•     +i(<?;~i)+Ke,-i)+Kö;-l)      (mod.  2) 

äusdrüeken.    Niin  ist  aber  |(0,  — 1)^1  (mod.  2),  weil  0,  eine 


Oapitel  2*    Zahlentheori«.  ^95 

gerade  Form  ist,  deren  erste  layariante  5  1  (m0d;  4)  isi;;  mitt- 
hin  ist  a=  1  (idod.  2),  indem  die  Formen  d[,^',  des  Aasdru^ked 
fClr  a  Ton  selbst  yerschwinden,  und  die :  Möglicbkeitsbddingung 
wird  *  ... 

(4-)=-'>*-(4-)=-t4-)=+>- 

Andererseits  führt  die  Gongruenz  — 0^  ^  D  (naod.  M),  welche 
die  notwendige  nnd  hinreichende  Bedingung^  dafür  ausdrückt, 
dass  ^,  als  eine  Summe  von  fttnf  Quadraten  dars^lbai^  ist,  z^^ 

dem   nämlichen  Werte  von  (-jp).    Daraus  schliesst*  man,   dass 

ein  gerades  Genus  vorhanden  ist,  welches  eine  derartige  Dar- 
stellung gestattet.  FQr  dieses  Genus  ist  ^  der  Wert  des  Coeffi- 
cienten  C.  -  ./      * 

Was  die  gerade  Oijdnung  anbetrifft^  so  genügt  das  d,urcli 
die  Gleichungen 

(-f )  =  (-1)«'-".  c-ir- (4)=^  1 

definirte  Genus  (q  ein  Primteiler  von  M)  der  Möglichkeitsbeäin- 
gung  und  ist  zugleich  als  Summe  von  fünf  Quadraten  darstell- 
bar: der  Coefficient  C  ist  i.     Durch  Addition  erhält  man 

IIL  Jf  ^  1  (med.  8).  Die  gerade  Ordnung  ist  imnier  Vor- 
banden,  aber  keine  Form  dieser  Ordnung  ist  durch  fünf  Quadrate 

danrtcUbar.    Da  nämlich  (-^)  =  + 1,  (^)  =  +  J,  i^t,  Bf^  i^t 

die  CongnienE  —  ö,  =D  (mod.  M)  mitäeV'MdglichkeiläBbödingUflg^ 

y-^J  =  —  1    vnvereiabar.     Bei .  der   ungeraden  Qrdnjingt  ist, 

wie  im  Falle  II.,  ein  durch  fünf  Quadrate  darstellbares^  Geitula^ 
vorhanden;   für  dasselbe  ist  ( — ly  ä  —  1,  ^  =  ^,  und  folglich 

IV.  M  ^  2  (mod.  4).  Hier  existirt  nur  ein  einziges  un* 
gerades  darstellbares  Genus,  und  es  ist  ^'  =  ^  =£  1. 

V.  If  =  4 (mod.  8);  Ä  =  4*'.  Aus  der  Gongruenz  —  ö^ ^  Q 

(mod.  Af)  schliesst  man  (— l)tc^»-i)  =  -i,  (-J^)=  (-l)*^^-^). 

13* 


196  m*  Abschnitt.    Niedere  und  höhere  Arithmetik. 

Bezeichnet  man  also  den  gemeinschaftliehen  Charakter  der 
Formen  d„  ö,  mit  (— ly,  so  ist  (— !)•  =  — 1|  weil  naeh  der 
Möglicbkeitsbedingung : 

Somit  folgt  C  =  i;   doch   ist  dieser  Wert  zu  verdoppeln,   >veil 
j=:l.    Also  ist  C  =  2C=i. 

VI.  If  =  0  (mod.  8).  Bezeichnet  man  wieder  den  grOssten 
ungeraden  Divisor  von  If  mit  M'j  so  ergiebt  sich  fllr  das  Genus 
der  durch  eine  Summe  von  fön f  Quadraten  darstellbaren  Formen: 

(-ly  =  1. 

Der  Wert  von  ^  ist  -1^;  da  er  jedoch  zu  vervierfachen  ist, 
so  stimmt  das  Ergebnis  mit  dem  von  Fall  V.  Qberein.*' 

Die  in  den  Formeln  auftretenden  Summen  unendlicher  Reihen 
werden  im  17.  Artikel  nach  einer  Methode  erhalten,  die  der 
Verfasser  schon  früher  zur  Anwendung  gebracht  hatte. 

Lp. 

H.  Minkowski.      Memoire    sur    la    thdorie    des    formes 
quadratiques    k    coefficients    entiers.^     Wm.  8a?.  itr.  @) 

XXIX.  No.  2.  180  S.  (1887). 

Wir  begnügen  uns  aus  dem  im  vorangehenden  Referate  an- 
geführten 6runde  mit  der  Wiedergabe  des  Inhaltsverzeichnisses 
dieser  umfangreichen  Arbeit. 

Erster  Teil.    Ueber  die  Reste  quadratischer  Formen. 

I.  Klassen  quadratischer  Formen:  Index,  Invarianten  und 
Ordnung  einer  Form. 

II.  Reste  von  Formen.  Die  Invarianten  o(f)  sind  ganze 
Zahlen. 

III.  Reste  und  Hauptreprisentanten  für  einen  Modul  M 

IV.  Existenzbedingungen  einer  Ordnung. 

V.  Theoreme  über  die  Hauptreste.  Fund  amental  formen  für 
einen  Modul  N. 

VI.  Gruppen  von  Formen  für  einen  Modul  iV.  Charaktere. 


Gapitei  2.    Zahlentheorle.  197 

VII.  Ueber  die  Anzahl  der  Lösungen  der  Congruenzeh: 

n 

f  =  JS^^i^k  ^  w    (mod*  N). 

1 

VIII.  BestimmaDg  der  Grössen  f(A;  q^  in  den  einfachsten 
Fällen. 

IX.  Charaktere  der  Hauptrepräsentanten  und  der  Funda- 
mentalformen. 

X.  Bedingungen  für  eine  Congruenz  f^g  (mod.  q^y 

XI.  Genera  von  Formen.  Bedingungen  für  die  Existenz 
eines  Genus. 

XII.  Adjungirte  Formen.  Reeiprocität  zwischen  den  Ord- 
nungen : 

Zweiter  Teil.  Ueber  die  Darstellungen  ganzer  Zahlen 
durch  quadratische  Formen. 

XIII.  Hülfssatz. 

XIV.  Darstellung  einer  Form  von  v  Variabein  durch  eine 
von  ff  Variabein  (y  <  n).  Aequiyalente  Darptellungen  und 
Gruppen  von  Darstellungen. 

XV.  Adjungirte  Darstellungen  und  adjungirte  Gruppen  von 
Darstellungen. 

XVI.  Darstellungen  ganzer  Zahlen  durch  Formen  mit  » 
Variabein. 

XVII.  Darstellungen  von  Formen  mit  n«—  1  Variabein  durch 
solche  mit  n  Variabein. 

XVIII.  Index,  Ordnung  und  Genus  einer  Form  von  n  —  1 
Variabein,  die  durch  eine  mit  n  Variabein  dargestellt  ist. 

XIX.  Ueber  die  Gesamtheit  der  Darstellungen  einer  ganzen 
Zahl  durch  die  verschiedenen  ITormen  eines  Genus  G. 

XX.  Mass  eines  positiven  Genus.  Mass  der  Darstellungen 
einer  ganzen  Zahl  durch  die  Formen  eines  positiven  Genus. 

XXI.  Ueber  die  Anzahl  der  Darstellungen  einer  ganzen 
Zahl  durch  eine  Summe  von  ffinf  Quadraten. 

XXII.  Ueber  die  Bestimmung  des  Masses  einiger  positiven 
Genera. 


198  nr.  Abschaitt.    Niedere  oiid  höhere  Arithmetik. 

XXill.  Ma6^  eine»  beliebigen  Gentts  ton  einer  Ordnhiig; 

.  (  ^J  ■  [0*  =  1  (mod.  2)]. 
NfOiie  tti^t*  die  Oongruenzen  f^g  (mod.  j*).  Lp. 


..'..  ,  i    •  •'     '•  •  • 


L.  Gbgrnbauer.  Zahlentheoretische  Notiz.  Wien  Ber.  XC vir. 

42049(5.  ;   ' 

Einige  Verallgemeinerungen  von  Sätzen  der  Herren  Cesaro 
i^nd  Busphe.  welche  dann  .wieder  auf  neue  Arten  specialisirt 
werden:  Ausdrücke  für  die  mittlere  Dichtigkeit  der  Primzahlen 
in  einem  Torgeschriebenen  Intervall;  Beziehung  zwischen  der 
AhsiaU  der  Darstellungen  von  9  dnr6h  das  System  der  quadra- 
tischen Formen  der  Discriminante  J  und  der  Anzahl  der  Trans- 
formationen  einer  Form  dieser  Discriminante  in  sich  selbst  u. 
dgl.  m.  Sn. 


•<  :     r 


P.  HiLBBRT.       Ueber  die  Darstellung   definiter   Formen 
als  Summe  von  Formenquadrate».       Math.  a^d.    XXXIL 
.342-350-  ;     .   .  : 

Eine  Form  gerader  Ordnung  n  mit  reellen  Goefficienten  und 
n  homogenen  Yaria^eln  heisse  allgemein  ^definit^,  wenn  die- 
selbe füf  jedes  reelle  Wertsystem  der  m  Variabein  einen  posi- 
tiven  Wert  abnimmt  und  überdies  eine  von  Null  verschiedene 
Discriminante  besitzt  Eine  Form  mit  reellen  Coeffieienten  wird 
eine  „reellö**  Foröi  genannt.  '         =      .' 

Den  bisher  bekannten  Darstellungen  solcher  Formen  als 
Summen  von  Forteenquädraten,  nämlich  I.  n  =  2,  m  beliebig, 
II.  n  beliebig,  m  =  2,  fügt  der  Verfasser  einen  weiteren  Fall  III. 
n  ^  4,  m  '^  3  hinzu;  insofern  je'de  Sefinite  biqüadi^atische  ter- 
näre  Forin  (und  zwar  noch  auf  dreifach  unendlich  viel^  Arten) 
sich  als  Sumtne  von  drei  Quadraten  reeller  quadratischer  Fbrmen 
darstellen  lässt. 

Weiterhin  aber  wird  das  merkwürdige,  bereits  von  Htn.  Min- 
kowski vermutete  Ergebnis   aufgedeckt,  dass  in  allen  sonstigen 


Capitel^.    Zahlentheorie.  199 

Fällen  stets  Formei)  existiren,  welche  sieh  nkht  ttts  todlicUe 
Summen  von  Quadraten  reeller  Formen  darstellen  lassen^.  Das 
BeweispriBcip  wird  zuerst  am  Beispiel  der  tetnären  Formen 
seehster  Ordnung  dargelegt 

Sa  werden  zuvörderst  solche  Forben  constrüirt,  welche  in 
acht  Punkten  verschwinden,  dagegen  für  alle  anderen  reellen 
Wertsysteme  der  Variabein  von  Null  verschieden  und  positiv 
ausfallen;  sodann  solche,  welche  sich  nicht  als  Summen  von  28 
oder  weniger  Quadraten  reeller  Formen  darstellen  lassen,  und 
mit  Hfllfe  dieser  endlich  solche,,  welche  sich  überhaupt  nicht  als 
endliche  Summen  von  Quadraten  reeller  Formen  'darstellen  lassen. 

Analog  bei  höhpr^n  yprf^en.«  \  .  i       /.  My. 


D.  HiLBBRT.     Lettre  adi^esöÄe^'ä  M.  Her  mite.    Joüra  deMath. 

,(4)  IV.  249-256. 

Der  Verfasser  giebt  hier  Anwendungen  eines  allgemeinen, 
von  ihm  früher  aufgestellten.  Prinöipes  auf  die  Theorie  der 
biquadratischen  binären  und  der  kubischen  ternären  Formen.  Ist 
f  =  Gg  eine  erstere,  so  werden  äiejenig^n  quadratischen  binären 
Formen  q>  —  aj  gcfifücht,  für  welche  (äayal  —  Aaj,  wo  X  ein 
constanter  Fäötör  ist."  Dann  hängt  X  von  der  bekannten  kubischen 
Gleiehun^  abt  *  *' 

J(X)  =  i'-U-  2j  =  (A-i,)a-i,)a-A,)  ^  Ö.  ' 

Die  Ränderung  der  Determinante  J(l)  mft  Grössen  x],  — ^a^n 
x?  erieugf  fdr  Ä  =  X,,  X„  A,  die  drei  wohlbekannten  Quadrate 
qpj,  ^J,  yj,  welche  sich  in  dem  Büschel /+ Äff  vorfinden  u.  s.  w^ 
Sucht  man  andererseits  solche  kubischen  binären  Formen  <p^  für 
die  analog  (/",  f\  =  k(p^  so  stösst  man.  auf  die  viel  untersij^chten 
beiden  Formenl)ü8cbel  qp,    deren  Jacobi'sche  Form    mit,/",  'den- 

r  .  *      »  I         . 

tisch  ist. 

Die'  Befolgung*  de&  nämlichen  Trincipes  führt  bei  einer 
kubischen  ternären  Form  auf  die  algebraische  Theorie  dei*  Wende- 
dreiseite der  bez.  Curve  dritter  Ordnung.  Dadurch  wird  für 
die   irrationalen   Covarianten  *  der   genanüten  Gebilde   und   den 


' 


200  ni.  AbschoiU.    Niedere  and  höhere  Arithmetik. 

ZusamineiihaDg  der  letzteren  ein  eiDheitlieher  Oesichtspankt  ge- 
wonnen. 

Znm  Schlosse  wird  gezeigt,  wie  sieh  die  Dftntellang  von 
Formen^  insbesondere  der  qaaternftren,  als  Potenssoninien  in  dem 
angegebenen  Sinne  gestaltet  M7. 


Gapitel  3. 
Kettenbrüche. 

F.  J.  Studni&ka.     lieber  die  Näherungswerte  der  Ketten- 
brttche  mit  constantem  Nenner.    Ca8op.xyii.aoo.(Böhmi8ch.) 

Bezeichnet  man  den  n^  Nfthemngswert  des  Eettenbmches 

mit  p» :  9»,  so  gilt  fBr  denselben  die  Formel 

g.  ""    a»    +  (n—l\  a— »+  (n-2),  a-*  +  -  • .  ' 

wobei  das  Symbol  (n)«  den  V*^  Binomialcoefficienten  bezeichnet 
und  die  Formel 

verwendet  wird,    wenn  Kn-u    die  Summe   von    Combinationa- 
producten  2j!p^°  Grades  ausdrQckt.  Std. 


J.  W.  Sle8CHIN8KY.     Ueber  die  Convergenz  der  Ketten- 

brttche.      Odesea.  Ges.  VIIL  97-127.  (Raesiech.) 

J.  W.  Slbschinsey.    Beweis  der  Existenz  einiger  Grenzen« 

Odessa.  Ges.  VIII.  129-137.  (Rassisch.) 

Es  werden  im  ersten  Artikel  folgende  Theoreme  bewiesen: 
1)   Wenn  die  Reihe  |  ^i  |  + 1  a,  |  +  *  *  *  convergent  ist,  so  ist  auch 


Gapiiel  3.    Ketteobrfiche.  201 

der  KettenbrQch 

conTergent  f&r  alle  eDdlichen  Werte  von  x  und  stellt  eine  tran- 
seendente  Function  mit  einem  wesentlich  singulären  Punkt  im  Un- 
endlidien  dar.    2)  Im  Falle  lima„  =  a^O  ist  der  Kettenbruch 

1+1^1  +   1^ 

convergent  f&r  alle  endlichen  Werte  Ton  x  mit  Ausnahme  der 
Werte  zwischen  0  und 3 — ,  wenn  die  Reihe 

IM  +  IM  +  -,    wo    6,  =  l-^, 

convergent  ist. 

Im  zweiten  Artikel  werden  dieselben  Theoreme  aus  der  Ab- 
hängigkeit zwischen  der  Convergenz  verschiedener  Reihen  abge- 
leitet Wi. 


A.  HuRwiTZ«    Ueber  die  Entwickelung  complexer  Grössen 
in  Kettenbrtlche.    Acta  Math.  XI.  I87-200. 

Den  Satz  von  der  Periodicität  der  Eettenbruchentwickelung 
quadratischer  Irrationalitäten  erweitert  der  Verfasser  auf  folgende 
Weise.  Aus  den,  wie  üblich,  durch  die  Punkte  einer  Ebene  dar- 
gestellten complexen  Zahlen  möge  ein  System  (S)  unendlich 
vieler  Zahlen  so  ausgewählt  sein,  dass  die  Summe,  die  Diffe- 
renz, das  Produet  je  zweier  Zahlen  des  Systems  wieder  Zahlen 
des  Systems  sind,  dass  femer  0  und  1  dem  System  angehören, 
dass  aber  in  keinem  endlichen  Teil  der  Ebene  unendlich  viele 
Zahlen  des  Systems  liegen.  Dann  werde  eine  beliebige  complexe 
Grösse  x^  in  einen  Kettenbrach  entwickelt  nach  dem  Schema: 

*•  =  «0  +  -r-j    ^1  =  «1  +  -— »  •  •  •  1  ^«  =  ^  + 


WO    die  a  irgend  welche  Zahlen  aus  (S)  sind;   es   sei   endlich 

—  der  !!*•  Näherungswert  und  a?,.  —  ^  =  -4  •     Falls  dann  0n 
9*  qn       ql 

für  alle  n  kleiner  als  eine  endliche  Grösse  q  bleibt,  9«  dagegen 


202  m<  Abschnitt.    Niedere  and  höhere  Arithmetik. 

mit  wachsendem  n  über  alle  Grenzen  wächst,  so  coflyergirt  der 
Kettenbruch  stets  und  zwar  gegen  x^]  er  bricht  nur  dann  ab, 
wenn  x^  der  Quotient  zweier  Zahlen  aus  (S)  ist;  er  wird  perio- 
disch, wenn  x  einer  quadratischen  Gleichung  gönflgt,  deren  Coef- 
fioienten  Zahlen  aus  (8)  sind. 

'    Die   tielen   Voraussetzungen   dieses  Satzes  sind   erfttllt   in 
zwei  interessanten  Beispielen. 

1.  (S)  sei  das  System  der  ganzen  complexen  Zahlen  m  +  ni, 
wo  t*  =  — 1.  Die  ganze  Ebene  wird  dann  in  Quadrate  geteilt, 
und  jedem  Punkte  xi  zugeordnet  der  Mittelpunkt  ai  des  Quadrats, 
welches  xi  enthält. 

2.  (S)  sei  das  System  der  gana^^n  complexen  Zahlen  m+ff^, 
wo  Q^  =  1.  Hier  wird  zu  demselben  Zwecke  die  ganze  Ebene 
in  reguläre  Sechsecke  zerlegt.  R.  M. 


G.  H.  Halphen.      Sur    la    convergence    d'une  fraction 
continue  algdbrique.    CR.  GVL  1326-1329. 

In    Fortsetzung  frttherer  Untersuchungen  1([ F.   d.  BT.  XVIL 

1885.  367)  hat  der  Verf.  die  Function:       .  .  ♦ 


in  einen  Kettenbruch  von  der  Form: 


»    t 


".  +  y»*± 


.      .t    ,  , 


entwickelt.  Hierbei  bedeuten  F(x)  ein  Polynom  4**"*  loder  S**" 
Grades  und  !<  eine  beliebige  complexe  Grösse«  In  dieser  AUge- 
meinheit  aber  fand  der  Verfasser  nur  den  Satz:  In  jedem  noch 
so  kleinen  Teil  der  Ebene  giebt  es  unendlich  Tiele  Punkte  $, 
für  welche  der  Kettenbruch  conve^girt,'  und  unendlich '  viele 
andere,  für  welche  er  divergirt.    Um  zu  genaueren  Resultaten 

m  -  -  '  ■ 

tiber  die  Gonvergenz  und  ihre  Gleichmässigkeit,  über  Periodicitftt 
etc.  zu  gelangen,   beschränkt  der  Verfasser'  sich  auf  den  Fall, 


QapitelS.    KeUeobrüche.  203 

WO  die  Tier  Wuraelwerte  von«  F(x)  t=  0  Punkte  einer  Kreis- 
peripherie-  siad  (die  reelle  Axe  ebenfalls-  als  Ereifi  betrachtet), 
ooid  wo  $  aacb  auf  dieeer  Peripherie  liögt  B.  M.  ' 

h  • 

••'  l't  ..'  ,  •  . 

•        •  I  <  1  '  ■ 

•  •  * 

H.  Gtlden.  Quelques  '  remarques  relativetiient  k  la 
repr^seiitation  des  nombi'es  irralionriels  au  niöyen  des 
frnctions  coutinues.    c.  R.  cvi  1564-15Ö7,  lYtt-lTSl.' 

Der  Verfasser  geht  von  dem  Erfahrungssatz  aus,  dass  bei 
der  Entwickelung  einer  Irrationalzahl  n  <  1  in  den  Kettenbruch 

1 
"=  1 


«,+ 


die  Quotienten  a«  gewöhnlich  nicht  grosse  Zahlen  seien.  Dies 
fuhrt  ihn  zu  der  Frage,  ob  es  für  eine  gegebene  Zahl  a  eine 
Wahrscheinlichkeit  giebt,  sie  als  Quotienten  anzutreffen.  Hier 
fehlt  durchaus  eine  nähere  Begriffsbestimmung  dieser  Wahrschein- 
lichkeit; denn  zu  sagen,  dass  die  Zahl  u  „zufällig^  (par  hasard) 
genommen  sei,  hat  keinen  hinreichend  genauen  Sinn.  Es  ist 
nicht  ersichtlich,  wie  der  Verfasser  sich  diesen  Uebergang  zur 
Grenze  denkt,  den  man  machen  muss,  wenn  man  den  Begriff 
der  Wahrscheinlichkeit  auf  unendlich  viele  und  sogar  nicht  ab- 
zählbare Dinge  ausdehnen  will-,  ebensowenig,  wenn  gesagt 
wird:  On  a  däveloppä  plusieurs  nombres  irrationnels  pris  occa- 
sioDoellement  (in  KettenbrQche).  Dem  Menschen  ist  es  schlechter- 
dings unmöglich,  eine  Irrationalzahl  „zufällig^  zu  nehmen.  Er 
muss  sich  an  einer  endlichen  Anzahl  von  Ziffern  in  der  dekadisch 
geschriebenen  Zahl  genügen  lassen,  was  zur  Folge  hat,  dass  der 
Zufall  nur  bei  der  Wahl  der  ersten  Ziffern  spielen  kann,  während 
er  später  völlig  ausgeschlossen  ist  durch  die  thatsächliche  Wahl 
von  lauter  Nullen.  Der  Verfasser,  welcher  die  von  ihm  ge- 
wählten „Irrationalzahlen*'  nicht  anführt,  teilt  eine  Tabelle  mit, 
welche  einerseits  die  theoretisch  ausgerechneten,  andererseits  die 
wirklich  erhaltenen  Resultate  kurz  zusammenstellt,  wobei  sich 
eine  grosse  Uebereinstimmung  zeigt. 


201  III.  AbscbDitt.    Niedere  nod  höhere  Arithmetik. 

Wenn  scharfe,  das  Wort  Zufall  hier  ersetzende  Begriffe  an 
die  Spitze  der  Untersuchung  gestellt  wQrden,  so  wflrde  sieh 
ganz  unzweifelhaft  ergeben,  dass  die  Wahrscheinlichkeit  ftlr  das 
Vorhandensein  einer  bestimmten  Zahl  unter  den  a  ganz  von  der 
Wahl  dieser  Begriffe  abh&ngt,  genau  so,  wie  man  durch  Um- 
stellung der  Summanden  einer  convergenten  Beihe,  deren  absolute 
Werte  aber  eine  divergirende  Reihe  bilden,  jeden  Wert  dar- 
stellen kaun,  oder  auch  gar  keinen.  Dz. 


Vierter  Abschnitt. 

Wahrscheinlichkeitsrechnung  und  Com- 

hinationslehre. 

Zogb.     Zar  Lehre  Ton  den  Cotnplexionen.      HoflmaDD  z. 

XIX.  16-19. 

Es  werden  die  Variationen  an  die  Spitze  gestellt  nnd  die 
Combinationen  und  Permatationen  auf  dieselben  zurückgeführt, 
während  gewöhnlich  in  den  Lehrbtichern  der  umgekehrte  Weg 
eingeschlagen  wird.  Lg. 

D.  Andre.     Etüde  sur  las  permutations  de  deux  esp&ces 

de  lettres.     Parii  Soc.  Phil  85-42. 

Der  Verfasser  knüpft  seine  Untersuchungen  an  die  Permu- 
tation von  a  Buchstaben  A  und  ß  Buchstaben  B.  Er  nennt  die 
Aufeinanderfolge  von  je  zwei  Buchstaben,  wenn  dieselben  ver- 
Bchieden  sind,  eine  Variation,  wenn  sre  gleich  sind,  eine  Per- 
manenz, und  untersucht  die  folgenden  beiden  Fragen: 

1.  Wie  gross  ist  die  Anzahl  Pa,ß,r  der  Permutationen,  deren 
jede  9  Variationen  enthält? 

2.  Wie  gross  ist  die  Gesamtzahl  Va,ft  aller  Variationen, 
welche  in  s&ratli<^en  Permutationen  vorkommen? 

Er  findet 


206    IV.  Abaehnitt.  WahrscbeiDlichkeiUrecboaDg  a.  OombiDatiooBlehre. 

(o-l)!     (ß-\)l       (a  +  ß-2-2k) 


Pa,ß,3k+i    = 


Vn.a   =  2 


ütl  (*  +  1)1  («  -  1  — *)  1  (/»- 1  -  *)! 

(0  +  /J-1)! 


«•^--(o- 1)10?- 1)1 

Da  bei  der  Ableitung  des  letzten  Satzes  angenommen  wurde, 
dass  a  >  /},  so  zeigt  der  Verfasser  noch  specieli,  dass  die 
Formeln  gtlltig  bleiben,  auch  wenn  a  =  ß  wird.  Ls. 


WORONTZOFP.  ;  JSlII*  Un^  tbÖ01*^in^'  de  Jl#,  Weill.    Nour.  Ann. 
(3)  vir.  97-99. 

Das  Theorem,  fQr  .welches  der ;  Verfitsser  efnen^  eletol^ta/^ 
Beweis  giebt,  ist  das  folgende:       *      ,  /,  < 

Ci  ^m  +  3'«  - . . .  =  ±  2*-s 

wo  C2  die  Zahl  der  Kombinationen  von  h  Dingen  ku  je  a:  be- 
deutet, und  h  =  3m -f  1,  3m 4-2  ist.  Dabei  wird  das  Zeioiien 
präcisirt,  und  der  Wert  0  für  A  =^  3m  bestimmt      .  .   .  No^ 


PiCQUET.     Quelques  tli^orfemes  sur  les  iiombres  figur^s 
et  leur   application  k   une    question    de    probabilites. 

J.  de  Math.  sp^c.  (3)  II.  150- 154,  172-176,  196-199. 

.»  '  '      ■ 

„        .  ^  m(m — l)...(m  — p  +  1)  u    *  i.         j- 

Es  sei  Cfn.p  =  — ^^ ^    L^ ^  %    80    bestehen    die 

^  1  . 2  ...  p  * 

Formeln: 

:?(-  lfC„,,       C„,.H^  =  0  (ft  =±  0, 1, 2, ...,  m^p), 

2(-  lyOn-k^l  an-Ä^  =0  (p  <  m  -  fc), 

S(-  1)*  Crn^H         (Z^t^  =^  0  CP  <  \^\ 

u.  s.  w.    Endlich 
m!  =  m'^-On,!  (m-l)-  +  C„.,2(m-2)« +  (- l)«.-i q^^_^. 

Diese  letzte  Formel,  welche  der  Verf.  als  Uebangsanfgabe  zum 
Beweise  vorgelegt  hatte,  kommt,  wie  Hr.  C^talan.  S.  236-237 
schreibt,  schon  in  Lacroix's  Traitö  du  calcul  diffärentiel  et  du 
calcul  intÄgral,  T.  III.  p.  26  vor.  l-p. 


IV.  Abscboitt.  Wahraoheiolichkeitsrechonog  D.  Combinatiooslehre.    207 

F.  ß.  J.  Hervey.     Solution  of  question  8461..  EcJ.  Umea 

XLIX.  J>l-93. 

•  •  ■■  , 

Es  soll  bestimmt  werden,  auf  wie  viele  Arten  n  Verszeilen 
gereimt  werden  können,  1)  falls  keine  Zeile  ungereimt  bleibt 
(yn),  2)  falls  die  Beschränkung  in  1)  fortfällt  (fn).  Der  Ver- 
fasser zeigt,  wierdie  Zahlen  q>n  und  fn  zu  berechnen  sind,  und 
giebt  die  Tabelle  der  ausgerechneten  Werte  von  n  =  3  bis  14. 
Im  letzteren:  Ffitle,  .  dem  des  Spnnetts,;  ist  f  =;=  190899322, 
^=?4  011157.  Lp. 

A.  Macfablanb.     Problem  in  relationship.    Edinb.  Proc.xV; 

116-117. 

Die  von  Brn:  Kirkman  gestellte  Aufgabe  lautet:  Zwei 
Knaben  Smith  und  Jones  gleichen  Alters  sind  beide  Neffen  von 
einander;  wie  viele  gesetzliche  Lösung:en  giebt  es?  Die  Lösung 
illustrirt  des  Verfassers  „Caiculus  of  relationship^  in  Edinb. 
Proc.  Xr.  S.  5  und  162.  CI7.  (Lp.) 


RüSTicus,    A.   Macfarlane,    D.    Biddlb.      Solution    of 

QOeatioD    9403.     Ed.  Times  XLIX.  114-116. 


qoeatioD    9403.     Ed.  Tipies  XLIX.  114-116. 


Die  zu  lösende  Aufgabe  ist  (vgl.  den  vorigen  Bericht): 

Baby  Tom  of  baby  Hugh 
The  nephew  is  and  uncle  too. 
In  how  many  ways  can  this  be  Irue?  Lp. 


C.  Jordan.     Siir  la  marche  du  cavalier.    PaiermoReDd.il. 

59-68. 

Es  wird  die  Frage  behandelt,  welches  die  kleinste  Anzahl 
der  Zöge  ist,  um  einen  Springer  von  einem  gegebenen  Feld  des 
Schachbrettes  nach  einem  bestimmten  anderen  Felde  zu  briugen.^ 

Ls. 


208  IV.  Abschnitt.  WahnoheiDliebkeitareehoaog  o.  Combioatiooslehre. 

6*  Platnbr.  8u1  Dnmero  delle  maniere  di  ottenere  una 
sonima  n  o  una  somma  non  superiore  ad  n  (n  intiero, 
poflitivo)    pi-endendo   r    termini   della  8erie   indeBnita 

1,  2,  3,   4,   ...      Lomb.  lat  Bend.  (2)  XXL  690-695,  703.708. 

In  der  eraten  Arbeit  werden  die  Formeln  allgemein,  nicht 
fllr  bestimmte  Werte  von  n  abgeleitet  fBr  die  Werte  von  r  gleich 
1,  2,  3,  4,  5,  6. 

In  dem  zweiten  AuiBatz  werden  die  Formeln  ab  Fanctionen 
von  n  ansgedrOckt  La. 

F.  Clauss.     Ueber  magische  Quadrate.    Hopp«  Arch.  9)  v  i. 

424-486. 

Ohne  auf  frühere  Lösungen  der  Aufgabe  Rttcksicbt  zu 
nehmen,  giebt  der  Verfasser  sowohl  f&r  ein  gerades  wie  fBr  ein 
ungerades  x  die  Verteilung  der  Zahlen  1,  2,  3, ... ,  x'  auf  den 
Feldern  eines  Schachbretts  an  und  erhärtet  die  Richtigkeit  der 
durch  gesetztnässige  Vertauschungen  erzielten  Anordnungen. 
Weder  die  Notwendigkeit  derselben,  noch  die  Anzahl  der  Mög- 
lichkeiten wird  untersucht.  Lp. 


R.  W.  D.  CuRiSTiB.     Solution  of  question  9091.  Ed.  Times 

XLVIII.  201-202. 

B.  W.  D.  Christik.     Solution  of  question  9278.  Bd.  Times 

XLVIH.  203-204. 

Eine  Lösung  fUr  die  Aufgabe,  die  ersten  n*  Zahlen  zn  einem 

magischen  Quadrate  anzuordnen,   ohne   dass   frühere  Lösungen 

berücksichtigt  werden.  Lp. 


L.  CuAMBBYRON.      Theorie    des  carr^s  magiques. 
29  S.  

J.  Vbnn.     The  logic  of  chance.     3''^  ed.  rewritten  and 

enlarged.      London.  530  S.  8^ 


IV.  Abflcbnitt  WahrscheiDHchkeitsrechnaDg  q.  GoDibiDatioDstebre.  209 
OlTRAMARB.      Essai  SUr   le  hazard.      Gent  Barkbardt.  26  B. 


J.  Bbrtrand.     La  th^orie  des  chances.    Noav.  Ann.  (8)  Yii. 

5&3-588. 

Es  ist  dies  die  Ankttndigaog  des  bei  Gautbier- Villars  &  Fils 
1889  erscbieneneD,  Galcul  des  probabilitös  betitelten  Werkes  von 
Bertrand  dureh  Rouchö,.  weniger  eine  Kritik  als  eine  Analyse 
des  Inhalts,  dureb  welcbe  Roucbö  glaubt,  auch  denjenigen 
Lesern,  welchen  die  Wahrscheinlichkeitsrechnung  fremd  ist,  einen 
Ueberblick  der  Grundsätze  dieser  Theorie  und  ihrer  wichtigsten 
Anwendungen  geben  zu  können.  Ref.  ist  der  Meinung,  dass 
dieser  Zweck  schwerlich  erreicht  worden  ist,  dass  aber  bei  den- 
jenigen, welche  sich  mit  der  Wahrscheinlichkeitsrechnung  be- 
schäftigt haben,  durch  diese  Zusammenstellung  der  Wunsch  wach 
gerufen  wird,  das  Werk  von  Bertrand  genauer  kennen  zu  lernen. 

Ls. 

Fritz  Hofmann.      Notiz    über    zwei    Sätze    der    Wahr- 
scheinlichkeitsreclinuDg.     Schiomilcb  z.  xxxiii.  375881. 

„Der  erste  Satz,'  auf  welchen  sich  die  Notiz  des  Verf.  be- 
zieht, lautet  in  der  Einleitung  zur  Theorie  analytique  des  pro- 
babilitös  yon  Liaplace'' : 

.Es  sei  das  Eintreffen  eines  Ereignisses  E  constatirt  wor- 
den, das  verschiedene  Ursachen  il,  B,  C,  ...  haben  konnte.  Die 
Wahrscheinlichkeit  daflir,  dass  die  Ursache  A  das  Ereignis  her- 
beigefbhrt  bat,  verhält  sich  dann  zur  Wahrscheinlichkeit,  dass  B 
das  Ereignis  herbeigeführt  hat,  wie  die  Wahrscheinlichkeit  für 
das  Eintreffen  des  Ereignisses  £,  wenn  die  Ursache  A  sicher 
ist,  sieh  verhält  zur  Wahrscheinlichkeit  für  das  Eintreffen  des 
Ereignisses  £,  wenn  die  Ursache  B  sicher  ist.^  Zu  diesem  Satz 
bringt  der  Verfasser  einen  ganz  elementaren  und  sehr  anschau- 
liehen  Beweis.  Ffir  den  zweiten  Satz:  über  die  Verteilung  der 
weissen  und  schwarzen  Farbe  auf  den  unendlich  vielen  Kugeln 
in  einer  Urne,  nachdem  man  nach  unendlich  oftmaliger  Wieder* 
holung  der  Versuche  das  Verhältnis  a;b  gefunden  hat,  führt  der 

FortMhr.  d.  M«th.  XX.  1.  14 


210  1^*  Abtehoitt.  WahraoheinliebkeitsreehDaog  a.  Gombinatiooatehre. 

Verfasser  ans  der  Chemie  ein  populäres  Beispiel  an,  darcb  dessen 
Betrachtang  eine  klare  Vorstellang  von  dem  mathematischen 
Satze  gewonnen  wird.  Ls. 

Em.  Czuber.      Zum  Gesetz   der  grossen   Zahlen.      Prag. 

DomioicQS.  41  S. 

Bei  den  Ereignissen,  welche  von  bekannten  Ursachen  ab- 
hängen, lässt  sich  die  Wahrscheinlichkeit  ihres  Eintreffens 
a  priori  berechnen,  und  die  Ergebnisse  einer  erst  vorzunehmen- 
den ßeobachtungsweise  lassen  sich  in  dem  Sinne  vorher  be- 
stimmen, dass  man  die  Grenzen,  innerhalb  welcher  diese  Ergeb- 
nisse mit  gegebener  Wahrscheinlichkeit  zu  erwarten  sind,  be- 
rechnen kann,  oder  die  Wahrscheinlichkeit,  mit  welcher  sie 
innerhalb  gegebener  Grenzen  fallen  werden.  Die  Vergleichung 
des  wirklichen  Erfolges,  nachdem  die  Versuche  ausgeführt  sind, 
mit  der  Vorhersagung  der  Theorie  bietet  eine  auch  dem  Laien 
verständliche  Demonstration  des  Gesetzes  der  grossen  Zahlen. 
Fällt  der  Erfolg  aber  weit  über  die  mit  genügend  grosser  Wahr- 
scheinlichkeit zu  erwartenden  Grenzen  hinaus,  dann  muss  unter- 
sucht werden,  ob  die  wirklichen  Ursachen  mit  den  vorausge- 
setzten übereinstimmten,  oder  ob  auch  unbekannte  Ursachen  mit- 
gewirkt haben. 

Das  Beobachtungsmaterial,  welches  der  Verf.  in  der  vor- 
liegenden Schrift  mitteilt  und  untersucht,  besteht  aus  den  Zie- 
hungsergebnissen  der  Lotterien  in  Prag  und  Brunn  seit  ihr^n 
Beginn  1754  resp.  1771  bis  zum  Jahre  1886.  Es  handelt  sich 
um  Lotterien  von  90  Nuinmern,  von  denen  bei  jeder  Ziehung  5 
Nummern  gezogen  werden.    • 

Die  Untersuchungen  beziehen  sich 

1.  auf  die  Zusammensetzung  der  Ziehungen  aus  ein«  und 
zweizifferigen  Nummern, 

2.  aur  die  Anordnung  der  Nummern  innerhalb  einer  Ziehung, 

3.  auf  die  Frage  nach  der  Wahrscheinlichkeit,  dass  in  i 
aufeinanderfolgenden  Ziehungen  sämtliche  Nummern  der  Lotterie 
erschöpft  werden  ^ 

4.  auf  wiederholte  Nummern,  Amben,  Temen, 


IV.  Abschoitt  Wahrscheinlichkeitsrechnang  a.  üombiDatiooslehre.   211 

5.  auf  dieOesamtwiederholuDgszahlen  der  einzelnen Nammern, 

6.  anf  die  Wiederholungszahlen  der  einzelnen  Nummern,  ge- 
ordnet naeh  der  erBten,  zweiten,  bis  fünften  Stelle,  an  welcher 
sie  erschienen  sind. 

Die  Ergebnisse  der  Beobachtung  stimmen  sehr  gut  mit  den 
aus  der  Rechnung  hervorgehenden  Resultaten  Qberein. 

Ls. 


W.  G.  Imschbnktzky.  Elementare  Ableitung  des  Ge- 
setzes der  grossen  Zahlen  in  der  Wahrscheinlichkeits- 
rechnung.    Cbaik.  Ges.  (2)  1.  1-6.  (RasBisch) 

Herr  Tschebyscheff  hat  im  Jahre  1867  (Moskauer  Mathemati- 
sche Sammlung  Bd.  II)  einen  elementaren  Beweis  für  das  Theorem 
Ober  die  mittleren  Grössen  gegeben;  in  der  vorstehenden  Ab- 
handlung wird  dieser  Beweis  vereinfacht  und  zur  Ableitung  des 
Gesetzes  der  grossen  Zahlen  angewandt.  Wi. 


P.  S.  Nasimopf.  Zum  Newton'schen  Binome.  (Aus 
den  Vorlesungen  über  die  Wahrscheinlichkeitsrech- 
nung. )    Warsch.  Univ.  Naobr.  1888.  9.  (BaasiBch.) 

Verschiedene  Eigenschaften  des  Newton'sehen  Binoms,  welche 
zam  Beweise  des  Theorems  von  BernouUi  dienen,  werden  ab* 
geleitet.  Wi. 

VoTBR.     Note  sur  un  probl^me  du  calcul  des  probabilit^s. 

C.  a  CVI.  256-257. 

Eine  Urne  enthält  a  weisse  und  m—a  schwarze  Kugeln. 
Ein  Spieler  zieht  Kugeln,  stets  je  eine,  bis  er  p  weisse  Kugeln 
gezogen  hat.  Er  bekommt  für  jede  gezogene  Kugel  einen 
Franken.  Wie  gross  ist  die  mathematische  Hoffnung  der  zu  er- 
haltenden Summe? 

Erster  Fall.    Nach  jeder  Ziehung   wird  die  Kugel  wieder 


in  die  Urne  zurtlckgelegt.     Die  Lösung  ist  p 


m 


a 
14 


212  IV.  AbBchnitt.  WahrscheioilchkeiUrechnnog  a.  Combi oalioDtlebre. 

Zweiter  Fall.    Die  gezogene  Kugel  wird  nicht  in  die  Urne 

zurückgelegt.     Die  Lösung  ist  p 7-.  , 

H  -f«  1  JL/8. 


StDNKY  LüPTON.     Micheirs  problem.     NatnreXXXVIII. 272-274. 

Die  von  Michell  in  den  Phil.  Trans.  1767,  S.  243  zuerst 
aufgestellte  und  nach  den  Principien  der  Wahrscheinlichkeits- 
rechnung beantwortete  Frage  nach  der  Ursache  der  ungleich- 
förmigen Verteilung  der  Sterne  am  Himmel  oder  der  Zusammen- 
gehörigkeit einzelner  zu  Systemen  ist  wiederholt  behandelt  wor- 
den, u.  a.  von  Forbes  (Phil.  Mag.  1850)  und  Struve.  Die  Resultate 
stimmen  nicht  überein.  Der  Verfasser  sucht  den  Grund  der  Ab- 
weichung in  den  willkürlichen  Annahmen,  welche  jeder  Autor 
machen  muss,  um  die  Aufgabe  einer  mathematischen  Bearbeitung 
zug&nglich  zu  machen.  Ueber  den  Gegenstand  äussert  sich  Hr. 
Bertrand  (S.  171  des  Calcul  des  probabilitös)  ungefähr  ebenso, 
jedoch  in  klarerer  Weise.  Lp. 


J.  Kleiber.     Micheirs  problem.    Natare  xxxviii.  342. 

Verweis  auf  den  Artikel  in  Phil.  Mag.  (5)  XXIV  (F.  d.  M. 
XVIII.  1887.  207)  und  Versuch,  die  Ansichten  des  Hm.  Lupton 
zu  widerlegen.  Lp. 

S.  Lupton.     Micheirs  problem.    Natare  xxxviii.  4X4. 
Erwiderung  auf  die  vorige  Notiz.  Lp. 


E.  RoucHE.     Sur  uu  probl^me  relatif  k  la  durde  du  jeu. 
C.  R.  cvi.  47.49. 

J.  Bertrand.      Demonstration    du    th^or&me   pr^c^dent. 

C.  R    CVI.  49-51. 

Peter  und  Paul  spielen  gegen  einander  so  lange,  bis  einer 
von  beiden  ruinirt  ist.  Die  Vermögen,  die  sie  bei  Beginn  des 
Spieles  besitzen,    werden    mit  A  und  B  bezeichnet,  die  Einsätze 


IV.  Abscbnilt.  WahrsGheiDlichkeitsrechDuog  u.  GombioatioDBlehre.  213 

bei  jeder  Partie  mit  a  und  ft,  die  WahrscheiDlichkeiten,  eine 
Partie  zn  gewinnen,  mit  p  und  9,  wo  ^  +  9  =  1* 

Johann,  der  nicht  am  Spiel  teilnimmt,  boII  für  jede  Partie, 
die  gespielt  wird,  1  Franc  erhalten.  Wie  gross  ist  die  mathe- 
matiBche  Hoffnung  V  dieser  Zusage? 

Vorausgesetzt  wird,  dass  das  Spiel  nicht  nach  den  Regeln 
der  Billigkeit  eingerichtet  ist,  sondern  dass  (a'\-b)p'-a^O. 

Angenommen,  diese  Differenz  sei  positiv,  so  ist  der  Vorteil 
auf  Seiten  yon  Peter,  und  wenn  P  die  Wahrscheinlichkeit  be- 
zeichnet, dass  Peter  den  Paul  ruinirt,  dann  findet  Rouchä 

^^   (A  +  B)P-A 
(a  +  ft)  p  —  a 

Zu  dem  gleichen  Ergebnis  kommt  Bertrand  auf  einem  etwas 
andern  Wege. 

£8  wird  noch  besonders  hervorgehoben,  dass  die  Lösung 
keine  Oöltigkeit  hat,  wenn  das  Spiel  nach  den  Regeln  der  Billig- 
keit eingerichtet  ist.  Ls. 

E.  Rouch:6.  Sur  la  dar^e  du  Jeu.  c.  R.  cvi.  253-256,  338-340. 
Dblamnot.     Sur   la   durde    du  jeu.      s.  m.  p.  BuII.  xvi. 

124-128. 

E.  RoucH]^.     Observations  en  r^ponse  k  une  Note  de  M. 
Delannoy.    8.  M.  P.  Bull.  xvi.  149-150. 

Es  wird  angenommen,  dass  Peter  und  Paul,  die  gegen  ein- 
ander spielen,  gleiche  Wahrscheinlichkeit  des  Gewinnens  haben; 
jeder  von  beiden  besitzt  bei  Beginn  des  Spiels  n  Francs,  bei 
jeder  Bnräe  zMt  der  Verlierende  dem  Gewinner  1  Franc,  und 
das  Spiel  soll  so  lange  dauern,  bis  einer  der  Spieler  ruinirt  ist. 
Genehi  wird  die  Wahrscheinlichkeit  P,  dass  dieser  Fall  nach 
einer  angegebenen  Anzahl  von  Partien  eintritt. 

In  dem  ersten  Aufsatz  giebt  Rouchä  eine  strenge  Lösung, 
und  in  dem  zweiten  formt  er  dieselbe  um  in  eine  fQr  die  nu- 
merische Rechnung  geeignete  Formel. 

Delannoy   behandelt   das   Problem  in   anderer   Weise  und 


214  ^V.  Abschnitt.  WahraeheiDlichkeitarechoaDg  n.  Combi natiooslehre. 

kommt* ZU  einem  Resultat,  welches  von  der  UDgeformten,  für  die 
numerische  Rechnung  bestimmten  Formel  Rouchä*8  abweicht 

In  seiner  Antwort  darauf  nimmt  Rouchö  sein  Verfahren  und 
seine  Formeln  gegen  Delannoy  in  Schutz,  behauptet  auch  die 
Richtigkeit  der  von  ihm  gegebenen  Hauptformel,  giebt  aber  zu, 
dass  er  sich  bei  der  Umformung  im  letzten  Stadium  der  Rechnung 
bei  der  Division  geirrt  habe.  Ls. 


J.  Bbrtrand.  Sur  rind^termination  d'un  problfeme  r^sola 
par  Poisson.  C.  R.  CVI.  636-638. 
Bekanntlich  hat  Buffon,  um  das  St.  Petersburger  Problem 
experimentell  zu  prüfen,  eine  MQnze  4040-mal  in  die  Höhe  ge- 
worfen, wobei  er  2048-ma)  die  Bildfläche  erhielt  Poisson  hat 
die  Wahrscheinlichkeit  gesucht,  dass  die  Monze  einen  Fehler 
hatte,  und  dieselbe  gleich  0,81043  gefunden.  Dieses  Resultat  ist 
dem  Verfasser  nach  zwei  Richtungen  sehr  auffallend,  die  erste 
Ziffer  8  ist  sehr  gross,  und  er  versteht  nicht,  wie  bei  einer 
solchen  Aufgabe  die  Lösung  bis  zu  einem  Hunderttausendtel  gehen 
kann.  Er  gelangt  zu  dem  Schluss,  dass  die  Rechnung,  welche 
Poisson  gemacht  hat,  durchaus  nicht  auf  den  Versuch,  den  Buffon 
anstellte,  angewandt  werden  kann.  Ls. 


A.   AURIC.      Probleme.    Nonv.  Aqd.  (3)  VII.  198-199. 

Es  drehen  sich  n  Zeiger  um  dieselbe  Axe  in  gleicher  Rich- 
tung, jedoch  mit  verschiedenen  Geschwindigkeiten;  die  des 
nächsten  Zeigers  ist  immer  p-mal  so  gross,  wie  die  des  vorher- 
gehenden. 

Es  handelt  sich  darum,  eine  Position  der  n  Zeiger  zu 
finden,  welche  eine  circuläre  Permutation  zulässt  Ls. 


J.  Bertrand.  Probabilit^  du  tir  ä  la  cible.     c.  r.   cvi. 

232-234. 

J.  Bbrtrand.  Seconde  uote  sur  la  probabilitä   du    tir 

k  la  cible.  C.  R.  CVI.  387-391. 


IV.  AbBchoitl.  WahncheinlichkeiUrecbnoDg  n.  Combi oatioDsIdbre.  215 

Mbnabrba.  Remarqne  relative  aux  travaux  snr  la  ba- 
listiqne  de  M.  Siacci.    C.  B.  GVL  391. 

J.  Bertrand.  Troisi^me  note  sur  la  probabilitä  du  tir 
k  la  cible.     c  r.  GVI.  021-022. 

Gros.  Jung.  A  propos  de  denx  r^centes  comrannications 
de  M.  J.  Bertrand  „Sur  la  probabilitä  du  tir  k  la 
cible.*     c.  R.  ovi.  1001-1003. 

J.  Bbrtrand.     Note  Bur  le  tir  k  la  cible.    G.B.CVII.  205-207. 

Man  hat  hinsichtlich  der  Wahrscheinlichkeit  beim  Scheiben- 
schiessen  einen  Satz  gelten  lassen,  den  Bertrand  nicht  f&r  richtig 
hält  Der  Satz  heisst:  Wenn  man  durch  das  Gentrum  einer 
Scheibe  eine  horizontale  und  eine  verticale  Axe  legt,  um  anf 
dieselben  die  Coordinaten  des  getroffenen  Punktes  zu  beziehen, 
und  die  Wahrscheinlichkeit,  dass  die  Abscisse  zwischen  x  und 
(x  +  dx)  enthalten  ist,  mit  tp(x)dx^  entsprechend  die  Ordinate 
zwischen  y  und  (y-f  ^v)  mit  V'(y)dy  bezeichnet,  so  wird 

g>{x)\p(y)dxdy 
die  Wahrscheinlichkeit,  dass  der  getroffene  Punkt  in  dem  Recht- 
eck dx  dy  liegt,  dessen  Ordinaten  x  und  y  sind. 

Die  hier  gemachte  Anwendung  des  Satzes  von  dem  Product 
der  Wahrscifeinlichkeit  erklärt  Bertrand  f&r  unrichtig,  weil  die 
Wahrscheinlichkeiten  tp  und  xp  nicht  von  einander  unabhängig 
sind,  und  man  fp{x)dx  mit  einem  Factor  multipliciren  muss,  der 
eine  Function  von  x  und  y  ist. 

Damit  werden  dann  die  Formeln  von  Poisson  in  dem 
, Memorial  d' Artillerie''  und  die  Formeln  von  Bravais  über  die 
Lage  eines  Punktes  hinfällig.  Des  weiteren  beschäftigen  sich 
diese  Aufsätze  mit  der  Frage,  was  an  die  Stelle  jener  Formeln 
zu  setsen  ist,  wobei  auf  die  Arbeiten  von  Oeneral  Putz  und 
Major  Siacci  Bezug  genommen  wird.  ^  Endlich  wird  die  grosse 
Uebereinstimmung  der  Formeln  mit  den  Ergebnissen  von  1000 
Scbiessversuchen  mit  10  Flinten  desselben  Modells  auf  200  m 
Entfernung:  nachgewiesen.  Ls. 


216  IV.  Abscboitt.  WahrseheiDlichkeifsrechnang  a.  Combi  Datioc  slehre. 

Putz.  Memoire  siir  les  principes  fondamentanx  de 
Tapplication  du  calcul  des  probabilit^s  aux  qaestioiis 
d'artillerie.     Nancy.  60  s. 


J.  Bbrtrand.     Sur  Passociation  des  ^lecteurs  par  le  sort. 

c.  R.  CVI.  17-19. 

Es  ist  wiederholt  betont  worden,  dass  bei  der  Vereinigung 
der  Wähler  eines  Landes  durch  das  Los  zu  WahlcoUegien  die 
Gewählten  keineswegs  die  verschiedenen  Meinungen  in  ihren 
wahren  Verhältnissen  sur  Darstellung  bringen  wttrden,  dass  viel- 
mehr die  vorherrschende  Partei  im  höchsten  Masse  dadurch  be- 
günstigt wflrde. 

Bertrand  demonstrirt  die  Richtigkeit  dieser  Behauptung  und 
weist  an  einem  Beispiel  nach,  dass  bei  5^+^  Millionen  Wählern, 
von  denen  500  Abgeordnete  gewählt  werden  sollen,  die  Wahr- 
scheinlichkeit, dass  die  Minorität  auch  nur  einen  einzigen  ihrer 
Candidaten  durchbringt,  kleiner  ist  als  die  Wahrscheinlichkeit, 
nach  einander  zwei  Quinen  in  der  Lotterie  zu  gewinnen,  falls 
die  Wähler  durch  das  Los  in  Oruppen,  deren  Bildung  er  an- 
giebt,  gebracht  werden.  Ls. 


J.  Bertrand.      Sur   Tapplication  da  calcul   des  proba- 
bilit^s  k  la  th^orie  des  jugements.    Paris  Soc.  Phil.  69-76. 

Der  Verfasser  erklärt  sich  gegen  die  Anwendung  der  Wahr- 
scheinlichkeitsrechnung auf  die  richterliche  Beurteilung  der  Straf- 
fälle und  die  Möglichkeit  der  Vergleichung  eines  dabei  began- 
genen Irrtums  mit  dem  Ziehen  weisser  oder  schwarzer  Kugeln 
aus  einer  Urne,  und  wendet  sich  mit  grosser  Schärfe  gegen  die 
von  Gondorcet,  Laplace,  Poisson  und  Arago  in  dieser  Hinsicht 
aufgestellten  Behauptungen.  Ls. 


E.  DoRMOY.     L'^cart^.     Trait^  math^matique  du  Jen  de 

ViCHYii.     PariB.  8«. 


IV.  Abschoitt.  WahrseheiDtichkeitsrechDiiDg  a.  Combi oationslebre.  217 

E.  CzuBBR.     Mittelwerte,  die  Krümmung  ebener  Ciirven 
ond  krammer  Flächen  betreffend.      Hoppe  Arcb.   (-2)    vi. 

394-904. 

Der  Verfasser  entwickelt  fttr  ebene  Curven  den  mittleren 
KrflmmaDgsradios  und  die  mittlere  ErQmmuog  eines  Bogens. 
Bei  den  krummen  Flächen  werden  unterschieden  die  Schnitte: 

1.  durch  eine  Tangente  der  Fläche, 

2.  durch  eine  Normale  derselben, 

3.  durch  einen  Punkt  der  Fläche,  und  für  jede  dieser  Klassen 
wird  der  mittlere  Krtimmungshalbmesser  festgestellt,  ebenso  wie 
die  mittlere  KrQmmung,  und  schliesslich  wird  auch  die  mittlere 
ErQmmung  und  der  mittlere  Krümmungsradius  der  Fläche  be- 
stimmt Ls. 


De  Wächter,    A.  Martin.      Solution  of  question  9271. 

Ed.  Times  XLIX.  24. 

Eine  gegebene  Strecke  wird  in  vier  Stücke  beliebig  geteilt. 
Die  Wahrscheinlichkeit,  dass  die  vier  Segmente  die  Seiten  eines 
Vierecks  bilden,  ist  gleich  |.  Lp. 


J.  Nbüberg,  De  Wächter,   P.  H.  Schoutb.     Solutions 

of  question   9423.     Ed.  Times  XLIX.  69-70. 

Zwei  Stäbe  von  den  Längen  a  und  b  werden  willkürlich  in 
je  zwei  Stücke  zerbrochen.  Die  Wahrscheinlichkeit  tr,  dass  ein 
Stück  des  ersten  und  eins  des  zweiten  Stabes  zusammen  eine 
kleinere  Gesamtlänge  als  c  haben,  ist: 

1)  IT  =  cV2flfc,  wenn  fc  >  o  >  c; 

2)  »  =  (2c— a)/26,  „      6>c>a; 

3)  IT  =  1- (a+6-c)V2a6,  „      c>  6  >  a. 

Lp. 

T.  C.  SmiiGNs,    P.  H.  Schotte.      Solution   of  question 

9015.     Bd.  Times  XLVIU.  74-75. 
Die  Längen  dreier  Strecken  gehen  nicht  über  a,  fr,  c  hinaus; 


218  IV.  Abschnitt.  WahrBcheiDlichketUrecbnoDg  n.  CombioatioDslehre. 

die  Wahrscheinlichkeit,  dass  sie  die  Seiten  eines  Dreiecka  bilden, 

ist  (a  <.b  <.  e): 

.  Lp. 

De  Wächter,    J.  Bbtens.     Solution  of  queation  9350. 

Ed.  Times  XLIX.  87. 

Ein  Punkt  wird  beliebig  im  Innern  eines  Dreiecks  ange- 
nommen. Die  Wahrscheinlichkeit,  dass  seine  AbstAnde  von  den 
Seiten  eines  Dreiecks  selber  die  Seiten  eines  neuen  Dreiecks 
bilden  können,  ist  2abc/[{b-\'C)(c-\-d)(a-\'b)\.  Lp. 


W.  S.  B.  WooLHOusE.     Solution  of  questions  2396,  6931, 

8935.     Ed.  Times  XLIX.  41-46. 

ABCD  sei  ein  beliebiges  convexes  Viereck,  dessen  Diagonalen 
AC  und  BD  sich  in  £  schneiden;  man  setze  2AE.EC;AC^  =  q^ 
2BE .  ED :  BD*  =  q\  Fünf  Punkte  werden  im  Innern  dea  Vier- 
ecks als  Ecken  eines  FQnfecks  F^  angenommen.  Die  Wahrschein- 
lichkeit, 1)  dass  F^  nur  concave  innere  Winkel  hat,  ist  iV(ll^+5^?'); 
2)  dass  F,  eine  einzige  einspringende  Ecke  hat,  ist  |;  3)  dass 
zwei  einspringende  Ecken  vorhanden  sind,  ist  -f^il  —  QQ')- 

Lp. 

C.  B.  Clarkb.      Solution    of   question    4251.     Bd.  Times 

XLIX.  61-62. 

Sind  il,  fi,  C  drei  Kreise,  von  denen  B  innerhalb  Ä^  C  inner- 
halb B  liegt,  so  ist  die  Wahrscheinlichkeit,  dass  der  Mittelpunkt 
von  A  innerhalb  C  liegt,  gleich  |.  Lp. 


D.  BiDDLE,  W.  S.  B.  WooLHOUSE.     Solution  of  question 

9516.     Ed.  Times  XLIX. 

Erörterung  über  den  Sinn  der  „Willkflrlichkeit**  bei  der 
geometrischen  Wahrscheinlichkeit  über  die  Annahme  eines  Kreises 
nnerhalb  eines  anderen.  Lp. 


I V.  Abecboitt.  WahrBcbelolichkeitsrechnoDg  Q  Combi natioDBlehre.  219 

F.  Y,  Edgbworth.      On    a    new    method    of    reducing 
observHtions  relating  to  several  quantities.  Pbil.  Mag.  (o) 

XXV.  184. 191. 

Da  manche  Einwände  gegen  den  von  Hrn.  Edgeworth  vor- 
geschlagenen Ersatz  fflr  die  Methode  der  kleinsten  Quadrate  von 
Hrn.  Turner  erhoben  sind  (s.  F.  d.  M.  XIX.  1887.  216),  so  fasst 
Hr.  Edgeworth  in  dem  gegenwärtigen  Aufsatz  seine  Regel  in 
einer  Form  ab,  auf  welche  die  Einwände  nicht  mehr  passen, 
und  Iftsst  sich  abermals  Aber  den  Nutzen  seiner  vorgeschlagenen 
Methode  aus  als  einen  Ersatz  oder  doch  ein  HQlfsmittel  fUr  die 
gewöhnliche  Methode  der  kleinsten  Quadrate. 

Gbs.  (Lp.) 

R.  H.  Smith.      True    average    of    observations.      Natnre 

XXXVII.  464. 

Statt  des  arithmetischen  Mittels  schlägt  der  Verf.  folgendes 
Verfahren  vor.  Man  schliesse  zunächst  stark  abweichende  Be- 
obachtungen aus  und  setze  eine  obere  und  untere  Grenze  fest. 
Es  seien  ,x^yX^yX^^.,.  die  Ueberschflsse  der  verschiedenen  Mass- 
zahlen Ober  die  untere  Grenze,  x^  der  Ueberschuss  des  wahr- 
scheinlichsten Wertes.    Man  gebe  jedem  x  das  Gewicht 


■-(■^y 


und  nehme  das  Mittel  der  mit   diesem  Gewichte  behafteten  x^ 
so  folgt 

2x2x''-^2x^ 


x^  = 


*  2x^2x^2x^    ' 

eine  quadratische  Gleichung  fttr  x^  mit  der  Wurzel 

2x^  {        ,/I        2x2x* 

Lp. 


J.  Bkrtrand.      Sur    la   loi    de    probabilitä    des   erreurs 
d'observation.     c.  r.  ovi.  153-106. 


220  IV*  Abacboitt.  Wabrscbeiolichkeitsrechoaog  a.  CombioaiioQelehre. 

F.  TissRRAND.      Remarqne    ä    Toccasion  d'une  commu- 
nication  de  M.  J.  Bertrand.     0.  R.  QYL  231-232. 

Das  Ganss'sche  Fehlergesetz  ist  das  einzige,  aus  welchem 
folgt,  dass  aas  Terschiedenen  unter  gleichen  Verhältnissen  ge- 
machten unmittelbaren  Beobachtungen  der  mittlere  Wert  der 
wahrscheinlichste  ist.  Der  Verf.  giebt  hierzu  weitere  Erläute- 
rungen. La. 

J.  A.  Kletber.     Theorie  der  Ausgleichung  der    Beob. 

achtungsreihen.     Kasan.  Ges.  VI.  148-239.  (BoMiscb.) 

Herr  Schiaparelli  hat  in  seiner  Abhandlung:  „Sul  modo  di 
ricavare  la  vera  espressione  delle  leggi  della  natura  dalle  curre 
empiriche*'  (Effemeridi  Astronomiche  di  Milano.  1867)  eine  neue 
Methode  der  Ausgleichung  der  Beobachtungsreihen  auseinander- 
gesetzt. Nach  dieser  Methode  wird  in  dem  allgemeinen  Falle, 
welcher  zuerst  im  Torliegenden  Aufsatze  betrachtet  wird,  der 
Wert  y^  irgend  einer  Function  y  von  x  ttir  x  =^  x^  als  eine  lineare 
Function  der  beobachteten  Werte  y^,  y„  ...,  y»  dieser  Function  für 
die  Werte  a;,,a;„  ...,  x«  der  Variable  x  dargestellt: 

die  Coefficienten  o^  werden  unter  der  Bedingung  erhalten,  dass  der 
Wert  y^  das  grösste  Gewicht  hat.  Wenn  wir  jetzt  ytiVn  -*-i  y» 
durch  y^  mit  Hülfe  der  Taylor'schen  Reihe  ausdrücken  und  da- 
bei nur  die  n  ersten  Differentialquotienten  bebalten,  so  bekommen 
wir  nach  der  Anwendung  der  bekannten  Methode  der  Maxima 
und  Minima  die  gesuchte  Formel.  In  dem  Falle  dass  die  Werte  yi 
ein  gleiches  Gewicht  haben  und  den  äquidistanten  Werten  von  x 
entsprechen,  bekommen  wir  die  Formeln  des  Herrn  Schiaparelli. 
Der  vorliegende  Aufsatz  hat  zum  Zweck  sowohl  eine  Verall- 
gemeinerung der  Resultate  des  Herrn  Schiaparelli,  als  auch  eine 
umständliche  Anwendung  seiner  Methode  auf  die  Ausgleiehung 
der  Derivirten,  die  Auffindung  der  Coefficienten  der  empirischen 
Formeln,  die  Integration  und  verschiedene  andere  fttr  die  Praxis 
der  Meteorologie  sehr  wichtige  Fragen. 

In  einem  Anhange  werden  die  Eigenschaften  der  Determi- 


■ 

IV.  Abschnitt.  Wabracheinlichkeitarechanog  a.  Combinationslehre.  221 


DaDten  von  der  Form 


«.»    0      o„    0 
0       o,,     0      a 


II 


•  • 


^10         ^  ^29         0        .  .  . 

0       a„     0       o„  . .  - 


betrachtet,  die  im  Aufsatze  eine  Anwendung  finden.  Wi. 


J.  Bertrand.     Sur  la  dötermination  de  la  pröcision  d'un 
Systeme  de  mesures.     CR.  cvi.  440  443. 

Wenn  eine  Grösse  sehr  häufig  gemessen  worden,  so  schliesst 
man  aus  der  grösseren  oder  geringeren  Uebereinstimmung  der 
Resultate  auf  die  Gttte  des  Instruments  und  auf  die  Geschick- 
lichkeit des  Beobachters.  Setzt  man  die  Wahrscheinlichkeit 
eines  Fehlers  a  proportional  dem  Ausdruck  6"^^*%  so  misst  die 
Constante  k  die  Genauigkeit. 

Nach  Gauss  hat  man  die  Gleichung 

2*'    ""       n     ' 
wo  S,  die  Summe  der  Quadrate  der  Fehler  und  n  die  Anzahl  der 
Messungen  bezeichnet. 

Bertrand  weist  darauf  hin,  dass  man  k  auch  in  anderer 
Weise  finden  kann,  und  dass  keineswegs  aus  der  Bestimmung 

1       ^     S, 


2*'  n 

gefolgert  werden  darf,  dass  man  immer  am  besten  tbut,  diesen 

Wert  za  adoptiren;  denn  der  wahrscheinlichste  Wert  einer  Grösse 

sei  keineswegs  unter  allen  Umständen  auch  der  plausibelste. 

Dies  wird  dann  weiter  ausgefQhrt.  Ls. 


J.  Bertrand«      Sur  la    rigueur  d'une    d^monstration  de 

Gauss.       C.  R.  OVI.  563-565. 

Der  Verfasser  weist  darauf  hin,  dass  Gauss  selbst  das  von 
ihm  1809  veröffentlichte  Gesetz  der  Fehlerwahrscheinlichkeiten, 
welches  von  allen   Beobachtern  aogenomnien    worden,    und    be- 


222  IV.  Abschnitt.  WahrBcheiolichkeitBrechnaag  a.  Corobioatiooslebre. 

ständig  darch  seine  Uebereinstimmung  mit  der  Erfahrang  be- 
stätigt wird,  später  als  streng  richtig  nicht  anerkannt  habe. 
Gauss  habe  zwei  Abbandlungen  geschrieben,  um  sich  gewisser- 
massen  von  diesem  Gesetz  frei  zu  machen,  indem  er  die  aas 
demselben  abgeleiteten  Resultate  unabhängig  yon  dem  Gesetz 
beweist.  Bertrand  glaubt  die  Erklärung  dafür  gefanden  %n 
haben.  Die  Gauss'sche  Beweisführung  gründet  sich  auf  das 
Postulat,  dass  der  Mittelwert  aus  den  Resultaten  einer  beliebigen 
Anzahl  von  Messungen  der  wahrscheinlichste  Wert  sei,  den  man 
aus  diesen  Messungen  ableiten  kann.  Der  Verfasser  nimmt  nun 
keineswegs  an,  dass  die  Unmöglichkeit,  diesen  Satz  zu  beweisen, 
Gauss  bestimmt  habe;  er  will  auf  ein  anderes  Bedenken  auf- 
merksam machen.  Wenn  J  der  begangene  Fehler  ist,  so  be- 
zeichnet Gauss  ohne  weiteres  durch  ip(J)  die  Wahrscheinlich- 
keit dieses  Fehlers.  Die  Wahrscheinlichkeit  hängt  allerdings  von 
der  Grösse  des  Fehlers  ab,  aber  nicht  minder  auch  von  der  ge- 
messenen Grösse.  Wenn  man  das  beachtet,  und  Bertrand  giebt 
dafür  Beispiele  an,  so  wird  die  Wahrscheinlichkeit  des  Fehlers  ^ 
gleich  q>(X^J)^  wo  X  die  gemessene  Grösse  ist;  dann  ist  aber 
die  Beweisführung  nicht  möglich. 

Auch  zeigt  Bertrand  an  einem  Beispiel,  dass  die  Schluss- 
folgerung wirklich  nicht  streng,  sondern  nur  näherungsweise 
richtig  ist.  Ls. 

J.  Bertränd.      Sur  la  combinaison   des   mesures   d'une 
m^me  grandeur.     c.  R.  OVI.  701-704.  • 

Es  liegen  verschiedene  Messungen  derselben  Grösse  vor, 
aus  denen  die  constanten  f^ehler  eliminirt  sind;  alle  Beobach- 
tungen verdienen  gleiches  Vertrauen,  und  man  hat  den  Mittel- 
wert der  Messungen  als  den  besten  Wert  acceptirt,  auch  gefan* 
den,  dass  der  zu  befürchtende  Fehler  sehr  klein  ist.  Unter 
diesen  Verhältnissen  wird  man  geneigt  sein,  die  Beobachtungen 
nicht  als  gleich  vertrauenswürdig  anzusehen ;  es  erscheint  natür- 
lieh,  diejenigen,  welche  sich  weiter  vom  Mittelwert  entfernen,  für 
minder  gut  zu  halten,  sie  vielleicht  ganz  vernachlässigen  zu 
wollen. 


IV.  AbsohDitt.  WahrBcheinlichkeitsrechniiog  a.  CombinatioDsIebre.  223 

Der  Verfasser  antersücht  die  Folgen,  welche  entstehen,  wenn 
man  BeobachtODges,  die  man  für  minder  vertrauenswert  hält, 
anssdKeidet,  and  kommt  zu  dem  Resultat,  dass  man  es  thun 
darf,  wenn  dadurch  das  Quadrat  des  aus  der  ganzen  Beobach- 
tungsreihe  abzuleitenden  mittleren  Fehlers  verringert  wird. 

Ls. 

H.  Fatb.     Sar  certains  points  de  la  th^orie  des  erreurs 
accidentelles.     c.  R.  CVI.  783-786. 

Dies  ist  ein  Schreiben  von  Hrn.  Faye  an  den  Sekretär  der 
Akademie,  in  welchem  er  sich  aber  die  GrQnde  ausspricht,  die 
ihn  zu  der  Annahme  veranlassen,  dass  das  arithmetische  Mittel 
keineswegs  unter  allen  Umständen  das  wahrscheinlichste  Resultat 
giebf.  Er  betrachtet  den  Satz  nur  als  näherungsweise  zutreffend, 
will  aber  trotzdem  abweichende  Beobachtungen  nur  dann  aus- 
dchliessen,  wenn  sie  sofort,  nachdem  sie  angestellt,  und  bevor 
sie  irgend  einer  Rechnung  unterworfen  worden,  als  zweifelhaft 
erkannt  wurden.  Ls. 

J.  Bbrtrand.     Sur  la  valeur  probable   des   erreurs   les 
plus  petites  dans  une  sdrie  d'observations.     o.  a  cvi. 

786-788. 

Der  Verfasser  ist  der  Meinung,  dass  man  den  Mittelwerten 
eine  zu  grosse  Bedeutung  beigelegt  hat.  Wenn  man  im  Stande 
wäre,  die  besten  Messungen  einer  wiederholt  gemessenen  Grösse 
zu  entdecken,  so  wflrden  diese  den  Mittelwerten  weit  vorzuziehen 
sein.  Ls. 

J.  Bbrtrand.     Sur  T^valuation  a  posteriori  de  la  con- 
fiance  m^rit^e  par  la  moy6nne  d'une  s^rie  de  mesures. 

CR.  OVI.  887-891. 

Der  Verfasser  argumentirt  folgendermassen :  Wenn  die 
Uebereinstimmung  der  Beobachtungen  besonderes  Vertrauen  ein- 
flössty  so  liegt  die  Ursache  darin,  dass  man  daraus  mit  vollem 
Recht  auf  die  GQte  der  Instrumente   und.  die   Geschicklichkeit 


224  IV.  Abscbnitt.  WahrBcbeiDlichkeitarechoang  a.  GombinatioDtlehre. 

des  Beobachters  schliesst  Man  habe  einen  Winkel  dreimal  ge- 
messen  und  dreimal  dasselbe  Resultat  bekommen  bis  auf  0,1 
Seeunde;  so  dQrfe  man  das  Instrument  fbr  yortOglicb  und  den 
Beobachter  ffir  sehr  geschickt  erklären.  Gauss  und  Bessel  haben 
den  Beobachtungen  gegenüber  die  Genauigkeit  als  Unbekannte 
betrachtet.  Der  zu  befürchtende  Fehler  sei  proportional  der 
Quadratwurzel  aus  der  Summe  der  Quadrate  der  Differenzen 
zwischen  den  verschiedenen  gefundenen  Werten  und  ihrem 
arithmetischen  Mittel.  Sind  die  gefundenen  Werte  gleich,  so  er* 
klärt  die  Formel  das  Instrument  för  vollkommen.  Der  Verfasser 
will  ein  anderes  Problem  lösen,  und  stellt  sich  auf  einen  andern 
Standpunkt.      Das    Instrument    sei    bekannt;    vorausgegangene 

« 

Versuche  und  sich  täglich  wiederholende  Erfahrungen  lassen  keine 
Unsicherheit  zu  über  seinen  Genauigkeitsgrad  und  auch  nicht 
Über  die  Geschicklichkeit  des  Beobachters.  Daran  kann  nichts 
durch  das  Ergebnis  von  5  oder  6  neuen  Messungen  geändert 
werden.     Die  Genauigkeit  ist  als  gegeben  zu  betrachten. 

Welches  ist  der  mittlere  zu  befürchtende  Fehler,  und  wie 
hängt  er  von  der  Uebereinstimmung  der  Resultate  ab? 

Es  wird  gezeigt,  dass  eine  solche  Abhängigkeit  gar  nicht 
stattfindet.  Ls. 

E.  Carvallo.  Sur  rapplication  de  la  m^tbode  des 
moindres  carrös.  c.  R.  CVI.  924-927. 
Die  Bemerkungen  beziehen  sich  auf  den  Fall,  wo  die  Ge* 
nauigkeit  der  Beobachtung  als  variabel  betrachtet  werden  muss, 
und  schliessen  sich  an  Formeln  an,  welche  der  Verfasser  schon 
früher  veröffentlicht  hat.  Ls. 


J.  Bertrano.     Sur  l'erreur  k  craindre  dans  T^yalaation 
des  trois  angles  d'un  triangle.     0.  R.  GVL  967-970. 
Die  drei  Winkel  eines  Dreiecks   sind   gemessen   nach  Me- 
thoden, die  für  jeden  derselben  den  gleichen  Fehler  befOrcbteu 
lassen.    Die  Wahrscheinlichkeit  eines  Fehlers  s  sei  gleich 

Yfi 


IV.  AbscIlDiU.   WahrscheinlichkeitsreclinnDg  u.  CombioationBluhre.  225 

Mmn  hat  fflr  die  drei  Winkel  gefunden  A  +  B+C=:  180''  +  a 
und  muss  al8o  jeden  Winkel  um-^  verkleinern.    Das   Quadrat 

des  zu  befürchtenden  Fehlers  ist 


3if 

Der  Verfasser  fragt,  ob  das  Vertrauen,  welches  man  den 
Beobaehtungen  schenken  kann,  von  dem  absoluten  Wert  ron  a 
abhängig  ist.    Er  unterscheidet: 

1.  Die  Instrumente  sind  unbekannt  oder  wenig  bekannt;  dann 
ist  die  Winkelsumme  ein  schätzbares  Zeichen,  zuweilen  das  ein- 
zige der  Güte  der  Operation. 

2.  Das  Instrument  ist  gut  bekannt,  und  der  Wert  von  h  steht 
fest;  dann  ändert  die  Grösse  o  nichts  an  der  Schätzung  des  zu 
befflrchtenden  Fehlers.  Ls. 


J.  Bertrand.     Sur  la   möthode  des  moiadres  carr^s. 

C.  B.  GVL  1115-1118. 

Der  Verfasser  zeigt,  worin  der  Fortschritt  besteht,  den  Gauss 
in  seiner  Beweisführung  1821  gemacht,  gegenüber  derjenigen  von 
1809,  welche  ohne  Gegenrede  vonLaplace  angenommen  worden 
war.  Ls. 

J.  Bertrand.     Sur  la  pr^cision  d'un  syst^oie  de  mesures. 

ü.  B.  CVI.  1195-1198. 

J.  Bbktrand.  Sur  las  cons^quences  de  T^galit^  antra  la 
valeur  vraie   d'un    polynöme    et   sa  valaur  inoyenne. 

CR.  CVI.  1259-1263. 

E.  GüYON.  Note  relative  ä  Taxpression  de  Ferraur  pro- 
bable d*un  Systeme  d'observations.  c.  r.  ovi.  1282-1285, 

Ls. 

J.  Bertrand.  Note  sur  l'introduction  das  probabilit^s 
moyennes  dans  rintarprötation  des  r^sultats  da  la 
statistique.     G.  B.  ovi.  1311-1314. 

Wenn  man  bei   den   statistischen   Beobachtungen    die  Yer- 

FortMhr.  d.  Math.  XX.  1.  15 


226  IV.  AbBchnitt.  WahrtcheiolichkeiUrechDong  o.  Combinationalehre. 

hftltnisse  in  Betracht  zieht,  so  pflegt  man  sie  mit  den  Ziehungen 
von  weissen  und  schwarzen  Kugeln  aus  einer  Urne  zu  ver- 
gleichen. Ein  genaueres  Studium  der  Tabellen  zeigt  jedoch, 
dass  die  Abweichungen  von  dem  wahrscheinlichsten  Fall  andere 
sind  bei  dem  Ziehen  von  Kugeln  als  bei  den  statistischen  Er- 
hebungen. Soll  man  deshalb  darauf  verzichten,  diese  Resultate 
als  den  Ziehungen  von  Kugeln  analog  zu  betrachten? 

Wenn  es  sich  z.  B.  um  die  jährlichen  Sterbef&Ile  fttr  Per- 
sonen von  40  Jahren  handelt,  so  konnte  man,  wie  der  Verfasser 
meint,  an  verschieden  zusammengesetzte  Urnen  denken,  ver- 
schieden für  Männer  und  fQr  Frauen,  fQr  die  ländliche  und  für 
die  städtische  Bevölkerung,  verschieden  endlich  nach  Berufsarten 
und  Lebensweise;  dann  wQrde  sich,  einerlei  wie  gross  die  Anzahl 
und  wie  auch  die  Zusammensetzung  der  Urnen  ist,  eine  mittlere 
Wahrscheinlichkeit  ergeben,  und  eine  unveränderliche  Beziehung 
zwischen  der  Zahl  der  schwarzen  Kugeln,  die  aus  den  ver- 
schiedenen Urnen  hervorgegangen  sind,  und  der  Gesamtzahl  der 
Ziehungen.  Der  Verf.  teilt  mit,  dass  er  das  folgende  Theorem 
erwiesen  habe. 

Einerlei  wie  gross  auch  die  Zahl  der  Urnen  und  ihre  Zusammen- 
setzung ist,  so  bleibt  doch  das  Gesetz  der  Abweichungen  dasselbe 
wie  bei  einer  einzigen  Urne  von  gegebener  Zusammensetzung; 
aber  diese  Urne  ist  nicht  diejenige,  welche  die  mittlere  Wahr- 
scheinlichkeit giebt.  Will  man  also  die  Resultate  der  Statistik  mit 
denen  der  Rechnung  vergleichen,  so  muss  man  zwei  verschiedene 
Urnen  annehmen;  die  mittleren  Resultate  entsprechen  den  Zie- 
hungen aus  der  ersten,  die  Abweichungen  denen  aus  der  zweiten 
Urne.  Ls. 


F.  Crotti.     Sulla  compensazione  degli  errori  con  speciale 
applicazione  ai  rilievi  geodetici.      Milano.  Hoepli.  IV  und 

260  S.  320. 


H.  Stadthagen.     Ueber  die  Genauigkeit  logarithmischer 

Berechnungen.      Berlio.  J.  Dammler.  82  s. 


IV.  Abschnitt.  WahrscbeiDlichkeitsreobaaDg  a.  CombinatioDBlebre.  227 

Der  Verfasser  bemerkt,  dass  es  bei  den  heutigen  Anforde- 
rungen an  die  Genauigkeit  astronomischer  ResuUiite  unumgäng- 
lich geboten  sei,  jeden  der  dabei  ins  Spiel  kommenden  Factoren, 
also  auch  die  angewandten  Logarithmen,  auf  ihre  Genauigkeit 
zu  prüfen.  Bremiker  habe  das  Verdienst,  im  Jahre  1852  zuerst 
eine  Theorie  der  Logarithmenfehler  gegeben  zu  haben;  seine 
Schrift  sei  indes  wegen  ihrer  grossen  Fülle  von  Druckfehlern, 
sowie  ihrer  allzugrossen  Knappheit  der  Darstellung  für  das 
Studium  wenig  geeignet.  Auch  sei  es  wünschenswert,  in  den 
theoretischen  Entwickelungen  etwas  weiter  zu  gehen,  als  es 
Bremiker  gethan  hat. 

Es  bandelt  sich  um  die  Fehler,  welche  durch  die  Abkürzung 
der  Logarithmen  auf  eine  bestimmte  Anzahl  von  Decimalstellen 
entstehen,  und  es  wird  zunächst  der  Nachweis  geführt,  dass  die 
Grundbedingungen  einer  Fehlertheorie  bei  den  logarithmischen 
Abkttrzangsfehlern  erfüllt  sind.  Auf  Einzelheiten  können  wir 
hier  nicht  eingehen;  wir  wollen  nur  noch  hinzufügen,  dass  der 
Verfasser  selbst  darauf  hinweist,  dass  die  Abweichung  zwischen 
den  Ergebnissen  der  Praxis  und  der  Theorie  noch  weitere  Unter- 
suchungen wünschenswert  macht.  Ls. 


W.  GosiEWSKi.     Ueber  die  Wahrscheinlichkeit  zufälliger 

Fehler.       Prace  mat.-fiz.  I.  1-4.  (PolDisch.) 

Es  wird  die  Annahme  gemacht,  dass  der  Begriff  eines  zu- 
fälligen Fehlers  mit  der  Ausführung  von  mindestens  zwei 
Schätzungen  der  Messungen  a  und  b  einer  Grösse  x  untrennbar 
ist,  dass  also  die  Wahrscheinlichkeit  p  eines  solchen  Fehlers 
eine  Function  zweier  Grössen  x  —  a  und  x  —  b  ist.  Der  Ver- 
fasser bestimmt  das  Maximum  dieser  Function,  und  gelangt 
in  weiterer  Entwickelung  seines  Gedankens  zu  dem  Gauss'schen 
Fehlergesetz,  hat  aber  später  (Prace  mat.-fiz.  IL,  Referat  im 
nächsten  Jahrg.)  seine  Beweisführung  als  nicht  ganz  zulässig 
erkannt  und  durch  eine  andere  eraetzt.  Dn. 


15' 


228  ^^-  Abschnitt.  WahrscheiDlichkeitarechDnog  u.  Combi oatiooBlehre. 

W.  G0SIBW8KI.  lieber  den  Zusammenhang  zwischen 
dem  Princip  der  kleinsten  Wirkung  und  dem  wahr- 
scheinlichsten System.  Warschau.  Prace  mat.  -  fis.  I.  97-110. 
(Polnisch.) 

Das  ganze  Weltsystem  betrachtet  der  Verfasser  als  ein  zu- 
sammengesetztes, beim  Zusammentreffen  zweier  unabhängigen 
Systeme  entstehendes  Ereignis,  nämlich  1.  des  Systems  s  der 
Elemente  (System  allgemeiner  Coordinaten)  9p  9,,  •••,  9»i  2-  des 
Systems  s'  der  Veränderungen  dieser  Elemente  (System  der  Ge- 
schwindigkeiten) 9  ^  9',, ...,  ^i,  wo  g,' =  -^-  Die  Wahrschein- 
lichkeit des  Systems  oder,  genauer  ausgedrtlckt,  die  Wahrschein- 
lichkeit des  Zustandes  (9,  q*)  ist  zusammengesetzt  aus  den  ein- 
fachen, den  unabhängigen  Systemen  zukommenden  Wahrschein- 
lichkeiten g>  und  t^,  ist  also  gleich  dem  Producte  g>tp.  Wirft 
man  die  Frage  auf,  unter  welchen  Bedingungen  ist  das  Welt- 
system unter  allen  denkbaren  Systemen  das  wahrscheinlichste, 
so  wird  die  Lösung  dieser  Frage  auf  das  Problem  des  Maximums 
des  Integrals 

(1)      P  =/ d/log(9t^), 

also  auf  die  bekannte  Frage  der  Variationsrechnung  zurückge- 
führt. Auf  diese  Weise  gelangt  man  zum  folgenden  System  von 
Gleichungen : 

d  rdlog(p\  _  aiogy  _  3 log»  ^  ^ 
^  ^  dt  ^     dq*     ^  dq  dq  ^ 

und  das  Integral  (1)  erhält  dann  die  Form 

H  ist  eine  Constante.  Es  ist  also  neben  (2)  das  Maximum-Werden 
des  Integrals 

die  notwendige  und  ausreichende  Bedingung  fClr  das  wahrschein- 


IV.  Abachnitt.  WahrBcheinlichkeitsrechnaDg  a.  Combi oatioDslehre.  229 


lichste  System.    Vergleicht  man  die  Oleichangen  (2)  mit  den  be- 
kannten Lagrange'schen  Gleichungen 

d    f  dT  \       dT         du    _ 
dt  ^  dq'  )^  dq  dq    ""  ^' 

so  gelangt  man  zur  Formel 

^xp  =  ge^(T+V^2kqy, 
g  ist  eine  willkürliche  Gonstante.     Es  ist  also  Q  dann  ein  Maxi- 
mum, wenn 


/ 


*2Tdt 


ein  Minimum  wird.  Mithin  gilt  der  Satz:  „Von  allen  denkbaren 
Systemen  ist  das  wahrscheinlichste  dasjenige  System,  in  welchem 
das  Princip  der  kleinsten  Wirkung  stattfindet". 

In  den  folgenden  Teilen  der  Abhandlung  betrachtet  der 
Verfasser  die  yerschiedenen  Arten  der  Systeme,  untersucht  die 
Verteilung  der  Geschwindigkeiten  und  gelangt  zu  einer  Verall- 
gemeinerung des  bekannten  Maxweirschen  Gesetzes  der  kinetischen 
Gastheorie.  Dn. 


W.  P.  Maximowitsch.  üeber  das  Gesetz  der  Wahr- 
scheinlichkeiten der  zufälligen  Grössen  und  seine  An- 
wendung auf  eine  Frage  der  Lehrstatistik.    Kiew.  Uoiv. 

Nachr.  1888.  1.  (Rossisch.) 

Alle  individuellen  Abweichungen  von  einem  Typus  sollen 
dem  Laplace' sehen  Fehlergesetz  folgen;  wenn  also  die  Prüfungen 
uns  eine  exacte  Klassification  der  geistigen  Fähigkeiten  der  jungen 
Leute  geben,  so  muss  die  Summe  der  Fftlle  auch  demselben 
Gesetze  folgen.  Das  hat  nun  wirklich  bei  den  PrQfungen  zur 
Aufnahme  in  die  Polytechnische  Schule  zu  Paris  statt,  wie  der 
Verfasser  es  nach  den  Prflfungslisten  fär  die  letzten  20  Jahre 
bestätigt  hat  «      Wi. 

J.  BsRTRAND.  Sur  les  lois  de  mortalit^  de  Goinpertz 
et  de  Makeham.    c.  r.  cvi.  1042-1043. 

A.  QüiQCET.     Sur  la  loi  de  Makeham.    CR.  CVI.  U65-1466. 


230  IV.  Abschnitt.  WahracKeiolichkeUireehDang  a.  Combi Dattonilehre. 

VAN  Dorsten.     Quelques  remarques  relatives  k  nne  note 
sur  les  lois  de  mortalit^  de  Gompertz  et  de  Makehain. 

c.  R.  CVII.  386. 

Die  Wahrscheinlichkeit  fQr  eine  Person  vom  Alter  <,  das 
Alter  (t  +  J)  zu  erleben,  ist  nach  der  Sterblichkeitsformel  von 
Gompertz  von  der  Form  Kq*(jq^' — 1),  nach  der  Formel  von 
Makeham  von  der  Form  K(f{q^ — 1)*^»  ^o  Äf,  q  und  h  Con- 
stanten sind.  Diese  Formeln  bieten  dem  Lebensversicherungs- 
techniker den  Vorteil,  dass  sich  die  Berechnung  der  Verbindungs- 
reuten  für  zw^i  oder  mehr  Personen  verschiedenen  Alters  zurück- 
führen lässt  auf  diejenige  gleichaltriger  Personen. 

Bertrand  wirft  die  Frage  auf,  ob  Simpson  die  eine  oder  die 
andere  dieser  Formeln  gekannt  habe,  da  er  davon  spricht,  man 
könne  die  Verbindungsrente  zweier  Personen  verschiedenen 
Alters  zurückführen  auf  die  Rente  zweier  gleichaltriger  Per- 
sonen. In  grösster  Allgemeinheit  führt  diese  Behauptung  auf  die 
Gleichung 

q>{a^x)  flp(fc  +  x)  =  F[y (<?  +  «)], 

wo  q>(jk)  die  Anzahl  der  Lebenden  vom  Alter  %  aus  der  Sterbe- 
tafel bedeutet*  Bertrand  zeigt  dann,  dass  die  Bestimmung  von 
fp  und  F  auf  die  Gleichung  führt 

wo  Hy  6r,  K  und  C,  Constanten  sind.  Dies  ist  die  Formel  von 
Makeham,  und  setzt  man  (7,  =  0,  so  geht  dieselbe  in  die  Formel 
von  Gompertz  über. 

Quiquet  kommt  durch  eine  etwas  abweichende  Betrachtung 
zu  dem  Besultat,  dass  der  Forderung  genügt  wird  sowohl  durch 
die  Form 

wie  durch  die  Form 

wo  ff,  m  und  m!  Gonstanten. 

Die  Bemerkungen  von  van  Dorsten  beziehen  sich  auf  die 
Literatur  über  diesen  Gegenstand.  Ls. 


IV.  AbBchoitt.  WahrBcheiDlicbkeitsrecboQOg  o.  CombinationBlehre.  231 

H.  Zimmermann.     Beiträge   zur  Theorie    der    Dienstun- 
fähigkeits-   and  Sterbens- Statistik.     III.  Heft.      Berlin. 

Pattkammer  &  Mählbrecht. 

Ebenso  wie  in  den  vorhergehenden  Heften  hat  der  Verf.  den 
Stoff  in  drei  Teile  geteilt: 

1.  Mathematisch  statistische  Beiträge, 

2.  Bericht  über  die  statistischen  Ergebnisse  des  betreffenden 
Jahres, 

3.  Tabellen. 

Der  erste  Teil  ist  derjenige,  der  uns  hier  am  meisten  in- 
teressirt.  In  der  Vorbemerkung  zu  demselben  wird  es  als  eine 
Hauptaufgabe  des  mathematisch  -  statistischen  Bearbeiters  der 
Dienstunfähigkeits-  und  Sterbens-Statistik  bezeichnet,  „das  darge- 
botene Material  fQr  den  Gebrauch  herzurichten  und  so  die  An- 
wendung desselben  möglichst  weiten  Kreisen  nahe  zu  legen", 
welche  Aufgabe  sich  mit  dem  Wachsen  des  Materials  immer 
mehr  erweitert,  wie  das  in  den  Beiträgen  selbst  dargelegt  wird. 
In  dieser  Hinsicht  möchten  wir  besonders  auf  den  {>.  Beitrag 
hinweisen,  in  welchem  von  der  im  vorhergehenden  Heft  be- 
sprochenen Methode  einer  rationellen-  Ermittelung. der  Sterbens- 
wahrscheinlichkeit dienstunfähiger  Beamte  die  praktische  An- 
wendung gemacht  wird.  Es  handelt  sich  dabei  um  die  Er- 
scheinung, dass  die  Sterbenswahrscheinlichkeit  solcher  Personen, 
welche  erst  seit  kurzem  pensionirt  worden,  erheblich  grösser  ist, 
als  die  Sterbenswahrscheinlichkeit  solcher  Dienstunfähigen  des- 
selben Alters,  welche  schon  längere  Zeit  vorher  dienstunfähig 
erklärt  waren.  Will  man  die  Sterbenswahrscheinlichkeit  der 
Dienstunfähigen  bestimmen,  so  mdsste  man  für  jedes  Alter, 
in  welchem  Dienstunfähigkeit  erklärt  wird,  eine  besondere  Ab- 
sterbeordnung ermitteln.  Für  die  directe  Lösung  dieser  Aufgabe 
ist  aber  das  vorhandene  Material  durchaus  nicht  genügend,  und 
es  müssen  daher  indirecte  Wege  versucht  werden,  von  denen  der 
Verf.  in  dem  vorhergehenden  Heft  einige  angegeben  hatte,  welche 
in  diesem  Heft  zur  Herstellung  einer  Tabelle  benutzt  werden. 

Ls. 


232  IV.  AbschDÜt.  WahrscheiDliehkeiUreohDung  a.  Combioatioos lehre. 

J.  P.  Gram.     Om    Middelfeilen    paa   Värdien    af  Livs- 

forsikringer.      Zeatben  Tidi.  (5)  VI.  97-120. 

J.  P.  Gram.      Tillag    til    Afh^ndlingen    om    Middelfeil 
paa  Värdien   af  Livsforsikringer.      Zeathen  Tide.  (5)  vi. 

184-187. 

Der  Zweck  dieser  Abhandlung  ist,  die  von  Bremiker,  Witt- 
stein  und  anderen  angefangenen  Untersuchungen  über  die  Be- 
stimmung eines  Masses  des  Risicos  für  die  verschiedenen  Gat- 
tungen der  Lebensversicherungen  fortzusetzen.  Der  Verfasser 
sucht  dieses  mit  Hülfe  des  sogenannten  Mittelfehlers  zu  bewerk- 
stelligen.    Dieser  wird  definirt  durch  die  Formel 

/*'  =  ^>, +»>.+^J  •».  +  •••  1 

wo  w^y  tr„  t&y,  ...  die  Wahrscheinlichkeit  in  beziehungsweise 
1,  2y  3,  . . .  Jahren  zu  sterben,  <7n  y,,  ^si  '  •  -  die  entsprechenden 
Verluste  bedeutet.  Diese  Formel  kann  als  eine  Grenzformel  des 
Ausdruckes 

^>i  (l-»i)+P>>(l— «>,)  +  ••  • 

betrachtet  werden,  welcher  ti'  darstellen  würde,  wenn  iTf,  ir,, . . . 
von  einander  unabhängig  wären. 

Die  Untersuchung  wird  in  hohem  Grade  durch  die  Anwen- 
dung der  continuirlichen  Methode  vereinfacht    Diese  giebt 

WO  X  das  Alter  des  Versicherten,  /  die  Zeit  und  Ib  die  Anzahl 
der  jetzt  lebenden  a;-jährigen  Personen,  ist. 

Für  die  gewöhnliche  Versicherung  mit  einer  Versicherungs- 
summe gleich  1  bekommt  man 


^=(^y(^--^')'' 


wo  p  die  continuirliche  Prämie  bedeutet,  d  den  continuirlichen 
Zinsfuss,  ila»  den  Kapital  wert  der  prämienfreien  Versicherung 
gleich  1,  Ax  denselben  Eapitalwert  unter  der  Voraussetzung, 
dass  der  Zinsfuss  2d  ist. 


IV.  AbflchniU.  WahrecheioUohkeitsrechDUDg  u.  Gombinationelehre.  233 

Eine  Reihe  ähnlicher  Formeln  fQr  die  yerschiedenen  gewöhn- 
lichsten Versichemngsgattangen  wird  entwickelt  und  so  trans- 
formirt,  dass  die  Formeln  bequem  zur  Bestimmung  des  Mittel- 
fehlers der  gesammelten  Prftmienreserye  einer  Versicherungs- 
gesellsehaft  yerwendet  werden  können.  Endlich  zeigt  der  Ver- 
fasser, wie  eine  solche  Bestimmung  in  der  Praxis  ausgeführt 
werden  kann,  und  welche  Verkürzungen  in  den  Rechnungen  man 
sich  erlauben  darf. 

Eine  kleine  Tabelle  ist  beigefügt  zur  Erleichterung  der  An- 
wendung. V. 

JuL.  Kaan.  AuIeituDg  zur  Berechnung  der  einmaligeu 
uud  terminlicheu  Prämien  für  die  VersicheruDg  der 
Leibrenten,  Activitäts-,  Invaliditäts-  und  Witwen- 
renten, sowie  zur  Berechnung  der  bezQglichen  Pra- 
mienreserven  zum  Zwecke  der  Bilanz-Berechnung  der 

Bmderladen.     Wien.  Hof-  u.  Staatsdrockerel.  133  8.  8o. 

Der  Verfasser,  welcher  der  Vorstand  des  versicherungs- 
technischen  Departements  des  österreichischen  Ministeriums  des 
Innern  ist,  hat  diese  Schrift  im  Auftrage  des  Ackerbauministeriums 
Tcrfasst. 

Aus  dem  Titel  ersehen  wir  den  Inhalt  derselben.  Wie 
der  Verfasser  in  dem  Vorwort  bemerkt,  lag  die  Aufgabe  vor, 
zu  zeigen,  durch  welche  mathematischen  Entwickelungen  man  zu 
den  im  „Bericht  über  die  im  Auftrage  des  Ackerbauministers 
Torgenommenen  Berechnungen ,  betreffend  die  österreichischen 
Bruderladen''  (yeröffentlielit  1885  als  Beilage  der  österr.  Ztschr. 
für  Berg-  und  Httttenwesen)  erhaltenen  Werte  gelangen  kann. 

Die  Arbeit  zerfällt  in  drei  Gapitel.  Das  erste,  welches  kaum 
drei  Seiten  umfasst,  enth&lt  einige  wenige  Sätze  der  Zinseszins- 
rechnung und  eine  kurze  Erläuterung  der  Mortalitäts-  und  Inva- 
liditätstafeln. 

Das  zweite  Capitel  beschäftigt  sich  mit  der  Rentenversiche- 
rung einzelner  Personen  und  zwar  mit  Leibrenten,  Activitäts- 
und  Invalidenrenten,  sowie  den  terminlichen  Prämien  zur  Den- 


234  IV.  Abecbottt.  Wabracheioikhkeitsrechamig  a.  Gombioatiooslehre. 

tung  derselben.  Die  Begriffe  der  Lebenswabrscheinlichkeit,  der 
Activitfttswahrscheinlichkeit,  der  wabrecheinliehen  und  mittleren 
Lebens-  und  Aetivitätsdauer  werden  erklärt,  und  sodann  werden 
die  Formeln  fbr  Verbindungsrenten  und  Ueberlebungsrenten  so- 
wie fttr  die  terminlichen  Prämien  derselben  entwickelt. 

Das  dritte  Capitel  endlich  behandelt  die  Reserve  und  deren 
Berechnung.  Nach  vorangestellten  ungemein  treffenden  allge- 
meinen Bemerkungen  werden  die  Reserveformeln  entwickelt,  und 
schliesslich  wird  gezeigt,  wie  die  Bilanzaufstellung  und  Reserve- 
berechnung der  humanitären  Institute  ohne  versicherungstechnische 
Basis  (ßruderladen,  Knappschaftskassen)  vorzunehmen  ist. 

Es  handelt  sich  Überall  mehr  um  die  praktische  Anwendung 
als  um  die  möglichst  grosse  theoretische  Vollkommenheit,  und 
es  wird  überall  auf  die  bei  den  Bruderladen  und  den  Knapp- 
schaftskassen getroffenen  Einrichtungen  Bezug  genommen. 

Ein  Anhang  von  neun  Tafeln  enthält  die  Zahlen,  welche  bei 
der  Anwendung  der  in  der  Schrift  enthaltenen  Theorien,  d.  h. 
also  bei  der  Bilanzaufstellung  fttr  eine  Bruderlade  benutzt  wer- 
den sollen.  LfS. 

G.  Jahn.      Ueber   die  Ermittelung  der  Beiträge  fQr  die 
W^ittwen- Versicherung  beim  Bergbau.  lMag.-DiM.  Freiberg. 

Der  Verfasser  unterscheidet  zwischen  der  Witwen  Versorgung, 
wie  sie  durch  die  Rentenanstalten  erfolgt,  und  derjenigen  bei 
Knappschaftskassen  oder  ähnlichen  Vereinigungen.  Bei  den 
ersteren  handelt  es  sich  um  einige  Ueberlebensrenten  der  Ver- 
heirateten, bei  den  letzteren  haben  alle  männlichen  Mitglieder, 
verheiratet  oder  unverheiratet,  gleichmässig  fflr  die  Versorgung 
der  künftigen  Witwen  beizutragen;  dabei  handelt  es  sich  keines- 
wegs um  die  Versorgung  im  voraus  bestimmter  Ehefrauen,  son- 
dern um  die  Versorgung  derjenigen  Frau,  welche  der  Mann  beim 
Tode,  bez.  beim  Eintritt  in  die  Erwerbsunfähigkeit  zurQcklässt 
Die  im  Invalidenstand  geehelichten  Frauen  pflegen  vom  Pensions- 
genuss  ausgeschlossen  zu  sein.  Man  muss  daher  vor  allen 
Dingen  wissen,  wie  viel  Mitglieder  beim  Tode,  bez.  beim  Beginn 
der  Erwerbsunfähigkeit  im  Besitz  einer  Frau  sein  werden. 


IV.  Abecboitt.  Wahrscheinlichkeitsrechnang  u.  GombiDatioDBlehre.  235 

Die  Grundlagen  für  diese  Zahlen  bilden  die  Invaliditäts- 
and Sterbenswahrscheinlichkeiten  der  Männer,  die  Lebenswahr- 
scheinliebkeiten  der  Frauen^  und  die  Wahrscheinlichkeiten  der 
Verheiratung  activer  Bergleute.  Diese  letzteren  sind  bis  jetzt 
nur  ungenügend  ermittelt.  Der  Verfasser  beabsichtigt,  die  von 
Küttner  aufgestellte  „Heirats Wahrscheinlichkeit  für  die  Bergleute 
Sachsens"  in  seiner  Abhandlung  „Die  Eheschliessungen  im  König- 
reiche Sachsen  mit  besonderer  Berücksichtigung  des  Bergmanns- 
standes^  und  die  aus  dieser  Arbeit  sich  ergebenden  mittleren 
Altersdifferenzen  von  Mann  und  Frau  zur  Bestimmung  des  für 
die  Wittwenversicherung  der  Enappschaftskassen  erforderlichen 
Beitrages  zu  yerwerten. 

Die  Arbeit  zerfällt  in  vier  Abschnitte.  Im  ersten  wird  die 
.^Heiratstabelle"  abgeleitet,  eine  Tabelle,  welche  angiebt,  wie 
die  von  einer  gegebenen  Gesamtheit  von  activen  Bergleuten  im 
Laufe  der  Zeit  noch  activ  bleibenden  sich  nach  Verheirateten 
und  Unverheirateten  verteilen.  Es  werden  dabei  verschiedene 
Voraussetzungen  gemacht.  Der  zweite  Abschnitt  handelt  von  der 
Ermittelung  der  die  Witwenkasse  belastenden  Ehefrauen  bez. 
Witwen,  die  man  kennen  muss,  um  die  Verpflichtungen  der 
Rasse  festzustellen,  was  im  dritten  Abschnitt  geschieht,  während 
der  vierte  Abschnitt  endlich  sich  mit  der  Ermittelung  des  für 
die  Witwenversicherung  erforderlichen  Beitrags  beschäftigt. 

In  einem  Anhang  sind  die  ermittelten  Zahlenwerte  als  Tabellen 
beigefügt.  Ls. 


C.  L.  Landr^:.      Lyfrente  in   Termynen   en   dorloopend. 

Nieuw  Archief.  XV.  1-15. 

Der  Verfasser  untersucht  die  Genauigkeit  der  verschiedenen 
Formeln,  welche  man  anwendet,  um  aus  den  Werten  der  jähr- 
lich zahlbaren  Leibrente  (die  pränumerando  zahlbare  Leibrente 
80II  mit  R  bezeichnet  werden)  die  Werte  der  Leibrente,  welche  prä- 

n 

iiumerando  n-mal  im  Jahr  bezahlt  wird  (R "  ),  zu  bestimmen.  Der 
Zinsfuss  sei  i. 

Wenn  man  die  zweiten  Potenzen  von  t  berücksichtigt  und  erst 


236  IV.  Abscboitt.  WahraGheioHchkeitorechoaog  q.  Combinationalehre. 

die  dritten  und  höheren  Potenzen  yernachl&ssigt,  so  kommt  man 
je  nach  der  Annahme,  welche  man  Ober  die  Zahlung  der  Zinsen 
macht,  zu  verschiedenen  Formeln,  von  denen  diejenige  von 
Lobatto 

die  beste  ist.  VerDachlftssigt  man  aber  auch  die  zweite  Potenz 
von  t,  so  fahren  alle  diese  Formeln  auf 

und 

Der  UDterschied  in  den  nach  diesen  Formeln  berechneten 
Werten  gegen  die  nach  den  genaueren  Formeln  berechneten  ist 
so  gering,  dass  die  Werte  bis  auf  0,01  genau  sind,  und  der 
Fehler  im  Verhältnis  zum  Rentenwert  0,0002  nicht  Obersteigt. 
Wendet  man  aber  die  Formeln 


n— 1        ,   ^^ 


Rn  ^  R^-Z^-JL  und  Ä"  =  Ä— i 

an,  so  kann  man  nicht  sicher  sein,  dass  die  Werte  bis  auf  0,01 
genau  sind. 

Daran  knüpft  der  Verfasser  noch  einige  allgemeine  Betrach- 
tungen, um  zu  zeigen,  dass  es  zwecklos  wäre,  die  Leibrenten- 
werte überhaupt  auf  mehr  als  0,0001  genau  bestimmen  zu  wollen. 

Ls. 

C.  L.  Landre.     Ovar  Correctie  van  Getaalreeksen  door 
middel  van  tweede  Verschilleu.    Kieuw  Archief  XV.  15  22. 

Der  Verfasser  macht  darauf  aufmerksam,  dass  für  die  Cor- 
rection  von  Zahlenreihen  hin  und  wieder  Regeln  aufgestellt 
worden  sind,  welche  weit  über  ihren  Zweck  hinausgehen,  indem 
sie  an  die  Stelle  der  zu  corrigirenden  Zahl  eine  andere  setzen, 
•welche  von  der  ursprünglichen  ganz  und  gar  unbeeinflusst  ist 
und  lediglich  von  den  Nachbarzahlen  abhängt.    Er  zeigt  das  an 


IV.  Abschnitt.  WahrecheiDlichkeiterechonog  u.  CombioaiioDBlehre.  237 

einer  fQr  die  Auegleichung  von  Sterbliehkeitstafeln  empfohlenen 
Methode,  indem  er  den  dort  begangenen  Missgriff  beleuchtet. 

Ls. 


C.  L.  Landre.  Over  den  infloed  der  Levenskansen  en 
van  den  rentevoet  op  tarief  en  reserve  bj  levena- 
verzekering.     Nienw  Archief.  XV.  22-36. 

Der  Verfasser  unterflucbt  zuerst  den  Einfluss,  welcher  durch 
eine  Veränderung  des  rechnungsmässigen  Zinsfusses  i  ausgeübt 
wird  auf  den  Wert  der  yorschussweisen  Leibrente  A,  der  ein- 
maligen Prämie  C  für  die  Ablebensversicherung  und  der  jähr- 
lichen Prämie  P  f&r  dieselbe. 

Aus  den  fQr  R  und  C  entwickelten  Formeln  geht  ohne 
weiteres  hervor,  dass  diese  Werte  kleiner  werden,  wenn  t 
wächst,   und  grösser,   wenn   t  abnimmt      Für   den   Wert  von 

P  =  -^  bleibt  die  Veränderung  jedoch  unentschieden.     Bringt 

man  jedoch  P  auf  die  Form 

p=4-   ' 


R        l  +  i  ' 

80  läsat  sich  unter  der  Voraussetzung,  dass  die  Wahrscheinlich- 
keit, im  nächsten  Jahr  zu  sterben,  mit  dem  wachsenden  Alter 
beständig  zunimmt,  zeigen,  dass  auch  der  Wert  von  P  abnimmt 
mit  steigendem  Zinsfuss,  und  umgekehrt.  Bei  der  Untersuchung, 
welche  Veränderung  der  Beservewert  der  Lebensversicherung 
mit  jährlicher  Prämienzahlung  erleidet,  wenn  man  der  Rechnung 
einen  anderen  Zinsfuss  zu  Grunde  legt,  wird  vorausgesetzt,  dass 
man  es  mit  einer  mit  dem  zunehmenden  Alter  stets  wachsenden 
Sterblichkeit  zu  thun  hat,  und  flir  die  Versicherung  einer  Person, 
die  beim  Eintritt  x  Jahr  alt  gewesen  und  seit  n  Jahren  ver- 
sichert ist,  wird  die  Reserveformel 

.         R(x  +  n) 
R(x) 

angewendet.  Dann  ergiebt  sich,  dass  der  Reservewert  sich  bei 
dem  höhern  Zinsfuss  vermindert,  bei  dem  geringeren  erhöht. 


238  IV.  Abscbnitt.  WahrecbeiolichkeitsrechDan^  u.  GombinatioDslehre. 

Bleibt  der  Zinsfass  unverändert,  und  wird  der  Rechnung 
eine  andere  Sterblichkeitstafel  zu  Grunde  gelegt,  welche  durch- 
weg, d.  h.  fQr  alle  Altersklassen,  eine  grössere  Sterblichkeit  zeigt, 
so  vermindert  sich  der  Wert  von  Ä,  während  der  Wert  von  C 

C 

wächst,  folglich  wird  auch  P  =  -o'  grösser.     Das   umgekehrte 

tritt  ein,  wenn  die  neue  Sterblichkeitstafel  durchweg  eine  gerin- 
gere Sterblichkeit  zeigt.  Hinsichtlich  des  Reservewerts  kommt 
es  darauf  an,  ob  die  Aenderung  der  Sterblichkeit  in  den  Alters- 
klassen bis  zu  (x  4-  n)  Jahren  oder  in  den  höheren  Altersklassen 
überwiegt.  Es  kann  sehr  wohl  der  Fall  sein,  dass  der  Reserve- 
wert trotz  höherer  Jahresprämien  geringer  ausf&llt  und  umge- 
kehrt, weil  derselbe  keineswegs  von  der  absoluten  Höhe  der 
Prämien,  sondern  von  dem  Grad  der  Steigerung  der  Sterbtiebkeit 
mit  dem  wachsenden  Alter  abhängt. 

Zum  Schlüsse  behandelt  der  Verfasser  auch  noch  den  Fall, 
dass  zwei  oder  mehrere  ganz  verschiedene  Sterblichkeitstafeln 
fUr  alle  Altersklassen  und  fttr  jede  Versicherungsdauer  genau 
denselben  Reservewert  ergeben  können.  Seine  Entwickelungen 
sind  dieselben,  welche  bereits  früher  von  englischen  Autoren, 
insbesondere  von  Sprague,  über  diese  Frage  gegeben  worden  sind. 

Ls. 

F.  J.  Stüdnicka.     Grundzüge  der  national-ö'kouomischen 
oder  juridisch-politischen  Arithmetik.      Prag.  1887.  312  S. 

(Böhmisch.) 

Der  reichhaltige  Stoff  wird  in  vier  Abschnitten  verarbeitet, 
wovon  der  erste  vorbereitender  Natur  ist,  der  zweite  Rechnungen 
betrifft,  welche  reine  Procenterträgnisse  bedingen,  wobei  auch 
die  continuirliche  Verzinsung  eine  allseitige  Beachtung  erfährt, 
während  der  dritte  Abschnitt  den  Rechnungsbedürfnissen  der 
Sparkassen,  der  letzte  hingegen  den  Banken  gewidmet  ist.  .  Zwölf 
reichhaltige  Tabellen  bilden  den  Schluss  des  originell  angelegten 
und  mit  zahlreichen,  vollständig  durchgerechneten  Beispielen  ver- 
sebenen Werkes.  Std. 


IV.  Abschnitt.  WabrsclieiDlichkeitsrecfaDang  a.  CombinaiioDslehre.  239 

Hr.  Bleicher.     Grandriss  der  Theorie  der  Zinsrechnung. 

Berlio.  Springer.  75  S. 

Der  Verfasser  will  einen  kurzgefassten  Grundriss  f&r  eine 
voUsULndige  Theorie  der  Zinsrechnung  geben,  und  wir  glauben, 
dass  er  seine  Aufgabe  auch  gelöst  hat  Er  giebt  nach  einer 
ausführlichen  Erläuterung  der  Zinsfunction  eine  systematische 
Entwickelung  der  Orundformeln,  wobei  der  Ausgangspunkt  in 
der  continuirlichen  oder  augenblicklichen  Verzinsung  liegt  Am 
Schlüsse  des  Buches  sind  einige  Tabellen  betreffend  die  augen- 
blickliehe Verzinsung,  welche  Ton  anderen  Autoren  mehr  in  den 
Hintergrund  gestellt  zu  werden  pflegt,  hiozugefllgt.  Ls. 


F.  RoNCBiTTi.  Calcolo  del  valore,  al  netto,  di  titoli 
soggetti  a  tassa  di  circolazione  e  dritto  di  provvigione 
come  le  obbligazioni  ferroviarie.   Batt  6.  xxvi.  133-154. 

Ls. 

6.  King.  Institute  of  actuaries'  textbook  of  the  prin- 
ciples  of  interest,  life  annuities  and  assurances,  and 
their  practical  application.  Part  IL  Life  contingencies 
(inclading  life  annuities  and  assarances).       London,   c. 

aod  £.  Layton.  1887. 

Anzeige  in  Nature  XXXVII.  457-458.     Danach  ist  der  erste 
Teil  1882  erschienen.  Lp. 

Pbospbr  de  Lafitte.  Essai  d'une  thdorie  rationnelle 
des  soci^t^s  de  secours  mutuels.     Paris. 


E.  Gelin.     La  monnaie.     Mathesis  viii.  Snppi.  i.  16  s. 


Fünfter  Abschnitt 

B  e  i  h  e  n. 

Capitel  1. 

Allgemeines. 
J.  L.  W.  Jbnsbn.      Sur    un    th^or^me  de  coDvergence. 

Noav.  Ann.  (3)  VII.  196-198. 

J.  L.  W.  Jenskn.      Sur    un  th^or^me  gän^ral   de  con- 
vergence.    C  R.  cvi.  729-731. 

P.  DU  Bois-Retmond.     Sur  les  caract&res  de  convergence 
et  de  divergence  des  s^ries  k  termes  positifs.    c.r.  cvi. 

941-944. 

E.  Gbsaro.     Sur   deux   r^centes  Communications  de  M. 
Jensen,     c.  r.  cvi.  ii42-ii43. 

J.  L.  W.  Jensen.      8ur    un   th^or^me   g^n^ral    de  con- 
vergence.     R^ponse    aux    remarques    de    M.  Cesaro. 

C.  R.  CVI.  1520.1622. 

E.  Cesaro.      Sur   un  th^or^me  de   Kummer,     c.  r.  cvi. 

1791-1794. 

E.  Cesaro.     Remarques  sur  divers  articles,  concernant 
la  th^orie  des  s^ries.     Nouv.  Ann.  (3)  Vli.  401-404.  (So.  5.) 

Die  bekannten  Convergenzkriterien  Cauchy's^  Duhamers  und 
Bertrand's  sind  specielle  Fälle  des  von  Herrn  Jensen  gefundenen 
Satzes:     Enthält   die  Reihe  2un  nur  positive  Glieder,    bedeutet 


Gapitel  1.    Allgemeines.  241 

o,  eine  positive  Fanction  der  ganzen  positiven  Zahl  u  und  fi 
eine  positive  Gonstante,  so  ist  Sun  convergent,  wenn 

ist  Die  Richtigkeit  dieses  Satzes  ist  leicht  ersichtlich,  da  aus 
(1)  unmittelbar  folgt: 

Da  man,  so  fährt  Herr  Jensen  fort,  a«  so  wählen  kann,  dass  (1) 

befriedigt   und   gleichzeitig  2 divergent  wird,  so  hat  sowohl 

dieser  Satz  allgemeine  Gültigkeit,  wie  auch  der  folgende:  Die 
Reihe  positiver  Glieder  Sun  ist  convergent  oder  divergent,  je 
nachdem  von  einem  bestimmten  Werte  von  n  an 

««+1 

grösser  als  /u  oder  kleiner  als  Null  ist,  wobei  a»  und  /u  positiv 

sind   und  S divergirt. 

Diese  Sätze  sind,  wie  du  Bois-Reymond  ausführt,  soweit 
sie  die  Convergenz  betreffen,  in  einer  von  ihm  im  J.  für  Math. 
LXXYL  veröffentlichten  Arbeit  enthalten;  soweit  sie  die  Divergenz 
betreffen,  sind  sie  allgemeiner.  Die  sich  in  letzterer  Hinsicht 
ergebende  Verschiedenheit  wird  von  du  Bois-Reymond  be- 
sprochen und  im  Anschluss  daran  die  Frage  gestellt,  ob  eine 
Funetion  Ip  von  der  Beschaffenheit  existire,  dass  die  Reihe  Sup 
convergirt,  wenn 

Up 

ist;  er  zeigt,  dass  eine  solche  Function  nicht  existirt. 

Herr  Cesaro  giebt  an,  wie  er  seit  zwei  Jahren  das  Jensen'- 
sche  Convergenzkriterium  beweist;  er  behauptet,  dass  dasselbe 
nicht  neu  sei,  es  stimme  vielmehr  mit  dem  von  Herrn  Kummer 
(J.  für  Math.  XIII.)  gegebenen,  von  Herrn  Dini  (Annali  del- 
r  Univ.  Torino  1867)  modificirten  und  vervollständigten  überein; 
aus  der  Arbeit  des  letzteren  ergebe  sich  auch,   dass  dem  zwei- 

Fortaehr.  d.  Math.  XX.  1.  16 


242  ^«  Abschnitt.    Reihen. 

ten  Satze  des  Herrn  Jensen  keineswegs  allgemeine  Gültigkeit 
zukomme. 

Herr  Jensen  weist  in  seiner  Entgegnung  darauf  hin,  dass 
limoMtifi  =  0  für  n  =  oo  unmittelbar  aus  der  Ungleichung  (1) 
folge  (dies  hatte  auch  schon  Herr  Cesaro  angegeben);  mithin 
bezeichne  seine  Darstellung,  durch  welche  die  durch  den  Eum- 
mer'schen  Satz  geforderte,  oft  sehr  schwierige  Untersuchung  Ton 
limonUn  als  überflüssig  nachgewiesen  sei,  eine  neue  und  grosse 
Vereinfachung  der  Gonvergenztheorie. 

Dagegen  bemerkt  Herr  Cesaro,  dass  der  Kummer'sche  (resp. 
Jensen'sche)  Satz  nur  eine  beschränkte,  nicht  eine  allgemeine 
Anwendbarkeit  zulasse.  Er  sei  unzureichend,  wenn  Onti»  keine 
bestimmte  Grenze  habe;  es  könne  durch  denselben  die  Divergenz 
derjenigen  Reihen,  für  welche  a^tin  abnehmend  oder  oscillirend 
gegen  Null  convergire,  nicht  nachgewiesen  werden,  während  sich 
dieselbe  aus  der  Existenz  von  lima»ti»  leicht  ergebe.        Wz. 


E.  Cesaro.     Sur  la  convergence  des  söries.      Nonv.  Ann. 

(3)  VII.  49-59. 

£.  Cesaro.     Sur  la  comparaison  des  s^ries  divergentes. 

Born.  Acc.  L.  Rend.  (4)  IV,.  115-118. 

E.  Cesaro.     Sur  une  distribution  de  signes.     Rom.  Acc.  l. 

Rend.  (4)  IV,.  133-138. 

J.  Bagnera.     Sur  une   propriet^  des  s^ries  simplement 

COnvergentes.      Darboax  BqU.  (2)  XII.  227-228. 

E.  Cesaro.     Remarques  sur  divers  articles,   concernant 
la  theorie  des  söries.    Nouv.  Ann.  (3)  vii.  401-407.  (No.4.) 

Zur  Entscheidung  der  Divergenz  gewisser  Reihen  können 
folgende  Sätze  dienen: 

1.  Eine  Reihe  «,  +  «>  +  •••  ist  divergent,  wenn  (fBr 
fi  =  oo)  limnUn  =  A(A^O)  ist. 

2.  Teilt  man  das  System  der  ganzen  Zahlen  in  Systeme 
il,,  i4,,  ...,  Ar]  ist  dann  (für  n  =  oo)  MmOn  =^  Aj,  falls  On  die 
Zahlen  von  Ai  durchläuft;  bedeutet  1?»  die  Anzahl,  a,  die  Summe 


Oapitel  1.     ÄHgemeinefl.  243 

der  Zahlen  von  Aij  welche  kleiner  sind  als  fi,  Wi  die  Wahr- 
scheinlichkeit,  dass  eine  beliebig  herausgegriffene  Zahl  dem 
System  Ai  angehört,  so  muss,  wenn  die  Reihe  u^+u^-^-u^  -f-  *** 
convergent  sein  soll,  A,«,  -f  A,aij  +  •••  +  ^Wr  =  0  sein. 

Aus  2.  ergiebt  sich  z.  B. :  Damit  die  harmonische  Reihe 
1|  i?  i)  if  if  •  •  •  convergent  sei  (ferner  auch  Reihen,  die  nicht 
weniger  divergent  sind  als  diese),  mOssen  ebensoviel  Glieder 
mit   positivem  wie  mit  negativem  Vorzeichen  versehen  werden. 

Herr  Cesaro  nennt  von  zwei  divergenten  Reihen  tfi+<<9  +  *** 
and  o,-ff>, -}-•••  die  erste  weniger  divergent  als  die  zweite,  wenn 

^1  +*'t  +  •"  +  ^n 

für  n  =•  oo  gegen  Null  convergirt.  Falls  ti«:v«  eine  Grenze  l 
besitzt,  muss  auch  V  gegen  dieselbe  Grenze  convergiren.  Gemäss 
dieser  Erklärung  sind  z.  B.  diejenigen  Reihen,  für  welche 
limntf«  =  0  ist,  weniger  divergent  als  die  harmonische  Reihe. 
Allgemein  kann  man  leicht  divergente  Reihen  angeben,  welche 
weniger  divergent  sind  als  eine  gegebene  Reihe.  Herr  Cesaro 
bespricht  das  Eummer'sche  Convergenzkriterium  (J.  ftlr  Math. 
XIII.  171)  und  den  Fall,  dass  u»:v»  zwischen  einer  endlichen 
Anzahl  von  endlichen  Grenzwerten  schwankt. 

Bedeutet  t«, +«s  +  "'*  eine  divergente  Reihe  positiver  Glie- 
der, a^j  a„  ...  Zahlen,  welche  beständig  und  unbegrenzt  wachsen, 
so  convergirt  für  n  =  oo  das  Verhältnis  V  gegen  dieselbe 
Grenze  wie 

lim  ^'^'  "^^«^«  "I *"  ^^* 

falls  dieser  letzte  Ausdruck  existirt. 

Hieraus  ergiebt  sich  —  und  dies  ist  der  Satz,  den  Herr 
Bagnera  auf  anderem  Wege  ableitet  —  dass  die  Wahrscheinlich- 
keit (ja)^  „in  einer  einfach  convergenten  Reihe  ein  positives 
Glied  zu  treffen**,  gleich  ^  ist,  oder  dass  in  derselben  die  posi- 
tiven Glieder  ebenso  häufig  sind  wie  die  negativen,  falls  die- 
selben ihrem  absoluten  Werte  nach  beständig  abnehmen. 

Hierin  ist  die  Existenz  von  w  stillschweigend  angenommen; 

16* 


244  ^-  AbBchnitt.    Reihen. 

aber  aacb,  wenn  to  nicht  existirt,  bietet  die  Verteilung  der  Vor- 
zeichen eine  gewisee  Regelmässigkeit  dar.  Wz. 


J.  L.  W.  Jknsbn.     Sur  une  g^n^ralisation  d'un  th^orfeme 
de  Caiichy.     c.  R.  cvi.  833-836. 

E.  Cesaro.     Sur  deux   r^centes  Communications  de  M. 
Jensen,     c. r.  cvi,  ii42ii43. 

J.  L.  W.  Jensen.     Sur  un  thöorferae  gän^ral  de  conver- 
gence.     R^pouse  aux  remarques  de  M.  Cesaro.      c.  r. 

CVI.  1520-1522. 

Die  von  Herrn  Jensen  bewiesene  Verailgemeinerang  des 
Cauchy 'sehen  Satzes  lautet:  Bedeuten  q>n  und  On  derartige  Func- 
tionen  der  ganzen   positiven  Zahl  n,    dass  (fn   eine   bestimmte 

n 

Grenze  tp^  hat,  wfthrend  |  a^  |  ==  oo  und  £  \  o».— Or-i  | :  ou  be- 
beständig  kleiner  ist,  als  eine  gegebene  Zahl,  so  ist: 

^  ,j^  (g.-flp) y,  +  (fl«-q,) y,  +  "•  +  (g--<^-i)y» 

Hieraus  folgt:  Bedeutet  Sun  eine  conyergente  Reihe,  so  ist: 

lim  gitf|  +  g»^«  +  '"  +  g»«>  ^  Q 

woraus  sich  noch  Verallgemeinerungen   eines  Satzes   von  Abel 
und  eines  solchen  des  Herrn  Stieltjes  ergeben. 

Herr  Cesaro  behauptet,  dass  die  VerallgemeineruDg  des 
Gauchy* sehen  Satzes  schon  frOher  (Rendiconti  dei  Lincei)  ge- 
geben sei,  worauf  Herr  Jensen  entgegnet,  dass  er  dieselbe  bereits 
im  Jahre  1884  (Tidsskrift  for  Mathematik  (5)  IL  81-84;  Tergl. 
F.  d.  M.  XVI.  1884.  193)  veröffentlicht  habe.  Ws. 


O.  Stoltz.     Ueber  Verallgemeinerung  eines  Satzes  von 

Cauehy.      Math.  Ann.  XXXIII.  237-245. 

Es  seien  g(n)  und  ^(n)  reelle  Functionen,  q/(n)  ändere  sich 
bei   wachsendem   n  stets   im   nämlichen   Sinne    und    habe    bei 


Capitel  1.    Allgemeines.  245 

Kmn  =  -f-  ^  einen  unendlichen  Grenzwert.  Wenn  g(n)  bei 
lim»  =  +cx>  eine  endliche  obere  (untere)  Unbestimmtheitsgrenze 
0(ü)  besitzt,  so  ist  die  entsprechende  Unbestimmtheitsgrenze  yon 

entweder  — oo(-f-oo)  oder  eine  endliche  Zahl  O'(ü'),  welche 
nicht  grösser  (kleiner)  als  0{U)  ist.  Hat  g(n)  bei  limn  =  -foo 
den  Grenzwert  +oo(— c»),  so  auch  die  Function  F(n). 

Dieser  Satz  wird  bewiesen  und  in  Beziehung  gesetzt  zu  Ar- 
beiten der  Herren  Jensen  (G.  B.  CVI.  833)  und  Cesafo  (Bom. 
Acc.  L-  Bend.  (4)  IV,.  116,  Nouv.  Ann.  (3)  VII.  54,  Palermo 
Bend.  I.  225,  vgl.  die  voranstehenden  Berichte). 

Dem  hieraus  über  das  Verhalten  von  f(n) :  q>(n)  sich  er- 
gebenden Satze  stellt  der  Herr  Verfasser  einen  analogen  an  die 
Seite,  der  sich  mit  dem  Quotienten  zweier  fttr  jeden  endlichen 
Wert  von  x  definirten  reellen  Functionen  f(x\  q>(x)  für  a:  =  +  oo 
beschäftigt.  Wz. 


A.  Pbingshkim.     Deber  die  Convergenz  unendlicher  Pro- 

dacte.      Math.  ADD.  XXXIII.  119-154. 

Der  Herr  Verfasser  will  in  dieser  Abhandlung  die  Haupt- 
sätze Aber  die  Convergenz  unendlicher  Producte,  welche  zuerst 
von  Cauchy  mit  Hülfe  der  Theorie  der  Logarithmen  und  der 
logarithmischen  Beihe  bewiesen  sind,  unmittelbar  aus  der  Defi- 
nition des  Productes  rein  elementar  ableiten,  d.  h.  ohne  Be- 
nutzung der  Logarithmen  und  der  trigonometrischen  Form  der 
complexen  Zahlen.  Nachdem  er  die  Convergenz  eines  unend- 
lichen Productes  definirt  hat,  zeigt  er: 

L  Die  notwendige  und  hinreichende  Bedingung  für  die 
absolute  Convergenz  des  unendlichen  Productes  n(l+Uy)  be- 
steht in  der  absoluten  Convergenz  der  unendlichen  Beihe  Su^. 

Das  absolut  convergente  Product  convergirt  auch  stets  un- 
bedingt. 

Dabei  heisst  ein  unendliches  Product  iTCl+t^O  absolut  con- 


246  V.  AbschDitt.    Reihen. 

vergent,  wenn  11(1  +  |fiy()  convergirt,  unbedingt  convergent,  wenn 
es  unabhängig  von  der  Anordnung  der  Factoren  convergirt.  Die 
Grössen  u^  sind  beliebig  reell  oder  complex. 

IL    Die  notwendige   und   hinreichende  Bedingung   f&r  die 

(X 

Convergenz  des  Productes  //yCl+Pr+ff^O»  ^^  diep^  unter  sich, 
desgleichen  die  q^  unter  sich  gleiches  Vorzeichen  besitzen,   be- 

OD 

Steht  in  der  Convergenz  der  Reihe  2!y(Pv+qyi). 

1 

Ein  Product  dieser  Art  ist,  wenn  überhaupt,  stets  absolut 
und  unbedingt  convergent. 

Nachdem  der  Herr  Verfasser  sodann  die  vollständige  Iden- 
tität zwischen  absoluter  und  unbedingter  Convergenz  eines  un- 
endlichen Productes  dargethan  hat,  leitet  er  einige  Hülfssätze 
über  gewisse  endliche  Producte  ab,  um  schliesslich  zur  bedingten 
Convergenz  reeller  Producte  flberzugehen;  hierfür  zeigt  er  den 
von  Cauchy  mit  Hülfe  der  logarithmischen  Reihe  bewiesenen 
Satz: 

Convergirt  die  Reihe  JSyCy  bedingt  in  der  durch  die  Indices 

1 

SD 

vorgeschriebenen   Anordnung,    so    convergirt   /7r(l+Cy)    oder 

1 

OB 

divergirt  nach  Null,  je  nachdem  JSyC}  convergirt  oder  divergirt 

Wz. 


Ch.  Merat.  Sur  rimpossibilitä  de  franchir  par  la  for- 
mule  de  Taylor  les  cercles  de  convergence  de  cer- 
taines  s^ries  enti&res.     Darbouz  Ball.  (2)  Xll.  248-352. 

Es  habe  die  Reihe 

f(x)  =  l+a?^'  +  aJ^^ i-ajw'-f  ... 

den  Charakter  einer  ganzen  Function  (der  Convergenzradius  der- 
selben ist  höchstens  gleich  Eins),  es  bedeute  a  eine  beliebige 
Grösse,  deren  Modul  <:1  ist,  dann  hat  die  mit  Httlfe  des 
Taylor'schen  Satzes  gefundene  Entwickelung  von  f^a  +  h)  höchstens 
1  — mod.a  zum  Convergenzradius. 


Capitel  1.    Allgemeines.  247 

Fflr    diesen   Satz   des    Herrn   Weierstrass  wird  vom  Herrn 
Verfasser  ein  elementarer  Beweis  gegeben.  Wz. 


Hadamard.      Sur    le    rayon   de  convergence  des  s^ries 
ordonndes     suivant     les     puissances    d'une    variable. 

C.  R.  OVI.  259-262. 

Der  Convergenzkreis  der  Reihe  a^  +  a^X'\'a^x^+  >*•  wird 

mit  Hülfe  der  Folge  |  a,  | ,  |  j/ö^  | ,  . . . ,  bestimmt  und  der  von 
Herrn  Lecomu  (vergl.  F.  d.  M.  XIX.  1887.  228)  gegebene  Satz 
modificirt.  Wz. 

Ch.  Biehlbr.     Sur  les  söries  ordonn^es  suivant  les  puis- 
sances croissantes  d'uue  variable.    Noav.  Aon.  (3)  Vli.  200-203. 

Unter  der  Voraussetzung,  dass  fflr  alle  innerhalb  des  Gon- 
vergenzkreises  der  Reihe  a^  +  a,  a?  +  a,aj*4-öa«'  +  -"  gelegenen 
Werte  der  Veränderlichen  x  auch  die  Reihe  a,  +  2  a^a?  +  SOj  a:'  +  ••  • 
convergirt,  wird  bewiesen,  dass  für  dieselben  Werte  von  x  die 
zweite  Reihe  die  Ableitung'  der  ersten  ist.  Wz. 


S.  PiNCHERLB.      Una  transformazione  di  serie.      Palermo 

Bend.  II.  225-226. 

Wenn  a»  so  beschaffen  ist,  dass  f(x)  =  SOnX*^  in  einem 
Kreise,  dessen  Radius  grösser  als  2  ist,  convergirt,  so  kann  die 
Function 

dargestellt  werden.  Wz. 

M.  WoRONTZOF.      Sur  le  ddveloppement  en   s6*ies    des 

fonCtioDS   implicites.     Nonv.  Add.  (3)  VII.  362-365. 

Sind  die  beiden  Gleichungen  m  =  f(t/);  x  =  q>(y)  gegeben, 
so  wird  eine  Function  von  x  mittelst  der  Maclaurin'schen  Reihe 
und  des  Lagrange'schen  Restes  nach  Potenzen  von  m  entwickelt 


248  V.  Abschnitt.    Beiheo. 

und  das  Resultat  auf  zwei  Beispiele: 

a;  =  c«y,  III  =  ^ — Ä  und  «  =  y*»,  iw  =  y*  — Ä 
angewandt.  Wz. 

A.  GuTZMBR.      £in    Satz    Über    Potenzreihen.    Math.  Ado. 

XXXII.  596-600. 

Es  sei  die  Potenzreihe 

u 
ftr  den  durch  die  Ungleichung  \^\  ^1^  definirten  Bereich  ab- 
solut convergent.  Dann  ist  das  arithmetische  Mittel  aus  den 
Quadraten  der  absoluten  Beträge  aller  Werte,  welche  $(«)  auf 
dem  Kreise  \x\  =^  r(r<:R)  annimmt,  gleich  der  Summe  aus 
den  Quadraten  der  absoluten  Beträge  der  einzelnen  Glieder. 

Wz. 

A.  Harnack.  üeber  Cauchy's  zweiten  Beweis  für  die 
Convergenz  der  Fourier'schen  Reihen  und  eine  damit 
verwandte  ältere  Methode  von  Poisson.    Math.ADD.XXXiL 

175-202. 

Nach  dem  Vorgange  Dirichlet's  und  Riemann's  werden  in 
den  historischen  Darstellungen  der  Theorie  der  Fourier'scben 
Reihen  gewöhnlich  die  umfassenden  Versuche  Poisson's,  welche 
sich  auf  die  Convergenz  der  Reihen  mit  trigonometrischen  Func- 
tionen und  mit  Cylinderfunetionen  beziehen  (Journal  de  TEcole 
Polytechnique  vom  Jahre  1823;  XII.  Gab.  XIX.),  nicht  erwähnt; 
ebenso  wenig  wird  einer  ausftlhrlichen  Abhandlung  Cauchy's  ge- 
dacht, welche  die  Theorie  der  Residuenrechnung  schliesst  (Exer- 
cices  de  Math.  IL  1827.  341-376;  Oeuvres  (2)  VII.  545 flF.)  und  einen 
neuen  Beweis  fHr  die  Convergenz  der  Fourier'scben  Reihe  enthäjt 
Von  einer  Priorität  kann  wegen  Mangels  an  Strenge  bei  beiden 
Autoren  keine  Rede  sein.  Trotzdem  sind  diese  Arbeiten  von 
Interesse;  es  handelt  sich  in  ihnen  nicht  bloss  um  die  gewöhn- 
liche Reihe,  welche  nach  ganzzahligen  Vielfachen  des  Argumentes 
fortschreitet;   sondern   es  werden   auch  die  Reihen  in  Betracht 


Oftpitel  1.    Allgemeines.  249 

gezogen,   bei    welchen   die  Parameter  von  den  Wurzeln  irgend 
einer  Yorgeschriebenen  transeendenten  Gleichung  abhängen. 

Der  Beweis  Gauchy's  lässt  sich  nun  —  und  dies  geschieht 
im  ersten  Abschnitt  der  Harnack'schen  Arbeit  —  vervollstAn- 
digen;  man  hat  zu  diesem  Zwecke  nur  die  Voraussetzungen  über 
die  Beschaffenheit  der  darzustellenden  Function  zu  betonen,  unter 
welchen  gewisse  Umformungen  bestimmter  Integrale,  die  bei 
Cauchy  vorkommen,  allein  und  Überdies  in  etwas  anderer  Form 
als  dort  zulässig  werden. 

Im  zweiten  Abschnitt  wird  gezeigt,  dass  in  den  von  Cauchy 
behandelten  Beispielen  die  Convergenz  der  Beihen  immer  auf 
der  Convergenz  des  bekannten  Dirichlet'schen  Integrales  beruht, 
so  dass  ebenso,  wie  für  die  gewöhnliche  Fourier'sche  Reihe, 
diese  Bedingung  die  notwendige  und  hinreichende  auch  bei  den 
allgemeinen  Beihen  dieser  Art  ist 

Im  dritten  Abschnitt  wird  gezeigt,  dass  die  von  Poisson  an- 
gegebene Methode  im  Grunde  nichts  anderes  als  eine  Besiduen-* 
rechnung  ist.  Wz. 

DiBiCHLBT.     On  the  convergency  of  the  trigonometrical 
series  wbieb  serves  to  represent  an  arbitrary  function 

between  given   limite.     Tokio.  Math.  Ges.  III.  249-266. 

Englische  Uebersetzung  der  bekannten,  im  4.  Bande  des 
Jonmals  für  Math,  erschienenen  Abhandlung  von  DirichleL 

E. 


M.  Lrbch.     Sur  une  fonction  discontiuue.     Batt.  G.  xxvi. 

375-376. 

OD 

s 

fiberall  unstetige  Function  der  reellen  Veränderlichen  x  darge- 
stellt wird,  während  die  Glieder  q>n(ßO  dieser  Beihe  stetige 
FuDCtionen  einer  reellen  Veränderlichen  sind.  Wz. 


Beispiel  einer  Beihe:  f(a;)  =  ^5P,(aj),   durch    welche    eine 


250  V.  Absohaitt.    Reihen. 

8.  ZuBAKOwsKi.     Beweis  eiues  Satzes  von  H.  Wronski. 

Krak.  Deokachr.  XIY.  56-58.  (Polnisch.) 

Die  Wronski'sche  Formel 


X    1   .„  .     i»     1 


9'    f*^ 

<f>"(rn' 


1 


1.2.3   ip'* 


1.1.2 


+ 


1    <p  1.2  q> 

g>-  (q>r  er  Fj 

{q>  und  f  sind  durch  die  Gleichung 

verbunden,  deren  eine  Wurzel  gleich  a  ist;  F,  f,  F'  u.  s.  w.  be- 

deuten  F(a\f{a\ — .        ,  «»-J  erhält  der  Verfasser  durch  eine 

geeignete  Umformung  der  bekannten  Bttrmann'schen  Reihe.  Es 
ist  aber  zu  bemerken,  dass  die  Formel  von  Wronski  die  allge- 
meinere ist,  und  dass  in  ihr  sowohl  die  Bttrmann'sche  wie  auch 
die  bekannte  Lagrange'sche  Reihe  enthalten  ist  Dn. 


G.  Tbixeira.     Extrait  d'une  lettre  adressde  ä  M.  Hermite. 

Darbonx  Ball.  (2)  XII.  272-276. 

Wenn  innerhalb  des  Intervalls  (a ...  6)  1)  v(p\  V(^)'  "n  ^s«  -" 
stetige  Functionen  bedeuten  und  2)  9^(0;)  in  eine  gleichmässig 
convergente  Reihe  entwickelt  werden  kann,  so  ist: 

/b  /•b  pb  /»6 

(p(x)tff(x)dx  =  /  u^tff{x)dx  4- /  u^tl/(pB)dx  -j-  •  •  •  -{- 1 Un^{x)dx-\ — 

a  a  a  a 

Setzt  man  %lß{x)  =  1,  so  ergiebt  sich  hieraus  ein  bekannter 
Satz  der  Analysis.  Der  Herr  Verfasser  macht  auf  die  Vorzüge 
seines  Beweises  aufmerksam  und  leitet  aus  demselben  einen  be- 
quemen Ausdruck  fSr  den  Fehler  ab,  der  entsteht,  wenn  man 
die  Entwickelung  beim  n^  Gliede  abbricht.  Wz. 


E.  PiCARD.     Sur  la  oonvergence  des  s^ries  repr^sentant 
les  integrales  des  ^quations  difF^rentielles.   Darbou  Boll. 

(2)  XII.  148-166. 


Gapitel  1.    AllgemeiDes.  251 

Es  sei  f(x,  y)  eine  Function,  welche  ftir  alle  Werte  ypn  x 
und  y  innerhalb  der  mit  den  Radien  a  und  b  um  die  Punkte 
x^  resp.  y«  beschriebenen  Kreise  holomorph  ist ;  Jlf  sei  der  grösste 
Wert  des  Moduls  von  f(x^y\  wenn  x  und  y  Punkte  des  üm- 
fangs  dieser  Kreise  bedeuten;  dann  giebt  es  ein  Integral  der 
Differentialgleichung  erster  Ordnung: 

4- = ««."• 

welche  fQr  x^  den  Wert  y^  annimmt  und  durch  eine  Reihe  dar- 
gestellt werden  kann,  deren  Gonvergenzradius 

aTl—  e    2aMJ 

ist  Der  Herr  Verfasser  erweitert  den  Convergenzbereich,  indem 
er  zeigt,  dass  diese  Reihe  innerhalb  eines  Kreises  convergirty 
dessen  Radius  die  kleinere  der  Grössen 

a  und  —jjjj- 

ist.  Wz. 

J.  PuzYNA.     AnwenduDgen    der    verallgemeinerten  La- 
grange'scben  Interpolationsformeln.    Krak.  Denksehr.  xiv. 

1-55.  (Polnisch.) 
Ist 

a,+^,  +  -  +  An,  =  0,l,2,...,fl) 

eine  algebraische  Gleichung  pf^  Grades  mit  m  Veränderlichen 
^i9^99--'9^m  ^^d  '+1  Goefficienten,  und  sind 

«10),  «2(1),  .  ..  «m(l), 


«!(*),  «i(#),  •  .  •  «m(#), 

s  Systeme  der  Wurzeln  dieser  Gleichung,  so  kann  jedes  Glied 
x*,i  a?^ . . .  0?^"»  linear  durch  9  Werte 

dargestellt  werden,  so  dass 

«J«^  ...  «>  =  a,«J|,^«^,, ...  <7l)+*•••+«.«lV2^) ...  <w; 


252  V.  Absohnitt.    Reihen. 

ttp  o,,..-,  er«   sind  rationale  Functionen   aller  anderen  Glieder 
x^i  ^^ ...  x^m  der  Gleichung  G  =  0  und  genQgen  der  Bedingung 

a^  -\'  O^  -\-  •"  -\-  ctg  =  1 . 

Diese  Formel  nennt  der  Verfasser  die  verallgemeinerte  Lagrange'- 
sehe  Interpolationsformel. 

Die  Schrift  behandelt  ausfUhrlich  die  Anwendungen  dieser 
Formel  auf  die  Theorie  einiger  geometrischen  Gebilde,  nämlich 
der  Punktreihen  zweiten  Grades  und  der  Parameter  der  Gurven 
dritten  Grades  und  dritter  Klasse.  Dn. 


Carvallo.  ,  Formales  d'interpolation.   c.  b.  cvi.  346-349. 

Es   giebt   zwei   Methoden,   um   aus   Gleichungen   yon   der 
Form;^ 

tfi  =  aUi  +  bVi  +  cWi-\-  •••        (i  =  1,  2, 3,  . . .) 

die  Grossen  a, b, c, ...,  zu  bestimmen,  deren  Anzahl  kleiner  ist, 
als  diejenige  der  Gleichungen,  nämlich  die  Gauchy'sche  und  die 
Legendre'sche.  Der  Herr  Verfasser  giebt  ein  Verfahren  an, 
welches  die  Vorzüge  beider  vereinigt.  Wz. 


N.  Ekholm.  Zur  Ableitung  einer  periodischen  Functiou 
aus  einer  Reihe  nach  gleichen  Zeitin ter Valien  beob- 
achteter Grössen.     Met.  Zeitsohr.  (2)  V.  61-62. 


P.  Nekbassoff.  Der  Modul,  des  Maximum  Maximorum 
einer  Function  i//(r6^*)  in  Bezug  auf  y  und  die  Anwen- 
dung seiner  Eigenschaften  auf  die  Reihe  von  Lagrange. 

Math.  ADD.  XXXI.  337-358. 

Der  vorliegende  Aufsatz  enthält  einige  Resultate  der  in 
russischer  Sprache  veröffentlichten,  in  F.  d.  M.  XVIT.  212  be- 
sprochenen Arbeit:    Die  Reihe  von  Lagrange.  Wz. 


Capitel  1.    Allgemeines.  253 

O.  Stolz.  Bemerkung  zu  der  Abband luug  des  Herrn 
Professor  Dr.  E.  Weiss:  „Entwickelungen  zum  La- 
grange'schen  Reversionstheorem  etc.^     Wien.  Ber.  XGV. 

199-204.  (1887). 

lieber  die  Arbeit  des  Hrn.  Weiss  ist  F.  d.  M.  XVI.  1884. 
219  und  1099  berichtet  worden.  Aus  dem  Baue  der  in  den 
§§  2-4  enthaltenen  BeihenentwickeluDgen  hatte  Hr.  Weiss  bereits 
geschlossen,  dass  dieselben  einer  VerallgemeineruDg  fähig  sind. 
Herr  Stolz  erhält  diese  als  die  zunächst  liegenden  Resultate  bei 
der  Auflösung  gewisser  Aufgaben,  die  mit  der  Lagrange'schen 
Gleichung  s  =  X'{'af{i)  in  Verbindung  stehen.  Lp. 


E.  Cbsabo.  Remarques  sur  divers  articles,  couceriiant 
la  th^rie  des  s^ries.     Noav.  Ado.  (3)  vir.  401-407. 

Bemerkungen  über  gewisse  von  den  Herren  M.  Lerch  und 
E.  Ceaaro  im  Jornal  de  Sciencias  mathematicas  e  astronomicas 
mitgeteilte  Reihen  (vergl.  F.  d.  M.  XVIL  1885.  207  und  208)  und 
aber  eine  Eigenschaft  derselben,  welche  von  den  Herren  Gutzmer, 
E.  Cesaro  und  E.  Weyr  (F.  d.  M.  XVIIL  1886.  195  und  199) 
abgeleitet  ist.  Wz. 

W.  Laska.  J.  Lieblein's  Sammlung  von  Aufgaben  aus 
der  algebraischen  Analjsis  zum  Selbstunterricht.  Zweite 
verbesserte    und    vermehrte    Aufl.    hrsg.    von    W.    L. 

Prag.  G.  Nengebaaer.  VIII  a.  180  S.  8*.  (1889). 

Die  erste  Auflage  war  von  J.  Lieblein  1867  für  das  poly- 
technische Institut  zu  Prag  herausgegeben.  Hr.  Laska  hat  neue 
Aufgaben  hinzugefügt  und,  soweit  es  ihm  gelang,  die  Quellen 
der  Aufgaben  angegeben.  Der  Inhalt  erstreckt  sich  auf  das 
ganze  Gebiet  der  Einleitung  in  die  Analysis,  so  wie  Euler  sie 
in  dem  ersten  Bande  seiner  Introductio  verstanden  hat.  Zur 
Einfibung  und  Aneignung  des  Stoffes  ist  die  Sammlung  recht  gut 
geeignet.  Zuweilen  sind  dem  Referenten  störende  Druckfehler 
aufgestossen.  Lp. 


264  V.  Abschoitt.    Reihen. 


Capitel  2. 

Besondere  Reihen. 
J.  L.  W.  Jensen.   Sar  une  g^n^ralisation  d'une  formale  de 

Tchebycheff.      Darbonz  Ball.  (2)  XII.  134-186. 

Bedeuten  «,,  u,,  ...;   9„  o,,  ...;  w^j  to,,  ...   drei  Folgen 
poBitiver  Grössen  von  der  Art,  dass 

-:>--*  •'i     -^    •'i     -^     •'i     -^ 

1  —    a  s.    t7  1        ^^    ««   ^^    —    ^^^    — 

ist,  80  ist: 

«1+©,  H h««  «'i  +  «'t  H h«'« 

Wz. 

L.  J.  Rogers.     An  extension  of  a  certain   theorem  in 
inequalities.    Mess.  (2)  xvil.  145-150. 

Der  Verf.  beweist  den  Satz,  dass 

N       a, +«,  +  •••  + ö»       -^  11«» 

wenn  a^,  o,,  ...,  o.,  6,,  fr„  ...,  b«  alle  positiv  sind;  and  aas 
diesem  folgert  er  viele  andere  mit  Einschluss  der  gewöhnlich 
in  den  Lehrbttchern  gegebenen  Sätze.  Einige  der  Ergebnisse 
beziehen  sich  auf  die  Integralrechnung;  so  wird  u.  a.  gezeigt, 
dass 

ist,  wo  m>r>t^  y  eine  beliebige  Function  von  x^  die  Grenzen 
so  beschaffen  sind,  dass  fQr  alle  Werte  zwischen  ihnen  y^,  y^,  y' 
endlich  und  positiv  bleiben.  Als  ein  besonderer  Fall  ist  zu  er- 
wähnen, dass  fttr  y  =  a; : 

wenn  m>r'>L  Glr.  (Lp.) 


Capitel2.    Besondere  Reihen.  255 

F.  0.  Wace.     Notes  on  inequalities.     Meas.  (2)  xviii.  90-94. 
Einfache  Beweise  bekannter  Ungleichheiten,  z.  B. : 
a^ap  ...  a^  >  (a.+a,  +  ...  +  a,)^^.-H-^^  ^ 

(aP^+ap  +  ...  +  aiy  1 

wenn  p>  q\  u.  s.  w.  Glr.  (Lp.) 

H.  Simon.      Ueber  einige  Ungleichnngen.      Schiömiich  z. 

XXXIII.  56-61. 

Der  Verf.  geht  von  dem  Quotienten 

(a*+^+a*+^+  f ..  +0*+''):  (af  +  aj  +...  +  aj) 

ans,  in  welchem  die  a  und  d  positiv  sind;  er  beweist,  dass  der 
Quotient  mit  k  wächst.    Daraus  folgt 

[°'+;+"'r>'^+;+^       (o<p<i), 


Am  Schluss  wird  mitgeteilt,  dass  Herr  Bienaymä  1840  ähnliche 
Resnltate  ohne  Beweise  angegeben  habe.  No. 


Chrtstal.     On  the  inequality 

ma^-^^x—l)  ^  a?^  —  1  ^  m(aj— 1), 

and  its  consequences.    Edinb.  m.  8.  Proc.  vi.  29-33. 

Der  Beweis  schliesst  den  Gebrauch  unendlicher  Reihen  aus. 
Zuerst  wird  gezeigt,  dass,  wenn  Xj  p,  e  alle  positiv  sind,  p  und 
i  ausserdem  ganz,  dann  («p— l)/p^(a?'— 1)/«,  je  nachdem 
p^€  ist.    Es  ist  nämlich 

je  nachdem  X  ^  0,  wo  X  für 

(x-l){«(«P-»+irP-2+  ...  4-a?+l)-p((r*-i+«'-^+  -  +«+!)) 
gesetzt  ist.    Ist  p>*6,  so  ist  X  gleich 

ix--l){€(xP'-^+xP-^  +  '''  +  ajO-(p-«)(«*'*+«*-'  +  •••  +«+ 1)}, 
und  falls  x>l: 


2&6  V.  Absobnitt    Reihen. 

a?p-*  -f  x^-'^  -^  ...  -j-  /p€  >  (p— «)^i 
a^-i  +  »«-2  +  ...  4-  1    <  e««-i, 
mithin 

und  ähnlich,  wenn  x  <  1,  X  <  0;  in  beiden  Fällen  daher 

(ajP-^l)/p>(ir«— 1)/«. 

Dasselbe  folgt  für  a;<l.  Indem  nunmebr  a;'  statt  x  and  m 
statt  p/«  gesetzt  wird,  dehnt  der  Verf.  die  Ungleichbeit  auf 
positive  Werte  von  m  aus  und  beweist  sie  darauf  für  negative. 
Der  Satz  wird  in  einer  etwas  allgemeineren  Form  als  sonst  be- 
wiesen und  seine  Bedeutung  hervorgehoben.  Gbs.  (Lp.) 


H.  Simon.     Zur  Theorie  der  harmonischen  Reibe.  (Fort- 
setzung.)     Hoppe  Aroh.  (2)  VI.  220-222. 

Der  Herr  Verfasser  vergleicht  einige  von  Herrn  Mildner  ab- 
geleitete Formeln  (F.  d.  M.  XIV.  1882.  182)  mit  der  seinigen  (F. 
d.  M.  XIX.  1887.  242)  und  begründet  den  Satz:  Man  erhält  immer 
eine  divergente  Reihe,  wenn  man  in  der  harmonischen  Reihe 
auf  p  positive  Glieder  immer  p  +  9  negative  folgen  lässt. 

Wz. 

F.  J.  Stüdnicka.     üeber  die  Veränderlichkeit  der  Summe 
einer    unendlichen  Reihe    mit   ungleich    bezeichneten 

Gliedern.      Caaop.  XVII.  256.  (Böhmisoh) 

Bildet  die  Ergänzung  einer  Abhandlung,  Aber  welche  in 
Bd.  XIV.  dieses  Jahrbuches  pag.  227  referirt  wurde,  betreffend 
die  Reihe 

welche  Schlömilch  in  seinem  Uebungsbuch  (II.  pag.  171)  vorf&hrt 

_  Std. 

E.  Cbsarq.     Sur  les  transformations  de  la  s^rie  de  Lam- 
bert.     Noav.  ADD.  (3)  VII.  374-382. 


Gapitel  2.    Besondere  Reihen.  257 

Herr  Cesaro  macht  einige  Bemerkungen  zu  der  ClauBen'schen 
Transformation  (J.  ftir  Math.  III)  der  Lambert'schen  Reihe.  Die 
Clausen'sche  und  eine  von  Herrn  Gesaro  gegebene  Form  dieser 
Reihe  sind  durch  eine  sehr  schnelle  Convergenz  ausgezeichnet 
und  daher  fOr  numerische  Berechnungen  sehr  geeignet. 

Wz. 


£.  Catalan.     Sur  un  cas  particulier  de  la  formule  da 
bindme.    Belg.  Bull.  xvi.  194.  Mn. 


J.  Dbruyts.     Sur  certains  syst^mes  de  polynömes  asso- 

Ci^.       Liöge  M6m.  (-2)  XIV.  16  8. 

Verallgemeinerung  einer  früheren  Arbeit  „Sur  une  classe  de 
polynömes  conjuguös*',  welche  im  Bande  XLVI.  der  M6m. 
couronnte  in  4°  der  Belgischen  Akademie  erschienen  ist  (F.  d. 
M.  XVIIL  1886.  212,  XVII.  1885.  218).  Mn.  (Lp.) 

Wellmann.     Die  Binomialcoefficienten  und  einige  wich- 
tigere Reihen.    (Pensum  der  Prima.)    Pr.Domgymn.Oolberg. 

Es  werden  behandelt  die  Binomialcoefficienten,  die  arithme- 
tischen Reihen  erster,  zweiter,  dritter  und  p^^'  Ordnung,  endlich 
die  geometrischen  Reihen.  Wz. 


McCuLLocH.     A  theorem  in  factorials.    Annais  of  Math  iv. 

16M63. 

Es  ist: 

n{a-pd)  =  a«-f  g),(n)a»-^(i+9),(ii)a«-2d'  +  ...  +  y^.i(n)a*— », 

Setzt  man  nun  fQr  beliebige  Werte  von  a,  d,  n 

a*  +  9,  (ii)a"-«  d  +  9),(fi)a*-2d"  +  • .  =p  d*'", 
so  gilt  der  Satz: 

Foruchr.  d.  Math.  XX.  1.  17 


258  V-  Abschnitt    Reihen. 

voraoBgesetzt,  dass  dem  nameriBchen  Werte  nach  y  kleiner  als 
X  ißt.  Wz. 


V.  Jamet.      Essai    d'ane    noavelle    th^orie    ^l^mentaire 

des  logarithmes.      Matheeis  VIII.  40-44,  89-91. 

I.  Ist  n  =-  gf",   wobei  p  ganz   sei,   und  a  grösser  als  1,  so 

II 
nimmt  der  Ausdruck  a«  =  n(/a— 1)  ab,    wenn    gleichzeitig  p 

1 
wächst;  man  hat  ferner  Om>1 ;  folglich  hat  o«  eine  end- 
liche Grenze  oberhalb  1 •  Nach  Definition  ist  lima«=loga. 

II.  Ohne  auf  die  Newton'sche  Binomialreihe  zurflckzugreifen, 
beweist  man,  dass 

fl«  >  log  a  >  o, 5 flj. 

III.  Die  so  definirten  Logarithmen  besitzen  die  folgenden 
Eigenschaften:  1.  log(a6)  =  loga-)-logb.  2.  logcx)  =  oo,  logO 
=  -—00.    3.  loga  ist  eine  continuirliche  Function  von  a.    4.  Ist 

log  oj  =  1,  so  ist  X  =  lim  (l  -j J  ftlr  »  =  oo. 

Mn.  (Lp.) 

F.  GiUDiCB.     Alcune  formole  ottenibiii  semplicemente  che 
possono  servire  al  calcolo  approssimato  delle  fanzioni 

circolari.     Besso  Per.  mat.  III.  1-7. 
Es  ist  für  «<-jT-: 


sino;  <4^|8sin-^ — sina?J 


28in'-|- 
o;  <  sin  d;  I   1  -\ 1  <  fang  x. 


2co8-|-^l-f  cos-^)—  1 


2  V'  •  "^•'  2 
Femer  gelten  für  »>!,  «<  «t — rir  ^'®    folgenden    ünglei- 


Capitel  2.    Besondere  Reihen.  259 


chuDgeD : 


2(4»  +  l)'       tang^ 


(4«4-l)»_16fi'       "  2 

4ii4-l^        a?         l  ^       ,^^         « 

Vi. 


E.  RicoRDi.     Suir  approssimazione  dell'  ordinaria  inter- 
polazione  nelle  tavole  di  logaritmi  delle  fiinzioni  gouio- 

metriche.      Besso  Per.  mat.  III.  97-103,  137-144. 

Ist  a'   ein   angenäherter  Wert   von   a  und  \  a—  a' 
80  ist: 

loga— -loga'  I  <  i 


a'-^a 


I  ßina— sina'  |  <aco8^a' — ^\ 
logBina— logsina'  |  <| 


tang(a'--|-)-a 
tanga-tanga'  |  <    cos a- cos (a^  +  a)  - 
I  logtanga-logtanga'  |  <  ,ip(2a^^a)-3«  ' 

wo  log  den  Briggs'schen  Logarithmus  bezeichnet. 

Aus  diesen  Resultaten  ergiebt  sich  mit  HOlfe  eines  von  Herrn 
Besso  aufgestellten  Satzes  Folgendes: 

Sind  log  sin  a  und  logsin(a  +  d)  genau  bis  auf  g  bekannt, 
und  ist  0<A<d,  so  ist  der  Maximalfehler  bei  der  Berechnung 
von  logsin(a  +  A)  durch  die  gewöhnliche  Interpolation: 

Ist  dagegen  logsin(a-|-A)  genau  bis  auf  s  bekannt,  so  ist  der 
Haximalfehler  bei  der  Berechnung  von  a-f  A  durch  die  gewöhn- 

17* 


260  V.  Abscbnitt.    Reihen. 

liehe  Interpolation: 

log8in(a+ d)  — logsina — 2g     i*    sin'a  *^J 

Die  entBpreehenden  Grössen  fQr  logtang  sind: 

.      2d» 
9  + 


sin '2a 
bezw.: 


32^1ini^2^+'+^}- 


logtangCa-f-d)  — logtanga-'29  i  sin'2a 
Es  möge  hier,  der  Vollständigkeit  wegen,  der  oben  erwähnte 
Satz  von  Besso  (Sulla  approssimazione  deirordinaria  interpolazione 
nelle  tavole  di  logaritmi;  Annuario  del  R.  Istituto  Teenico  di 
Roma  1883)  angefahrt  werden. 

Sind  loga  und  log(a4-d)  genau  bis  auf  g  bekannt,  und  ist 
0  <  A  <  d,  so  ist  der  Maximalfehler  bei  der  Berechnung  von 
log(a-)-A)  durch  die  gewöhnliche  Interpolation: 


»+-f'»«( '+-!-) 


Vi. 


Ed.  Wbtr.     Extrait  d'une  lettre  k  M.  Hermite.    Darboux 

BqU.  (2)  XII.  25-28. 

Der  Herr  Verfasser  zeigt  direct  die  auf  anderem  Wege  von 
Herrn  Hermite  bewiesene  Uebereinstimmung  zweier  Prodnct- 
darstellungen  fttr  cosa;  und  entwickelt  nach  zwei  verschiedenen 

Methoden   in  eine  absolut  convergirende  Reihe.        Wz. 

cos«  ° 


De  Prbslb.      Au    sujet    du   döveloppement  de   cot»   en 
s^rie  de  fractions.     8.  M.  F.  Bull.  XVI.  143-144. 

Durch  Anwendung  eines  Satzes  von  Herrn  Mittag  -  Leffler 
ergiebt  sieh 

cot»==G(»)+  — +  2— ^^^ 7      (n  =  ±l,  ±2,  ±3,  ...); 

G(z)  bedeutet  hierin  eine  holomorphe  Function  von  js.    Der  Herr 
Verfasser  zeigt,  dass  G(z)  gleich  Kuli  ist.  Wz. 


Capitel2.    Besondere  Reiben.  261 

L.  Saalschütz,  üeber  die  Entwickelung  von  e—'^-i^-^) 
in  eine  Potenzreibe  nebst  einigen  Anwendungen  der- 
selben.    Hoppe  Arch.  (2)  VI.  305-350. 

Der  Herr  Verfasser  setzt 

und  bestimmt  die  Grössen  6».  Die  namerisehen  Werte  ftlr  die 
bn  und  ßn  =  nbn  ergeben,  dass  die  ßn  in  Gruppen  von  ab- 
wechselnd positiven  und  negativen  Gliedern  zerfallen;  die  Anzahl 
der  Glieder  einer  Gruppe  nimmt  von  Gruppe  zu  Gruppe  zu;  in 
jeder  Gruppe  nimmt  der  absolute  Wert  der  Glieder  anfangs  zu, 
erreicht  ein  Maximum  und  nimmt  dann  wieder  ab.  Denkt  man 
nun  für  grosse  Werte  von  n  den  Zuwachs  1  von  n  durch  dn 
bezeichnet,  so  ergiebt  sich  die  Differentialgleichung: 

d^ß         ß       r.       ^         d^ß    ,       ß 
if +  i=«    oder    -^  +  ^  =  0, 

WO  n  =  X  + 1  gesetzt  ist  und  l  den  Index  des  grössten  Wertes 
von  ß  (absolut  genommen)  in  einer  bestimmten  Gruppe  bedeutet. 
Diese  Differentialgleichung  wird  fQr  die  ersten  Annäherungen 
von  l:(il+ö,  nftmlich 

integrirt;  sodann  die  Convergenz  der  Reihe  b^+b^x-^b^x^^  '•- 
untersucht;  dabei  zeigt  sich,  dass  sie  für  o;  =  1  den  Wert  Null 
erhält    Zum  Schluss  werden  als  Anwendung  die  Integrale: 


1^1  u 


dz 


in  Seihen  entwickelt.  Wz. 


A.  Cayley.     The  investigation  by  Wallis  of  bis  expres- 

gion  for  n.     Quart  J.  XXIII.  165-169. 

Wallis  geht  von  einer  Formel  aus,  die  in  neuerer  Bezeichnung 
/    (x — x^ydx  = 


9(n)     2n  +  l 


262  V.  AbBchoUt.    Reihen. 

lautet;   ftlr   »  =  1,  2,  3  ist  entsprechend  g>(n)  gleich  2,  6,  20; 

n  4 

för  it  =  ^  dagegen  ist  das  Integral  gleich  -q-,  daher  —  =  9^^). 

Um  nun  q>(i)  zu  berechnen,  stellt  Wallis  eine  Tabelle  auf,  deren 
Diagonalglieder  g)(— i),  g>(0),  g)(i),  g>(l),  ...,  g>(i),  g>(4)  sind. 
Hierin  sind  die  1**,  S*«,  5*«,  1^  Reihe  unvollständig,  werden  je- 
doch nach  Analogie  des  ftlr  die  fibrigen  Reihen  gültigen  Gesetzes 

yervollständigt;  die  3**  Reihe  lautet  dann  \q>(i)  =  — ): 

TT' 


1 

2 

4 

1    ^.    3 

^'    nr'      2' 

4     4 

— .  • • 

3    «' 

3.5 
2.4  ' 

4.6 
3.5 

3.6.7 

4.6.8 

4 

2.4.6  ' 

3.5.7 

••; 

wird  diese  beliebig  weit  fortgesetzt,  so  nähern  sich  die  Glieder 
derselben,  beständig  wachsend,  der  Einheit,  während  f&r  drei 
auf  einander   folgende  «,  y,  z  das   Gesetz   zu   gelten   scheint: 

y  :  X  >•  s  :  y,    oder  y'  >  xs,    daraus   ergiebt  sich   die   bekannte 

4 

Formel  für  —  Wz. 

n 

W.  H.  H.  Hudson,  R.  F.  Davis.     Solution  of  question 

8913.     Ed.  Times  XLVIII.  45-46. 

Ist  B\n{X'\'h)  =  siux  +  h  C0H(x+dh)j   so  ist  der  Goefficient 
von   A'    bei    der   Ent Wickelung  von   0  nach  Potenzen  von  h: 

•^^g^  (57  cotga? + 55  cotg*aj).  Lp. 


F.  J.  Stüdnicka.     Sur  l'analogie  hyperbolique  du  nom- 

bre  71.     Liöge  M6m.  (2)  XIV.  12  8. 

Die  Zahl  il  ==  2  argshl  =  21og(l  +  y2)  und  nicht  der  dop 
pelte  Wert  hat  analoge  Eigenschaften  wie  fi.  Mn.  (Lp.) 


R.  E.  Allardicb.      On    Stirling's    approximation    to    n! 
when  n  is  large.    Edinb.  m.  s.  Proc.  VI.  22-24, 


Capitel  2.     Besondere  BeiheD.  263 

Ein   durch    elementare  Methoden  erbrachter  Beweis  für  die 
Nfiherungsformel    ( — j  ^2nn.  Gbs.  (Lp.) 


A.   Panek.      Heber    eine    besondere    unendliche    Reihe. 

Caeop.  XYII.  227.  (Böhmisch.) 

Behandelt  die  combinirte  Reihe 

nm  daraus  C  und  S  zu  finden,  sowie  specielle  Reihensummirungen 
abzuleiten.  Std. 


Axel  Thue.     Om  Irrational iteten  af  Tallet  e.    Zeutheo  Tids. 

VI.  (4)  200-202. 

Liouyille  hat  bekanntlich  zuerst  bewiesen,  dass  die  Zahl  e 
keine  Wurzel  einer  Gleichung  zweiten  Grades  mit  rationalen 
Coef&cienten  sein  kann. 

Darch  ähnliche  Betrachtungen  wie  die  von  Liouville  ange- 
wandten wird  hier  nachgewiesen,  dass  e'  keine  Wurzel  einer 
Gleichung  zweiten  Grades  mit  rationalen  Goefficienten  sein  kann. 

V. 


M.  Martonb.     Dintiostrazione  della  trascendenza  del  na* 

mero  n.     Napoii.  Trani.  31  S. 

Es  ist  dem  Verfasser  unbekannt,  dass  die  Transcendenz  der 
Zahl  n  schon  seit  1882  von  Lindemann  (Ueber  die  Ludolph'sche 
Zahl,  Math.  Ann.  XX.  213-225;  F.  d.  M.  XIV.  1882.  369)  be- 
wiesen  worden  ist.  Er  arbeitet  ohne  jedes  Bedenken  mit  diver- 
genten und  mit  halbconvergenten  Reihen  und  scheint  auch  nicht 
zu  wissen,  dass  die  Summe  von  unendlich  vielen  rationalen 
Zahlen  eine  transcendente  Zahl  sein  kann  (siehe  S.  29).  Zur 
weiteren  Charakterisirung  seiner  Untersuchungen  mag  Folgendes 
wohl  genfigen.  Er  gelaugt  zu  den  folgenden  Formeln,  die  wir 
ohne  jede  Formänderung  abschreiben  wollen: 


264  V.  Abschoitt.    Reiheo. 


log-r —  log— — 

2m  "im 


„  =  -A_  j(i4.|/=:i)*'««"'«'+"*«l-_  (i_y3i)*'««'*<**+***J-i 


w»i Uli 


e  =  ^^l-)nji^Y^f^'''^'^^'''^^ 


wo  m,  fiij  zwei  zwischen  0,44  und  1,45  liegende  Grössen  be- 
deuten, und  scbliesst  hieraus,  wegen  der  bekannten  Transcendenz 
der  Zahl  e,  dass  auch  n  eine  transcendente  Zahl  ist! 

Die  Formel: 

(wo   Mi  =  -^^ ^!,T^^Q. — TTT —)^  welche  der  Verfasser  als 

^  (fl)'(2i-— 1)1  ^ 

einen  besonderen  Fall  der  von  ihm  aufgestellten  Relation: 


m  '      m'  *  m" 


(l+m')(l+4m«)(l+9m')    . 

+  ^4  Zu 1 


fr 


^(2t-l)!  +  2»'-Wl(t-l)I 
^wo   Si  = TTjv^^rnr" /  ®*'^*'*J  ^®*  schon  längst 

bekannt;  siehe  Montferrier,  Dictionnaire  des  sciences  math6mati- 
ques,  T.  III,  p.  270.  Vi. 

L.  HoBSCEi.     Deber  die  Coefficienten  des  Ausdrucks  J^sf 
und  einige  mit  ihnen  verwandte  Zahlenverbindungen. 

Pr.  Gymo.  2.  grauen  Kloster  BerliD. 

Bei  der  Berechnung  der  Coefficienten  des  aus  der  Diffe- 
renzenrechnung bekannten  Ausdrucks  für  ^x*  fahrt  der  Herr 
Verfasser 'die  Grössen 


Gapiiel  2.    Besondere  Reihen.  265 

'»J = "^-COc"-!^' + 0^'^^'^  -  - + (-!)""'(„"  i)' 

ein,  worin  «j,  «j,  . . .,  «»  die  Zahlen  1,  2,  3,  ...,  i— (n— 1); 
e,,  £,,  ...,  £n-i  die  Zahlen  0,  1,  2,  ...,  A  bedeuten,  und  die 
Samme  der  e  gleich  l  ist;  er  leitet  Beziehungen  zwischen  diesen 
Grössen  und  den  Bernoulli' sehen  Zahlen  ab  und  benutzt  die 
o,  ßy  y  einerseits  zur  Summirung  der  Potenzen  der  natflrlichen 
Zahlen,  andererseits  zur  Berechnuug  gewisser  Determinanten, 
welche  von  den  a,  /?,  den  Bernoulli'schen  Zahlen  oder  den  Bino- 
mialcoefficienten  abhängen.  Wz. 


WiLLiOT.     Note  sur  le  proe^dd  le  plus  simple  de  calcul 
des  nombres  de  Bernoulli.     s.  M.  P.  Bull.  XVI.  144-149. 

Unter  Benutzung  einer  von  Herrn  Seidel  gegebenen  Formel 
wird  die  BernouUi'sche  Zahl  B^  durch  eine  Determinante  dar- 
gestellt; diese  Determinante  wird  mittels  des  Staudt-Clausen'schen 
Gesetzes  (vergl.  F.  d.  M.  XII.  1880.  128)  umgeformt  und  zu 
drei  Formeln  specialisirt,  welche  f&r  die  Berechnung  der  Zahlen 
^109  ^]9f  -*M  ^24  fi^hr  bequem  sind.  Wz. 


F.  J.  VAN  DEN  Berg.     Eenige  formulen  voor  de  berekening 
van  de  Bernoulliaanscbe  en   vau  de  tangenten  -  coef- 

ficienten.       Amst.  Versl.  en  meded.  (3)  V.  388-397. 

Nach  Anleitung  seiner  frtlheren  Untersuchungen  über  Reihen- 
entwickelang  (siehe  F.  d.  M.  XIII.  1881.  193)  behandelt  der 
Verfasser  die  Berechnung  der  Bernoulli'schen  Zahlen  und  der 
Tangenten- Coefficienten  mittels  der  Entwickelung  von  zwei  der 

einfachsten  goniometrischen  Functionen,  nämlich  von  ^%-^  und 

cot-^-    In  sehr  symmetrischer  Weise  leitet  er  daraus  die  Reihen 
ab,   welche  die  gewfinschte  Entwickelung  liefern,  und  zeigt  so- 


266  V.  AbflchniU.    Reihen. 

dann,  wie  die  BernoulH'scben  Zahlen  in  verschiedenen  gonio- 
metiiBchen  Reihenentwickelungen  auftreten.  Am  Scbluss  der 
Abhandlung  stellt  er  die  über  den  Gegenstand  vorhandene  Lite- 
ratur  zusammen.  6. 


A.  Berger.     Sur  une  g^näralisatiou  des  nombres  et  des 

fonctions   de    Bernoulli.      Stockh.  Veteosk.  Bihang.  XIII.  43  8. 

Der  Herr  Verfasser  entwickelt 

c             ,        c'— 1 
T-    und    c 5— 

nach  Potenzen  von  t>  und  bezeichnet  die  Coefficienten : 

B(0),  B(l),  B(2),  ...,    resp.    g)(»,0),  g>(z,  1),  v(»,  2),  .,. 
als  Bernoulli'sche  Zahlen  resp.  Functionen;  ebenso  entwickelt  er 

nach  Potenzen  von  v  und  nennt  die  Coefficienten: 

B(0,^),  B(l,^/),  Ä(2,  J), ...,  resp.  y(a,0,^0,  9>(».l»^)i  ?>(».2,^/),  ... 
die  zur  Discriminante  z/  gehörigen  Bernoulli'schen  Zahlen  und 
Functionen;   J  bedeutet  dabei  eine  fundamentale  Discriminante, 

r — j  das  Legendre'sche,  durch  Herrn  Eronecker  verallgemeinerte 

Zeichen,  «  das  Vorzeichen  von  J,  so  dass  e  =  +1,  e^i  >  0  ist 
Die  Eigenschaften  dieser  Zahlen  und  Coefficienten  werden  in 
acht  Sätzen  zusammengefasst,  während  ein  neunter  Satz  sich 
mit  der  Function  — 9)(»,  1,  J)j  — B(l,  ^)  beschäftigt.       Wz. 


De  Preslb.  D^rivöes  successives  d'une  puissance  en- 
ti^re  d'une  fonction  d'une  variable,  d^riv^es  successives 
d'ane  fonction  de  fonction  et  application  k  la  d^ter- 
mination  des  nombres  de  Bernoulli.    s.  M.  P.  Bull.  XVL 

157-162. 

Der  Herr  Verfasser  geht  von  dem  bekannten  Ausdruck  fQr 
die  m^^  Ableitung  eines  Products  von  n  Factoren  einer  Veränder- 
liehen  aus,  erhält  daraus  durch  Oleichsetzung  aller  Functionen 


Gapitel  2.    BeBondere  Reihen.  267 

die  m^  Ableitang  der  »^  Potenz  einer  Function  einer  Verftnder- 
lichen  und  specialisirt  diese  Formel  durch  Gleichsetzung  von 
n  und  m;  er  bestimmt  die  m^  Ableitung  einer  Function  von 
einer  Function  einer  Veränderlichen  und  giebt  als  Anwendung 
einen  Ausdruck  fDr  die  Bernoulli'schen  Zahlen,  nach  welchem 
er  B^  numerisch  berechnet.  Wz. 


M.  Mollini.      Formole   suUe  annualitä  in  progressione 
aritmetica.    Bbbbo  Per.  mst.  iii.  u-l9. 

Wird  am  Ende  des  ersten  Jahres  die  Summe  a,  am  Ende 
des  zweiten  die  Summe  a+d,  . . .,  am  Ende  des  n**°  die  Summe 
a  +  in — l)d  bezahlt,  so  wird  dadurch  eine  Schuld  getilgt,  deren 
gegenwärtiger  Wert  ist: 

wo  g  =  1+''  und  r  den  Zins  bezeichnet.  Geschehen  die  Zah- 
lungen am  Anfang  jedes  Jahres,  so  kommt  2^  statt  S^  vor,  wo 
S^  =  qS^.  Die  gegenwärtige  Schuld  2^  bezw.  2,  würde  nach 
n  Jahren  bis  zu  2",  =  q*2^,  bezw.  2^  ===  ^2^  =  ?""*"* -2",  steigen. 
Diese  Belationen  zwischen  2,.  und  2^,  2,  und  2,,  2^  und  2^ 
sind  ganz  evident,  und  daher  ist  die  selbständige  BerechDung 
von  2,,  2^  und  2^  eine  nutzlose  Mtthe.  Vi. 


Sechster  Abschnitt 

Differential-  und  Integralrechnung. 

Capitel  1. 

Allgemeines  (Lehrbücher  etc.) 

Ch.  Sturm.  Cours  d'Analyse  de  Tlfioole  Polytechnique. 
Revu  et  oorrigd  par  E.  Prouhet  et  augment6  de  la 
th^orie  ^Idmeiitaire  des  fonctions  elliptiques  par  H. 
Laurent.  IX^  Edition,  revue  et  mise  au  courant  du 
uouveau  programme  de  la  Lieence  par  A.  de  Saiut- 

Germain.      2   vol.      Paris.  Gaathier-VilUra  et  Fila.  XXXII  a.  563, 
X  ü.  657  S.  gr.  8^ 

Herr  A.  de  Saint-GermaiD,  welcher  ausser  einer  Reihe  wissen- 
schaftlicher Abhandlungen  in  verschiedenen  Zeitschriften  den 
sehr  guten  Recueil  d'exercices  sur  la  m^canique  ratiounelle  1877 
veröffentlicht  hat,  ist  der  dritte  in  der  Folge  der  Heransgeber 
von  Ch.  Sturm's  Cours  d' Analyse;  er  beginnt  sein  Vorwort  mit 
den  Sätzen:  „Der  von  Sturm  an  der  £cole  Polytechnique  vorge- 
tragene und  von  Prouhet  herausgegebene  Cours  d' Analyse  ist 
seit  seinem  ersten  Erscheinen  im  Jahre  1857  eines  der  Werke 
geblieben,  die  am  liebsten  von  denen  benutzt  werden,  welche  in 
die  Infinitesimalrechnung  eindringen  wollen.  Seine  Klarheit  and 
seine  Einfachheit  haben  ihm  einen  Erfolg  verschafft,  der  anh&lt 
und  noch  heute    als  gerechtfertigt  erscheint.''    Obschon   dieses 


Oapitel  1.    AllgemeiDeB.  269 

Urteil  zunAchst  nur  für  Frankreich  ausgesprochen  ist,  so  muss 
man  ihm  auch  fßr  Deutschland  beipflichten.  Seit  der  Zeit,  wo 
Ref.  zu  Anfang  der  sechziger  Jahre  stndirte,  ist  das  Werk 
wegen  der  vom  letzten  Herausgeber  gerühmten  Vorzüge,  zu  denen 
der  fortwährende  Hinweis  auf  die  Bearbeitung  von  beigefügten 
Aufgaben  zugesellt  werden  kann,  auch  an  den  deutschen  Hoch- 
schulen ein  beliebtes  Lehrbuch  gewesen.  Mag  auch  ein  Ver- 
gleich mit  noch  älteren  Werken,  wie  z.  B.  mit  Cournot's  vor- 
treff  liebem  Elementarlehrbuch  der  Theorie  der  Functionen,  zeigen, 
dass  St.'s  Vorlesungen,  die  ja  von  dem  zu  früh  verschiedenen 
Verfasser  nicht  mehr  redigirt  werden  konnten,  viel  äi'mer  in  der 
Entwickelung  der  philosophischen  Grundlagen  und  der  furcht- 
baren Gedanken  der  Infinitesimalrechnung  sind ;  mögen  deutsche 
Arbeiten  des  letzten  Jahrzehnts  wiederholt  darauf  hingewiesen 
haben,  dass  bei  der  Aufstellung  der  Begriffe  und  bei  der  Ab- 
leitung der  grundlegenden  Sätze  eine  gründlichere  Fassung  und 
eine  grössere  Strenge,  als  in  den  gangbarsten  Lehrbüchern  her- 
gebracht ist,  mit  der  Klarheit  und  Verständlichkeit  nicht  unver- 
träglich sei:  dennoch  muss  man  zugestehen,  dass  ein  Werk  wie 
das  vorliegende,  von  dem  viele  Mathematiker  dankbar  rühmen, 
dass  sie  ihm  die  ersten  Anregungen  zum  Arbeiten  schulden, 
das  sich  neben  der  Flut  französischer  „Cours  d' Analyse"  länger 
als  dreissig  Jahre  behauptet  hat  und  nicht  unter  dem  Einflüsse 
der  äusseren  Stellung  seines  Verfassers,  sondern  erst  nach  dem 
Tode  seines  geistigen  Urhebers  es  zur  neunten  Auflage  gebracht 
bat,  dass  dieses  Werk  einen  wirklich  tüchtigen  Kern  in  sich 
bergen  muss. 

Um  einzelne  Lücken  im  Vortrage  von  St  auszufüllen,  hatte 
schon  Prouhet  mehrere  Noten  zugefügt;  später  hat  H,  Laurent 
eine  elementare  Theorie  der  elliptischen  Functionen  (175  S.  in 
Bd.  II)  angehängt,  welche  er  ursprünglich  für  die  Nouvelles 
Annales  (1877-79)  verfasst  hatte.  Gegenwärtig  hat  Hepr  de 
St-G.  den  Stoff  durch  vier  „Ergänzungsnoten*'  vermehrt,  von 
denen  zwei  dem  ersten,  zwei  dem  zweiten  Bande  einverleibt 
sind.  Die  erste  (26  S.)  betrifft  die  Curven  doppelter  Krümmung, 
die  zweite  (15  S.)  bezieht  sich  auf  die  unicursalen  Curven  und 


270  ^'-  Abschnitt.    Differential-  und  Integralrecfannng. 

die  Redocfion  der  elliptischen  Integrale.  Die  dritte  (HS.)  liefert 
Ergänzungen  zur  Theorie  der  krummen  Oberflächen,  die  vierte 
endlich  (9  S.)  ist  den  Reihen  von  Fourier  und  Lagrange  ge- 
widmet. In  der  That  sind  besonders  die  in  den  beiden  letzten 
Noten  bebandelten  Gegenstände  früher  etwas  zu  kurz  wegge- 
kommen, und  bei  den  Fourier'schen  Reihen  vermisst  man  auch 
jetzt  noch  die  Dirichlet'schen  Kriterien,  deren  Existenz  bloss  er- 
wähnt wird.  Im  flbrigen  hat  der  Herausgeber  das  algebraische 
Capitel  über  die  Einheitswurzeln  unterdrückt,  dafür  aber  nach 
einer  anderen  Niederschrift  von  St's  Vorlesungen  ein  neues 
Capitel  über  die  Elimination  der  Constanten  und  die  Vertauschung 
der  Variabein  eingeschaltet.  Ferner  ist  der  ältere  Beweis  für 
die  Taylor'sche  Reihe  durch  den  von  Rouchä  ersetzt.  Andere 
kleine  Aenderungen,  die  übrigens  mit  grosser  Vorsicht  ange- 
bracht sind,  müssen  hier  unerwähnt  bleiben.  Zu  den  Uebungs- 
aufgaben,  die  schon  immer  den  einzelnen  Capiteln  beigegeben 
waren,  sind  endlich  noch  viele  neue  hinzugetreten,  die  der  Heraus- 
geber teils  dem  anregenden  Recueil  compl6mentaire  d'exercices 
sur  le  calcul  infinitesimal  von  Tisserand  entlehnt,  teils  den 
questions  de  licence  entnommen  und  am  Ende  der  beiden  Bände 
zusammengestellt  hat.  Lp. 


H.  Laurent.     Traitd  d'analyse.     Tome  III.     Calcul  inte- 
gral.    Integrales  d^finies  et  indöfinies.      Paris.  Ganthier- 

VillarB  et  Pils.  IV  4- 511  8.  8». 

Der  dritte  Band  des  umfangreichen  Werkes,  dessen  beide 
ersten  Teile  in  F.  d.  M.  XVII.  236  u.  XIX.  251  angezeigt  sind,  behan- 
delt die  Integralrechnung  ohne  die  geometrischen  Anwendungen, 
welche  einem  späteren  Bande  vorbehalten  bleiben.  Nach  einem 
einleitenden  Capitel  über  die  Zerlegung  der  rationalen  Brüche 
in  Partialbrücbe  wird  im  zweiten  Capitel  die  Berechnung  der 
unbestimmten  Integrale  gelehrt,  im  dritten  die  Theorie  der  be- 
stimmten Integrale  gegeben,  im  vierten  die  Lehre  von  den  viel- 
fachen Integralen  entwickelt  und  im  fünften  zu  den  Integralen 
der  totalen  Diflferentiale  fortgeschritten.    Hierauf  folgt  nacli  einer 


Capitel  1.    All  gern  ei  Des.  271 

Erweiterung  des  Functionsbegriffes  TOa  reellen  Variabeln  auf 
complexe  das  seebete  Capitel  mit  der  Theorie  der  zwiseben 
complexeo  Grenzen  genommenen  Integrale  und  der  Residuen- 
rechnang  ron  Caachy,  Die  Integration  durcb  Reiben  bildet  den 
Gegenstand  des  siebenten  Capitels,  in  welcbem  die  Ableitung 
aad  der  Zusammenbang  sehr  vieler  Reihen  beleuchtet  wird.  Die 
Eigenschaften  der  monogenen  und  monodromen  Functionen, 
welche  im  achten  Capitel  entwickelt  werden,  werden  nach  Be- 
rttcksichtigung  der  Cauehy'aehen  Sstze  und  auch  einiger  Weier- 
Etrass'schen  Untersuchungen  bis  zum  Satze  ron  Hittag-Leffler 
und  seinen  Anwendungen  geftibrt.  Das  neunte  Capitel  handelt 
ron  den  periodisehen  Functionen,  insbesondere  von  den  trigono- 
metrischen Reihen,  den  Fourier'schen  Integralen  und  zuletzt  von 
der  Weierstrass'Bchen  Function  ohne  Ableitung,  die  der  Verfasser 
im  ersten  Bande  noch  nicht  kannte  und  zu  der  er  sich  auch  jetzt 
noch  skeptisch  verhält  Im  zehnten  Capitel,  das  der  Interpola- 
lion  der  numeriseben  Functionen  gewidmet  ist,  wird  auch  die 
Gammafnnction  nfther  behandelt,  ferner  die  Ableitungen  mit  be- 
liebieem  Index.     Das  eitle  Capitel  mit  Formeln  zur  mechaniseben 

>n  Formeln 
deutet  und 
.  Paradox 
!  eine  der 
in  früheren 
und  Noten 
Lp. 


5.      Bear- 

ihen  Natur 

iT  dieselbe 

d.     Solche 

H. 


272  ^^-  Abachnitt.    Differential-  and  IntegralrecbnuDg^. 

P.  DziwiNSKi.      Die  wichtigsteo  Sätze  und  Formelu  der 
höheren  Anaiysis.    Lithographirt.    Lemberg.  (PolniBcb.) 

Algebraische  Anaiysis,  Differential-  und  Integralrechnung  und 
ihre  Anwendungen.  Dn. 

O.  ScHLöMiLCH.     Handbuch  der  algebraischen  Anaiysis. 

6.    Aufl.     2.   Druck,     stattgart.  VIII  u.  413  S. 


8.  Newcomb.     Elements  of  the  differential  and  integral 

CalculuÄ.     New- York.  (1887.) 


H.   St.  J.    Hünter.      Key    to    Todhunter's    DiflFerential 

Calculus.      London.  Macmillan  and  Co.  152  S. 

Anzeige  in  Nature  XXXVII.  412.  Lp. 


A.  Führmann.  Anwendungen  der  Infinitesimalrechnung 
in  den  Naturwissenschaften,  im  Hochbau  und  in  der 
Technik.  Lehrbuch  und  Aufgabensammlung.  In  sechs 
Teilen,  von  denen  jeder  ein  selbständiges  Ganzes  bildet 
Teil  I.  Naturwissenschaftliche  Anwendungen  der  Diffe- 
rentialrechnung.     Berlin.  Ernst  a.  Korn.  XII  n.  148  S.  8^ 

Das  Buch,  welches  als  selbständiges  Werk  den  zweiten 
Titel  trägt  „Naturwissenschaftliche  Anwendungen  der  Differential- 
rechnung. Lehrbuch  und  Aufgabensammlung^,  soll  wie  die 
übrigen  geplanten  Teile  eine  Ergänzung  und  Erweiterung  der 
vorhandenen  Aufgabensammlungen  bilden,  indem  die  behandelten 
Beispiele  den  Fachgebieten  der  Studirenden  entnommen  sind. 
Für  „Studirende  und  Ausübende  der  Naturwissenschaften^  be- 
stimmt, behandelt  die  vorliegende  Schrift  in  ftlnf  Capiteln  1) 
Differenzen  und  Differentiale,  einfache  und  mehrfache  Differen- 
tiation; 2)  Linien  und  Flächen;  3)  vieldeutige  Symbole;  4)  Maxima 
und  Minima;  5)  Reiben.    Ein  alphabetisches  Sachverzeichnis  er- 


Gapitd  1.    Allgemoines.  273 

lekhtert  die  Benutzung,  und  ein  Literaturverzeichnis,  welches  die 
benutzten  Quellen  angiebt,  soll  zum  Selbstschaffen  anregen.  Die 
aufgenommenen  Beispiele  sind  solche,  die  in  der  Mechanik, 
Physik,  Oeodftsie  etc.  behandelt  zu  werden  pflegen,  von  denen 
daher  auch  Autenheimer  aus  den  gleichen  Gründen  wie  der  Ver- 
fasser manche  in  sein  Elementarlehrbuch  der  Differential-  und 
Integralrechnung  aufgenommen  hat.  Wie  ansprechend  auch  der 
Gedanke  ist,  die  Anwendungen  der  Infinitesimalrechnung  den 
Studirenden  interessanter  zu  gestalten,  so  ist  doch,  nicht  zu 
leugnen,  dass  viele  der  vorgeführten  Betrachtungen  dadurch  un- 
befriedigend wirken,  dass  sie  mit  Formeln  beginnen,  deren  Be- 
gründung in  anderen  Vorträgen  gegeben  wird;  danach  ist  es 
wohl  natflrlich,  diesen  Vorträgen  auch  die  Ausnutzung  des  In- 
strumentes der  Infinitesimalrechnung  zu  Überlassen.  Wie  von 
einem  langjährigen  bewährten  Lehrer  zu  erwarten  war,  ist  die 
Auswahl  der  Beispiele  eine  sehr  vielseitige.  Vielleicht  hätte  die 
Astronomie  auch  Berücksichtigung  finden  können,  wozu  Brünnow's 
sphärische  Astronomie  geradezu  einladet.  Ebenso  hätten  manche 
Aufgaben  aus  den  Schellbach'schen  Sammlungen  wohl  Beachtung 
verdient.  Von  Einzelheiten  sei  u.  a.  erwähnt,  dass  die  Lösung 
der  Aufgabe  §  66  nicht  bis  zum  einfachsten  Resultate  durchge- 
führt ist.  Wenn  ein  Punkt  U  einer  gegebenen  Geraden  zu  finden 
ist,  TQU  welchem  aus  eine  gegebene  Strecke  AB  unter  dem 
grössten  Winkel  BUA  erscheint,  so  ist  U  Berührungspunkt  des 
durch  Ä  und  B  gehenden  Kreises,  der  -die  gegebene  Gerade  tangirt. 

Lp- 

O.  Stolz.*    Ueber    zwei  Arten    von   unendlich  kleinen 
und  von  unendlich  grossen  Grössen.     Math.  auo.  xxxi. 

601-607. 

Ist  ^  eine  Grösse,  die  kleiner  als  jede  absolute  reelle  Zahl 
ist,  und  sind  sowohl  die  Vielfachen  ^.n,  wo  ti  jede  natürliche 
Zahl,  als  auch  die  Producte  £  •  i^,  wo  v  jede  transfinite  Ordnungs- 
zahl sein  darf,  erklärt,  so  muss  jedes  der  letzten  Producte  kleiner 
als  jede  noch  so  kleine  absolute  reelle  Zahl  sein.  Der  Herr 
Verfasser   zeigt,   dass  mit  diesem   Satze  des  Herrn  G.   Cantor 

Forttdkr.  d.  Math.  XX.  1.  18 


274  VI.  Abschnitt.    Differeotial-  afld  IntegralrecboaDg. 

(Zeitschrift  für  Philos.  XCI.  121;  cf.  F.  d.  M.  XIX.  1887.  46)  die 
Theorie  der  bisher  aufgestellten  zwei  Arten  von  unendlich  kleinen 
Grössen  (cf.  des  Verfassers  Vorlesungen  über  allgemeine  Arith- 
metik I.  205-214)  keineswegs  in  Widerspruch  steht  T. 


P.  Mansion.     Methode  des  infiniment  petita.     Matheais  viii. 

149-157. 

Genauer  Sinn  des  Princips  der  Substitution  unendlich  kleiner 
Grössen.  Mn.  (Lp.) 

R.  Betxazzi.     Sulla    derivata    totale    delle    funzioni   di 
due  variabili  reali  e  suU'  inversione  delle  derivazioni. 

Batt.  G.  XXVL  21-32. 

Fortsetzung  der  Arbeit  Batt.  G.  XXII.  133  ff.,  ttber  welche 
man  F.  d.  M.  1884.  XVI.  227  vergleiche.  Es  handelt  sich  um 
den  Zusammenhang  zwischen  der  Existenz  der  totalen  Ableitung 
und  der  der  gemischten  zweiten  Ableitungen  einer  Function  von 
zwei  reellen  Veränderlichen.  T. 


F.  J.  Stieltjes.     Sur  une  gön^ralisation  de  la  formale 
des  accroissements  finis.     Nouv.  Ann.  (3)  vii.  26-31. 

Für  die  von  Herrn  H.  A.  Schwarz  (Annali  di  Mat.  (2)  X. 
129  ff.)  gegebene  Verallgemeinerung  des  Mittelwertsatzes,  worüber 
man  das  Referat  F.  d.  M.  XIII.  1881.  311  f.  vergleiche,  wird 
ein  elementarerer  (Integrationen  nicht  erfordernder)  Beweis  ge- 
geben. Derselbe  ergiebt  sich  sehr  einfach  aus  der  wiederholten 
Anwendung  des  Lemmas:  Wenn  eine  Function  f(/),  welche 
nebst  ihren  Ableitungen  bis  zur  (n  — 2)**»  einschliesslich  inner- 
halb eines  gewissen  Intervalls  endlich,  eindeutig  und  stetig  ist  und 
auch  eine  endliche  (n—  1)*«  Ableitung  besitzt,  für  n  verschiedene 
Werte  dieses  Intervalls  'i,  <,,  . . ., '».  verschwindet,  so  giebt  es 
eine  zwischen  dem  kleinsten  und  dem  grössten  dieser  Werte  ge- 


Capitel  2.    DiffereotialrechDODg.  275 

legene  Zahl  J,  für  welche  f^"  ""*^(ö  =  0  ist.  (Man  vergleiche  den 
fUr  den  Mittelwertsatz  gegebenen  Beweis  von  Serret,  Cours  de 
calcul  diff.  et  intögr.  T.  I.  6d.  II.  p.  *  17  flf.)  T. 


Capitel  2. 

Differentialrechnung  (Differentiale,  Functionen  von 
Differentialen.    Maxima  und  Minima). 

P.  S.  Nekrassopf.     Allgemeines  Differentiiren.  Mosk.  matb. 

Samml.  XIY.  45-163.  (Rasaitcb.) 

Die  dem  Andenken  von  Lettnikoff  gewidmete  Arbeit  verall- 
gemeinert die  Theorie  der  Differentiation  zwischen  Grenzen, 
die  Lettnikoff  in  die  Analysis  eingeführt  hatte;  und  fUhrt  sie 
auch  auf  dem  Gebiete  der  complexen  Veränderlichen  durch. 

Das  erste  Capitel  beschäftigt  sich  mit  der  Elassification  der 
Functionen  in  Bezug  auf  eine  Kontur  L,  welche  eine  gegebene 
Gruppe  der  singulären  Punkte  umschliesst.  Wenn  eine  Function 
f(z)  bei  der  Umschreibung  der  Kontur  L  in  positiver  Richtung 
den  Factor  e^''^*  annimmt,  so.heisst  sie  eine  Function  der  Klasse 
(9,0);  jede  solche  Function  hat  die  Form  (i  —  uyf(p(z%  wo  u  ein 
Punkt  innerhalb  der  Fläche  der  Kontur  L  (Focus)  und  q>(z) 
eine  Function  von  der  Klasse  (0,0)  ist.  Eine  Function,  die  in 
der  Form 

(»  —  m)«  log  ^(a  —  u)  q>(fi) 
sich  darstellen  lässt,  heisst  eine  Function  der  Klasse  (9,^).  Die 
Funetion,  welche  als  eine  Summe  der  n  Functionen  verschiedener 
Klassen  in  Bezug  auf  die  Kontur  L  und  den  Focus  u  darstell- 
bar ist,  heisst  eine  reductible  Function.  Die  Darstellung  der 
Function  f{z)  durch  die  Summe  der  Functionen  verschiedener 
Klassen  wird  immer  mit  Hülfe  analytischer  Operationen  ge- 
wonnen.    Die  Klassification    der  Functionen  kann  auch  auf  die 

18* 


276  ^^*  Abscboitt.    Differeotial-  und  lutegralrechnoag. 

zweifach  zusamiDenhäDge&de  Fläche  T  bezogen  werdeo,  welche 
die  Kontur  L  enthält,  und  ausserhalb  welcher  die  gegebene 
Gruppe  der  singulären  Punkte  der  Function  liegt.  Die  Function 
f(z)  ist  eine  mehrdeutige  Function  der  Punkte  der  Fläche  T, 
kann  aber  als  eindeutig  betrachtet  werden,  wenn  man  anstatt 
der  Fläche  T  die  correspondirende  mehrblättrige  Riemann^sche 
Fläche  T,  betrachtet. 

Die  Betrachtung  dieser  mehrblättrigen  Fläche  erleichtert  die 
Ableitung  verschiedener  wichtiger  Relationen;  es  folgt  z.  B.  für 
die  complexen  Integrationswege  eine  Erweiterung  der  fundamen- 
talen Formel  von  Lettnikoff: 

a  a  a  y 

Diese  Formel  {A)  benutzt  LettnikoiF  zum  Studium  der  Differen- 
tialquotienten zwischen  Grenzen  bei  beliebigem  p:  * 

[DV(^)]a  und  [DPf{x)]l. 
Der  Verfasser  verallgemeinert  diese  Symbole,  indem  er  als  neu 
einfahrt: 

(ox) 

Hier  bedeuten  {ax)  und  (cx>a:)  gewisse  complexe  Integrationswege 
zwischen  den  Punkten  a  und  a?,  resp.  oo  und  x\  n  muss  grösser 
als  der  reelle  Teil  von  p  sein,  und  f{x)  muss  gewissen  Bedin- 
gungen in  Betreff  des  Unendlichwerdens  genügen. 

Der  eigentlichen  „Grunddifferentiation  mit  beliebigem  Index'', 
auf  eine  zweifach  zusammenhängende  Fläche  T  bezogen,  ist  das 
zweite  Capitel  gewidmet.    Hier  wird  das  Symbol 

studirt,  wenn  f{x)  eine  Function  der  Klasse  (qf,0)  und  «  grösser 
als  der  reelle  Teil  von  p  ist;    das   Integral   erstreckt  sich  Ober 


die  Kontur  L  vom  Punkte  x\  A^  =^  t^^"^ — 1.    Es  wird  bewiesen, 


Capitel  2.    DiffereotialrecLoiiDg.  277 

dass  der  betrachtete  Ausdruck  von  n  und  von  der  Form  der 
Kontur  L  unabhängig  ist,  Wenn  nur  diese  Kontur  immer  durch 
den  Punkt  x  geht.  Diesen  Ausdruck  kann  man  daher  betrachten 
als  eine  Derivirte  der  Ordnung  p,  bezogen  auf  die  zweifach  zu- 
sammenhängende  Fläche   7,    und   er   wird   durch   das   Symbol 

j  — J\      J    bezeichnet.    In  der  That  wird  bewiesen,  dass  dieses 

Symbol  alle  Eigenschaften  des  gewöhnlichen  Differentialquotienten 

hat:  1.  1 — J\^^  J    =  f(^)(x)^    wenn    m    eine    ganze    positive 

Zahl  ist. 

r  dP  fd^r(x)\l  ^    d'-  r dpf(x)  1  ^  [-  dP^-^f(x)  1 

'     L  dxP  \     da^    /Jr       dx^  L     dxP     Jj.      L      dxß^-^^      Jr' 
wenn  m  eine  ganze  positive  Zahl  ist. 

3     f  dP^        dPf{x)   1  ^  r  dP+p^f(x)  1        {  dP       dP^fjx)  1 
'    IdxP^  '       dxP      Jj      L      dxP-^P'      Jj      IdxP'       dxP^     Jr' 

wenn  die  Differenzen  q  —  p  und  q—p^    nicht   Nyll   oder   ganze 

Zahlen  sind. 

4.    Die  Formel  von  Leibniz  hat  auch  für  das  neue  Symbol  Btatt. 

Das  Symbol I  —  l^^  J   kann  in  verschiedener  Weise  dar- 
gestellt werden;  z.  B.  haben  wir 

~    r(—p)  J       («  — a)*^! 

(unter  der  Bedingung,  dass  der  reelle  Teil  von  p  positiv  ist). 
Es  stellt  eine  endliche  und  stetige'Function  der  Klasse  (9'P,0) 
dar  und  kann,  wie  ein  bemerkenswertes  Theoi^m  zeigt,  auf  das 

Symbol  1-^— r-^^——^ — jj    reducirt   werden,    wenn   man   das 

bekannte  Theorem  von  Cauchy  für  die  Darstellung  der  Function 
durch  ein  complexes  Integral  benutzt 

Fflr  eine  redücible  Function 


278  VI.  Abschnitt.    Differeotial-  and  Integralrechnung. 

WO  foWj  f\  (*)i  •  •  •  Functionen  verschiedener  Klassen  (jojO)) (^i  iO), . . . 
sind  und  ausserdem  kein  q  Null  oder  eine  ganze  Zahl  ist,  wird 

das  Symbol  1  — dp~\     ^^^^^  ^'®  Summe  definirt: 

r  dpf, jx)  1     r  dpf,{x)  1 

und  es  zeigt  sich,  dass  dieses  Symbol  alle  Eigenschaften  des  ge- 
wöhnlichen Differentialquotienten  hat,  wenn  nur  keine  der  Diffe- 
renzen q^  —  p,  q^  — p,  . . .  Null  oder  eine  ganze  Zahl  ist  Falls 
die  Function  f(x)  von  der  Klasse  {q^ii)  ist,  wo  q  nicht  Null  oder 
eine  ganze  Zahl  ist,  wird  diese  Function  betrachtet  als 

lim  { A-i" [(a;  — f*)*]"(a?  — tt>y(a;)}A=,|. 

Das  in  solcher  Weise  auch  flir  diesen  Fall  eingefQhrte  Symbol 
besitzt  auch  unter  giewissen  Bedingungen  alle  Eigenschaften  des 
gewöhnlichen  Differentialquotienten.  Endlich  wenn  einige  der  q 
Null  oder  ganze  Zahlen  sind,  so  werden  die  früher  eingeführten 
Symbole  unendlich.  Das  fhhrt  zu  einem  neuen  Symbole  „der 
Grenzdifferentiation  mit  dem  Hauptfocus  a''.  Dieses  Symbol  wird 
definirt  durch  die  Gleichung 

[•    dPf{x)    -IC^»)  ^  ,j^  [\dP{x^afKw)-\   | 

Falls  die  Bedingungen  der  Möglichkeit  dieses  Symbols  «rfbllt 
sind,  bestehen  auch  für  dasselbe  alle  Eigenschaften  der  früheren. 

Die  „Grenzdifferentiation''  kann  noch  verallgemeinert  werden. 
Es  sei  nämlich  das  Symbol /)''{(j;  —  ti)9^(a;)}  durch  die  Gleichung 
definirt: 

Damit  dieses  Symbol  D  alle  Eigenschaften  des  gewöhnlichen 
Symbols  der  Differentiation  besitzt,  muss  die  Function  F(p^q)  den 
Gleichungen: 

^(P,9>^(Pii9--P)  =  nV  +  V^q)  und  F(m,q)  =  1 
(wo  m  eine  beliebige  ganze  Zahl  ist)  genügen. 

Die  Function  F(p^q)  heisst  dann  der  Modul  der  Differentia- 


Capitel  2.    piflTereDtialrechDUDg.  279 

tioD.     Der  Fall,  in  welchem  man  hat 

verdient  besondere  Beachtung.  Dann  wird  das  Symbol  Dpf{x) 
durch  I — -^-^ —  j  bezeichnet,  und  es  werden  die  Bedingungen 
der  Möglichkeit  sowohl  dieses  Symbols  als  auch  des  Grenzfalls 

•  « 

Die  Bemerkungen  über  die  Auflosung  der  Gleichungen 

bilden  das  Ende  des  Capitels. 

Das  dritte  Capitel  widmet  der  Verfasser  der  Erklärung  der 
Beziehungen  zwischen  den  neuen  Symbolen  und  den  im  ersten 
Capitel  erweiterten  LettnikofiTschen  Symbplen.  Es  wird  gezeigt, 
dass  die  letzteren  entweder  als  Grenzfälle  der  neuen  betrachtet 
werden  können,  oder  dass  sie  unter  gewissen  Bedingungen  voll- 
kommen mit  ihnen  coincidiren.  Die  neuen  Symbole  unterschei- 
den sich  aber  wesentlich  von  den  alten  dadurch,  dass  sie  noch 
in  den  Fällen  bestehen,  in  welchen  die  alten  Symbole  unmöglich 
werden.  Diesen  Vorteil  der  Einführung  neuer  Symbole  zeigt 
der  Verfasser  durch  die  Anwendung  auf  die  Integration  der 
Differentialgleichung : 

Die  Lösungen  dieser  Differentialgleichung  können  durch  die 
neuen  Symbole  auch  bei  solchen  Werten  der  Parameter  ausge- 
drückt werden,  bei  welchen  die  Symbole  von  Lettnikoff  un- 
möglich werden. 

Es  werden  am  Ende  des  Capitels  die  Beziehungen  auch  zu 
den  anderen  Theorien  des  „allgemeinen  Differentiirens^  (Liouville, 
Kelland,  Euler,  Peacock)  gezeigt. 

Im  vierten  Capitel  beschäftigt  sich  der  Verfasser  mit  den 
Eigenschaften  der  Symbole: 


280  VI.  Abschnitt.    Differeotial-  und  IntegralrechnaDg. 

und  in  einem  Anhange  zu  der  Arbeit  zeigt  er,  dass  in  der  neuen 
Theorie  die  Frage  der  „complementären  Functionen**  nicht  zu 
Missverstandnissen  Anlass  geben,  kann.  Wi. 


O.  ScHLöMiLCH.     Ueber  die  Differentiation   der  Potenz, 
des  Logarithmus  und  der  Exponentialgrösse.    Hoffmaon 

Z.  XIX.  81-83. 

Die  drei  Differentialformeln  werden  ohne  Anwendung  der 
Binomialformel  mit  Benutzung  des  Satzes  gefunden,  dass  die 
Differenz  zweier  gleich  hohen  ganzen  Potenzen  durch  die  Diffe- 
renz der  GrundgröBsen  teilbar  ist  Lg. 


W.  Krktkowski.     Ueber  Differentiation  gewisser  unend- 
licher  Ausdrücke.     Lemberg.  ^Musenm*.  495-498.  (PolDiseh.) 

Ist 

u  ==  F{«,  F[»,  F(z  . . .)]} 

ein  convergenter  unendlicher  Ausdruck,  so  hat  man 

u  =  F(z,  u) 
und  daraus 

du        dF  /,       dF\-i 


rfi»   ""    da  V         dti  / 


Der  Verfasser  wendet  diese  Formel  auf  unendliche  K^ttenbrQche 
und  Ausdrücke  von  der  Form 


«=}/fw+V7("*)+yf«  +  - 


an. Dn. 

R.  HoppK.     Bemerkung  zu   der  Formel  für  das   Diffe- 
rential einer  Function  mehrerer  Variabein.  Hoppe  Arch. 

(2)  VI.  351-352. 


Capitel  2.    DiffereniialrechnnDg.  281 

Ist  f(x,  y)  nebst  seinen  partiellen  Differentialquotienten  erster 
und  zweiter  Ordnung  stetig  in  Bezug  auf  x  und  y  einzeln,  so  ist 

lim    f(^+«>y+g)-K^iy) 

gleich  1,  wenn  die  beiden  Terme  des  Nenners  gleiche  Vorzeichen 
haben;  dagegen  kann,  wßnn  diese  Einschränkung  fallen  gelassen 
wird,  der  Grenzwert  jeder  vorgegebenen  Grösse  gleich,  auch 
anendlich  gross  und  unendlich  klein  gemacht  werden.         T. 


Marchand.  D^veloppement  de  raccroissenient  d'un 
polyn6me  entier  suivant  las  puissances  des  aceroisse- 
ments  des  variables.     Noav.  Add.  (3)  vil.  456-461. 

Als  symbolische  Bezeichnung  wird  gesetzt: 
(*!«,+*>,  +  ...  +  hpXfY  =  hl. 
Haben  x^^  ...,  o^  Incremente  y^,  ...,  y,,  so  wird  der  Dignand 
=  fr«  +  frjri  und  das  Increment  von  hZ  geht  aus  der  Entwickelung 
Yon  (&«  +  fry)"  hervor,  deren  Coefficienten  dieselben  sind  wie  die 
der  partiellen  Differentialquotienten  voy  bZ.  H. 


R.  Pebbin.     Sur  quelques  familles  d'op^rateurs  diff^ren- 

tiels.       C.  R.  GVI.  1131-1135. 

Der  Verfasser  betrachtet  folgende  auf  die  fi-fl  Veränderlichen- 
reihen  ö^,  o,,  ...,  o,;  aj,,  a^,  ...,  oi.;  o^,  o^»,  ...,  a^(^)  bezüglichen 
Differentiationsprocesse 
r   -  ^[„     «*     I  (P  +  1)'         «^      I  (p4-2)1  ^      d  -1 

<„  _  tL  -1-  4-  Cp  +  1)!  fl       «^       .  (P+2)!  «      rf      .       1 
FOr   die   wechselseitige  Anwendung   dieser  Processe  gelten  die 


282  VI.  Abschnitt.     Differential-  und  Integral  rech  nang. 

Formeln 

bp  b9   "~  b«  bp 


-  5,-CC,  =0, 


>.  ^         (P  +  7  — 1)!». 

Cp»?— >?&.  =  («— P+1)  &,.i  — 2pw^.  Ht. 


G.  Ricci.     Delle  derivazioni  covarianti  e  controvarianti 
e  del  loro  uso  nella  analisi  applicata.    Ans  dem  in.  Bde. 

der  ätud)  editi  dalla  Universitä  di  Padova  a  commemorare  Tottavo 
centenario  della  origine  della  Universiti  di  Bologna.  3  Vol.  Padova. 
Tipografia  del  Semioario.  1888.  23  8.  4°. 

Die  Definition  der  covarianten  Ableitung  wurde  vom  Ver- 
fasser in  einer  früheren  Arbeit  (Sulla  derivazione  covariante  ad 
una  forma  quadratica  differenziale,  Rom.  Acc.  L.  Rend.  (4)  III,. 
15-18)  aufgestellt,  über  welche  im  vorigen  Jahrgange  S.  128 
berichtet  wurde.    Ist: 

eine  quadratische  Differentlalform  mit  n  Variabein  rr,, ...,  x»,  |a^^)  | 
die  reciproke  Determinante  von  |a^|,  setzt  man: 

und  bezeichnet: 

ein  m-faches  Functionensystem,  d.  i.  ein  System  von  n^  Func- 
tionen, ür,...r,,,i  welche  infolge  jeder  beliebigen  Coordinatentrans- 
formation  eine  lineare  Substitution  erleiden,  so  ist  die  „zur  Form 
(p^  covariante  Derivation"  diejenige  Operation,  welche  [ür,...r^] 
in  [Pn...r„^J  überführt,  wo: 


.r,  "> 


dUr 


Capitel  2.    DifferentiBlrechoong.  283 

Ist  [i7(''«- •''m)]  ein  System  von  derselben  Beschaffenheit  wie 
[r/r,...rj»  so  fflhrt  die  „zu  9)  contravariante  Derivation^  [t/Cn  ■»'m)] 
in  [P^'^»  ••»'m+i)]  über,  wo: 

t       da?,  p,,  *=!  ' 

Werden  die  Yariabeln  Xi  durch  die  Variabein  qi  ersetzt,  und  . 
schliesst  man  die  auf  die  neuen  Variabein  bezüglichen  AusdrOcke 
in  (runde)  Klammern  ein,  so  dass  z.  B.: 

qp»  =  2:  (ap^)  dQpdQg 

ist,  so  heisst  [ür,.„r„J  oder  [ü^^f^nO]  ein  covariantes  oder  contra- 

variantes  m-faches  System,  je  nachdem  für  dasselbe  die  Trans- 
formationsgleichungen : 


—  •  •  • 


^"-'--'^  =  JJ'^-^  ög,     ■    dflr^^ 


oder: 


({/(n-r,^)  =    j;    £/(*-••*«.) 


A„.^A,„  dQh,  ÖQk^ 

gelten.    Z.  B.  ist  [apg]  ein  covariantes  zweifaches  System,  weil: 

/     \        ^         ^^r    Sxg 

dagegen  ist  [a<'^)]  ein  contravariantes  zweifaches  System,    weil: 

Es  gilt  nun  der  Satz:  Aus  einem  co (contra) Varianten  m-fachen 
Systeme  entsteht  durch  co  (contra)  Variante  Derivation  ein  co(con- 
tra}variantes  (m4-l)-faches  System. 

Der  Uebergang  von   einem   covarianten  m -fachen  Systeme 
[f^rj^j-J   zu   einem  contravarianten  m- fachen  Systeme  [l/'(«»-»m)] 

und  umgekehrt  kann  durch  folgende  Gleichungen  bewerkstelligt 
werden : 


'  i»  '—t^j 


w 


Qu  -"9m 


284  VI.  Abschoitt     Differetitial-  uod  iDtegralrechnuDg. 

Die  CO  (contra)  Variante  Derivation  ist  distributiv.  Dagegen 
ist  sie  in  Bezug  auf  die  Indioes  nicht  commutativ;  man  findet 
nämlich : 

^r,...r„,_2'"w-I'"in  "~  ^n  .••»•«-2 '"»»»'»*- 1 

p,q  A=sl 

•  « 

m— 2 

wo: 

Die  Gommutativität  findet  nur  in  zwei  Fällen  statt;  erstens,  wenn 
m  =  2,    weil    jedes    Glied    an   der   rechten .  Seite    der    obigen 

»1—2 

Gleichungen  eine  Summe  ^  als  Factor  enthält;  zweitens,  wenn 

der  fi-dimensionale  Raum,  dessen  Linienelement  tp  ist,  ein  eukli- 
discher ist,  weil  dann  sämtliche  aik^gie  identisch. verschwinden. 
Im  allgemeinen  besteht  die  Gommutativität  nur  zwischen  den 
zwei  ersten  Indices;  d.  h.  es  ist: 

Eine  weitere  Eigenschaft  der  co  (contra)  Varianten  Ableitungen 
ist  folgende:    Bestehen  die  Relationen: 

oder: 

SO  folgt  hieraus: 

bezw. : 

Nachdem  der  Verfasser  die  Principien  seiner  Theorie  aus- 
einandergesetzt hat,  wendet  er  dieselbe  auf  folgende  Gegenstände 
an:  a)  Gleichungen  der  Erttmmungslinien;  b)  Gleichungen  der 
conjugirten  und  der  asymptotischen  Linien;  c)  Bedingungs- 
gleichungen für  die  .Coefficienten  der  Deformation  eines  elasti- 


Capitel  2.    DiffereDtialrecfanang.  285 

sehen  Körpers;  d)  Formeln  ans  der  Kinematik  der  elastischen 
Körper;  e)  Elasticit&tsgleichungen  im  enklidiscben  Baume;  QGlei- 
ehnng  der  Bewegung»  der  Wärme  im  euklidischen  Baume. 

Eigentlich  werden  statt  der  Gleichungen  c),  d)  allge- 
meine, in  einem  beliebigen  n  -  dimensionalen  Baume  geltende 
Gleichungen  aufgestellt,  welche  sich  für  den  gewöhnlichen  Baum 
auf  c)  bezw.  d)  reduciren..  Die  Gleichungen  c)  sind  gleichzeitig 
von  Herrn  Padova  (Suir  uso  delle  coordinate  curyilinee  in  al- 
cuni  problemi  della  teoria  matematica  della  elasticitä;  Bericht 
in  diesem  Bande)  ftlr  den  Fall  eines  3  -  dimensionalen  Baumes 
von  constantem  Krttmmungsmasse,  später  aber  voti  demselben 
(Sülle  deformazioni  infinitesime,  Bom.  Acc.  L.  Bend.  (4)  V,.  174-8) 
ftkr  den  allgemeinsten  Fall  gefunden  worden.  Es  ist  noch  zu 
bemerken,  dass  die  Gleichungen  21,  22  und  23  S.  18  durch  die 
folgenden  zu  ersetzen  sind: 

Ghiji — Gjm  •='  0, 

Ghi4i  +  Gi^j^i  +  Ghi^is  =  0, 

ÄiA^fc  =  0, 

wonach  die  Anzahl  der  von  einander  unabhängigen  Gleichungen 
E  sieh  in  jedem  Falle  zu  — ^r^ — ^  reducirt.  (Siehe  die  zu- 
letzt  erwähnte  Note  von  Padova,  S.  176  Anm.)  Vi. 


6.  Ricci.     Sulla  classificazione  delle  forme  diiferenziali 

quadratiche.      Bom.  Acc.  L.  Read.  (4)  IV.  203-207. 

Unter  der  Klasse  der  quadratischen.  Dififerentialform 

^  dfgdxrdxg  (r,  9  =  1,  2, . . .,  n) 

versteht  der  Verfasser  die  kleinste  ganze  Zahl  A,  für  welche  es 
möglich  ist,  dieselbe  in  die  Gestalt 

idy!  (/=  1,  2,  ...,  n  +  Ä). 

zu  transformiren,  wo  die  y  geeignet  gewählte  Functionen  der 
Veränderlichen  x  sind..  Die  Bestimmung  dieser  Klasse  wird  — 
unter  Benutzung  der  Theorie  der  orthogonalen  Substitutionen  — 
auf  die  Untersuchung  eines  Systems  von  Gleichungen  zurückge- 


286  VI.  AbacbDiU.    Differential-  and  lotegralrechoaag. 

fbhrt;  deren  Coefficienten  aus  den  gegebenen  Functionen  a„  und 
deren  Differentialquotienten  nach  den  Veränderlichen  x  zu  bilden 
sind.  In  den  speciellen  Fällen  A  =  0  und  A  =  1  findet  der 
Verfasser  diejenigen  Kriterien  wieder,  zu  denen  er  bereits  in 
einer  früheren  Arbeit  gelangt  ist.  Ht 


Hazzidakis.      lieber   invariante  iDifferentialausdrficke. 

J.  für  Math.  CIV.  102-115. 

Bezeichnet  man  mit  X,  Y,  Z  die  rechtwinkligen  Coordinaten 
einer  Raumeurve,  so  ist  der  Ausdruck  fQr  den  Krümmungs- 
radius 

[(dXd'  F-  d  Yd'Xy  +  (d  Yd'Z—  dZd'  Y)'  +  (dZ4'X  -  dXd^Zy  ]* 

gegenüber  der  Substitution 

dX'  =  wdxj  d'X  =  tod^x  -j-  dwdx^ 
dY  =  wdy,  d*Y  =  wd^y  +  dwdy, 
dZ  =  fcdz^     d^Z  =  wd^z-^-dwdi 

eine  Invariante;  d.  h.  bei  Anwendung  dieser  Substitution  erh&lt 
man  denselben  Ausdruck  in  da:,  dy^  d^^  d\  d^y,  d%  multiplicirt 
mit  dem  Factor  w.  Der  Verfasser  fragt  nun  allgemein  nach  den- 
jenigen Ausdrücken  ^(X,,  Y,,Zj,X„  F,,Z,,...,  X,,  r«,Z„),  welche 
sich  nur  um  eine  Potenz  von  to  ändern,  wenn  man  die  Sub- 
stitution 

X,  =  ttJa?^,  X,  =  irx,  4-f(?ja:,,  X,  =  u>x^+2w^x^-\-fD^x^^  ..., 

^1  =  ^y^  Y,  =  wy,  +  w^y,,    Y,  =  u)y,  +  2w,y,+u>,y,,  ..., 

Z,  =  wa,,  Zj  =  ttJÄj,  +  «?! a, ,    Zg  =  ii>»y+ 2M?ja,  +  «>,«„  ... 

anwendet.     Alle   solchen   invarianten   Ausdrücke    genügen    den 

Differentialgleichungen 

(r-l)(r^2)    ^-  dg>  ^V     .t         ^^    )  -  O 

^ 172 (^'•-^"exT"^  '"-'"öYr+  ''-'"özri""®' 

^(r-l)(r^2)(r-3))  dg>  dq>     ,  d<p  ) 

17273 r'-^"exr  +  ^'--'"äYT  +^'-'"9zri ""  ' 

und  jeder  diesem  Systeme  von  Differentialgleichungen  genügende 
homogene  Ausdruck    ist   eine  Invariante  in  dem   vorhin  festge- 


Capitel  2#  DiffereDtialrechDang.  287 

setzten  Sinne.  Es  wird  ferner  gezeigt,  dass  es  fttr  jede  Zahl  n 
gewisse  2  von  einander  unabhängige  Invarianten  Qny  Bn  giebt, 
welche  in  den  ersten  n  Ableitungen  zusammen  vom  Gesamtgrade 
n  sind,  die  n^  Ableitungen  X«,  Yn,  Zn  nur  linear  enthalten  und 
die  Eigenschaft  besitzen,  dass  mit  ihrer  Hülfe  und  durch  X^,  Y^,Z{ 
sich  jede  andere  Invariante  rational  darstellen  lässt.  Diese  „ele* 
mentaren^  Invarianten  Qn,  Rn  werden  in  Determinantenform  auf* 
gestellt.  Den  Schluss  bilden  Anwendungen  auf  die  Integration 
von  solchen  Differentialgleichungen,  welche  man  erhftlt,  wenn 
man  Invarianten  der  betrachteten  Art  gleich  einer  Constanten 
setzt.  Beispielsweise  werden  alle  Curven  gesucht,  deren  zweiter 
Krümmungsradius  constant  ist,  oder  für  welche  die  beiden 
Krümmungsradien  ein  constantes  Product  haben.  Ht. 


R.  Harley.     On   the  general  quartine,  or  the  incritoid 
of  the  fourth  degree.     Ptfii.  Mag:,  (ö)  xxvi.  456-458. 

Da  Criticoide  solche  Functionen  der  Coefficienten  einer 
linearen  Differentialgleichung  sind,  welche  ungeändert  bleiben, 
wenn  die  Gleichung  durch  eine  Vertauscbung  einer  der  Variabein 
transformirt  wird,  so  wird  der  Name  Decriticoid  auf  die  Formen 
angewendet,  welche  durch  eine  Vertauschung  der  abhängigen 
Variabein  ungeändert  bleiben,  Incriticoid  auf  die  entsprechenden 
Formen  für  die  unabhängige  Variable.  Ein  Decriticoid  f?i^^° 
Grades  wird  eine  „m-ide^,  ein  Incriticoid  desselben  Grades  eine 
„m  ine**  genannt.  Der  vorliegende  Artikel  giebt  bloss  die  Form 
der  Quartine;  eine  allgemeine  Erörterung  wird  einer  anderen 
Abhandlung  vorbehalten.  Gbs.  (Lp.) 


A.   MüKHOPADHYAY.      Thc    geometrlc    Interpretation    of 
MoDge's    differential    equation    to   all   conics.       Natura 

XXXVIII.  173. 

R.  B.  H.     Interpretation   of  the  differential  equation  to 

a  COnic.      Natnre  XXXVIII.  197. 

Für    die    geometrische    Deutung    der    Differentialgleichung 


288  ^  I-  Abschoitt.    Differential-  qpd  lotegralrecliDDDg. 

aller  Kegelschnitte  liegen  zwei  Versuche  vor,  einer  von  Boole 
(Diff.  eq.  S.  19-20)  und  ein  anderer  von  Sylvester  (American 
J.  IX.  19).  Beide  leisten  nach  des  Verfassers  Ansicht  nicht, 
was  sie  bezwecken,  wie  er  dies  in  zwei  Artikeln  ausgeffihrt  hat, 
die  in  den  Proc.  Asiatic  Soc.  Bengal,  1888  S.  74-86  und  im 
Journ.  Asiatic  Soc.  Bengal,  1887,  Tl.  II.  S.  143  veröffentlicht 
sind.    Er  selbst  giebt  dagegen  folgende  Auslegung: 

Man  betrachte  den  osculirenden  Kegelschnitt  in  einem  be- 
liebigen Punkte  P  einer  gegebenen  Curve.  Der  Mittelpunkt  O 
des  Kegelschnitts  ist  das  „Abweiohungscentrum''  (centre  of 
aberrancy)  in  P,  und  wenn  P  sich  auf  der  gegebenen  Curve  be- 
wegt, so  ist  der  Ort  von  0  eine  neue  Curve,  welche  die  „Ab- 
weichungscurve*'  genannt  wird/  Mit  Benutzung  dieser  Be- 
nennungen lautet  die  geometrische  Auslegung  der  Monge'schen 
Gleichung : 

„Der  Krümmungsradius  der  Abweichungscurve  verschwindet 
fflr  jeden  Punkt  jedes  Kegelschnitts**.  FDr  die  Parabeln  wird 
der  reciproke  Wert  von  OP  der  Index  der  Abweichung  genannt, 
und  der  Satz  bewiesen:  „Der  Index  der  Abweichung  verschwindet 
in  jedem  Punkte  jeder  Parabel**.  Lp. 


A.  CuNNiNGHAM.       Geometrlc     meaning    of    di£ferential 

eqnations.      Nature  XXXVIII.  318-319. 

Der  Verfasser  nimmt  Hrn.  Mukhopadhyäy  in  Schutz  gegen 
einen  anonymen  Angriff,  zeigt  jedoch,  dass  jede  Gleichung  sich 
in  mjBhr  als  einer  Weise  geometrisch  deuten  lasse.  Lp. 


A.  MüKHOPADHYAY.      The    geometric    Interpretation    of 
Monge's  differential    equation    to    all   conics.      Natare 

XXXVIII.  564-565. 
R.    B.   H.      Natare  XXXVIII.  618. 

Erwiderung  auf  denselben  Angriff  und  Replik.         Lp. 


Oapitel  2.    DiffereDtialrechnnog^.  289 

AsPARAGUS,  J.  WoLSTBNHOLMB.      Solution    of   question 

9103.     Bd.  Times  XLVIII.  111. 

Die  Hfillcurve  der  Hyperbelschar  (fi  der  Parameter): 

rr'  1/' 

^  =  o'sinö 


2— sine  2  +  8inö 

ist  die  yierspitzige  Hypoeykloide.  Lp. 


G.  Peano.      Teöremi  su   massimi   e   minimi  geometrici, 
e  8U  normali  a  curve  e  superficie.     Palermo Bend.  iL  189- 192. 

Der  erste  der  sieben  Sätze,  aus  welchen  diese  Note  besteht, 
ist  folgender;  er  rührt  von  Poinsot  her: 

Bedeuten  r^^r^^ ,..  die  Abstände  eines  beweglichen  Punktes  P 
Ton  festen  Punkten,  Geraden  und  Ebenen,  so  hat  die  Normale 
der  Fläche  f(r,,r„...)  =  const.  (wo  f  eine  analytische  Function 
bezeichnet)  die  Richtung  der  Resultante  der  Kräfte,  deren  Grössen 

bezw.  J  ',~3^,...  sind,  und  deren  Richtungen  durch  die  festen 

Punkte  gehen,  bezw.  auf  den  festen  Geraden  und  Ebenen  senk- 
recht stehen.  Hat  f  in  einem  Punkte  P,  welcher  mit  keinem 
festen  Punkte  zusammenfällt  und  keiner  festen  Geraden  oder  Ebene 
angehört,  ein  Maximum  oder  Minimum,  so  ist  die  Resultante  in 
P  gleich  Null. 

Von  den  übrigen  Sätzen  werden  wir  nur  einen  als  Beispiel 
anführen : 

Geht  die  veränderliche  Gerade  p  durch  einen  festen  Punkt 
P  und  bildet  mit  festen  Geraden,  die  durch  P  gehen,  die  Win- 
kel a,,a,, ...,  so  ist  der  Ort  der  Geraden  p,  für  welche 
/'(a,,a,,...)  =  const  ist,  ein  Kegel.  Die  durch  eine  Erzeugungs- 
iinie  p  gehende  Normalebene  enthält  die  Resultante  der  Eräfte- 

paare,  deren  Momente  bezw.    J  ,  -^ — , . . .    sind,    und    deren 

Ebenen  durch  p  und  durch  die  verschiedenen  festen  Geraden 
gehen.  Hat  f  für  eine  Gerade  p  ein  Maximum  oder  Minimum^ 
80  ist  die  Resultante  für  diese  Gerade  gleich  Null.  Vi. 


Foruchr.  d.  Math.  XX.   1. 


19 


290  ^^-  Abschoitt.    Differeotittl-  und  lotegralrecliDQQg. 

H.  KuMMBLL.     The  problem  of  relative  maxima  or  mi- 
nima under  a  new  point  of  view.  Annalsof  Math.  iv. 33-35. 

Reduction  des  bedingten  Problems  auf  ein  unbedingtes  mittels 
Lagrange'scher  Multiplicatoren.  T. 


Ch.  Biochb.      Sur  les   minima  des   sommes   de    termes 
positifs  dont  le  produit  est  constant.     Nouv.Aod.  (d)  Vll. 

287-288. 

Der  Verfasser  macht  die  (selbstverständliche)  Bemerkung, 
dass  der  betreffende  Satz  und  der  umgekehrte  von  dem  Maximum 
eines  Products  von  positiven  Factoren,  deren  Summe  coDStaot 
ist,  aus  ein  und  derselben  Ungleichheit  fliessen.  T, 


Tu.  Haebler.      I.    Maxima   und  Minima  symmetrischer 
Functionen.    II.  Betrachtungen  über  die  Determination. 

Pr.  Fürstea-  a.  Landesschale  su  Grimma.  53  S. 

I.  Es  wird  der  Lehrsatz  über  den  grössten  oder  kleinsten 
Wert  einer  symmetrischen  Function  bei  Gleichheit  der  Variabein 
bewiesen  und  einige  mit  demselben  sofort  zu  erledigende  Auf- 
gaben angeführt  (14),  darauf  werden  in  (5-7)  die  sogenannten 
symmetrischen  Mittelgrössen  (arithmetisches,  geometrisches,  har- 
monisches Mittel  etc.)  ihrer  Grösse  nach  mit  einander  verglichen 
und  in  (9)  entsprechende  Betrachtungen  bei  der  Lösung  geometri- 
scher Aufgaben  angestellt. 

IL  Nachdem  einige  wichtige  Sätze  tiber  das  Umformen  von 
Ungleichungen  erwähnt  sind  (1),  werden  für  mehrere  Dreiecks- 
stücke die  Grenzen  gegeben,  z.  B.  (2): 

nie  <i(a+6)<*  oder  2ß<Äc<2r; 
in  (3-5)  wird  der  Begriff  der  Determination  erklärt  und  in  (6-8) 
dieselbe  insbesondere  bei  geometrischen  Gonstructionsaufgaben 
verfolgt.  In  (9-10)  werden  die  Wurzeln  nicht  angewandter,  in 
(11-13)  diejenigen  angewandter  Gleichungen  discutirt.  (14-22)  be- 
handelt das  Princip  der  Zeichen  bei  Strecken,  Winkeln  und 
Dreiecksgebilden,  (23-31)  die  Determination  trigonometrischer  Auf- 


Gapitel  2.    Differentialrechoiiog.  291 

gaben.  Besonderen  Wert  möchte  Verfasser  darauf  legen,  dass 
es  ihm  durch  hOlfsweise  Einf&hrung  des  in  Abschnitt  (19)  genau 
definirten  Jnneren*'  Winkels  gelungen  ist,  alle  reellen  Besultate 
der  gewöhnlichen  trigonometrischen  Formeln  zu  deuten  und  volle 
Uebereinstimmung  von  Rechnung  und  Construction  herbeizuführen, 
so  dass  man  klar  übersehen  kann,  welche  Lösungen  von  trigono- 
metrischen Aufgaben  gelten,  welche  zu  verwerfen  sind. 

Lg. 

• 

D.  Edwardes,  R.  f.  Davis.     Solution  of  question  9249. 

Bd.  Times  XLVIIl.  147. 

• 

Die  Normale  in  einem  Punkte  P  einer  Ellipse  schneide  die 
Curve  znm  zweiten  Male  in  Q,  Das  Maximum  des  Winkels 
CQP  zu  finden,  wenn  C  der  Mittelpunkt  der  Ellipse  ist.  Die 
Aufgabe  fahrt  auf  eine  kubische  Gleichung  für  die  Cotangente 
des  zugehörigen  excentrischen  Winkels  0.  Lp. 


Chase,    J.  Neubbrg.      Solution    of   question    9040. 

Ed.  Times  XLVIIL  56-57. 

Ein  Punkt  0  wird  innerhalb  eines  Dreiecks  ABC  ange- 
nommen; P,  (?,  Ä  sind  die  Umkreiscentren  für  die  Dreiecke 
BOC^  COA,  AOB.  Den  Punkt  0  so  zu  bestimmen,  dass  der  In- 
halt von  JPQR  ein  Minimum  ist.  Für  den  Fall  des  spitzwink- 
ligen Dreiecks  bestimmt  Hr.  Neuberg  0  als  den  Höhenschnitt 
Yon  ABC.  Lp. 

E.  M.  Langley.     Note  on   a  problem  in    raaxima  and 

minima.    Natura  XXXVII.  605. 

E.  M.  Langley.      Further    use    of    Ptolemy's    theorem 
(Euclid  VI.  D)   for   a   problem   in    Maxima   Minima. 

Natare  XXXVIIL  149. 

• 

Elementare  Behandlung  der  Aufgaben:  1)  Einen  Punkt  £ 
innerhalb  eines  Dreiecks  so  zu  bestimmen,  dass 

l,AE+m.BE  +  n,  CE 

19* 


292  VI.  Abschnitt.    DiffereotiaU  nod  lotegralreclioaog. 

ein  Minimum  ist,  wobei  l^m^n  so  gewählt  sind,  dass  je  zwei 
zusammen  grösser  als  die  dritte  Zahl  ist.  2)  £  so  zu  beatimmen, 
dass  AE  .  sin  BEC  -\-  BE .  sin  CEA  -|-  CE .  sin  AEC  ein  Minimam  ist. 

Lp. 

R.  Cbartres.     Note  on  a  problem  in  maxima  miniiria. 

Natare  XXXYII.  330. 

Für  die  Aufgabe,  den  Punkt  kleinster  Abstandssumme  von 
drei  Punkten  zu  finden,  wird  die  bekannte  elementare  Lösung 
nebst  Beweis  gegeben.  Lp. 


Capitel  3. 

Integralrechnung. 

A.  6.  Grbknhill.     A   cbapter  in   the  integral  caiculus. 

London.  Fr.  Hodgaon.  42  S. 

Die  mit  yielen  Uebungsbeispielen  yersebene  Scbrift,  welche 
als  Supplement  zu  den  gewöhnlichen  Lehrbüchern  der  Integral- 
rechnung dienen  soll,  behandelt  die  algebraischen  Integrale 
rationaler  und  irrationaler  Functionen  und  die  Integrale  Ton  aus 
Kreisfunctionen  und  hyperbolischen  Functionen  gebildeten  Aus- 
drücken. Um  den  Integrationsprocess  systematischer  zu  gestalten, 
verwendet  der  Verfasser  durchweg  dieselbe  Methode,  welche 
darin  besteht,  die  zu  integrirende  Function  selbst  oder  eine  Func- 
tion, aus  welcher  diese  in  einfacher  Weise  zusammengesetzt  ist, 
als  Integrationsvariable  einzuführen.  Hierbei  wird  von  den 
hyperbolischen  Functionen,  deren  Haupteigenschaften  daher  auch 
entwickelt  werden,  ein  umfassender  Gebrauch  gemacht.  (S.  das 
folgende  Referat.)  T. 

A.  G.  Greenhill.     A  chnpter*in  the  integration  culculus. 

Londou.  Fr.  HodgsoD.  42  S. 


CftpUel  3.    lotegralrechDuog.  293 

Die  Schrift  verfolgt  hauptsächlich  zwei  Ziele:  1)  zu  zeigeu, 
wie  /  g>(x)dx  als  eine  Function  von  g>(x)  oder  von  Bestand- 
teilen von  (p(x)  auszudrücken  ist,  2)  die  Vorteile  der  Hyperbel- 
functionen  bei  der  Integration  ins  Licht  zu  stellen.    Indem  die 

Ä  -4-äVä 

Fanction ~:=r-  (in  der  A.  Ä,  P,  Q   ganze   rationale   Func- 

p+OI/ä    ^ 

tionen  von  x  bedeuten,  A  eine  lineare  oder  quadratische  Func- 

M           N 
tion  von  x  ist)  in  die  Form 1 ;=-    umgewandelt    wird, 

"^  D       DYR 

m 

erfolgt  die  systematische  Integration  von    /- — — -•    Nach  Zer- 

N 
legung  von  -yc-  in  PartialbrQche  wird  gezeigt,  wie  sich  ein  In- 

/dx 
pr  als  eine  Function  des  Argu- 
(aj~p)yÄ 

1/ä 
ments  — —  ausdrücken  lässt;   zahlreiche  Belege   erläutern  die 

Methode.    Darauf  wird  bei  der  Integration  der  Ausdrucke 

/dx  r  dx 

(a  +  frcosa?)"    '   J    (a-ffccosha?)» 

ein  weiter  Gebrauch  von  den  Hyperbelfunctionen  gemacht,  und 
die  fiesultate  werden  als  Functionen  der  zu  integrirenden  Func- 
tionen ansgedrackt.  Die  Schrift  liefert  einen  recht  nützlichen 
Nachtrag  zu  den  gewöhnlichen  Lehrbüchern  der  Integralrechnung. 

Gbs.  (Lp.) 

W.   Kapteyn.      Note    sur    les    diflKreutielles    binömes. 

Darb.  Ball.  (2)  XII.  44-56. 

Es  wird  der  Satz  hergeleitet:  So  oft  die  Elimination  von  x 
und  y  zwischen  den  Gleichungen 

wo  q  eine  ganze  Zahl  >•  1,  die  Gleichung  einer  unicursalen 
Curve  F(X,  Y)  =  0  ergiebt,  ist  es  möglich  f  ydx  durch  die  Sub- 


294  VI.  Abschnitt.    Diflfereotial-  und  iDtegralrechonDg. 

btitutioQ 

auf  das  Integral  einer  rationalen  Fanction  zurückzufahren,  und 
in  keinem  andern  Falle.  Als  Anwendung  davon  werden  die 
Bedingungen  der  Integrabilität  der  Differentiale 

x'»(a  +  hx'^y  dx,  «*" (a  +  6«"  +  c«^*)'  ^* 
untersucht,  wo  m  und  n  ganze  Zahlen,  n  positiv,  p  ein  Bruch. 

H. 

£.  Lebon.     Sur  le  calcul  de  quelques  integrales.      J.  de 

Math.  sp^c.  (3)  IL  155-lö7r  176-180. 

Die  von  Hrn.  Herrn! te  in  seinem  Gours  d' Analyse  de  TEcole 
Polytechnique  (1873)  S.  260  und  S.  360  angegebenen  Integrale^ 
deren  directe  Ableitung  er  als  unzugänglich  durch  die  gewöhn- 
lichen Methoden  bezeichnet,  sind  seitdem  öfter  behandelt  worden. 
Ausser  Stern  (J.  für  Math.  LXXVIII.  340),  den  der  Verfasser 
citirt,  sind  u.  a.  P.  da  Silva,  Steen  (F.  d.  M.  XIV.  1882.  211  u.  212), 
Studnicka,  Lindman  (F.  d.  M.  XV.  1883.  217-218),  Obrastzoff 
(F.  d.  M.  XVII.  1885.  259)  zu  nennen.  Bei  der  ersten  Methode 
benutzt  der  Verf.  die  Formel: 

vv'dx  V  .   r  rdx 


r  vu'dx v_      r   rdä 


f- 


es  ist  dasselbe  Mittel,  welches  Hr.  Steen  angewandt  hat,  näm- 
lich die  partielle  Integration.  Eine  zweite  beruht  darauf,  dass 
in  der  Gleichung 

Ndx         _    Rg>  +  Stlf 
{Pg>  +  Qipy  "    Pg>  +  Qyj 

mit  der  Bedingungsgleichung 

N  =  (Pfi'  -  ÄP')(p'  +  (OS'  -  SQ')tp* 

+  (PS  -  jpÄ)  (<^  1/;' -  V'«^')  +  (PS' — 5P' +  (?Ä' -  Ä(?')  ?></' 
die  Functionen  /2,  S,  9),  tp  passend  bestimmt  werden.  Dies  ge- 
lingt z.  B.,  wenn  die  Bedingungsgleichung  sich  nach  den  unbe- 
kannten Functionen  R  und  S  so  in  Factoren  zerf&llen  lässt,  dass 
integrable  Differentialgleichungen  fQr  sie  entstehen. 

Lp. 


Capitel  3.    Integralrecbnang.  295 

E.  PoMEY.      Sur  quelques  int^graleß  remarquableB. 

Noüv.  Ann.  (3)  VII.  191-194. 

Entgegen  einer  Aeusserung  von  Gh.  Hermite,  der,  nachdem 
er  im  Cours  d'Analyse  de  TEcole  Polytechnique  die  Typen  der 
Fanctionen  aufgestellt  hatte,  für  deren  Integration  wir  eine 
sichere  Methode  besitzen,  ausser  diesem  Bezirke  insbesondere  4 
Integral  formein  fbr  specielle  transcendente  Functionen  anführte, 
die  sich  nach  keiner  Methode  herleiten  Hessen,  zeigt  der  Ver- 
fasser, dass  auch  diese  durch  gewöhnliche  teilweise  Integration 
einfach  hervorgehen.  H. 

J.  L.  Ptaszycki.      Extrait    d'une    lettre    adress^e    k  M. 

Hermite.     Darb.  Ball.  (2)  XII.  262-270. 

Es  wird  der  Satz  bewiesen:  Damit  das  Integral 


/ 


m 


wo  R  eine  ganze,  F  eine  rationale  Function  ist,  sich  durch  alge- 
braische Functionen  und  Logarithmen  solcher  ausdrücken  lasse, 
ist  es  notwendig  und  hinreichend,  dass  R  eine  der  zwei  For- 
men hat: 


Ph.  Gilbert.      Remarques  sur   riutdgration   par   partie. 

Nonv.  Ann.  (3)  VII.  365-366. 

Sind  u  und  v  zwei  Integrale  der  Gleichung 

entsprechend  zwei  Werten  der  Constante  C,  so  kann  man  unter 
endlicher  Form  das  Integral 


/"-S"'** 


finden.    Für  constantes  g>(x')  hat  man  die  gewöhnliche  Anwen- 
dung der  teilweisen  Integration.  H. 


296  yi.AbsohDitt    Differential-  uod  IntegralrecboQDg. 

W.  Laska.     Reduction  einiger  Integrale.     Hoppe  Arch.   c^> 

VII.  110-112. 

Es  sind  die  zwei  Integrale 

r         di r         di 

J    y  t^  +  at'+l       '    ^    V  i»  +  al*+l       ' 
welche  auf  die  Form  elliptischer  Integrale  gebracht  werden.  D^ls 
erstere  stellt  sich  als  Differenz  zweier  Integrale  erster  GattuD^ 
mit  irrationalen  constanten  Coefficienten,  das  letztere  als  ein  lo- 
tegral  erster  Gattung  dar.  H. 


J.  L.  Ptaszycki.     Sur  Tint^gration  alg^brique  des  diffö- 
rentielles  algöbriques.     Acta  Math.  xi.  395-400. 

J.  L.  Ptaszycki.      üeber    die    algebraische    Integration 
algebraischer  Differentiale.    Prace  mat-fiz.  1. 81-90.  (PolDtech^, 

Chark.  Ges.  I.  61-73.  (RaesiBch.) 

J.  L.  Ptaschitzky.     Ein  Theorem  über  die  algebraischen 

Integrale.      Cbark.  Ges.  I.  74-77.  (RaBBisch.) 

Den  Gegenstand  dieser  Abhandlungen  bildet  das  folgende 
bekannte  Problem:    „Es  sei  y  mit  x  mittels  einer  algebraischen 

Gleichung   verbunden;    man   drficke   das   Integral  /  ydx  durch 

eine  algebraische  Function  von  x  aus  oder  zeige,  dass  dann  eine 
solche  Darstellung  unmöglich  ist.^  Dasselbe  ist  von  Liouville, 
Briot  u.  Bouquet,  Zeuthen,  Raffy,  Humbert  u.  a.  gelöst  worden. 

Die  Beantwortung  dieser  Frage  grttndet  der  Verfasser  auf 
den  folgenden  Satz: 

Es  sei  P  eine  ganze  Function  von  x^  welche  einer  irreduc- 
tiblen  Gleichung 

mit  ganzen  Coefficienten  genügt;  es  mögen  is,,  «^, . . .,  js»  die  Werte 
von  s  sein,  und  es  bedeute  Yj  die  Determinante 


1, 

».. 

*!. 

.  .  ., 

^1 

1, 

.  .  ., 

%                   9 

I, 

a«, 

< 

•  •  •? 

.:- 

-ydx 


G»pitel  3.    IntegralrechnaDg.  297 

Setzen  wir 

wo  D,  E  g^me  Functionen  sind,  deren  zweite  keine  vielfachen 
Wurzeln  hat,  so  besteht  der  Satz: 

„Ist  das  Integral 

/ 

algebraiseh,  so  ist 

J^dx=  j; , 

WO  1)  y  gleich  ist  dem  Producte  des  Polynoms  D  und  des 
groBsten  gemeinschaftlichen  Teilers  der  Polynome  P  und-^, 
2)  2,,  2,,  ...,  2.-.1  aus  den  Gleichungen 


(a)     X  =  -^ 


»— 1 
n 


(•  =  0, 1,2...,«-1). 
zu  bestimmen  sind. 

Will  man  also   das    aufgestellte    Problem  lösen,    so  bringe 

man  die  Function  y  auf  die  Form  -p-,  das  Polynom  J  auf 
die  Form  Z>'£,  bestimme  das  Product  von  D  mit  dem  grössten 
gemeinschaftlichen  Teiler  der  Functionen  P  und  —^ — ,  so.  er- 
hält man  auf  diese  Weise  die  Function  Y.  Man  entwickle 
weiter  die  Ausdrucke  (a)  nach  den  fallenden  Potenzen  von  x^ 
80  geben  die  ganzen  Teile  dieser  Entwickelungen  die  Polynome 
Xg,  ^, . . .,  Xn-f  Die  Coefficienten  dieser  Polynome  enthalten  m 
unbekannte  Constaoten  o,,  c„  . . .,  c^.i;  die  eine  von  ihnen  nimmt 
man  willkQrlich  an,   die   übrigen  bestimme  man  aus  der  Bedin- 


298  VI.  Abschnitt.     Dififerential-  und  Integralrechnang. 

gung,  dass 

identisch  gleich  Null  sei.    Wenn   die   Constanten '  dieser  Bedin- 
gang  gemäss  nicht  bestimmt   werden   können,   so  folgt  daraas, 
dass  das  Integral  keine  algebraische  Function  von  x  ist 
Der  Verfasser  erläutert  jene  Theorie  durch  Beispiele. 

Dn. 


Capitel  4. 
Bestimmte  Integrale. 

T,  J.  Stieltjks.     Note   sur  l'int^grale  /    f{x)  G{x)dx. 

Nouv.  Ann.  (3)  VII.  161-171. 

Es  wird  der  Satz  aufgestellt:  Ist  f{x)  eine  von  o;  =:  a  bis 
o;  =:  b  nie  abnehmende  Function,  so  ist  es  stets  möglich,  n  Con- 
stanten a?„a?„ ...,  a?„in  der Grössenfolge  o<ic,  <*,<... <a?,-<ft 
und  n-f-l  Gonstanten  a,,  a„  ...,  o^+i,  enthalten  resp.  in  den 
n  +  1  Intervallen  zwischen  den  n4-2  Grössen 

so  zu  bestimmen,  dass  man  hat: 

/  f{x)G%n{p)dx  =  a,  /  G2n{^)dx  +  a^  J  C2^•(«)<te^ — 

/n  rh 

G2n{^)dx-]ran^xJ  Gu(,^)dx, 

««-1  *ii 

« 

wo  G2»(a?)  ein  beliebiges  Polynom  höchstens  vom  Orade  2»  be- 
zeichnet. Die  Grössen  x  und  a^j.,.,an^i  werden  bestimmt  und 
der  Satz  bewiesen.  H. 


Capitel  4.    Bestimmte  Integrftle.  299 

Ph.  Gilbert.     Sur   la  convergence  des  integrales  k  li- 

mites    iofinies.      Darb.  Bnll.  (2)  XII.  66-76. 

Es  wird   durch   Beispiele   die   Möglichkeit   bewiesen,   dass 
f{x)dx  convergirt,  wenn  f{x)  bei  unbegrenztem  Wachsen  von 


ft 


a 


X  nicht  aufhört,  endliche  und  unbegrenzt  wachsende  Werte  fQr 
einzelne  q;  zu  erlangen.    Die  Beispiele  sind: 

f(x)  =  {An^nxy,  (sin'/iajji'W,  \p(x)(fi\xi*nxypi'^. 
Im  ersten  Falle  divergirt  das  Integral;  im  zweiten  convergirt  es, 
wenn  fflr  a?  =  oo 

ist,  z.  B.  wenn  q>{x)  =  r(a?),«*  (ft>-2);  im  dritten  convergirt  es, 
wenn  die  Bedingung  (3)  erfüllt  ist,  undy  V'(^+«)'^^^^®'°® 

0 

ganze  Zahl  n  eine  constante  Grenze  übersteigen  kann,  z.  B.  für 
%p(x)  =  —  logcos'/ra?,  wo  f(x)  nicht  aufhört,  unendliche  Werte 
zu  passiren,  während  im  zweiten  Falle  f(x)  ^  1  bleibt. 

H. 

W.  H.  L.  BusSBLL.     On  certain  definite  integrals. 

Lond.  R.  S.  Proc.  XLIV.  311-314. 

Fortsetzung  früherer  Untersuchungen.  Das  hier  angewandte 
Verfahren  ist  das  der  Differentiation  oder  Integration  in  Bezug 
auf  eine  Constante.  Cly.  (Lp.) 

6.  Ä.  GiBSON.      Extension    of   a    theorem   of  Abel's  in 
the  snmmation  ta  integration.     Edinb.  M.  s.  Proc.  vi.  40-42. 

Der  fraglich'e  Satz  ist  das  Theorem  III  der  Einleitung  zu  der 
Abhandlung  über  die  Binomialreihe.    (Ges.  Werke,  Bd.  I.  222). 

Gbs.  (Lp.) 

E.  Gatalan.      Rapport    sur   le   memoire:    Sur  quelques 
formules  de  caloul  integral,  par  J.  Bbaupain.   Belg.BaiL 

(3)  XVL  15-19. 


300  VI.  Abschnitt.    DiffereDtial-  uod  lotegralrechoaDg. 

Die  Integrale  von  der  Form: 

Bin^xcosfxdo;,    /  %VDß ximnxdx 

u  u 

werden  auf  Gammafunctionen  zurQckgefDhrt,  meistens  indem  die 
zu  integrirende  Function  durch  eine  Entwickelung  nach  den 
Sinus  oder  den  Cosinus  der  Vielfachen  von  x  ersetzt  wird. 

Mn.  (Lp.) 

T.  C.  SiMMONS,  J.  WoLSTENHOLME,  J.  W.  Sharpe.     So- 
lution  of  question   9324.    Ed.  Times  XLIX.  25-27. 

Zur  Herleitung  des  Integrales  (p  u.  9  positiv): 

wo  n  eine  positive  ganze  Zahl  ist,  wird  zuerst  die  Reductions- 
formel : 

^-  ==  ~l^^~Ä^^^*-'^  ==  (n-l)(n-2)    dp'^^-»)=- 
gegeben  und  (7,  in  der  Oestalt  entwickelt: 

Dasselbe   Verfahren  ist  auch   anwendbar,    wenn  im  Zähler 
des    Integranden   noch   tg'*'*^   steht.     Darauf  wird   nach    einer 

zweiten  Methode  fttr  Vg.tga;  der  Wertj/p-tga  substituirt. 

Lp. 

Ch.  Märay.      Valeur    de    l'intdgrale    d^fitiie  J     «-*•  dx 


u 


d^duite   de    la    formale    de  Wallis.     Darb.  Bull.  (2)  xii. 

174-176. 

Der  Gang  des  Beweises  beginnt  mit  der  Transformation  von 
S^  =  f^x^e-'^dx  in  Pf^,  wo  T^  =y  («y«-y)     aT"  ^y^      ^Qg 


Capitel  4.    Bestimmte  Integrale.  301 

einer  Grössenscala  der  T  geht  f&r  die  S  eine  Ungleichung  der 
Form  herror: 

LS,  <  MS^  <  NS, 

woraus  durch  Uebergang  zur  Grenze  eine  Gleichung  der  Form 
Sl  =  QSl  entsteht.  Einer  der  Factoren  von  Q  ist  nach  der 
Wallis'schen  Formel  =  n,  S,  ist  bekannt  =  \^  und  es  ergiebt  sich 


e"^  dl. 

St.  Pötersboarg.  Leipzig.  Voss.  XXVII -h  98  S.  gr.  8<>. 


S.   PiNCHBRLE.     Sopra  certi  integrali  definiti.    Rom.  Acc.L. 

Rend.  (4)  IVi.  100104. 

Die  Arbeit  behandelt  die  formelle  Bedeutung  der  Integrale 
von  der  Form 


Je-*'q){t)dt 


0 


für  den  Fall  der  Divergenz  an  der  untern  Grenze,  indem  dann 
für  e~"'*  substituirt  wird: 

insbesondere  in  Anwendung  auf  das  Integral 

/V^'ÄCl-e"''''')''''* 

als  Verallgemeinerung  des  Euler'schen  Integrals  erster  Gattung. 

H. 


G.  Giuliani.    Agginiite  ad  una  memoria  de  Sig.  Kummer. 

Batt.  G.  XXVI.  234-250. 


302  ^I-  Abschnitt.    Differeotial-  and  Integralrechnaog. 

Setzt  man 

n 

ü»  =  /    cos*-*ft>co8r— ö-tgwJco8fi€ödai, 

0 

n 

F„  =  /     C08*~"*iü8inr-7^tga>j8innßidcö, 

80  genOgt,  wie  Kummer  im  J.  f&r  Math.  XVII.  bewie8en  hat, 

a=  Un-Vn 
der  linearen  Oleichung  zweiter  Ordnang: 

(1)       4a.^-4(A-.l)-*-(.  +  2«).=0, 

desgleichen  dasselbe  Integral  von  0  bis  n.    Hieraus  leitet  der 
Verfasser  die  Gleichung  vierter  Ordnung 

d^ü  d^U  d^U 


-2x(Ä-2)-^  +  (n«  +  l-Ä+^)ü  =  0 


ab,  welcher  U^  und  F„,  mithin  i4t/„  +  BF„  genügen.  Zur  Unter- 
suchung weiterer  Eigenschaften  von  Un  und  F«  werden  cosnoi 
und  sinitoi  nach  Potenzen  von  cos cti  entwickelt;  die  Terme  von 
Un  und  Vn  sind  Integrale,  die  Serret  und  Bierens  de  Haan  be- 
rechnet haben.  Mit  Anwendung  einer  Reihenentwickelung  von 
Dini  (Serie  di  Fourier  etc.  p.  112)  wird  gefunden: 

(sc  \  4     00 

-7r-tgw  )  =  —  ^  F2„sin2iiw. 

Es  wird  bewiesen,  dass  (/»  und  F«  ffir  n  =  oo  den  Grenzwert 
0  haben.     Ferner  wird  gefunden: 

dann,  wenn  man  Un{x)  für  £/»  schreibt: 

-|-  (f(x)  -  f  (0))  =  i  f'n^n)  U,(n)dn  +  £  f\Xxn)  U.{n)dn. 

Zuletzt  wird  die  Function 

(p(a,ß,x)  =  limjp(a,  m,  /?,  ^)  («t  =  oo) 


Gapitel  4.    Bestimoite  Integrale.  303 

untersQcht,   in   welcher  Kummer   die  zwei  Lösungen  der  durch 
die  Sabstitation  «  =  tr^y  transformirten  Gleichung  (1)  darstellt. 

H. 

M.    Lrrch.      Demonstration    ^l^mentaire    d'une    formule 
de  Raabe.    Batt.  Q.  xxvi.  39-40. 
Die  Formel  lautet: 


u 


logr(^x  +  ü)dx  =  ulogM  — M  +  il0g27f. 


Sie  wird  hier  auf  sehr  einfache  Weise  hergeleitet.  U. 


Ch.  Hkrmite.  Demonstration  nouvelle  d'une  formule 
relative  aux  integrales  Eul^riennes  de  seconde  esp^ce. 
(Extrait  d'une  lettre  addressde  k  M.   Lerch.)     Prag.Ber. 

365-366. 

Es  wird  aus  einer  Formel  von  Cauchy  die  Gleichung  her- 
geleitet: 

logrc«)  =  J-i\oga+f  (^  _  1+1)^, 

—OD 

wo  /  das  Integral  von  Raabe  bezeichnet.  H. 


J.  C.  Malet.     On  certain  definite  Integrals.    AoualidiMat. 

(2)  XVI.  277-290. 

Entwickelt  man  (1  — &sin'^)~^  im  Ausdruck  zur  Linken  der 
folgenden  Gleichung  nach  Potenzen  von  k  und  vollzieht  nach 
Integration  die  Summirung  mittelst  der  Gauss'schen  Function  F, 
so  ergiebt  sich: 

*  cos"*^8in»^rf^ 


/ 


u 


(l-ftsin'^)p 


P  fn+1    „  n+l  n 

2  2  r  ''    C08"*^;»sin^^^d;» 

0>'  =    "^^    ;  n'  =  2p-l-,  m'  +  «'  =  «.  +  «). 


304  VI.  AbBcbnitt.    DiffeMotial-  und  lotegralrechonog. 

Hierin  wird  speciell  tn  +  n  =:  1  und  p  =  ^  gesetzt;  dann  erhält 
man: 

^  IL 

2 COS"** sin*-'« *d^       ^  m  +  1  ^  2--m    r^     eos&d» 


und  wenn  man  dann  nach  k  differentiirt: 

n 

"^i^f  cos'-^sini-^'drf^-^C*)  = 

0 

n 

^  m  +  1    ^  2  — m  (r,      ,,         ^.,   /^^    cos^d*     ,  ,^        *) 


z/(*)  =  yi-Äsin'^. 
Diese  zwei  Formeln  sind  die  Quelle  sehr  vieler  bemerkenswerter 
neuer  Relationen   elliptischer    Integrale,    die   daraus   entwickelt 
werden.  H. 

P.  A.  Nekrassoff.      Der  Ausdruck   der  Wurzeln  einer 
trinomischen   Gleichung    durch    bestimmte    Integrale. 

Mosk.  math.  Samml.  XIII.  739-748.  (RaesiBcb.) 

Es  werden  mit  HQlfe  der  bestimmten  Integrale  die  Ausdrücke 
für  die  Wurzeln  der  Gleichung  «*" — pti"  — qr  =  0  und  die  Be- 
dingungen der  Gültigkeit  dieser  Formeln  untersucht.  Die  hier 
gegebenen  Formeln  weichen  etwas  von  den  Formeln  ab,  die  Hr. 
Heymann  (Math.  Ann.  Bd.  XXVIII)  gegeben  hat.  Wi. 


P.    Mansion.       Sur    la    longueur    d'une    ligne    courbe. 

Mathesis  YIH.  262-264. 

Die  Beweise  von  Jordan  und  von  Goedseels  werden  durch 
den  folgenden  Hülfssatz  vervollständigt:  Der  Abstand  zwischen 
zwei  willkürlich  gewählten  Punkten  auf  jedem  Gurvenbogen,  zu 
welchem  eine  Seite  eines  Polygons  von  hinreichend  kleinen 
Seiten  als  Sehne  gehört,  liegt  unterhalb  einer  vorgegebenen 
Grösse  d.  Die  Curve  wird  als  nicht  geschlossen,  ohne  Schleife 
und  continuirlich  vorausgesetzt  Mn.  (Lp.) 


Capitel  4.    BeBtimmte  Integrale.  305 

E.  GoEDSBELs.     De  la  longueur  d'iine  ligne.      Beig.  Ball. 

(3)  XVI.  86-92. 
P.    MaNSION.       Rapport.       ibid.  120-124. 

Auf  eine  andere  Art  als  Scheeffer  (Acta  Math.  V.  49-92,  F. 
d.  M.  XVI.  1884.  338),  dessen  Beweis  nicht  allgemein  ist,  und 
als  Hr.  C.  Jordan  (Cours  d'analyse,  III.  Note,  n".  46-51)  be- 
grQndet  der  Verfasser  den  folgenden  Satz:  Alle  veränderlichen 
Vielecke  mit  ohne  Ende  abnehmenden  Seiten,  die  einer  continuir- 
iichen  Curve  eingeschrieben  sind,  besitzen  Umfange,  die  einer 
endlichen  oder  unendlichen  Grenze  zustreben.  Man  vergleiche 
einen  Commentar  zu  dieser  kleinen  Note  in  Mathesis  VIII.  262-264. 

Mn.  (Lp.)* 

E.  OoEDSBBLS.     De  la  longueur  d'une  ligne.       Mathesis 

VIII.  Soppl.  V.  12  8. 

Vergl.  Belg.  Bull.  (3)  XVI.  •20-24,  86-92.  Mn, 


E.  Gbgghbgan.     Problem  by  Vincentio  Viviani.     Nature 

XXX  VIII.  78. 

Kurze  Lösung  der  bekannten  Aufgabe.  Lp. 


E.  Oekinghaus.     Zur  Kectificalion  der  Hyperbel.    Hoppe 

Arcb.  (2)  VI.  223-224. 

Der  Bogen  s  der  Hyperbel  wird,  um  eine  Formel  aus  der 
Abhandlung  Band  IV.  No.  V.  anzuwenden,  in  der  Form  ent- 
wickelt : 

2n  /^.     nu    .      q*        ,     nu  q^  2nu 


-(-f-ÄT'O«. 
H. 


H.  Pktrini.     Om  en  Integral  av  Crofton.    Zeuthen  Tid«.  (5) 

VI.  39-52. 
roitnhr.  i.  Ibtlu  XX.  1.  20 


306  ^^-  Abschnitt.    Differential-  und  Integralrechnung. 

Ein  Beweis  des  Satzes  von  Crofton,  dass 

wo  /i  ein  Flächenelement  einer  Ebene,  oi  den  Winkel  der  beiden 
Tangenten,  welche  von  dem  Flächenelement  an  eine  geschlossene 
convexe  Curve  gezogen  werden  können,  L  die  Länge  der  Cuftc, 
S  das  von  der  Curve  eingeschlossene  FlächenstUck  bedeuten,  und 
die  Integration  über  die  ganze  Ebene  ausserhalb  der  Curve  aus- 
gedehnt wird.  Dieser  Satz,  welchen  Crofton  durch  Betrachtung^en 
aus  der  Wahrscheinlichkeitsrechnung  bewiesen  hat,  wird  hier 
mittels  rein  analytischer  Betrachtungen  bewiesen.  Der  Gang  des 
Beweises  (welcher  sonst  sehr  sinnreich  ist),  lässt  sich  nicht  leicht 
wiedergeben.  Uebrigens  hat  J.  A.  Serret  schon  früher  einen 
analytischen  Beweis  des  besprochenen  Satzes  geliefert. 

V. 


E.  O.  Bermann.      Zur    Lehre    vom    mittleren    Kadias. 

Pr.  Gymo.  Liegnitt. 

Der  Aufsatz  knüpft  an  die  vom  Landwirt  H.  von  Thünen 
in  Bezug  auf  die  Dttngerfuhren  unter  dem  Namen  „mittlere  Ent- 
fernung des  Ackers  vom  Hofe''  gestellte  und  geometrisch  gelöste 

Aufgabe  an,  welche  in  der  Berechnung  von /  rdir,  wo  r  den 

Radinsvector  des  Elements  dw  hinsichtlich  der  Ackerfläche  fr 
bezeichnet,  ihren  Ausdruck  findet.  Der  Sinn  der  Aufgabe  ändert 
sich  nicht,  wenn  tr  statt  einer  ebenen  Fläche  eine  Linie,  eine  krumme 
Fläche  oder 'einen  Körper  bedeutet.  Das  Gegenwärtige  beschränkt 
sich  auf  Fälle,  wo  vd  ebene  Linie,  und  zwar  Gerade,  Kreis,  Kegel- 
schnitt ist,  bleibt  dagegen  bei  der  ursprünglichen  Aufgabe,  bei 
der  nach  jeder  Einheit  von  dir  gleichviel  Strahlen  gehen,  nicht 
stehen,  sondern  zieht  zwei  weitere  Annahmen,  dass  die  Anzahl 
der  Strahlen  dem  Abstände  begrenzender  Parallelen,  und  dass 
sie  den  Sectoren  proportional  sei,  in  Betracht.  Die  so  ge- 
schaffene Sammlung  ausgeführter  Quadraturen  vermehrt  um 
einiges  dasjenige,  was  Grunert  und  Drobisch  bereits  geliefert 
haben.  H. 


Capiiel  4.    Bestimmte  Integrale.  30T 

P.  Mansion.      Sur   le  calcul   approch^    d'une    integrale 

d^finie.      Brax.  S.  sc.  XII,  A.  63-65. 

Die  Integrale: 


(1  0  0 


erhält  man  leicht  in  angenäherter  Art,  wenn  man  beachtet,  das8 
das  zweite  zwischen  den  Banminhalten  eingeschlossen  ist,  welche 
zwischen  der  Oberfläche  z  =  c-(**+y'),  den  drei  Coordinatenebenen 
und  den  Cylindern  liegen,  deren  Gleichungen 

a;'  +  y'  =  r',  7j(a?* +  y»)  =  4r' 
sind.  Mn.  (Lp.) 

F.  G.  Teixbira.     Extrait  d'une  lettre  k  M.  Hermite. 

Darb.  Bull.  (2)  XII.  288-290. 

Aus  der  Identität 
/  €p^Q^^dx  I  \p^(x)dx  —  \    I  ip{x)\p{x)dx\    = 

a  a  a 

iy    *»y   [(jp(a!)i//(y)-y(y)^(a!)]  dy 

a  a 

ersieht  man,  dass 

/  g>{x)^(x)dx  <  j    /  q>^(x)dx  1  \l;\x)dx  j  . 

a  a  a 

Im  Falle  aber,  wo  q>(x)  und  tp(x)  zugleich  wachsen  oder  ab- 
nehmen, hat  man  auch,  wie  Tschebyscheff  auf  analogem  Wege 
gezeigt  hat: 

q>(^x)tp{x)dx>  I  g>(x)dx  j  tp(x)dx. 

a  a  a 

Beides  lässt  sich  nun  verbinden,  um  eine  obere  und  untere 
Grenze  des  Integrals  zur  Linken  zu  erhalten.  H. 


G.  d'Arone.     Interne    ad  un   teorema   di  Tchebychew. 

Balt.  G.  XXVI.  61-64* 

Tschebyscheff  hat   bewiesen,    dass,    wenn   U  und  K*  im  un- 

20* 


308  VI.  Abschoiti    Differential-  und  IntegralrechouDg. 

veränderlichen  Sinne  mit  x  yariiren,  die  Grösse 

(1)       f^VYdx'-ßvdx  f\dx 

0  0  *"  Ü     . 

positiv  oder  negativ  ist,  je  nachdem  \J  und  Y  in  gleichem  oder 
ungleichem  Sinne  variiren.  Der  Verfasser  gewinnt  nun  darch 
leichte  Transformation  der  Summen,  deren  Grenzwerte  jene 
drei  Integrale  bekanntlich  darstellen,  einen  Ausdruck  fQr  die 
Grösse  (1),  welcher  nicht  nur  den  genannten  Satz  unmittelbar 
kund  giebt,  sondern  manche  näheren  Angaben  über  dieselbe  er- 
schliessen  lässt.  Oass  die  Grenzen  0  und  1  nur  der  Einfachheit 
wegen  statt  beliebiger  constanter  Grenzen  gewählt  sind,  ist  selbst- 
verständlich. Der  Ausdruck  lässt  auch  sogleich  erkennen,  dass 
die  Bedingung  unveränderlichen  Sinnes  der  Variation  von  ü,  V 
überflüssig  ist.  Ferner  giebt  er  die  Grenzen  0  und  \nf>  für  die 
Grösse  (1),  wo  i«  =  f/(l)-l/(0)  und  t?  =  r(l)  — F(0)  gesetzt 
ist  Diese  Grenzen  lassen  sich  einander  noch  näher  rücken, 
wenn  man  die  geringste  und  stärkste  Declivität  a^,  a,  und  h^^h^ 
der  Curven  £^  =  0  und  F  =  0  in  Betracht  zieht;  die  Grösse  (1) 
ist  dann  enthalten  zwischen  iV^o^o  ^^^  i^7<>i^i*  ^- 


N.  N.  ZiNiNE.     Ueber  eine  Aufgabe  in  der  Theorie  der 

mehrfachen    Integrale.       Warsch.  üniv.  Nachr.  1888.  4.  (Rassisch.) 

Der  Verfasser  benutzt  die  Formel 

dxj  (p(x,y)dy  =  J  dyj   q^{x,y)dx 

0  0  'o  y 

zur  Reduction  eines  n-fachen  Integrals,  in  welchem  die  Integra- 
tion auf  alle  positiven  Werte  der  Veränderlichen  ausgedehnt  ist, 
die  der  Bedingung  x^-\-x^'\ f-a:„<l  genügen.  Diese  Re- 
duction wird  dann  angewandt  zur  Ermittelung  der  Werte  folgen- 
der n- fachen  Integrale: 


f  x^r'^,-' 


/-i 


x^-^a^-^   ...   Xn    dx^.ix^  ...dxn^ 


/ 


X  t       Xtt         •  •  .    Xf^      \  X.  "~"  X.  ~"~~  Xa  ~~~ ...  — •  iCf^J 


{a  +  ßx^+ym^  +  '-'  +  ümnl"  dx,dx, . . .  dx^, 


GapiteM.    Beatiminte  Totegrale.  309 

y       '        '  \      1 — x^—x^ a?^  •    ^     *     ' 

unter  der  Bedingung  o?, -f^aH 1-««  <  1,  a;,,a:„...,a:«  >0.  • 

•  Wi. 

W.  P.   Ermakoff.      Eine  Aufgabe    für  junge    Gelehrte. 

Ghark.  Ges.  XVIII.  104-105.  (Raseisch.) 

Es    sind    drei    Functionen    P,  Q,  A    dreier   Veränderlichen 
^y  y^  ^  gegeben;  es  soll  eine  Oberfläche  gefunden  werden,  welche 

folgende  Eigenschaft  hat:   Das  Integral   /  (Pdx-^-  Qdy  +  Udz)^ 

auf  irgend  einer  Linie  dieser  Oberfläche  zwischen  zwei  gegebenen 
Punkten  genommen,  soll  von  dem  Integrationswege  unabhängig 
sein.  •  Wi. 

J.  J.  Stambach.     Die  Planimeter  Coradi,   ihre  Theorie, 
Constructiou  und  Genauigkeit.     Stuttgart.  K.  Wittwer,  1889. 

8»  29  S. 

* 

Dieser  Separatabzug  aus  der  Schweizerischen  Bauzeitung 
macht  auf  einige  neue  Planimeterconstructionen  aufmerksam, 
bringt  eine  einfache,  von  der  höheren  Mathematik  sehr  wenig 
voraussetzende  Theorie  der  Planimeter  und  erörtert  die  Frage, 
welchen  Grad  der  Genauigkeit  wir  bei  Flächenberechnungen 
erwarten  dürfen,  wie  sie  in  der  Praxis,  insbesondere  im  Ver- 
messungswesen,  vorkommen.  Mathematisch  Wichtiges  enthält  der 
Aufsatz  nicht;  eine  umfassende  Theorie  der  Planimeter  gab  vor 
längerer  Zeit  das  Buch  von  A.  Amsler:  „Ueber  den  Flächen- 
inhalt und  das  Volumen  durch  Bewegung  erzeugter  Gurven  upd 
Flächen  und  über  mechanische  Integrationen^,  Schaffhausen  1880, 
auf  welches  auch  hier  verwiesen  wird.  M. 


E.  DB  LA  NoB.  Theorie  g^om^trique  du  planim^tre 
polaire  ä  Suspension  ind^pendante,  de  Hohmann  et 
Coradi,  et  du  planim^tre  roulant  de  Coradi.      Nancy 

(1887). 


310  VI.  Abschoitt.    Differential-  nod  Intei^ralreehouDg. 


Capitel  5. 
Gewöhnliche  Differentialgleichungen. 

E.  GouRSAT.     Sur  les  invariants  des  ^quations  diffören- 

tielles.     C.  R.  CVII.  898-900. 

Der  Verfasser  giebt  den  bisher  vermissteil  allgemeineii  Be- 
weis für  die  Existenz  der  Invarianten  einer  Differentialgleichung 
beliebiger  Ordnung  und  Grades.  Er  stützt  sich  dabei  auf  die 
von  Herrn  Lie  in  seinem  Werke  „Theorie  der  Transformatians- 
gruppen'^  erlangten  Resultate.  Hr. 


L.  Königsberger.    Der  Cauchy'sche  Satz  von  der  Existenz 
der   Integrale    einer   DiflFerentialgleichung.     J.  für  Math. 

CIV.  174-176. 

Die  gegebene  Differentialgleichung  sei 

wo  die  Potenzreihe  rechts  auch  noch  fttr  Werte  von 

convergiren  soll,  die  >  1  sind,  und  wo  für  a:  =  0  vorgeschrieben 
sei  y  =  0,  y'  =  0,  . . .,  y(™-')  =  0  (auf  diesen  Fall  kann  man 
immer  durch  eine  rationale  Substitution  zurückkommen).  Ferner 
mögen  die  absoluten  Beträge  der  A  die  Grenze  M  nicht  über- 
schreiten; es  wird  alsdann  (1)  verglichen  mit 

(2)        71^  =  itf(l  +  2§-f  3r  +  4r  +  --0  (l  +  i7  +  i?'+-0 

.  (1 +  j?+i?' +•••)•••(!  + 9+ ^'+'*0 

(wo  die  letzten  gleichen  Potenzreihen  m-mal  wiederholt  sind). 
Die  letzte  Gleichung  liefert 

(l_,)m  +  l      _^  1  _       Äf.5 


m+1         •    m  +  1  1~§' 


Gapitelö.    Gewöholiolie  DiffereDtialgleiohangen.  311 

also 

V  =  f  (I). 

und  hieraus  folgt  durch  bekannte   Schlüsse   die    Existenz   eineß 
Integrals 

der  Gleichung  (1)  in  der  Umgebung  von  a:  =  0.  P.  6. 


L.  Königsberger.  üeber  algebraische  Beziehungen 
zwischen  den  Fundamentalintegralen  und  deren  Ab- 
leitungen für  eine  irreductible  lineare  homogene  Diflfe- 
rentialgleichung  zweiter  Ordnung.    Math.  Ann.  xxxi.  75-84. 

Es  sei  die  irreductible  Differentialgleichung 


dx^     '  "^  '    dx 

gegeben,  so  kann  zwischen  zwei  Fundamentalmtegralen  derselben 
und  deren  Ableitungen  nur  dann  eine  algebraische  Beziehung 
stattfinden,  wenn  f,(rr)  der  logarithmische  Differentialquotient 
einer  algebraischen  Function  ist,  und  dann  ist 

». »;  -  y,  y\  =  «e-/^-^'^"^ 

die  einzige  algebraische  Relation.  Hr. 


L.   Königsberger.       üeber     algebraische     Beziehungen 
zwischen   Integralen    linearer    Differentialgleichungen. 

Math.  Ado.  xxxi.  220-226. 

sei  eine  lineare  Differentialgleichung  m^'  Ordnung  mit  algebrai- 
schen Coefficienten ;  es  wird  die  Frage  erörtert,  ob  ein  integral 
derselben  eine  algebraische  Function  eines  anderen  Integrals 
und  der  m — 2  Ableitungen  von  der  Form 

sein  kann,  wenn  y^  nicht  schon  einer  algebraischen  Differential- 
gleichung Ton  niederer  Ordnung  als  der  m^^  genügen  soll.  Lässt 
man  zunfichst     in    die    fragliche    Beziehung    die   Ableitungen 


312  VI.  AbBchnitt.    Differential-  uod  lotegralreehnaog. 

nicht  eintreten,  so  ergiebt  sich,  dass  nur  dann  y,  =  ^(^i^i)  (** 
algebraische  Function)  sein  kann,  wenn  die  Gleichung  (1)  ein 
algebraisches  Integral  17  besitzt,  und  zwar  ist  dann  die  Beziehung 
von  der  Form 

y»  =  cy^+fj  (c  eine  Constante). 
Im  übrigen  wird  die  allgemeinere  Frage  für  tu  =  3  in  folgen- 
der Weise  erledigt:  Die  Beziehung  y,  =  ^(a?,y,,y',)  (F  algebrai- 
sche Function)  findet  nur  dann  statt,  wenn  die  Differential- 
gleichung dritter  Ordnung  drei  Fundamentalintegrale  von  der 
Form 

besitzt,  worin  c  eine  Constante,  f  und  g  beliebige  algebraische 
Functionen  von  x  sind  und  a,,  a„  O3  die  drei  Lösungen  der  ku- 
bischen Gleichung 

a* — a^Ci+  -ö-)— Cj  =0  (c^,  c,  Constanten) 

sind,  und  zwÄr  hat  dann  jene  Beziehung  die  Form  y,  =  fy[  -}-  gy^ . 

Hr. 

L.  Königsberger.  Ueber  die  Erniedrigung  der  Ordnung 
algebraischer  Differentialgleichungen  mit  Hülfe  be- 
kannter  Integrale.      Math.  Add.  XXXI.  302-308. 

Ist  die  algebraisi^he  Differentialgleichung  m^^'  Ordnung 

•yW  =F(a:,y,y',  ...,y(— »)) 
gegeben,    so  handelt    es   sich  darum,    wie    sie   beschaffen  sein 
muss,  damit  sie  durch  eine  Substitutionsgleichung  von  der  Form 

worin  y,  ein  particuläres  Integral  von  (1)  bedeutet,  auf  eine  mit 
Adjungirung  von  y,  und  dessen  Ableitungen  algebraische  Diffe- 
rentialgleichung (m  —  1)'®'  Ordnung  für  » 

reducirt.  wird.  Die  bezügliche  Untersuchung,  die  offenbar  die 
Verallgemeinerung  der  bekannten  Lagrange'schen  Reduction  der 
linearen  Differentialgleichung  zum  Ziel  hat,  wird  für  m  =  2 
durchgeführt  und  ergiebt  folgenden  Satz,  der,  wie  bemerkt  wird. 


Oapitel  5.    QewöhnUohe  DiffereDtialgleiobangeo.  313 

aaf  algebraische  Differentialgleichungen  beliebiger  Ordnung  über- 
tragbar ist:  Unter  allen '  algebraischen  Differentialgleichungen 
zweiter  Ordnung,  die  nicht  unmittelbare  algebraische  Zusammen- 
setzungen Yon  Differentialausdrflcken  erster  Ordnung  und  deren 
Differeotialquotienten  sind,  liaben  nur  die  linearen  Differential- 
gleichungen zweiter  Ordnung  die  Eigenschaft,  dass  sie  mit  Hülfe 
eines  Integrals  auf  algebraische  Differentialgleichungen  erster 
Ordnung  reducirt  werden  können.  Hr. 


L.  KöNiGSBERGER.  üebsr  die  für  eine  homogene  lineare 
Differentialgleichung  dritter  Ordnung  zwischen  den 
Fundamentalintegralen  und  deren  Ableitungen  statt- 
findenden algebraischen  Beziehungen.      J.  fär  Math.  Glll. 

274-320. 

Im  einleitenden  Teil  wird  folgender  auf  beliebige  algebraische 
Differentialgleichungen  mit  x  als  unabhängiger  und  y  als  ab- 
hängiger Veränderlichen  bezügliche  Satz  entwickelt:  Wenn  ein 
Integral  derselben  eine  irreductible  algebraische  Function  to  von 
x,y,yj,...ist,  wo  y^  ein  anderes  Integral  bedeutet,  welches  nicht 
schon  einer  Differentialgleichung  niedrigerer  Ordnung  genügt, 
so  lassen  -sich  die  unendlich  vielen  Integrale  in  Gruppen  von  der 
Form  ordnen 

^n  ^(p^iVi^iii  •  •  •)»  ö>'(x,J7,,iy;,  . .  .),  . . ., 

WO  ft>«  die  x-fach  iterirte  Function  to  bedeutet.  Die  Anzahl  der 
Elemente  einer  Gruppe  ist  im  allgemeinen  unendlich  gross;  ist 
sie  in  einer  Gruppe  endlich,  so  dass  z.  B.  (o^(x^i]i,^[j  •  •  •)  =  %? 
dann  enthält  jede  Gruppe  gleich  viele  Elemente.  Ist  die  Diffe- 
rentialgleichung linear  homogen  von  der  m^^"  Ordnung,  so  ist  die 
Anzahl  der  Gruppen  endlich  <  m,  und  ftlr  die  Elemente  einer 
Gruppe  ergiebt  eine  höhere  Iterirung  als  die  (l — ly®  der  Func- 
tion (o  (A^m)  nur  eine  lineare  Function  der  vorangehenden  Ele- 
mente derselben  Gruppe.  Hiervon  wird  u.  a.  eine  Anwendung 
gemacht  auf  die  Untersuchung  der  Möglichkeit  einer  Beziehung 


314  VI.  AbsohDÜt.    Differential«  und  lotegralreehonng. 

wo  y^  and  y,  Integrale  einer  irredactiblen  linearen  Differential- 
gleichung dritter  Ordnung  und  f  eine  algebraische  Function  be- 
deutet. Es  zeigt  sich  als  notwendige  Bedingung  hierf&r,  dass 
die  Gleichung  zur  Fuchs'schen  Klasse  gehöre.  Darauf  geht  der 
Verfasser  zur  Behandlung  des  eigentlichen  Gegenstandes  der 
vorliegenden  Arbeit  Ober,  betreffend  die  möglichen  allgemeinen 
Relationen,  welche  zwischen  den  particulären  Integralen  und 
deren  Ableitungen  einer  linearen  homogenen  Differentialgleichung 
dritter  Ordnung  y'"  +  p,y"  +  P3y'+Piy  =^  0  stattfinden  können. 
Damit  eine  algebraische  Beziehung  zwischen  der  unabhängigen 
Variablen  x^  drei  Fundamentalintegralen  und  deren  Ableitungen 
besteht,  ist  es  notwendig  und  hinreichend,  dass  die  mit  Htllfe  eines 
dieser  Integrale  abgeleitete  lineare  homogene  Differentialgleichung 
zweiter  Ordnung  in  der  reducirten  Form  mit  Adjungirung  dieses 

Integrals,  dessen  Ableitungen  und  der  Function  e^^'^  reductibel 
ist.  Die  gesuchten  Relationen  sind  bekannt,  wenn  man  die 
Differentialgleichungen  erster  Ordnung  aufstellen  kann,  denen  die 
Integrale  der  Differentialgleichung  zweiter  Ordnung  genügen. 
Die  Frage  der  Reductibilität  einer  Differentialgleichung  zweiter 
Ordnung,  auf  die  so  die  vorliegende  Untersuchung  zurQckgefOhrt 
ist,  wird  nun  in  der  verallgemeinerten  Fassung,  dass  Integrale 
verschiedener  algebraischer  Differentialgleichungen  beliebiger 
Ordnung  adjungirt  sind,  behandelt.  Für  den  vorliegenden  Fall 
ergiebt  sich  zur  näheren  Feststellung  der  notwendigen  und  hin- 
reichenden Bedingung  ftlr  die  Existenz  einer  Relation  gedachter 
Art,  dass  die  erwähnte'  Differentialgleichung  zweiter  Ordnung 
entweder  ein  algebraisches  Integral  besitzen  muss,  oder  dass  zwei 
und  nur  zwei  ihrer  Fundamentalintegrale  mit  Adjungirung  der- 
selben Grössen  linearen  homogenen  Differentialgleichungen  erster 
Ordnung  genügen,  oder  dass  endlich  alle  ihre  Integrale  solchen 
genügen  müssen.  Ur. 


L.   FüCHS.       Zur     Theorie     der     linearen     Differential- 
gleichungen.     Berl.  Ber.  1115-1126,  1273-1290. 

Bildet   man   aus   n  von  einander  unabhängigen  Integralen 


Gapitel  5.    Gewöhnliche  DifferentialgleichnngeD.  315 

¥n  y^y  •••»  Vn  dei*  Differentialgleichung  2«'"  Ordnung  mit  ratio- 
nalen Coeffieienten 

,.  2n(2n-l) ...  (n+l)   r,  ,       .       , 

die  p  =  — ^ — ^ — jf i — - — -  Determinanten 

1 .  i? ...  n 


yM  .  .  .  y(«0 


y»    •  •  •  y« 


(xp  ...,  Xn  eine  Combination  zu  je  n  aus  den 
Zahlen  0,  1,  2,  ...,  2n-l), 


die  mit  fi^,  tij,  ...,  u,..i  bezeichnet  seien,  so  genügen  dieselben 
im  allgemeinen  einer  Differentialgleichung  v^'  Ordnung 

worin  P,,  ...,  Py  rationale  Functionen  von  x  bedeuten.  Es 
wird  vorausgesetzt,  dass  die  Ordnung  derselben  nicht  niedriger 
als  y  ist,  wofür  notwendig  und  hinreichend  ist,  dass  ein  gewisser 
hier  nicht  wiederzugebender  Ausdruck  als  Function  von  x  nicht 
identisch  verschwindet.  Alsdann  lässt  sich  eine  quadratische 
Form 

wo  Paß  rationale  Functionen  von  x  sind,  bilden,  von  der  Eigen- 
schaft, dass  sie,  mit  c^**  multiplicirt,  einer  Constanten  gleich 
wird,  wenn  man  für  u  ein  beliebiges  Integral  der  Gleichung  (2) 
einsetzt.  Der  Wert  der  Constanten  ist  von  den  Anfangswerten 
des    Integrals    abhängig.      Transformirt    man    die    Differential-  - 

gleicbung  durch  die  Substitution  u  =  e~^J^'^t^  so  ist  die  ent- 
sprechende quadratische  Form  Z'  in  /  und  den  Ableitungen  von 
/  selbst  eine  Constante  für  ein  beliebiges  Integral  der  Gleichung 

9Z' 
und    M  =   p  y_^    ein  Multiplicator  der  Gleichung.     Z'  lässt  sich 

auf  eine  bemerkenswerte  Gestalt  bringen,    worin    nur    die  Qua- 
drate   linearer  Functionen   von    (   und    ihrer   Ableitungen   vor- 
kommen.    In    der    zweiten  Mitteilung    handelt   es   sich  um  die« 
Frage,  in  welchem  Falle. die  Gleichung  (2)  reductibel  wird  nach 


316  ^I*  Abichnitt.    DifTereDtial*  und  Integralreebniiog. 

der  von  Herrn  Frobenius  (J.  fttr  Math.  LXXVL  236,  F.  d.  M.  V. 
1873.  176)  eingeführten  Festsetzung  dieses  Begriffs.  Hierftlr 
wird  folgender  Satz  entwickelt:  Wenn  die  Differentialgleichung 
(1),  in  deren  Coefficienten  ein  Parameter  k  auftritt,  ein  Funda- 
mentalsystem von  Integralen  y,,  y,,  ...,  yu  besitzt  von  der  Be- 
schaffenheit, dass  in  dem  ganzen  Verlaufe  der  Variabein  ^  die 
Gleichungen  bestehen 

(3)  -%-  =  A,y.  +  A,y;  +  ...  +  ^^.-lyj^-»    (a  =  1,  2,  ...,  2«), 

wo  il^,  i4j, ...,  iisn-1  rationale  Functionen  von  x  sind,  dann  ist  die 
Differentialgleichung  (2)  reductibel.  Diese  Eigenschaft  ist  fClr  die 
Differentialgleichungen  (1),  die  die  genannte  Bedingung  erfüllen, 
fundamental.  Zu  ihnen  gehören,  wie  nachgewiesen  wird,  die  Diffe- 
rentialgleichungen 2n^^^  Ordnung,  welchen  die  Periodicitätsmoduln 

der  hyperelliptischen  Integrale  / -p==  erster  und  zweiter  Gat- 

tung  genügen,  die  der  Verf.  im  J.  für  Math.  LXXI.  91  (F.  d.  M.  IL 
1870.  248)  aufgestellt  hat.  ()p(js,  x)  ist  eine  ganze  rationale  Func- 
tion von  z  und  x  und  zwar  vom  (2n-fl)'®"  Grade  in  ä.  .Es 
zeigt  sich  nun,  dass  die  Relationen  zwischen  den  Periodicitäts- 
moduln, welche  zuerst  Herr  Weierstrass  aus  dem  Satze  von  der 
Umkebrung  von  Parameter  und  Argument  hergeleitet  hat,  sich 
als  unmittelbare  Folgerungen  der  Reductibilität  der  entsprechen- 
den Differentialgleichung  y'®'  Ordnung  für  die  aus  den  Integralen 
und  ihren  Derivirten  nach  x  gebildeten  Determinanten  darstellen. 
Als  Parameter  k  dient  hier  ein  Verschwindungswert  der  Func- 
tion ^(a,  x).  Die  Ausführung  der  erforderlichen  Rechnung  er- 
folgt in  einer  späteren  (inzwischen  bereits  erschienenen)  Mit- 
teilung, über  die  im  nächsten  Jahrgang  berichtet  werden  wird. 
Es  sei  noch  bemerkt,  dass  die  Eigenschaft  der  Integrale  einer 
Differentialgleichung,  die  Relationen  (3)  zu  erfüllen,  mit  einer 
anderen,  nämlich  dass  die  Coefficienten  der  zur  Differential- 
gleichung gehörigen  Substitutionsgruppe  von  -k  unabhängig  sind, 
in  notwendiger  Verknüpfung  steht.  Hr. 


Oapitel  5.    Oewohnliche  DifferentialgleichaDgen.  317 

W.  G.  Imschenbtzky.  Zur  allgemeinen  Methode  für 
die  Auffindung  der  rationalen  gebrochenen  particulären 
Integrale  der  linearen  Differentialgleichungen  mit 
rationalen  Coefficienten.    Petersb.  Abb.  LVi.  (Russisch.) 

In  einer  frQheren  Abhandlung  (F.  d.  M.  XIX.  296)  hat  der 
Verfasser  die  Bedingungen  angegeben,  welche  erfüllt  sein  mtlssen, 
damit  die  Differentialgleichung 

mit  ganzen  rationalen  Coefficienten  rationale  Integrale  hat.  Er 
zeigt  jetzt  im  ersten  Abschnitte  die  Notwendigkeit  dieser  Bedin- 
guDgen  mit  Hülfe  der  recurrenten  Reihen,  in  welche  sich  die 
rationalen  Integrale  zerlegen  lassen,  wenn  sie  existiren. 

Der  zweite  Abschnitt  beschäftigt  sich  mit  der  Frage  nach 
der     Ermittelung     des     algebraischen     Wertes     des     Integrals 

fC^i  y)^^}  ^^  f{^i  y)  ^i°6  rationale  Function  von  x  und  y  und 


/ 


y  die  Wurzel  einer  irreductiblen  algebraischen  Gleichung  mit 
rationalen  Coefficienten: 

(1)  !r +P,»""^+Pay'-*  +  •••  +  Pn-iy  +  Pn  =  0 

ist  Diese  Frage  reducirt  sich,  wie  schön  Liouville  (Journ.  de 
TEcole  Polytechnique  Cah.  XXII)  gezeigt  hat,  auf  die  Auffindung 
der  rationalen  Integrale  eines  Systems  der  simultanen  linearen 
Differentialgleichungen.  Liouyille  und  nach  ihm  Raffj  (Sur  les 
quadratures  alg^briques  et  logarithmiques.  Ann.  de  V£c.  Norm. 
(3)  II;  F.  d.  M.  XVII.  1885.  295)  haben  eine  Methode  gegeben, 
welche  auf  dem  Umstände  beruht,  dass  man  den  gemeinsamen 
Nenner  der  particulären  Lösungen  des  Systems  der  Differential- 
gleichungen a  priori  kennt;  dieser  Nenner  ist  nämlich  in  dem 
Falle,  wo  die  Coefficienten  pi  ganze  Functionen  sind,  die  Discri- 
minante  der  Gleichung  (1).  Der  Verfasser  zeigt  jetzt,  dass  die 
Betrachtung  der  Discriminante  ohne  Nutzen  ist,  sogar  die  Lö- 
sung der  Frage  erschwert,  und  er  giebt  eine  einfachere  Methode 
fQr  die  Ermittelung  der  algebraischen  Werte  der  Integrale.  Dass 
die  neue  Methode  eine  einfachere  ist,  zeigt  er  unter  anderem  an 


318  VI.  Abschnitt.    DiffereDtial-  und  Tntegralreehoaog. 

dem  Beispiele   des  Herrn  Raffy,    „den  algebraisehen  Wert  des 

Integrals   /  ydx  zu  ermitteln,  wo  y  der  algebraischen  Gleichung 

»•— 3y+2a?  =  0  genügt«. 

Im  dritten  Abschnitte  wird  das  Theorem  bewiesen,  welches 
frOher  ohne  Beweis  von  Ostrogradsky  (Suite  du  memoire  sur 
Integration  des  fractions  rationnelles.  M^m.  de  TAc.  Imp.  de 
Saint  -  Pötersbourg  (6)  II.  668)  gegeben  wurde:  „Wenn  das 
Integral 

r^      y*i  2         '     y  y 

(wo  y^  =^  A,  ß  eine  ganze  Function  und  L,,  L„  ...,  L«.i  ratio- 
nale Functionen  von  x  sind)  einen  algebraischen  Wert  hat,  so 
sind  auch  die  Integrale 

jedes  einzeln  betrachtet,  algebraisch;   im  allgemeinen  hat  man 


/( 


/ 


|ifi— m  *'       '       » 


WO  X  eine  rationale  Function  von  x  ist*'.  Wi. 


Fabry.      Reductibilit^   des  öquations  diff^rentielles  unf- 
aires.    C.  R.  CVI.  732-734.  8.  M.  F.  Bull.  XV.  135-142. 

Es  bandelt  sich  darum,  bei  einer  gegebeoen  linearen  homo- 
genen Differentialgleichung  tn}^'  Ordnung  mit  rationalen  Goeffi- 
cienten  zu  untersuchen,  in  welchem  Falle  es  eine  Gleichung  der 
nämlichen  Form  n*«'  Ordnung  (n<.m)  giebt,  deren  sämtliche  In- 
tegrale der  ersten  Gleichung  genügen,  und  gegebenen  Falls  die- 
selbe zu  bestimmen.  Der  Verfasser  setzt  zu  dem  Ende  die  m 
Integrale  der  ersteren  Gleichung  in  der  Umgebung  jedes  der 
singulären  Punkte  sowie  des  Unendlichkeitsi)unktes  in  der 
Form  an: 

i,  i- 

cV'C*-«) »'  (x  —  ayF[{x  —  a) " ,  log(a?  --  ö),  x  —  a], 

welche  f ttr  y  =  1  in  die  Thome'sche  Normalform  ttbergeht.   Wie 
bekannt,  sind  diese  Reihen,  wenn  auch  formal  genügend,  im  all- 


Gapitel  5.    Gewöhnliche  DifferentialgleichongeD.  319 

gemeinen  divergent.  Man  bildet  nun  alle  möglichen  Gruppen 
Ton  je  n  der  m  Integrale,  wobei  jedoch  diejenigen,  die  sich  aus- 
einander ableiten,  zugleich  genommen  werden  müssen,  und  be- 
stimmt aus  der  logarithmischen  Ableitung  ihrer  Differentialdeter- 
minante den  Coefficienten  q^  der  (n  —  1)**°  Ableitung  in  der  Glei- 
chung 11**'  Ordnung  (der  Coefficient  der  n*«°  Ableitung  ist  =  1 
gesetzt)  durch  Berechnung   der  Glieder   mit  negativen  Potenzen 

von  ^x  — a),(a?—  a'),...,  — .  Die  Integrale  für  a:  =  cx)  liefern  auch 

noch  die  etwaigen  ausserwesentlich  singulären  Punkte  a^a\,,, 
der  Gleichung  it^^'  Ordnung  und  die  entsprechenden  Glieder  in 
der  Entwickeldng  von  q^.  Alsdann  bestimmt  man  die  Coefßcienten 
9s?  9zj  -•*  ^^i*  jeden  singulären  Wert,  wobei  man  weiss,  dass  qy 
in  der  Umgebung  von  x  =  a  mit  dem  Gliede  («~  er)'*' beginnen 
mu88.  Nachdem  so  ein  möglicher  Ausdruck  für  die  rationalen 
Coefficienten  der  GleicHung  n^*'  Ordnung  gebildet  ist,  hat  man 
zu  verificiren,  ob  die  Gleichung  m*®'  Ordnung  eine  Gonsequenz 
der  gefundenen  ist.  Hr. 

L.  W.  Thome.  üeber  eine  Anwendung  der  Theorie 
der  linearen  Differentialgleichungen  auf  die  algebrai- 
schen Functionen.     J.  für  Math.  civ.  i-3i. 

Genügt  s  einer  algebraischen  Gleichung  n^"^  Ordnung,  deren 
Coefficienten  rationale  Functionen  von  x  sind,  so  kann  man  nach 
einem  bekannten  Eliminationsverfahren  eine  lineare  homogene 
Differentialgleichung  a'"  Ordnung  (a<fi)  mit  rationalen  Coef- 
ficienten finden,  der  die  algebraische  Function  s  genügt.  In 
der  Voraussetzung  nun,  dass  die  algebraische  Gleichung  irre- 
ductibel  sei,  wird  zunächst  aus  der  durch  Elimination  erhaltenen 
Differentialgleichung  für  s  diejenige  hergeleitet,  deren  Ordnung 
gleich  der  Anzahl  der  linear  unabhängigen  Zweige  von  s  ist. 
Diese  Differentialgleichung  wird  alsdann  zur  Untersuchung  der 
Function  «,  zur  vollständigen  Darstellung  der  Zweige  von  s  in 
den  Punkten,  für  welche  mehrere  Wurzeln  der  Gleichung  zu- 
sammenfallen, und  zur  Bestimmung  der  Fortsetzungsweise  der 
Zweige  verwandt.  ür. 


320  ^I*  AbBcbnitt.    Differential-  and  Integralrecbbang. 

L.  W.  Thome.  Bemerkung  zur  Theorie  der-  linearen 
Differentialgleichungen.  J.  für  Matb.  CHI.  346-347.- 
Der  Verfasser  erwidert  auf  die  Abwehr,  die  Herr  Poincar6 
in  der  Abhandlung  „Sur  les  integrales  irr^guliöres  des  öquations 
lindaires«  (Acta  Math.  VIII,  s.  F.  d.  M.  XIX.  1887.  305)  auf 
«eine  Bemerkung  des  Herrn  Thomi  im  J.  för  Math.  CI.  rer- 
öffentlicht  hatte,  dass  in  dieser  Bemerkung  keineswegs  der  Vor- 
wurf enthalten  sei,  als  ob  Herr  Poincarö  die  in  den  formalen 
Entwickelungen  auftretenden  Exponenten  mit  den  Exponenten  in 
den  wirklich  bestehenden  Reihen    identisch   angenommen  hätte. 

.    Hr. 

M.  Hamburger,  üeber  eine  specielle  Klasse  linearer 
Differentialgleichungen.  J.  für  Math.  Ciir.  238-273. 
Diese  Abhandlung  knüpft  an  die  Arbeit  des  Herrn  Cajley 
„Note  on  the  theory  of  linear  difFerential  equations**  (J.  fÖr 
Math.  C.  286,  F.  d.  M.  XVIII.  279)  an.  Herr  Cayley  hatte  da- 
selbst, um  die  „Kormalintegrale*' 


einer  linearen  Differentialgleichung  zu  bestimmen,  ein  Verfahren 
angegeben,  in.  dem  Ansätze 

die  Coefficienten  A^  zu  berechnen,  ohne  indessen  die  Bedingungen 
für  die  wirkliche  Existenz  der  nur  formal  aufgestellten  Integrale 
zu  untersuchen.  Der  Herr  Verfasser  macht  darauf  aufmerksam, 
dass  der  Ansatz  (1)  nicht  ohne  weiteres  allgemein  zul&ssig  sei; 
wenn  nämlich  y  in  der  Umgebung  von  a  unendlich  viele  NuU- 
stellen,  also  z  in  jeder  Nähe  von  a  noch  unendlich  viele  Un- 
endlichkeitsstellen besitzt,  so  lässt  2  überhaupt  keine  in  der  Um- 
gebung von  a  gültige  Entwickelung  nach  positiven  und  nega- 
tiven Potenzen  von  (x—ä)  zu;  vergl.  die  Abhandlung  des  Herrn 
Fuchs:  „Ueber  die  Werte,  welche  die  Integrale  einer  Differential- 
gleichung erster  Ordnung  in  singulären  Punkten  annehmen  können^ 
(Berl.  Ber.  1886.  4,  F.  d.  M.  XVIII.  280). 


Gapitel  6.    Gewöhnliche  Differentialgleichangen.  321 

Die  Untersuchung  der  Bedingungen,  unter  welchen  der  An- 
satz (1)  zu  wirklich  gültigen  Integralen  führt,  stösst  im  allge- 
meinen auf  grosse  Schwierigkeiten-,  sie  lässt  sich  vollständig 
durchfuhren  für  den  Fall,  dass  die  gegebene  Differentialgleichung 
zu  der  vom  Herrn  Verfasser  (J.  für  Math.  LXXXIII.  200,  F.  d. 
H.  IX.  289)  aufgestellten  Klasse  gehört,  d.  h.  nur  einen  singulären 
Punkt  {x  =  0)  im  Endlichen  besitzt,  während  im  Unendlichen 
sich  sämtliche  Integrale  regulär  verhalten.  Sie  hat  alsdann  die 
Form 

«    '-S-+--».(t>^+-+».(4)>  =  '^ 

wo  y, ( — p"-^9n\ — )  beständig  (ausser  für  a?  =  0)  conver- 
gente  Potenzreihen  des  Arguments  —  bedeuten.    Die  von  Herrn 

OD 

Cayley  als  Beispiel  behandelte  Gleichung 

gehört  dieser  Klasse  an,  wenn  d  ^  «  =  0  gesetzt  wird,  was 
f&r  die  Form  der  von  Herrn  Cayley  gegebenen  Lösung  ohne 
Belang  ist 

Der  erste  Teil  der  vorliegenden  Arbeit  bezieht  sich  nun  eben 
auf  dieses  Beispiel  und  dient  so  zur  Einleitung  in  die  nach- 
folgenden allgemeinen  Betrachtungen;  es  ergeben  sich  die  Be- 
dingungen dafür,  dass  die  Cayley'schen  Formeln  in  dem  Falle 
'  =  a  =  0  Gültigkeit  besitzen,  in  höchst  einfacher  Weise. 

Sodann  wendet  sich  der  Herr  Verfasser  zur  Behandlung  der 
allgemeinen  Gleichung  (2).  Dieselbe  besitzt  nach  den  Sätzen  des 
Herrn  Fuchs  im  allgemeinen  ein  Fundamentalsystem  von  Inte- 
gralen folgender  Form: 

(ä)  (i)"-*a).-.(Tr-*^(4). 

wo  V',,  — ,  \p^  wieder  beständig  convergente  Potenzreihen  von 
—  und  r,, . . .,  r„  die  Wurzeln  der  Gleichung 

(4)    F(r)  =  r(r4-l)...(r+n-l)-r(r+l)...(r+ii-2).9,(0)4-.- 

+  (-l>-'r.9>._,(0)  +  (-l)-.(p.(0)  =  0 

FortMhr.  d.  Math.  XX.  1.  21 


323  VI.  AbBcbnitt.    Differential-  nnd  IntegralrechpaDg. 

sind.    Soll  nun  (2)  ein  Normalintegral  von  der  Form 

A 


(la) 


y  =  x^.e^'^.^ix), 


<t)=^+-+ 


X 

zulassen,  so  muss  dasselbe  mit  einem  der  Elemente  ^ — j  .  V\ — ) 

des  Systems  (3)  übereinstimmen ;  hierzu  aber  ist  erforderlieh,  dass 
1)  ^(x)  eine  ganze  rationale  Function /"(x)  sei;  2)  die  Gleichung 

A  =  --r—k 

bestehe,  wo  r  eine  Wurzel  von  (4)  und  k  der  Grad  von  f(x)  ist. 
Zunächst  werden  nun   die   eventuell   möglichen   Ausdrücke   der 

Function  oi — j  bestimmt    unter   der    Voraussetzung,    dass  die 

Goefficienten  der  Gleichung  (2)  rationale  Functionen  seien ;  diese 
Gleichung  sei  dann 

(2a)       -^  +  9.(*)-£lj-  +  -+9.(x).»=0. 
Mit  Hülfe  der  Bemerkung,  dass  aus 

y     dx  ^i\  y 

für  fn>l  (was  ^ir  natürlich  voraussetzen)  sofort 

7-5"  =  ^-'^"■^^^[^•;(*)+«^™*.(^)] 

folgt,  erhält  man  folgende  Regel:  Man  wähle  m  so,  dass  die 
Functionen 

aj'(«»+^) .  gi{x)  =  pi(x)    (t  =  1,  . . . ,  «) 

ganze  rationale  Functionen  von  x  werden,  und  bilde  die  Glei- 
chung: 

(5)    f(,x,v)  =  c"+jp,(«).f?«-"^  +  ---+p«(jr)  =  0. 

Hat  man  dann  eine  Entwickelung  der  algebraischen  Function  v 
nach  ganzen  positiven  Potenzen  von  Xj  so  liefert  das  Aggregat 
der  Glieder  mit  x%x\  ..  .^  x"^-^  in   dieser   Entwickelung  einen 


Oapilel  5.    Gewohnliche  DifierentialgleichiiDgeii.  323 

Aasdrack  fDr  die  Function 

<-) 

(6)       «  =  ^+t. ^, 

wodurch  G  bestimmt  ist. 

Gebt  nun  ferner  die  Gleichung  (2a),  die  auch  in  der  Form 

geschrieben  werden  kann,  durch  die  Substitution 

<-) 
y  =z  e  ^*/.ij 

in 

Aber,  so  muss  der  Exponent  Ä  eine  Wurzel  der  zu  ^r  =  0  ge- 
hörigen determinirenden  Gleichung  von  (7)  sein;  diese  wird 

''•r.-.(o)+[^L=o 

(p«(^)  ist  durch  x*"  teilbar);  dabei  ist 


S-.(0)=[^^U„,. 


WO  M,  =  —  m.ilp,  den  Wert  der  Grösse  ti  fUr  a?  =  0  bedeutet. 
Gehört  also  die  Entwickelung  der  algebraischen  Function  v, 
welche  zur  Bestimmung  von  u  benutzt  wurde,  zu  einer  einfachen 
Wurzel  der  Gleichung  f  (0,f>)  =•  0,  so  ist  der  zugehörige  Exponent 
A  eindeutig  und  endlich  bestimmt. 

Nachdem  Ä  bekannt  ist,  liefert  (7)  lineare  Gleichungen  fttr 
die  CoefGcienten  Bh  in 

da  die  Anzahl  dieser  Gleichungen  die  der  Unbekannten  übertrifft, 
80  treten  zu  der  Bedingung 

il  =  -r-fc 
noch  weitere  m(ii— 1)— 1  Bedingungen  hinzu.    Die  Gestalt  der 
Recursionsformel  fttr  die  Bk  liefert  übrigens  in  sehr  bemerkens- 
werter Weise   einen   nochmaligen    Beweis   dafür,   dass   in   (la) 

21* 


324  VI.  AbsohniU.    Differential-  nod  Integralrechoang. 

^(x)  =  f{x)  sein  muss;   sie  zeigt  nämlich,   dass   eine  nicht  ab- 

brechende  Reihe  2!  Bh^  notwendig  divergiren  mfisste. 

Den  Schluss  der  Abhandlung  bilden  einige  Bemerkungen 
Ober  diejenigen  Normalintegrale,  welche  aus  den  Entwickelungen 
der  algebraischen  Function  v  (Gleichung  (5))  nach  gebrochenen 
Potenzen  von  x  hervorgehen.  P.  6. 


K.  Heun.      Remarks    on    the    logarithmic    integrals    of 
regulär  linear  differential  equations.   American  J.  x«  205-224. 

Gegeben  sei  die  lineare  Differentialgleichung 

(1)     VC*^)' .  ^+V'(<')'-'  -^.(*)-  £^+  -  +  '■pC*)  • »  =  0. 

wo 

und  Fk(x)  eine  ganze  rationale  Function  vom  Grade  k(n — 1)  ist. 
Sind  in  der  zu  x  =  ^^  gehörigen  Fundamentalgleichung  n  gleiche 
Wurzeln  vorhanden,  so  entspricht  denselben  eine  Gruppe  von 
Integralen  der  Gleichung  (1)  von  folgender  Form: 

(2)  y«  =  Vi^+Ck^i,i.TiJt^\,i\og(x-^i) i-  Ck-2ji.flk^s,ilog*(x'-iO  +  '" 

+  Cijfc-iJyiilOg*-^«— f<) 

(&  =  l,2,...,7r), 
wobei 

,„  =  (x-  §,)'*• .  *a(^-IO  (ä  =  1,  . . .,  n) 

ist;  Ai«, . . .,  A„j  sind  nur  um  ganze  Zahlen  oder  Null  von  einander 
verschieden.  Zwischen  den  Constanten  ct^k^  in  (2)  bestehen  fflr 
n>2  gewisse  Bedingungsgleichungen,  die  man  -findet,  wenn 
man  x  in  (2)  einen  Umlauf  um  o;  =  ^,  machen  lässt  und  be- 
rücksichtigt, wie  sich  yid  (nach  dem  Umlauf)  durch  yAit^ib-i^M  ••.,yu 
ausdrückt.  Um  zu  erkennen,  wann  die  Logarithmen  in  (2)  fort- 
fallen, wird  man  die  Im  als  sämtlich  von  einander  verschieden 
voraussetzen;  dann  nehmen  jene  Bedingungsgleichungen  die 
Forin 

2c„  =  c,,  .  c,,,  2r„  =  c,,  .  c,,, . . .,  nci^jt—i  =  C2,ti-2 .  c^^ 


Gapitel  5.    Gewoholiche  Diffcreotialgleichnogeo. 


325 


an ;  die  Anzahl  der  BedingaBgen  ftlr  den  Fortfall  der  Logarithmen 
in  (2)  ist  also  n—1. 

Besonders  bemerkenswert  ist  der  Fall  n — p.  Wenn  dann 
keine  Logarithmen  auftreten,  so  heisst  §•  ein  „pseudosingulfirer 
Pankt"  (point  ä  apparence  singuliere).  Hierzu  müssen  ausser 
den  p  —  1  Bedingungen  dafttr,  dass  die  Wurzeldifferenzen  der 
determinirenden  Fundamentalgleichung  ganzzahlig  seien,  nach 
dem  Obigen  noch  weitere  p — 1  Bedingungen  erfüllt  sein. 

Ffir  die  Differentialgleichung  zweiter  Ordnung 

(3)        V'(^)-Ä+X(^)~+<^).«*  =  0 


cLc' 


dx 


\tp(,x)  wie  oben,  x(a?)  eine  ganze  Function  (n — 1)**°,  m(^x)  eine 
solche  (n — 2)^  Grades;  auf  diese  Form  kann  die  allgemeine 
lineare  Differentialgleichung  zweiter  Ordnung  mit  überall  regu- 
lären Integralen  zurückgeführt  werden  durch  eine  von  Herrn 
Fuchs  in  seinen  Vorlesungen  angegebene  Transformation,  yergl. 
F.  d.  M.  XVIIL  1886.  290]  können  jene  Bedingungen  erhalten 
werden  aus 

"'="«y — ü\ — *^' 

wenn  man  die  Reihenent Wickelung  des  Integrals  u,  aufge- 
stellt hat 

Sind  in  (3)  nur  zwei  endliche  singulare  Punkte  0,  1  vor- 
handen (fi  ==  2),  wo  also  für  tf,  in  der  Umgebung  von  a;  =  0 
die  Gauss' sehe  Reihe  F(ja,ßyy^x)  zu  nehmen  ist,  so  wird  der 
für  )^  =r  fii  + 1  (ffi  positiv  ganzzahlig)  in  u,  im  allgemeinen  auf- 
tretende Logarithmus  fortfallen,  sobald  a  eine  der  Zahlep  1,  2,  ..., 
m  und  ß  beliebig  ist  (oder  umgekehrt). 

Für  drei  singulare  Punkte  0, 1,  a  (n  =  3)  kann  das  Schema 
der  Wurzeln  der  determinirenden  Fundamentalgleichungen  in 
folgender  Form  vorausgesetzt  werden: 


0 

1 

a 

oo 

0 

0 

0 

o 

1-y 

1-8 

y  —  a  —  ß-\-d 

ß   . 

326  ^I*  Abschnitt.     DifferoDtial-  und  lotegralrechnaDg. 

Dann  muss  ni(x)  =  aß(x  —  g)  sein  (jg  eine  beliebige  Con- 
staute). 

Ist  dann  ^  =  m  -f  1  (m  positiv  ganzzablig),  so  kann  g  immer 

dureb  eine  algebraische  Gleichung  m^  Grades  so  bestimmt  wer- 

*  den,  dass  o?  =  0  ein  pseudosingulärer  Punkt  wird;  dabei  bleiben 

«,  /9,  6  willkflrlich  (ähnlich   fOr   die    ttbrigen'  singulären  Punkte). 

Sind  allgemein  n  endliche  singulare  Punkte  $,,  ...,$«  vor- 
handen und  von  diesen  ^^  ...,  £r  pseudosingulär,  so  kann  man 
das  Integral  u  von  (3)  in  der  Form 

ausdrücken,  wo  P^^P^  ganze  rationale  Functionen  sind  und  r 
einer  Differentialgleichung 

gentigt,  in  welcher 

t^,(a?)=  h  {x^l), 

X,(a5)  eine  ganze  Function  (n — r  —  1)^%  ©j  («)  eine  solche 
(n  —  r  — 2)**»  Grades  ist;  vergl.  die  Abhandlung  des  Verfassers 
Acta  Math.  XL  97  (F.  d.  M.  XIX.  1887.  374).  P.  G. 


S.  PiNCHERLE.  Sur  la  natura  aritbm^tique  des  coef- 
ficients  des  s^ries  integrales  des  ^quations  diff^rentielles 
Unfaires.     J.  für  Math.  cm.  84-86. 

Es  sei  die  lineare  Differentialgleichung  m^'  Ordnung 

Asm 

gegeben,  wo  ak,k  ganze  Zahlen  sind,  a^^o  =  1,  und  es  sei 

q>(x)  =  £  c„xe+«        (co  =  1) 

ein  Integral  derselben,  wo  q  eine  Wurzel  der  Gleichung 

0(a)  =  ^(?  — 1)  •••  (^— w+l)  +  a«,_i,üe(^  — l)--(^  — m+2)-l 


Capitel  5.    Gewöhnliche  DiffereDtialgleichuogen.  327 

ist,  so  gilt  unter  der  Voraussetzung,  dass  diese  Gleichung  irreduc- 
tibel  und  die  Differenz  zweier  ihrer  Wurzeln  nicht  eine  ganze 
Zahl  ist,  folgender  Satz:  „Die  Coefficienten  Cn  der  Beihe  sind 
von  der  Form 

die  Grössen  k^^k^j...  sind  Brüche,  welche,  auf  die  kleinste 
Benennung  gebracht,    im   Nenner   nur   solche  Primteiler  pn  ent- 

halten,  die  der  Bedingung  genügen,  dass  lim -^ für  w  =  (»eine 

eDdliche  Zahl  ist^.  Hr. 


S.  PiNCHKRLE.      Sul  carattsre   aritmetico    dei  coefficienti 

delle    Serie.     Palermo  Read.  II.  1Ö3-164. 

In  Verallgemeinerung  des  Satzes,  den  der  Verf.  im  J.  für 
Math.  CHI.  (s.  voriges  Beferat)  mitgeteilt  hat,  wird  folgendes 
Resultat    hergeleitet:     Es  sei   die  Differentialgleichung   gegeben 

+  a?g,+i(a?)<]p('+i)(a?)  H -f-  a?"»-«  ?m(a?)9>^"*^(a?)  =  0, 

wo 

qk{x)  =  aA,o  +  aA,ia?  +  aH;ix^  H 1-  a^^xP         (Ä  =  0,  1,  2,  ...,  m) 

und  die  a^,v  ganze  Zahlen  sind. 

Dann  werden  s  Integrale  in  der  Umgebung  von  x  =  0  ein- 
deutig, m — s  Singular  sein.  Die  Coefficienten  in  den  Entwicke- 
lun^en  der  ersteren  Sc^a^  sind  so  beschaffen,  dass  c^,  c,, ...,  c«.i 
willkürlich  sind,  und  wenn  für  dieselben  ganze  Zahlen  genommen 
werden,  die  übrigen  Cm  Brüche  sind,  deren  Nenner  nur  Prim- 
factoren   pn   enthalten,    welche   der   Bedingung   genügen,    dass 

Um  -  ^^      endlich  ist. 

Hierbei  ist  vorausgesetzt,  dass 

^0  W  =  ««.o  +  a.-f  i.üi  +  a,+2,ui(i- 1)  +  ••• 

+  a«,üi(A-l)  . . .  (A- (m-Ä— 1))  =  0 
irreductibel  ist.  Die  m—9  übrigen  Integrale  sind  entwickelbar 
in  der  Form  Sc^x^U,  wo  q  eine  Wurzel  der  Gleichung 
^•(?— 0  =  0  ist.    Die  Coefficienten  c„  haben,  a,«,o=  1  voraus- 


328  ^I*  Abschnitt.    Differeotial-  and  Integralrech nang. 

gesetzt,  die  Form 

worin  fc^,  fc„  ...  BrQche  sind  mit  Nennern  von  der  Beschaffen- 
heit, dass  der  grösste  in  ihnen  enthaltene  Primfaetor  p«  der 
Bedingung  genfigt,  durch  nC"*-')*  dividirt  für  unendlich  wachsende 
ft  sich  einer  endlichen  Grenze  zu  nähern.  Daran  schliessen  sich 
Bemerkungen,  betreffend  die  Modificationen,  die  der  Satz  erf&hrt 
in  dem  Falle,  dass  D^{1)  =  0  reductibel  ist,  sowie  eine  Verall- 
gemeinerung des  Satzes  noch  nach  einer  anderen  Richtung-, 
worüber  auf  die  Originalabhandlung  verwiesen  sei.         Hr. 


P.  Painlevä.     Sur  les  ^qnations  diff^rentielles  unfaires 
k  coefficients  algöbriques.     c.  r.  GVL  535-537. 

Im  Anschluss  an  frühere  Mitteilungen  des  Verfassers  in  den 
Comptes  Rendus  CIV.  1829  u.  CV.  58  (F.  d.  M.  XIX.  1887.  336) 
giebt  der  Verfasser  in  sehr  kurzer  Andeutung  ein  Verfahren, 
durch  rein  algebraische  Operationen  zu  entscheiden,  ob  das  all- 
gemeine Integral  einer  linearen  homogenen  Differentialgleichung: 
mit  beliebigen  algebraischen  Coefßcienten  algebraisch  ist.  Ffir 
den  Fall  n  =  3  wird  noch  ein  besonderes  Verfahren  einge- 
schlagen und  davon  Anwendung  gemacht  auf  diejenige  nicht 
lineare  Gleichung  zweiter  Ordnung,  deren  allgemeines  Integral 
die  willkürlichen  Constanten  linear  enthält.  Hr. 


C.  GuiCHARD.     Sur  les  ^quatious  diffdrentielles  lin^aires 
k  coefficients  alg^briques.    Acta  Math.  Xli.  51-61. 

Die  Coefficienten  R  der  linearen  homogenen  Gleichung 

— —  4-  R  — — --  +  •••  +  i?«Ä  =  0 

seien  rational  in  x^  y,  wo  zwischen  x  und  y  eine  algebraische 
Gleichung  besteht.  Es  sei  ferner  x  =  a^  y  ==  &  ein  Verzweigungs- 
punkt m*"  Ordnung,  bei  welchem  die  R  endlich  bleiben.  Es 
wird   folgender  Satz   bewiesen:    Wenn  x   den  Punkt  a  m-mal 


Gapitel  5.    Gewöhnliche  DiffereDÜalgleichuDgeD.  329 

ttmläafty  so  kehren  die  n  Integrale  der  Differentialgleichung  auf 
ihre  Anfangswerte  zurflek.  H. 


P.  Appell.      Sar  une  classe   d'^quations    diff^rentielles 
r^dactibles  aux  ^quations  unfaires.    G.  R.  GVn.  776-778. 

Damit  eine  Differentialgleichung  n^^^  Ordnung 

V(y,  y\  y",  ...,^^"0  =  0, 

worin  ip  in  Bezug  auf  y,  y',  ...,  j/^")  ganz  ist,  ein  allgemeines 
Integral  von  der  Form 

y  ==  C,y,  +C^yi  -\ h  C;+iy«+i 

znlasse,  wo  die  Gonstanten  c„  ...,  Cr+i  durch  eine  algebraische 
ganze  Relation 

9(c,j  ...,0=0 

yerbunden  sind  und  y,,  ...,  yn^i  linear-unabhängige  Functionen 
von  X  bezeiehnen,  ist  es  notwendig  und  hinreichend,  dass  eine 
Fanction  X  von  x  existire  von  der  Beschaffenheit,  dass 

sich  in  zwei  Factoren  zerlegen  lässt,  von  denen  der  eine  linear 
and  homogen  in  y,  y\  . . . ,  y("+^)  ist.  Ein  analoger  Satz  gilt 
für  die  Integrale  von  i^  ==  0,  wenn  sich  ^,,  ...,  ly  als  Func- 
tionen von  X  80  bestimmen  lassen,  dass 

durch  eine  lineare  und  homogene  Function  von  y,  y',  ...,  y(«+'') 
teilbar  wird.  Hr. 


6.  Pkano.     Integration  par  s^ries    des   ^quations  diffd- 
rentielles  Unfaires.     Math.  Add.  xxxil  450-456. 

Diese  Note  ist  die  Uebersetzung  einer  in  den  Torino  Atti 
Febr.  1887  veröffentlichten  und  in  den  F.  d.  M.  XIX.  308  be- 
sprochenen Arbeit.  Hr. 


330  V^*  AbBOhnitt.    Differential-  and  lotegralrechaaDg. 

Köhler,     üeber  die  Form  der  logarithmischen  Integrale 
einer  linearen  nicht  homogenen  Differentialgleichung. 

Schlömilch  Z.  XXXIIl.  231*242. 

Eine  lineare  nicht  homogene  Differentialgleichung  m^  Ord- 
nung (A)  mit  X  als  unabhängiger,  y  als  abhängiger  Veränder- 
lichen besitze  «in  Integral 

y  —  f(^i  ^1»   •••)   ^n), 

worin  f  eine  algebraische  Function  und  ^,,  . . .,  ^«  von  einander 
unabhängige  Logarithmen  bedeuten,  deren  Ableitungen  algebrai- 
sche Functionen  von  x  sind,  so  ist  1)  jede  nach  den  ^j,  ...,  •^« 
beliebig  oft  genommene  Ableitung  ein  Integral  der  reducirten 
Differentialgleichung  (£),  2)  muss  y  eine  ganze  rationale  Func- 
tion der  ^  von  höchstens  der  m^^^  Dimension  sein,  deren  Coef- 
iicienten  algebraische  Functionen  von  x  sind,  woraus  nach  1) 
folgt,  dass  ein  Integral  von  (B)  stets  algebraisch  ist.  Im  Fol- 
genden wird  speciell  die  Form  derjenigen  logarithmischen  Inte- 
grale von  (A)y  welche  von  der  höchst  möglichen,  also  von  der 
my"^  Dimension  ist,  genauer  festgestellt,  wobei  sich  ergiebt,  dass 
die  Form,  auf  welche  sie  stets  gebracht  werden  kann,  höchstens 
m  Logarithmen  der  angegebenen  Art,  darunter  nur  einen  ein- 
zigen im  111^*°  Grade  enthält,  während  sie  in  allen  flbrigen  Loga- 
rithmen höchstens  von  der  I -o-J      Dimension  ist.     (1  "o"!    ^*® 


grösste  in  -^  steckende  ganze  ZahlJ. 


2 

Von  diesem  Satze  wird  schliesslich  noch  die  Umkehrung 
bewiesen,  dass  nämlich  jeder  Ausdruck  der  festgestellten  Form 
einer  linearen  nicht  homogenen  Differentialgleichung  m^  Ord- 
nung mit  algebraischen  Goefficienten  genügt.  Hr. 


Allan  Cunningham.    Depression  of  differential  equations. 

Me88.  (2)  XVn.  118.145,  XVIIL  122-127. 

Systematische  Erörterung  der  Methoden  zur  Erniedrigung  der 
Ordnung  von  Differentialgleichungen  in  verschiedenen  Fällen, 
die  in  Tabellen  gebracht  sind.     Der  Nutzen  dieser  Erniedrigungen 


Capitel  5.    Gewöholiche  DiffereatialgleichaDgeD.  331 

erscheint  hauptsächlich  als  ein  Httlfsmittel  bei  'der  Integration 
nicht  linearer  Differentialgleichungen  höherer  Ordnung.  Die  Be- 
dingungen dafür,  dass  die  Gleichungen  eine  Erniedrigung  zu- 
lassen, and  die  erforderlichen  Substitutionen  in,den  verschiedenen 
Fällen  werden  betrachtet  und  klassificirt.  Der  Verfasser  wählt 
als  Husterbeispiel,  auf  welches  er  seine  verschiedenen  Methoden 
anwendet,  die  Gleichung  eines  Kegelschnittes: 

Der  zweite  Aufsatz,  ein  Nachtrag  zum  ersten,  betrifft  diese 
Differentialgleichung  allein  und  enthält  die  Einzelheiten  dreier 
nachträglichen  Lösungsarten  durch  Erniedrigung  vermittelst  der 
in  dem  ersten  Aufsatze  gegebenen  Methoden.  Diese  Lösungen 
sind  jedoch  nicht  ganz  so  einfach  wie  die  in  dem  ersten  Auf- 
satze gegebenen.  Glr.  (Lp.) 

J.  J.  Sylvester.     Note  on   certain  diflference  equations 
which  possess  an  unique  integral.  Mess.  (2)  XVIIL 113-122. 

Eine  Differenzengleichung  sei  in  Gliedern  der  Argumente 
Uxttt«^i,  .  '.,  Ux+tf  ausgedrückt;  die  Grade,  mit  weichen  u^^i  und 
u^  in  die  Gleichung  eingehen,  mögen  der  obere  und  der  untere 
Grad  heissen.  Diese  Integrale  sind  es,  welche  mehr  als  der 
ßesamtgrad  der  ganzen  Gleichung  den  wesentlichen  Charakter  der 
Lösung  bestimmen.  Ist  m  der  obere  Grad,  und  sind  ii^,,  u„  . . .,  ii<-i 
gegeben,  so  hat  u^  für  jeden  über  t  —  1  hinausgehenden  Wert 
von  X  offenbar  m*-*+^  Werte,  und  demgemäss  giebt  es  im  all- 
gemeinen unendlich  viele  Integrale,  sei  es  vollständige,  sei  es 
solche  von  eintfr  gegebenen  Ordnung  der  Deficienz  (deficiency), 
indem  die  Deficienz  nach  der  Anzahl  der  die  Anfangswerte 
H,,tij,  ...y  tii-i  verbindenden  Beziehungen  geschätzt  wird.  Es 
ist  jedoch  in  manchen  Fällen  möglich,  ein  Integral  anzugeben, 
welches  jii*-*+*  Werte  haben  muss,  und  in  einem  solchen  Falle 
kann  kein  anderes  Integral  vorhanden  sein;  ein  solches  Integral 
kann  ein  „einziges"  (unique)  oder  ein  „erschöpfendes*'  (exhaustive) 
genannt  werden,  und  die  Gleichungen,  welche  solche  Integrale 
besitzen,  können  „einlösig^  (unisolutional)  heissen.    Als  dasein- 


332  VI.  Abschnitt.    DiffereDtiaU  aod  iDtegralrechoiuig. 

fachste  Beispiel  einer  solchen  Gleichung  nehme  man  u^^i  —  v*  =  0, 

(ULY 
worin  m  und  fi  ganze  Zahlen  sind.    Augenscheinlich  ist  v^^  =  a^  "  "^ 

eine  Lösung,   und ,  dies   ist  das  eine  und  alleinige  yollBtändige 

Integral  der  Gleichung;  denn  es  besitzt  m*  Werte,   so  dass    es 

keine  anderen  Integrale   irgend    welcher   Art  geben   kann.     In 

der  gegenwärtigen  Arbeit  erforscht  der  Verfasser  die  Bildangs- 

weise  einlösiger   Gleichungen   zweiter  Ordnung.    Er  betrachtet 

auch  einlösige  simultane  Gleichungen.  Glr.  (Lp.) 


L.  J.  Rogers,  Matz.     Solution  of  question  8841. 

Ed.  Times  XLVIII.  34. 
Die  Stammgleichung  der  Reciprocanten-Gleichung 

^\dx)   dx'       ^  dx    dx'  dx'^^\dx')  -^ 
ist  («•+2pa:+p)  (y'+2ry +*)  =  (p'-«)  (r»-5)  Lp. 


E.  PiCARD.      Sur    la  limite  de  convergence    des    s^ries 
repräsentant  les  integrales  des  ^uations  diff^rentielles. 

C.  R.  CVI.  1466-1467. 

Bedeutet  in  der  Gleichung 

t = «'.»> 

f{x^y)  eine  Function,  die  für  alle  Werte  von  x  und  y  innerhalb 
der  um  x^  und  y^  mit  den  resp.  Radien  a  und  b  beschriebenen 
Kreise  holomorph  ist,  und  ist  M  der  grösste  Modul  von  f{x^i) 
in  diesem  Bereich,  so  existirt  bekanntlich  ein  Integral  der  Glei- 
chung, entwickelbar  nach  der  Taylor'schen  Reihe*mit  dem  Werte 
y^  für  X  ==•  Xq.  Als  Radius  des  Kreises,  in  welchem  die  Reihe 
notwendig    convergirt,   geben    Briot  u.  Bouquet  den  Ausdruck 


a(l  —  e  ^^ ).  Der  Verfasser  kann  diesen  Ausdruck  durch  einen 
grösseren  Grenzwert  ersetzen.  Die  Reihe  convergirt  noch  inner- 
halb eines  Kreises,  dessen  Radius  die  kleinste  der  Grössen  a  und 

-|r-  ist.     Der  Beweis  hierfür  soll  später  veröffentlicht  werden. 

Ja 

Hr. 


Oapitelö.    Qewöhnliche  DifferentialgleichuDgen.  333 

P.   Painleyä.     Snr   les  ^quations  differentielleis  du  pre- 
mier  ordre,     c.  R.  GVII.  221-224,  320-323,  724-726. 

Gegenstand  der  Untersuchung  sind  Differentialgleichungen 
erster  Ordnung  F{y^y\x)  =  0,  deren  allgemeines  Integral  ausser 
festen  singulären  Punkten  noch  bewegliche,  d.  h.  mit  der  Inte- 
grationsconstante  veränderliche  singulare  Punkte  der  Art  hat, 
dassy  bei  einem  keinen  der  festen  Punkte  einseht iessenden  Kreis- 
lauf von  X,  der  willkOrlich  angenommene  Anfangswert  y^  fbry 
bei  beliebigem  x^  nur  in  n  Werte  Voi  Vn  •  -  *i  Vm-i  tibergeht.  Ein 
solehes  Integral  genügt  dann  der  Gleichung 

wo  die  Ri  rationale  Functionen  tou  y^^y\  sind,  deren  Goefficienten 
Ton  x^  and  x  in  beliebiger  Weise  abhängen  können,  und  es  kann 
auch  in  die  Form  gesetzt  werden 

C  =  A(y,y',^)         (A  rational  in  y  und  y'). 
Zwischen  zwei  solchen  Darstellungen 

besteht  eine  algebraische  Beziehung  A(y,/)  =  0,  so  dass  ein  be- 
liebiges Integral  C  eine  rationale  Function  von  y  und  y*  ist.  y  und  / 
stellen  eine  rationale  Correspondenz  her  zwischen  den  beiden 
algebraischen  Curven  Ä  =  0  und  F  =  0  (in  letzterer  Gleichung 
X  als  Constante  betrachtet).  Die  Theorie  der  rationalen  Trans- 
formationen der  algebraischen  Curven  gestattet,  die  Frage,  ob 
das  Integral  eine  endliche  (übrigens  unbekannte)  Anzahl  von 
Bestimmungen  um  die  beweglichen  singulären  Punkte  habe,  zu 
entscheiden,  wenn  das  Geschlecht  n  von  h  grösser  als  1  ange- 
nommen wird.  Wie  aber  n  auch  sei,  es  lässt  sich  stets  durch 
rein  algebraische  Operationen  erkennen,  ob  das  Integral  nur 
n  Werte  um  bewegliche  singulare  Punkte  erhält,  falls  n  gegeben 
ist.  Je  nachdem  n>\^  =  1,  oder  0  ist,  geschieht  die  Integra- 
tion algebraisch  oder  durch' Quadratur  oder  durch  Zurttckftihrung 
auf  eine  Riccati'sche  Gleichung.  Hr. 


334  ^^'  AbschDÜt.    Differential-  and  lotegralrechnnog. 

L.  AuTONNB.  Sur  Fapplication  des  sabstitutious  qaa- 
dratiques  crömoniennes  ä  Tint^gration  de  l'^qaation 
diflfdrentielle  du  premier  ordre.  (Suite.)   0.  R.  CVL  262-265. 

Die  in  den  G.  R.  vom  7.  und  14.  November  1887  (F.  d.  M. 
XIX.  339)  dargelegte  Methode  der  Integration  einer  Differential- 
gleichung erster  Ordnung  H,  mittelst  geometrischer  Darstellung 
der  Integrale  durch  Gurven  auf  einer  der  Differentialgleiehung 
H  zugehörigen  Fläche  S  im  Räume  und  Anwendung  der  Gremona'- 
sehen  quadratischen  Substitutionen,  wird  hier  weiter  entwickelt 
und  an  folgenden  Beispielen  ausgef&hrt,  in  denen  die  Integra- 
tion von  ff  auf  Quadraturen  zurflckgef&hrt  wird. 

1)  S  hat  die  Gleichung 

wo  i4,  J3,  C,  D  binäre  Formen   der  Ordnungen  a,  /9,  y^  d  sind 
(a  +  d  =  /»  +  y). 

2)  S    ist    eine   Regelfläche    mit   zwei    geraden  Leitlinien, 

und  diese  sind  entweder  conjugirt  zum  Gomplex  (12)  — (34)  =  0 

oder   liegen   auf  demselben,    (ik)  =  atbk  —  ajtbi    bedeuten    die 

sechs  homogenen  Goordinaten  der  Geraden 

-Sa.»*  =  0,  ^6,«fc  =  0     (i,k  =  1, 2,  3,  4). 

Hr. 


R.  LiouviLLE.     Sur  certaines  dquations  diff^rentielles  du 
premier  ordre,     c.  r.  ovi.  1648-1651. 
Die  Gleichung  von  der  Form 

»'  +  ö|»'  +  3a,y'  +  3o,y  +  a,  =0, 
worin  a^J...^a^  beliebige   Functionen   von  x  sind,   lässt   sich 
durch  geeignete  Substitutionen  stets  auf  eine  lineare  Gleichung 
dritter  Ordnung  zurQckf&hren.    Dasselbe  gilt  von  der  Gleiehung: 

y"  +  3(Ay+A)y'  +  y,»*  +  3r,y'  +  3y.y  +  y,  =0, 
wenn  25y,  — 18/JJ  =  0. Hr. 

W.  P.  WoRKMAN.     The  theory    of  the  singular  Solutions 
of  the  integrable  differential  equations  of  the  first  order. 

Quart.  J.  XXII.  175-198,  808-324.  (1887.) 

Nach    einer   historisch  kritischen    Einleitung    über   die   von 


Gapitelö.    Gewöhnliche  OifferentialgleichtiDgen.  335 

Darboux,  Gayley,  Casorati  u.  a.  entwickelte  Theorie  der  singu- 
l&ren  LöBangen  der  algebraischen  Differentialgleichungen  erster 
Ordnung,  die  ein  allgeftieines  algebraisches  Integral  zulassen, 
giebt  der  Verfasser  eine  allgemeine  Methode  zur  Ableitung-  des 
tac  -  locus  aus  der  Integralgleichung  und  dehnt  die  Theorie 
der  singulären  Lösungen,  welche  von  Cayley  nur  fdr  gewöhn- 
liche Singularitäten  abgeleitet  worden  ist,  auch  auf  höhere  Sin- 
gularitäten aus.  .  T. 


W.  Kaptktn.      Note   sur  les   Solutions    singuli^res    des 
^quatioDs  diff^rentielles  du  premier  ordre.    Darbouz  Ball. 

(2)  XII.  135-143. 

I^eue  Herleitung  der  von  den  Herren  Darboux  (G.  R.  LXX. 
und  LXXI.  1870)  und  Cayley  (Messenger  II.  1872  und  VI.  1876, 
F.  d.  M.  IV.  148  und  VIII.  185)  aufgestellten  Sätze  betreffs  der 
singulären  Lösungen  der  Differentialgleichungen  erster  Ordnung 
and  n^°  Grades  in  Beziehung  auf  y\  in  welchen  die  Coefficienten 
rationale  Functionen  von  x  und  y  sind.  Hr. 


W.  Hbtmann.  üeber  die  Differentialgleichung    ,^  =  ^\' 

Sehlömilch  Z.  XXXIII  61-64. 

Die  Lösung  der  vorstehenden  Gleichung  in  algebraischer 
Gestalt  lautet: 

(1)        (x+l)(y-l)«-c(x-l)(y+l)-  =0, 
und  wird  für  c  =  1 : 

(2)     r=  jr-nja;y«-i+fi,y— 2— n,(ry"-3  +  ...  ^  q,  w»  =  (  ^  ). 

Der  Umstand,  dass  (2),  als  aus  (1)  entstanden,  algebraisch 
auflösbar  ist,  wird  angewandt  1)  auf  die  Auflösung  der  allge- 
meinen kubischen  Gleichung,  2)  auf  die  Auswertung  des  Inte- 
grals /  ^—^ —  fttr  «  =  const.  durch  Logarithmen  und  Kreis- 

(y  +  i)yy 

bogen.     Es  ergiebt  sich  hierbei,  dass  das  Integral 


336  ^I*  Abschnitt.     DiffereDtial-  ond  lotegralrechnnog. 

dz 


/ 


für  beliebige  A,  0,  C  in  obiger  Weise  *  bestimmt   werden    kann, 
fall»  y  der  Bedingung 

(il*-  3JJ)y'+  (AÄ~9C)y +  B»— 3^C  =  0 
genügt.  Hr. 

» 

A.  Caylby.    '  Note     on     the     differential     equatioii 

dx  dy  ^ 

,.  +     >,        ,  =  0.     Mess.  (2)  XVIir.  90. 

yi— «'     yi— y 

Methode  zur  Herstellung  des  Zusammenhanges  des  Integrals 
c  =r  ajy  —  y(l  —  a?')(l—.y')  dieser  Gleichung  mit  dem  Integrale 

^-i — J- 5^^   =  C,  welches  letztere  dadurch  entsteht, 

dass   man   1  —  xd*   und    1  —  y*   für   die   biquadratischen    Func- 
tionen   X    und     Y    in    Lagrange' s    Integral    der    Gleichung 
dx    .    dy        ^      ^  ^ 

--rr-  4-  --^   =  0    setzt. 

yx    yy 

Glr.  (Lp.) 


G.  H.  Halphen.     Sur  T^quation  d'Euler.   Palermo  Rend.  ii. 

4044. 

Handelt  es  sich  um  die  Integration  der  Gleichung 

dx         dx, 

VI  -  MX, 

WO  X  ein  Polynom  vierten  Grades  in  X,  X^  das  nämliche  in  x, 
ist,  so  hat  man  nach  Euler  drei  Polynome  A^  £,  C  zweiten  Grades 
in  X  so  zu  bestimmen,  dass  X  =  AG — B"  und  F=  Ax\'\'2Bx,-\-C 
symmetrisch  in  x  und  x^  ist.  F  =  0  ist  dann  das  allgemeine 
Integral  mit  einer  willkürlichen  Gonstante.  Hierbei  macht  die 
Erfüllung  der  Bedingung  der  Symmetrie  einige  Schwierigkeit. 
Diese  umgeht  der  Verfasser  in  folgender  Weise.  Man  wähle 
drei  Polynome  zweiten  Grades  a,  b^  c  m  x  ohne  weitere  Be- 
dingung,  als   dass   X  =  ac^h^   ist;   dann   werden   die   beiden 


Gapitel  5.    Gewöhnliche  DififereDtialgleicbangen.  337 

Zweige  der  durch  die  Gleichung 

ay^  +  2by  +  c  =  0 

definirten  algebraischen  Function  x  von  y,   die   mit  x   und  x^ 

bezeichnet  seien,  der  Gleichung  (1)  genügen.     Das  algebraische 

Integral  derselben  wird  also  durch  Elimination  von  y  aus  den 

Gleichungen 

ay'  +  2by  +  c  =  0,    ay  +  2b,y  +  c,  =  0 

erhalten,  also  durch  die  Formel  gegeben 

(2)        (ac,-2bb,+ca,y  =  4(6'-flc)(fcJ-a,0  =  4XX,; 
^11  ^11  ^1  bedeuten  dieselben  Functionen  in  x^   wie  a,  &,  c  in  x. 
Um   berTortreten   zu   lassen,   dass   die  Gleichung  (2)  nur   eine 
willkürliche  Gonstante  enthält,   wird  bemerkt,    dass  (2)  auf  die 
Form  gebracht  werden  kann 

(3)     (iP+x(x-x,yy  =  4XJ., 

wo  P  irgend  ein  in  x  und  a^j  symmetrisches  doppelt  quadrati- 
sches Polynom  ist,  welches  für  x  -=  x^  in  2X  übergeht.  X  ist 
eine  willkürliche  Gonstante.  Die  verschiedenen  Formen,  unter 
denen  man  P  darstellen  kann,  ergeben  yerschiedene  Integral- 
formen, in  denen  stets  nur  eine  willkürliche  Gonstante  k  vor- 
kommt.   Einige  solcher  Formen  werden  angegeben.  Hr. 


R.  Rawson,  D.  Edwardes.     Solution  of  question  7902. 

Ed.  Times  XLVIU.  32-3a 

Das  allgemeine  Integral  der  Differentialgleichung 

ist: 

\CÄ,^B,A,x'\y'  +  2\{A,B,)KA,-\-C'^CA>^\xy+A,+CB,x^  =  0. 

Lp. 

J.  B.  PoMET.     Sur  Tint^gration    de  l'^quation  diff^ren- 
tielle  des  coniques  homofocales.    Noqv.  Aoo.  (ß)  VII.  194-196. 

Die  Differentialgleichung 

'»(-ä-y+c--»--«')^-'» = 0 

FortMhr.  d.  UMÜt,  XX.  1.  22 


ä38  ^^-  Abschnitt.    Differential-  and  Integralreohoang. 

wird  gewöhnlich  in  der  Weise  integrirt,  dass  man  sie  darch  die 
Sabstitution  o;'  =  u,  y*  =^  e  auf  die  Clairaut'sohe  Form  bringt. 
Aber  man  kann  sie  direet  integriren,  indem  man  sie  Eanächst 
schreibt 

xdy  —  ydx   cdx 

cdy  ""    xdx'\'ydy  ' 

woraus  folgt 

(a?+c)(ia?+y^y  __      (x'\-c)dy—ydx     __  y(a:+c)*-|-y* 
(x-c)dx+ydy  ""    —(X'-'C)dy+ydx  ""  y^x—cy+p 

und  endlich 

(a?+c)(fa?+yrfy   ,     (x—c)dx+ydy   _ 

woraus  unmittelbar  das  Integral  folgt 

VOc+cy+y'  ±y(x-cy+y'  =  2a. 

Hr. 


C.  F.  BjOrling.      Ueber  die  Coincidenzcurve  der  alge- 
braischen    Differentialgleichungen     erster     Ordnung. 

Stockholm  Akad.  16  S.  8o.  (1887.) 


E.  Jahnkb.  Zur  Integration  von  Differentialgleichungen 
erster  Ordnung,  in  welchen  die  unabhängige  Ver- 
änderliche explicite  nicht  vorkommt,  durch  eindeutige 
doppeltperiodische  Functionen.   Dias.  Halle.  33  S.  4*. 


Alf.  Guldberg.       Bemärkninger     over     Ligningen 

y-^+  Py  =  Q'      Zeuthen  TidsB.  (6)  VI.  203-206. 

Der  Verfasser  giebt  einige  Fälle  an,  in  denen  man  die 
Gleichung  y-p-  +  Py  =  Q  integriren  oder  wenigstens  particuläre 
Integrale  finden  kann.  V. 


Cmpiiel  5.    GewöhDliohe  Differentialgleichangen.  339 

BocHOW.      Zasammenhang    zwischen    particulären    und 
allgemeinen  Integralen  gewisser  Differentialgleichangen. 

SehlomUeh  Z.  XXXIII.  101-110. 

Enthält  lediglich  Bekanntes,  u.  a.  die  Thatsache,  dass  die 
allgemeiDe  Lösung  einer  linearen  homogenen  Differentialgleichung 
gegeben  ist,  wenn  zwei  particnl&re  Lösungen  gefunden  sind. 

Hr. 

« 

A.  R.  FoRSYTH.     On   the  theory  of  forms   in  the  inte- 
gration   of  linear  differential  equations  of  the  second 

Order.      Quart.  J.  XXIII.  45-78. 

Die  Hineinziehun^  der  Theorie  der  Formen  in  die  Unter- 
suchung der  Integrale  linearer  Differentialgleichungen  datirt  von 
der  Arbeit  des  Herrn  Fuchs  betreffs  der  Existenz  algebraischer 
Integrale'  zweiter  Ordnung  (J.  f&r  Math.  LXXXI,  F.  d.  M.  VII. 
1875.  172).  Seitdem  haben  sich  mit  diesem  Gegenstande  Herr 
Klein  und  insbesondere  Herr  Brioschi  beschäftigt.  Die  Methode 
des  letzteren  ist  auf  Herrn  Hermite's  Theorie  der  associirten 
Covarianten  (Math.  Ann.  XL  401-412,  F.  d.  M.  IX.  1877.  238) 
gegründet.  Zweck  der  vorliegenden  Abhandlung  ist,  an  der 
Hand  von  Beispielen  die  Brioschi'sche  Methode  zu  entwickeln. 
Nach  einer  Zusammenstellung  der  wichtigsten  Resultate  aus  der 
Theorie  der  Covarianten  erfolgt  ihre  Anwendung  auf  die  Lösung 

der  Differentialgleichung  zweiter  Ordnung  --t4  =  Jy(J  eine  Func- 
tion von  i)  fttr  die  Fälle,  dass  die  Form  /'(ynS^,),  die  als  Func- 
tion von  X  gegeben  ist,  vom  zweiten  bis  fttnften  Grade  ist,  und 
noch  fttr  den  Fall  eines  beliebigen  Grades  n,  wenn  /'(y,,^,)  die 
specielle  Gestalt  aoy7-f  a,  y;  hat.  Es  werden  in  allen  diesen 
Fällen  der  zugehörige  Wert  von  J  und  die  Lösungen  yj,y,  in 
expliciter  Form  hergestellt.  Hr. 


K.  Heun.  Ueber  Euler's  homogenen  linearen  Multi- 
plicator  znr  Integration  der  regulären  linearen  Diffe« 
rentialgleichungen  zweiter  Ordnung.      Math.  Add.   xxxi. 

363-873. 

22* 


340  VI.  Abschnilt.    Differential-  aod  lotegralrecliDaDg. 

Euler  hat  in  seinen  Inst.  calc.  integr.  gezeigt,  dass  eine 
lineare  homogene  Differentialgleichung  zweiter  Ordnung  mit  y 
als  abhängiger   und   x  als   unabhängiger  Veränddriichen  durch 

einen  Multiplieator  von  der  Form  J~^ — ^"5""*  integrabel  ge- 
macht werden  kann.  J  genügt  einer  linearen  homogenen  Diffe- 
rentialgleichung dritter  Ordnung.  Zur  näheren  Untersuchung 
dieser  Integrationsmethode  wird  vorausgesetzt,  dass  die  vorge- 
legte Differentialgleichung  zweiter  Ordnung  zu  denen  gehöre, 
deren  Integrale  sich  in  allen  singulären  Punkten  und  im  Un- 
endlichen regulär  verhalten.  Sie  kann  dann  bekanntlich  stets  in 
eine  Gleichung  von  der  Form 

transformirt  werden,  worin  v^  =  (a?— §,)...  (« — f,),  x  ^^^  ® 
ganze  Functionen  vom  Grade  resp.  i — 1  und  t — 2  sind.  Die 
Gleichung  für  J  besitzt  dieselben  singulären  Stellen  wie  die  vor- 
gelegte Gleichung  mit  ebenfalls  Überall  sich  regulär  verhalten- 
den Integralen.  Der  Verfasser  stellt  sich  nun  die  Frage,  wie 
(1)  beschaffen  sein  muss,  damit  die  Gleichung  für  J  eine  Trans- 
formation in  eine  Gleichung  für  G  zulasse,  nach  der  der  Coeffi- 

cient  von  -j—f  die  Function  tp  und  die  folgenden  GoefBcienten 
dx 

ganze  Functionen  mit  successive  um  eine  Einheit  abnehmendem 

Grade  sind.     Die  Untersuchung  ergiebt,  dass  dies  nur  der  Fall 

ist,  wenn  %  =  iV'  ^®^  ^^®  Gleichung  (1)  also  in 

,^.  d'iD  .  ,  • ,  rftt?    .  -, 

übergeht.  Die  Gleichung  für  G,  von  der  die  Kenntnis  einer 
Particularlüsung  genügt,  um  (2)  vollständig  zu  integriren,  lautet 
dann 

(3)        ^^  +  W  5|-  +  aV"+4-)^  +  2«,'G  =  0. 

Dieselbe  Gleichung  (3),  zu  der  man  hier  durch  die  Theorie  des 
Euler'schen  Multiplicators  geführt  wird,  ist  bereits  von  Herrn 
Fuchs  in  den  Gott.  N.  1878  (F.  d.  M.  X.  231)  zur  Lösung  von 


Gapitel  5.     Gewöhnliche  Difierentialgleichungeo.  341 

(2)  angewandt  worden.  Für  t  =  3  wird  die  Gleichung  (2)  eine 
Lamä'sche  Gleichung,  und  wie  Herr  Fuchs  gezeigt  hat,  geattgt 
dann  stets  eise  ganze  Function  der  Gleichung  (3),  so  dass  in 
diesem  Falle  die  Gleichung  (2)  allgemein  integrirt  werden  kann. 
Aus  der  vorliegenden  Untersuchung  erhellt,  dass  der  Fall  der 
Lam^'echen  Differentialgleichung  der  einzige  ist,  in  welchem 
die  Bestimmung  des  integrirenden  Multiplicators  die  Integration 
wesentlich  vereinfacht.    (S.  oben  S.  324.)  Hr. 


J.    GocKLE.     On  the  general  linear  differential  equation 
of  the  second  order.     Lond.  M.  s.  Proo.  xix.  257-278. 

Eine  Fortsetzung  der  Notiz:  ^On  the  equation  of  Riccati^ 
(Lond.  M.  S.  Proc.  XVIII.  180-202),  ober  welche  F,  d.  M.  XIX. 
1887.  331  berichtet  worden  ist.  Der  Verfasser  will  zeigen,  dass 
die  allgemeine  lineare  Differentialgleichung  zweiter  Ordnung 
lösbar  sei  ^mit  Hülfe  einer  algebraischen  Gleichung,  deren 
Coefficienten  jedoch  im  allgemeinen  nicht  algebraisch  sind^;  es 
ist  indessen  aus  der  Abhandlung  nicht  zu  ersehen,  in  welcher 
Weise  dies  ausfahrbar  sein  soll.  P.  G. 


W.  W.  Johnson.     On  the  integrals  in  series  of  binomial 
diflferential  equations.     American  J.  X[.  37-54. 

Es  werden  zunächst  ^binomische''  lineare  Differentialglei- 
changen  zweiter  Ordnung  betrachtet,  d.  h.  solche,  die  mit  Be- 
nutzung des  Symbols 

~"      '  dx       N      dlogx/ 
in  der  Form 

geschrieben  werden  können  (f  und  q>  ganze  rationale  Functionen 
zweiten  Grades  von  &) ;  wobei  noch  s  =  1  angenommen  werden 
darf.  Die  Reihenentwickelungen  der  regulären  Integrale  in  der 
Umgebung  von  x  =  0  werden  für  die  verschiedenen  Möglich- 
keiten aufgestellt,  wobei  die  Resultate  in  den  Fällen,  wo  Loga- 


342  ^I*  Abschnitt.    Differential-  nnd  Integralrechnang. 

rithmen  aaftreten,  durch  einen  dem  Referenten  nicht  unbedenk- 
lich erscheinenden  Grenzübergang  erhalten  werden.  Im  zweiten 
Teil  zeigt  der  Verfasser/  wie  die  Methode  auf  ähnlich  gebaute 
lineare  Differentialgleichungen  dritter  Ordnung  auszudehnen  ist. 

P.  G. 

P.  ScHAFHEiTLiN.  üebcr  die  Integraldarstellung  der 
hypergeometrischen  Reihe.  Math  Ann,  XXXT.  156. 
Erwiderung  auf  eine  von  Herrn  Sonine  (Math.  Ann.  XXX. 
582,  F.  d.  M.  XIX.  1887.  443)  erhobene  Prioritätsreclamation. 
Es  wird  bemerkt,  dass  die  Formeln  (vergl.  die  Abhandlung  des 
Verfassers,  Math.  Ann.  XXX.,  157-178;  F.  d.  M.  a.  a.  0.),  aaf 
welche  diese  Reclamation  sich  bezieht,  zwar  der  Form  nach  von 
Herrn  Sonine  aufgestellt  seien,  dass  ihr  Inhalt  dagegen  mit  dem 
der  Formeln  des  Verfassers  sich  nicht  decke.  P.  G. 


H.  Gtlden.      Integration  af  en   icke-liniär  Differential- 

Equation   af  2.   ordning.     Stockholm  Akad.  15S.  8^ 


J.    COCKLE.      Solution   Of  question    9195.   Ed.  Times  XLIX.  53. 

Integration  der  Differentialgleichung 

d*u  _^  u 

li^  ""  (a'  +  bH^y 
fttr    die    Fälle   m  =  1  und  2    durch   die    Substitutionen    bezw. 
4*  =  6'aj' — c'  und  t  =  nsinö  nebst  fc'n*  =  — a*.  Lp. 


J.  CocKLE.     On  synthetical  Solution  and  on  deformation. 

Qaart.  J.  XXIir.  1-7. 

Der  Verfasser  bemerkt,  dass  er  die  von  Herrn  W.  Thomson 
in  seiner  Abhandlung  „Mechanical  Integration  etc."  (Lond.  R. 
S.  Proc.  XXIV.  271,  F.  d.  M.  VIII.  1876.  200)  gesuchte  Re- 
duction  der  Differentialgleichung 

^    d'u    ,   _  d*-^u   ,         ,  ^    du 


Gapitel  5u    GewöhDÜche  DiffereDtUlgleicbaogeD.  343 


aaf  die  Form 

1     d     1     d 

1 

d     1    du 

"  ~  P,   dx  P,   d* 

Pi-X 

dx    Pi    dx 

ftr  •  >  2,  in  seiner  Arbeit  „On  primary  forms^  (Phil.  Mag.  1875, 
F.  d.  M.  YII.  193)  unter  gewissen  Bedingungen  fUr  t  =  3  ge- 
leistet hat.  Sie  kommt  mit  dem  flberein,  was  er  in  der  Abhand- 
luDg  „Od  the  relation  of  certain  symbols'  (Quart.  J.  XVII.,  F. 
d.  M.  XII.  1880.  268)  mit  synthetischer  Lösung  bezeichnet.  Auf 
diese  Arbeit  und  deren  Fortsetzungen  (Addendum  und  Second 
addendam  Quart.  J.  XXII.,  F.  d.  M.  XIX.  1887.  333)  sieht  er 
sich  dadurch  veranlasst,  mit  einigen  ausführenden  Erläuterungen 
zurOckzokommen,  unter  vergleichendem  Hinweis  auf  Mitteilungen 
des  Herrn  Rawson  über  diesen  Gegenstand.  Hr. 


L.  ScHLBSiNGBR.  Ein  Beitrag  zur  Theorie  der  lineareu 
homogenen  Differentialgleichungen  dritter  Ordnung 
mit  einer  Relation  dritten  Grades  zwischen  den  Ele- 
menten   eines    Fnndamentalsystems    von    Integralen. 

Dia«  Kiel.  BerltD.  Mayer  &  Maller.  83  S. 

Die  linearen  homogenen  Differentialgleichungen,  zwischen 
deren  Integralen  homogene  Relationen  höheren  als  ersten  Grades 
bestehen,  sind  zuerst  von  Herrn  Fuchs  in  den  Acta  Math.  I.  (F. 
d.  M.  XIV.  1882.  242,  XV.  1883.  256)  zum  Gegenstande  einer 
allgemeinen  Untersuchung  gemacht  worden,  die  in  ihrem  Verlauf 
und  in  ihren  Ergebnissen  zugleich  einen  wichtigen  Beitrag  zur 
Functionentheorie  bildet.  In  der  vorliegenden  Arbeit  werden 
auf  rein  algebraischem  Wege,  ohne  über  den  analytischen  Charakter 
der  Coefficienten  der  Differentialgleichung  irgend  welche  Voraus- 
setzungen zu  machen,  zunächst  einige  allgemeine  Resultate  der 
Fuchs'schen  Arbeit  abgeleitet,  um  daran  eine  erschöpfende  Be- 
handlung derjenigen  Differentialgleichungen  dritter  Ordnung  zu 
knfipfen,  zwischen  deren  Integralen  eine  homogene  Relation 
dritten  Grades  stattfindet.  —  Der  Verfasser  beginnt  mit  der 
Aufstellung  von  Invarianten  der  Differentialgleichung 

0)    -^+p;w^+p,w-^+p.w  =  o. 


344  VI  Abschnitt.    Differential-  und  IntegralreclmaDg. 

d.  h.  solchen  aus  den  Goefficienten   und  deren  Ableitungen    ra- 
tiona]  gebildeten  Ausdrücken,  die  bei  der  Transformation 

bis   auf  eine   Potenz   von  q>'(t)  als    Factor  ungeändert  bleiben. 
Setzt  man 

dann  sind 

g  =  2»-m'  und  h  =  7(-^)  — 6-^+9m 

Invarianten,  und  zwar  ist  die  erwähnte  Potenz  für  g  die  dritte, 
für  p  die  zweite  und  demnach  h*:g\  als  zur  nullten  Potenz  ge- 
hörig,  eine  „absolute  Invariante".    Die  logarithmische  Ableitung- 
der  letzteren    wird    mit   k    bezeichnet   und  vorausgesetzt,    dass 
weder  g  noch  h  noch  k  identisch  Null  ist     Man  findet  dann  um- 
gekehrt, falls  mit  der  Gleichung  (1)  ihre  transformirte  gegeben 
ist,   aus  diesen  mittelst  der  Gleichung   h*:g*  =  f)*:  g',  worin   ^ 
und  g  die  h  und  g  entsprechenden  aus  den  Goefficienten  der  trans- 
formirten  gebildeten  Ausdrücke  bezeichnen,  die  Transformations- 
function  a  =  rf  (/);    woraus  erhellt,  dass,  wenn  die  Goefficienten 
in  den  beiden  in  einander  transformirten  Gleichungen  algebraisch 
sind,  auch  q^Q)  algebraisch  ist.    Sind  ferner  bei  derselben  Vor- 
aussetzung  betrefi's   der   Goefficienten   die   Integrale  der  ersten 
Gleichung  algebraisch,   so   sind  es  auch  die  der  transformirten, 
bis  auf  einen  allen  gemeinsamen  Factor  ^(<),  dessen  logarithmi- 
sche Ableitung,  wie  sich  unmittelbar  ergiebt,    eine  algebraische 
Function    sein     muss.      Nun    Iftsst    sich    zeigen,    dass,    wenn 
zwischen  drei  linear  unabhängigen  Integralen  einer  Differential- 
gleichung (1)  eine  homogene  in*eductible  Relation  mit  constanten 
Goefficienten  besteht,   und  für   eine   zweite  Differentialgleichung 
dritter  Ordnung   mit  u  als  abhängiger  und  mit  t  als  unabhän- 
giger Variablen  dieselbe  Relation  zwischen  deren  Integralen  gilt, 
die  zweite  Differentialgleichung   aus   der   ersten  durch  die  Sub- 
stitution z  =  ^(0,   y  =  u.^(f)  ableitbar   ist.     Es   sei   nunmehr 
^pC^ny^iy«)  =  0  die   Relation  zwischen   den  Integralen  von  (1). 
Man  setze  für  y^^  y^  beliebige  algebraische  Functionen  gi(0i9i(0 
eines  Parameters  /  und  bestimme  der  Relation  gemäss  y,  =  9i(0' 


Gapitelö.    GewöbDÜche  Differeotialgleichuogen.  345 

Dann  genflgen  i»,  =  g^(t)^  ii,  =  ^,(0,  «,  =  ^j(0  einer  linearen 
Differentialgleichung  mit  algebraischen  Goefficienten,  zu  der  die- 
selbe Relation  gehört  wie  zur  Gleichung  (1).  Hat  nun  die 
Gleichung  (1)  algebraische  Coefficienten,  so  müssen  nach  dem 
eben  Bemerkten  die  Integrale  von  (1)  algebraische  Functionen 
von  3  sein  bis  auf  einen  gemeinsamen  Factor,  dessen  logarith- 
mische Ableitung  algebraisch  ist.  Gehört  (1)  zur  Fuchs'schen 
Klasse,  so  sind  alle  Integrale  algebraisch  in  Uebereinstimmung 
mit  einem  Satze  des  Herrn  Fuchs.  Den  Schluss  dieses  ersten 
allgemeinen  Teils  der  Arbeit  bildet  der  Nachweis,  dass  das  Ver- 
schwinden der  Invariante  g  die  notwendige  und  hinreichende 
Bedingung  fOr  die  Existenz  der  Relation  zweiten  Grades  yl  =  yi  y^ 
ist.  Zu  den  Gleichungen  mit  algebraischen  Goefficienten  über- 
gehend, deren  Integrale  u  als  Functionen  von  i  einer  Relation 
dritten  Grades  genügen,  benutzt  der  Verfasser  den  Umstand, 
dass  die  Relation,  falls  sie  keine  Singularitäten  enthält,  stets 
aaf  die  Form 

/"(»!» «i»Ws)  =  «I  +  wJ  +  i*J+6»»w,ti,ti,  =0 
gebracht  werden  kann.    Nach    einem    Satze    des    Herrn  Fuchs 
muss  die  Hesse*sche  Govariante 

H(f)  =  m'Ctif  +  uj  +ttj)-(l  +  2m')u,u,u,  ==  ^(0 

sein,  wo  x(0  bei   einem   beliebigen  Umlauf  von  /  sich  nur  um 

constante  Factoren  ändert  Setzt  man  u  =  Cx[t)^y^  so  geht  die 
Differentialgleichung  für  u  in  eine  für  y  über,  deren  drei  Fun- 
damentalintegrale der  Gleichung 

genügen,  wo  xj)  eine  noch  unbestimmte  Function  von  /  ist  Durch 
die  Substitution  z  •=  yj(i)  erhält  man  eine  Differentialgleichung  für  y 
mit  der  unabhängigen  Variablen  &  und  dem  algebraischen  Integral 

y'  +  6my'  +  zy'^l  =0. 

Nach  dem  Erwähnten  müssen  die  Integrale  der  Gleichung  in  (u) 
bis  auf  den  gemeinsamen  Factor  ^(0  =  % (<)""*  alle  algebraisch 
sein,  ihre  Form  ist  durch  (2)  festgestellt,  tpQ)  ist  ebenfalls  eine 
algebraische  Function  und  xO)  ®>ße  Function,  deren  logarith- 
mische Ableitung  algebraisch  ist    Der  Differentialgleichung  für 


346  VI.  AbscbDitt.    Differential-  oad  Integralrechnnog. 

y  kann  man  die  bemerkenswerte  Form  geben 

D  ist  eine  ganze  Fanetion  dritten  Orades  von  s  mit  constanten, 
nur  von  m  abhängigen  Goeffioienten,  die  keine  gleichen  linearen 
Factoren    enthält.     Die    Form    (3)    bleibt   bei    der    Substitution 
»  =s  a^*  -\-  ß  erhalten,  und  wenn  man  noch  m  unbestimmt  lässt, 
so  kann  für  D  jedes  beliebige  Polynom  dritten  Grades  in  s  ohne 
gleiche  lineare  Factoren  genommen  werden,  und  man  erhält  da- 
her folgendes  Resultat:  Alle  Differentialgleichungen  dritter  Ord- 
nung mit  algebraischen  Coeflficieuten,  zwischen  deren  Integralen 
eine  homogene  Relation  dritten  Grades  ohne  Singularitäten  statt- 
findet,   werden    aus  der  Gleichung  (3),  worin  D  ein  beliebiges 
Polynom  in  2  ohne  gleiche   Factoren  bedeutet,   durch  die  Sub- 
stitution z  =  9)(l),  y  =  ttc/*'^'^*  erhalten;  ^  und  r  bedeuten  be- 
liebige algebraische    Functionen.   —    Es  handelt  sich  nunmehr 
darum,    an  einer  vorgelegten  Differentialgleichung  zu  entschei- 
den, ob  ihre  Integrale  durch  eine  Relation  dritten  Grades  ohne 
singulare  Punkte  verbunden  sind.    Die  Kriterien  hierf&r  werden 
mit  mtlfe  der  Form  (3)   durch   gewisse  Bediogungsgleichungen 
gegeben,    in   denen  nur  invariante   Ausdrücke   der  Differential- 
gleichung auftreten.    Sind  dieselben  erfQllt,  dann  werden  die  zu- 
gehörige Relation,    die   Substitutionsfunctionen  q>  und  r,    sowie 
das   vollständige  Integral  dargestellt,    wobei    sich   zeigt,    dass, 
wenn  die  Coefficienten    der  Differentialgleichung  rational    sind, 
dasselbe  von  q>  und  r  gilt.     Die  Fälle,  in  welchen  die  Relation 
dritten  Grades  Singularitäten  enthält,  werden  ebenfalls  erledigt 
Hierbei  bedingt  der  Fall  des  Doppelpunktes  nur  leichte  Modifi- 
cationen   der    allgemeinen    Ergebnisse.     Dagegen  erfordert  der 
Fall  des  Rttckkehrpunktes,  der  nur  eintritt,  wenn  ä;  =  0  ist,  be- 
sondere Erörterungen.    Hier  gilt  nicht  mehr  der  Satz,   dass  die 
Integrale  der  Differentialgleichungen,  zu  denen  Relationen  dieser 
Art  gehören,   bis   auf  einen   gemeinsamen   Factor   algebraisch 
sind.     Auch  sei  noch  bemerkt,   dass  die  Fälle,  in  denen  g  oder 
h  oder  k   verschwindet,   ganz   allgemein   erledigt   werden.    Die 


CApitel5.    Gewöhnliche  DifferentialgleichaDgen.  347 

betreffenden  Differentialgleichungen  lassen  sieh  alle  durch  eine 
Tranpfomiation  der  mehrerw&hnten  Ai-t  aus  einer  Differential- 
leichnng  mit  constanten  Coefficienten  ableiten. 

Hr. 


IT 


L.  ScHLBSiNGBB.  Ucber  lineare  homogene  Differential- 
gleichangen  vierter  Ordnung,  zwischen  deren  Inte- 
gralen homogene  Relationen  höheren  als  ersten  Grades 

bestehen.      Dias.  Berlio.  43  S.  (1887.) 

Die  in  Rede  stehenden  linearen  Differentialgleichungen  vier- 
ter Ordnung  sind  als  der  Fuchs'schen  Klasse  angehörend  vor- 
ausgesetzt und  von  der  Beschaffenheit,  dass  ihre  determinirenden 
Fandamentalgleichungen  lauter  rationale  Wurzeln  haben.  Zwi- 
schen ihren  Lösungen  besteht  eine  homogene  Relation  in^*°  Grades 

9>(»n  Ja»  y.)  Vi)  =  y?.  <^(7»  C»  ^)  =  0 
(v  =  Vt-Vn  ?  =  y. -»n  *  =  y4-yi)- 

Durch  einen  Umlauf  der  unabhängigen  Variablen  z  um  singul&re 
Punkte,-  dem  bekanntlich  gewisse  lineare  Substitutionen  der  Inte- 
grale y  entsprechen,  verwandelt  sich  (]p  in  eine  gleichfalls  ho- 
mogene Form  q>'  vom  Grade  m,  die  ebenso  wie  g)  als  Function 
von  s  verschwindet.     Bei  der  Anwendung  aller  möglichen  Um- 

* 

laufe  von  is,  denen  sämtliche  Substitutionen  der  „Gruppe  der 
Differentialgleichung^  entsprechen^  können  bezüglich  der  daraus 
hervorgehenden  Gesamtheit  linear  unabhängiger  Formen  zwei 
Uauptmie  eintreten.  Das  durch  die  gegebene  Relation  q>  =  0 
erwähntermassen  bedingte  System  von  Relationen  kann  nämlich 
durch  eine  einzige  irreductible  Gleichung  f  =  0  oder  durch  ein 
simultanes  Sy^^tem  von  höchstens  vier  homogenen  Gleichungen 
fi  =  0  (•  =  1,  2,  3,  4)  dargestellt  werden.  Der  Verfasser  behan- 
delt zunächst  den  letzteren  iFall.  Die  Untersuchung  geschieht 
nach  der  Methode,  welche  Herr  Fuchs  für  die  linearen  Differen- 
tialgleichungen dritter  Ordnung,  deren  Integrale  einer  homogenen 
Relation  Gentige  leisten,  angewandt  hat  (Berl.  Ber.  1882,  Acta 
Math.  L,  F.  d.  M.  XIV.  1882.  242). 

Hit   der  gegebenen  Differentialgleichung   wird   eine   zweite 


348  VI.  Abschnitt    Differeotiai-  and  lotegralreohnaog. 

zusammengestellt,  deren  anabhängige  Variable  z^  mit  »  derart 
verbunden  ist,  dass  die  Quotienten  der  Integrale  eines  Funda- 
mentalsystems  der  zweiten  Differentialgleichung  mit  den  ent- 
sprechenden Quotienten  tj,  ^,  ^  identisch  sind.  Ans  der  alge- 
braischen Natur  der  Beziehung  zwischen  z^  und  z  folgt  dann 
der  algebraische  Charakter  der  Integrale  der  vorgelegten  Diffe- 
rentialgleichung.   Setzt  man 

dann  ist 

^       dM,  d%^  d*M^  _ 

die  Wurzel  einer  rationalen  Function  von  z.  In  besonderen 
Fällen  sind  bereits  die  Unterdeterminanten  dritten  oder  zweiten 
Grades  oder  endlich  die  M  selbst  Wurzeln  einer  rationalen  Func- 
tion von  z.    Andererseits  ist 


*>  ^r  dz'     dz-   -  "^w 


Wurzel  einer  rationalen  Function  von  z.  Bedeutet  nun  \f)(z) 
den  Qnotienten  gewisser  ganzen  Potenzen  von  x(z)  und  J(z)y 
also  ebenfalls  eine  Wurzel  einer  rationalen  Function  von  js,  dann 

sind  y^tpi  =i  Vji(%  =2  1^  2,  3,  4),  wo  t  eine  positive  ganze  Zahl 
ist,  Functionen,  die  für  z  ^  z^  in  sich  selbst,  multiplicirt  mit 
einer  Einheitswurzel,  übergehen.  Die  Vergleichung  der  Coeffi- 
cienten  der  Differentialgleichungen  fttr  r,  in  denen  einmal  Zj  das 
andere  Mal  z^  als  unabhängige  Variable  auftritt,  ergiebt  zwischen 
z  und  2,  eine  algebraische  Beziehung  und  infolge  derselben 
das  Resultat,  dass  die  vorgelegte  Differentialgleichung  algebraisch 
integrirbar  ist.  Die  erwähnte  Gleichung  zwischen  z  und  »,  wird 
nur  illusorisch  in  dem  Falle,  dass  zwischen  den  Integralen  die 
Beziehungen  y\  —  y,  y^  =  0,  yj— ^,^4  =  0  bestehen.  Alsdann  ist 
die  gegebene  Differentialgleichung  in  eine  solche  transformirbar, 
welche  durch  die  Kuben  der  Integrale  einer  linearen  Differential- 
gleichung zweiter  Ordnung  befriedigt  wird.  —  Es  folgt  nunmehr 
die  Behandlung  des  andern  Hauptfalls,  wo  das  System  derjenigen 


Covariante 


(i,&  =  1,  2,  3, 4)  =  IT  herangezogen  und  zu- 


Capitel  5.    Gewöhnliche  Oiffereotialgleichangen.  349 

zwischen  den  Integralen  stattfindenden  Beziehungen,  welche  durch 
die  AuBgangsrelation  bedingt  werden,  durch  eine  einzige  Glei- 
ehung  dargestellt  wird,  also  die  linke  Seite  der  irreductiblen 
Gleichung  m*"  Grades  f(y^^  y„  y,,  y^)  =  0  durch  jeden  Umlauf 
von  3  in  sich  selbst,  mit  einer  Constanten  multiplicirt.  Übergeht. 
Hier  wird,  gleichfalls  nach  dem  Vorgange  des  Herrn  Fuchs,  die 

nächsteine  Reihe  von  Ausnahmefällen  erwogen:  1)  ü verschwindet 
identisch.  Dieser  Fall  tritt  nur  dann  ein,  wenn  f  auf  eine  ter- 
Däre  Form  redueirbar   ist,    also   eine   Gleichung  von  der  Form 

fCyijyn»«)  =  0  besteht.  Alsdann  sind  -^^q^^q^  '»«^«ar  un- 
abhängige Integrale  einer  Differentialgleichung  dritter  Ordnung 
Fuchä'scher  Klasse,  zwischen  denen  eine  homogene  Relation  be- 
steht. Zufolge  eines  Satzes  des  Herrn  Fuchs  sind  demnach  die- 
:^elben  und  folglich  auch  ^1,9,9^,  algebraische  Functionen  von  ;s, 
falls  nicht  f  sich  auf  die  Form  yj  — y,yj  =0  bringen  lässt.  Be- 
steht jedoch  diese  Relation,  dann  genüge